2.1 图形的轴对称 同步讲义 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

2.1 图形的轴对称 内 容 导 航 题型1 全等图形 题型2 生活中的轴对称现象 题型3 轴对称的性质 题型4 轴对称图形 题型5 镜面对称 考 点 演 练 题型1 全等图形 解｜题｜知｜识 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 【典例1】下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．两个图形的形状不同，不是全等形，所以此选项错误，不合题意； B．两个图形能够完全重合，是全等图形，所以此选项正确，符合题意； C．两个图形的形状不同，不是全等形，所以此选项错误，不合题意； D．两个图形的大小不同，不是全等形，所以此选项错误，不合题意； 故选：B． 【变式1】下列选项中，与图中的图案完全一致的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由图形可知：与B、C、D中的图案不一致，不符合题意； A中的图案一致，符合题意， 故选：A． 【变式2】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、这两个图形能够完全重合，它们属于全等图形，符合题意； B、这两个图形不能够完全重合，它们不属于全等图形，不符合题意； C、这两个图形不能够完全重合，它们不属于全等图形，不符合题意； D、这两个图形不能够完全重合，它们不属于全等图形，不符合题意， 故选：A． 【变式3】如图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图所示：图形分割成两个全等的图形，． 故选：B． 题型2 生活中的轴对称现象 解｜题｜知｜识 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合 【典例1】一个台球桌面如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边的PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚向桌边PQ上的点D，如此运动，球经过D点反弹到RQ上的点E，经过E点反弹到RS上的点F．如果PQ∥RS，RQ⊥PQ，SP⊥QP，AB、BC、CD、DE、EF都是线段，且∠ABC的平分线BN⊥PQ，∠BCD的平分线CM⊥RS，∠CDE的平分线DG⊥PQ，∠DEF的平分线EH⊥QR，且∠ABP＝65°，那么∠REF的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【解答】解：∵RQ⊥PQ，SP⊥QP， ∴RQ∥SP，∠DQE＝90°， ∵BN⊥PQ，CM⊥RS，DG⊥PQ， ∴BN∥CM∥DG， ∵BN平分∠ABC， ∴∠ABN＝∠CBN， ∵∠PBN＝∠QBN＝90°， ∴∠CBD＝∠ABP＝65°， 同理∠BCS＝∠DCR＝∠CDP＝∠QDE＝65°， ∴∠QED＝90°﹣65°＝25°， ∵∠DEF的平分线EH⊥QR， ∴∠QEH＝∠REH＝90°，∠DEH＝∠FEH＝65°， ∴∠REF＝25°， 故选：B． 【变式1】一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是　3　 次． 【答案】3． 【解答】解：利用轴对称画出图形可知球的运动路线如图： ∴经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是3次； 故答案为：3． 【变式2】如图，台球运动中母球P击中桌边上的点A，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点B，再次反弹后击中球C．（提示：∠1＝∠2，∠3＝∠4） （1）若∠1＝32°，求∠PAB的度数； （2）已知∠2+∠3＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由． 【答案】（1）∠PAB＝116°； （2）PA∥BC． 【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝32°，∠1+∠PAB+∠2＝180°， ∴∠PAB＝180°﹣32°×2＝116°； （2）PA∥BC，理由： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠3＝90°，而∠1+∠2+∠PAB＝180°＝∠3+∠4+∠ABC， ∴∠1+∠2+∠PAB+∠3+∠4+∠ABC＝180°×2＝360°， ∴∠PAB+∠ABC＝360°﹣90°×2＝180°， ∴PA∥BC． 题型3 轴对称的性质 解｜题｜知｜识 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【典例1】在△ABC中，将∠B，∠C按如图所示方式折叠，点B，C均落在边BC上点H处，线段DE，FG为折痕．若∠A＝60°，则∠DHF的度数为（　　） A．90° B．80° C．75° D．60° 【答案】D 【解答】解：∵线段DE、FG为折痕， ∴∠B＝∠DHB，∠C＝∠FHC， ∵∠A＝60°， ∴∠B+∠C＝180°﹣60°＝120°， ∴∠DHB+∠FHC＝∠B+∠C＝120°， ∴∠DHF＝180°﹣120°＝60°， 故选：D． 【变式1】如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，G是直线l上一点，连接AG，DG，CG，FG，下列说法错误的是（　　） A．∠ACB＝∠DFE B．线段AD，BE，CF被直线l垂直平分 C．△AGC≌△DGF D．AB∥DF 【答案】D 【解答】解：由题知， 因为△ABC和△DEF关于直线l对称， 所以∠ACB＝∠DFE，线段AD，BE，CF被直线l垂直平分， 故AB选项不符合题意； 因为△ABC和△DEF关于直线l对称，点G在直线l上， 所以GA＝GD，GC＝GF，AC＝DF． 在△AGC和△DGF中， ， 所以△AGC≌△DGF（SSS）， 故C选项不符合题意； 因为AB与DF不一定平行， 故D选项符合题意． 故选：D． 【变式2】如图，点A在直线l上，△ABC与△AB′C′关于直线l对称，连接BB′分别交AC，AC′于点D，D′，连接CC′，下列结论不一定正确的是（　　） A．∠BAC＝∠B′AC′ B．CC′∥BB′ C．BD＝B′D′ D．AD＝DD′ 【答案】D 【解答】解：∵△ABC与△AB′C′关于直线l对称， ∴△ABC≌△AB′C′，BB′⊥l，CC′⊥l，AB＝AB′，AC＝AC′ ∴∠BAC＝∠B′AC′，BB′∥CC′， ∴OD＝OD′，OB＝OB′， ∴BD＝B′D′， 故选项A，B，C正确， 故选：D． 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．能够完全重合的两个图形成轴对称 B．全等的两个图形成轴对称 C．形状一样的两个图形成轴对称 D．沿着一条直线对折能够重合的两个图形成轴对称 【答案】D 【解答】解：A、能够完全重合的两个图形叫做全等形，故此选项错误； B、C、如图可知，此两个选项错误； D、沿着一条直线对折能够重合的两个图形成轴对称，此选项正确； 故选：D． 题型4 轴对称图形 解｜题｜知｜识 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 【典例1】下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不合题意． 故选：B． 【变式1】人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意知，B，C，D三个选项中的图形均不是轴对称图形，只有选项A中的图形是轴对称图形． 故选：A． 【变式3】中国运动健儿发扬拼搏精神，共获得201金，再次蝉联金牌榜第一．下列体育运动图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形是轴对称图形，符合题意； C、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； D、选项图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 题型5 镜面对称 解｜题｜知｜识 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 【典例1】一辆汽车的牌照在车下方水坑中的像是，则这辆汽车的牌照号码应为H•8379　 ． 【答案】H•8379 【解答】解：如图所示： 该车牌照号码为：H•8379． 故答案为：H•8379． 【变式1】小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是 　16：25　 ． 【答案】16：25 【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与16：25成轴对称，所以此时实际时刻为16：25， 故答案为：16：25． 【变式2】如图，小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是　10：45　 ． 【答案】10：45 【解答】 解：由图中可以看出，此时的时间为：10：45． 故答案为：10：45． 【变式3】学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆AB的高度，做了如下的探索：他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在距离旗杆底部（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部A，即∠CED＝∠AEB．再用皮尺测得DE为2.4米，观察者目高CD为1.6米．根据上述测量方案及数据，求旗杆AB的高度． 【答案】5.6米． 【解答】解：根据题意得：∠ABE＝∠CDE＝90°， ∵∠CED＝∠AEB， ∴△ABE∽△CDE， ∴，即， 解得：AB＝5.6米， 答：旗杆AB的高度为5.6米． 过 关 验 收 1．有下列说法，其中正确的有（　　） ①只有两个三角形才能完全重合； ②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同； ③两个正方形一定是全等图形； ④面积相等的两个图形一定是全等图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：①只有两个三角形才能完全重合，错误，不是三角形的图形也能全等； ②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，两个图形全等，它们一定重合，所以它们的形状和大小一定都相同； ③两个正方形一定是全等图形，错误，边长不同的正方形不全等； ④错误，面积相等的两个图形不一定是全等图形． 综上可得①③④错误． 故选：A． 2．如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝ 　90　 °． 【答案】90 【解答】解：由题意可得CO＝AO，BO＝DO， 在△COD和△AOB中， ∴△COD≌△AOB（SAS）， ∴∠1＝∠BAO， ∵∠2+∠BAO＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 故答案为：90． 3．如图，∠AOB＝30°，M与M′关于射线OB对称，N与N′关于射线OA对称，点N′，Q，P，M′在一条直线上，记∠AMP＝α，∠ONQ＝β，则α，β的数量关系为　α﹣β＝90°　 ． 【答案】α﹣β＝90°． 【解答】解：∵N与N′关于射线OA对称， ∴NN′⊥OA，∠QN′N＝∠QNN′， 又∵∠AOB＝30°， ∴∠ONN′＝90°﹣30°＝60°， ∴∠QN′N＝∠QNN′＝∠ONN′﹣∠ONQ＝60°﹣β， ∴∠NPN′＝180°﹣∠QN′N﹣∠ONN′＝60°+β， ∴∠OPM′＝∠NPN′＝60°+β， ∵M与M′关于射线OB对称， ∴∠OPM＝∠OPM′＝60°+β， ∴∠AMP＝∠AOB+∠OPM＝90°+β＝α， ∴∠AMP＝α，∠ONQ＝β，则α，β的数量关系为：α﹣β＝90°， 故答案为：α﹣β＝90°． 4．折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在点C′处，DC′交BC于点F．若∠A：∠B：∠C＝6：3：1，则当∠DEB＝ 　72　 度时，AB∥DC′． 【答案】72． 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝6：3：1， ∴∠A108°，∠B＝54°， 当AB∥DC′时，∠CDC′＝∠A＝108°，∠DFE＝∠B＝54°， 由题意可知∠EDF∠CDC′＝54°， ∴∠DEB＝180°﹣∠DEB﹣∠EDF＝72°． 即当∠DEB＝72°时，AB∥DC′． 故答案为：72． 5．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是 　100°　 ． 【答案】100°． 【解答】解：∵P点关于OB的对称点是P1，P点关于OA的对称点是P2， ∴PM＝P1M，PN＝P2N，∠P2＝∠P2PN，∠P1＝∠P1PM， ∵∠AOB＝40°， ∴∠P2PP1＝140°， ∴∠P1+∠P2＝40°， ∴∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2， ∴∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°， ∴∠MPN＝180°﹣（∠PMN+∠PNM）＝180°﹣80°＝100°， 故答案为：100°． 6．如图，直线l分别与直线AB，CD相交于点E、F，AB∥CD，点P是射线EA上的一个动点，点P、E不共点，连结PF．点N与点E关于直线PF对称．当时，试求出∠PFE的度数． 【答案】45°或72°． 【解答】解：设∠CFN＝x，分两种情况： ∵， ∴∠CFP＝β＝3x； ①当点N在平行线AB，CD之间时，如图1， ∵∠CFP＝β＝3x，∠CFN＝x， ∠PFN＝∠CFP﹣∠CFN＝2x，∠EFD＝β＝3x，由折叠可得，∠PFE＝∠PFN＝2x， ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴3x+2x+2x+x＝180°， 8x＝180°， ∴x＝22.5°， ∴∠PFE＝2x＝45°． ②当点N在CD的下方时，如图2， ∠PFN＝∠CFP+∠CFN＝4x， 由折叠可得∠PFE＝∠PFN＝4x， ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴3x+4x+3x＝180°， 10x＝180°， ∴x＝18°， ∴∠PFE＝4x＝72°； 综上所述，∠PFE 的度数是45°或72°． 7．书法是我国传统文化的重要组成部分．下列是“马年吉祥”四个篆体字，其中可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、选项图形不能找到一条直线，使两旁的部分完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形不能找到一条直线，使两旁的部分完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，符合题意； D、选项的图形不能找到一条直线，使两旁的部分完全重合，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 8．观察如图形所标记的数据，下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙都是轴对称图形 B．只有甲是轴对称图形 C．只有丙不是轴对称图形 D．只有甲、丙是轴对称图形 【答案】B 【解答】解：甲是等腰三角形，是轴对称图形； 如图， ∵∠A+∠B＝144°+36°＝180°， ∴AD∥BC， ∵∠A+∠D＝144°+36°＝180°， ∴AB∥CD， ∴乙是平行四边形，不是轴对称图形； 如图， ∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣88°﹣90°﹣90°＝92°， ∴丙不是轴对称图形； 故选：B． 9．下列图形对称轴最多的是（　　） A．正方形 B．等边三角形 C．圆 D．正五边形 【答案】C 【解答】解：A、图形有四条对称轴； B、图形有3条对称轴； C、图形有无数条对称轴； D、图形有5条对称轴． 故选：C． 10．下列“我爱数学”的首拼字母中，不属于轴对称图形的是（　　） A．W B．A C．S D．X 【答案】C 【解答】解：A、W是轴对称图形，故A不符合题意； B、A是轴对称图形，故B不符合题意； C、S不是轴对称图形，故C符合题意； D、X是轴对称图形，故D不符合题意； 故选：C． 11．篆体是我国古代汉字书体之一．下列篆体字“独”，“具”，“匠”，“心”中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：选项A、C、D中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 12.“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系和社会实践，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：在四个选项中，只有选项D中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以选项D是轴对称图形， 故选：D． 13．商后母戊鼎又称司母戊鼎是已知中国古代最重的青铜器，鼎身四周铸有精巧的各类纹饰，下列纹饰中是轴对称图形的是（　　） A．夔龙纹 B．牛角兽面纹 C．饕餮纹 D．虎噬人纹 【答案】C 【解答】解：A、B，D选项中的图案都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 14．下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、不是轴对称图形． 故选：A． 15．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、图形是轴对称图形，符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 16．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40金27银24铜的优异成绩．下列巴黎奥运会体育图标是轴对称图形的是（　　） A．射击 B．跳水 C．柔道 D．皮划艇静水 【答案】A 【解答】解：A、选项图形是轴对称图形，符合题意； B、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； D、选项图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 图形的轴对称 内 容 导 航 题型1 全等图形 题型2 生活中的轴对称现象 题型3 轴对称的性质 题型4 轴对称图形 题型5 镜面对称 考 点 演 练 题型1 全等图形 解｜题｜知｜识 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 【典例1】下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列选项中，与图中的图案完全一致的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 题型2 生活中的轴对称现象 解｜题｜知｜识 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合 【典例1】一个台球桌面如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边的PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚向桌边PQ上的点D，如此运动，球经过D点反弹到RQ上的点E，经过E点反弹到RS上的点F．如果PQ∥RS，RQ⊥PQ，SP⊥QP，AB、BC、CD、DE、EF都是线段，且∠ABC的平分线BN⊥PQ，∠BCD的平分线CM⊥RS，∠CDE的平分线DG⊥PQ，∠DEF的平分线EH⊥QR，且∠ABP＝65°，那么∠REF的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【变式1】一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是　 　 次． 【变式2】如图，台球运动中母球P击中桌边上的点A，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点B，再次反弹后击中球C．（提示：∠1＝∠2，∠3＝∠4） （1）若∠1＝32°，求∠PAB的度数； （2）已知∠2+∠3＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由． 题型3 轴对称的性质 解｜题｜知｜识 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【典例1】在△ABC中，将∠B，∠C按如图所示方式折叠，点B，C均落在边BC上点H处，线段DE，FG为折痕．若∠A＝60°，则∠DHF的度数为（　　） A．90° B．80° C．75° D．60° 【变式1】如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，G是直线l上一点，连接AG，DG，CG，FG，下列说法错误的是（　　） A．∠ACB＝∠DFE B．线段AD，BE，CF被直线l垂直平分 C．△AGC≌△DGF D．AB∥DF 【变式2】如图，点A在直线l上，△ABC与△AB′C′关于直线l对称，连接BB′分别交AC，AC′于点D，D′，连接CC′，下列结论不一定正确的是（　　） A．∠BAC＝∠B′AC′ B．CC′∥BB′ C．BD＝B′D′ D．AD＝DD′ 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．能够完全重合的两个图形成轴对称 B．全等的两个图形成轴对称 C．形状一样的两个图形成轴对称 D．沿着一条直线对折能够重合的两个图形成轴对称 题型4 轴对称图形 解｜题｜知｜识 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 【典例1】下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】中国运动健儿发扬拼搏精神，共获得201金，再次蝉联金牌榜第一．下列体育运动图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 题型5 镜面对称 解｜题｜知｜识 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 【典例1】一辆汽车的牌照在车下方水坑中的像是，则这辆汽车的牌照号码应为 ． 【变式1】小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是 　 　 ． 【变式2】如图，小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是　 ． 【变式3】学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆AB的高度，做了如下的探索：他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在距离旗杆底部（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部A，即∠CED＝∠AEB．再用皮尺测得DE为2.4米，观察者目高CD为1.6米．根据上述测量方案及数据，求旗杆AB的高度． 过 关 验 收 1．有下列说法，其中正确的有（　　） ①只有两个三角形才能完全重合； ②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同； ③两个正方形一定是全等图形； ④面积相等的两个图形一定是全等图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝ 　 　 °． 3．如图，∠AOB＝30°，M与M′关于射线OB对称，N与N′关于射线OA对称，点N′，Q，P，M′在一条直线上，记∠AMP＝α，∠ONQ＝β，则α，β的数量关系为　 　 ． 4．折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在点C′处，DC′交BC于点F．若∠A：∠B：∠C＝6：3：1，则当∠DEB＝ 　 　 度时，AB∥DC′． 5．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是 　 　 ． 6．如图，直线l分别与直线AB，CD相交于点E、F，AB∥CD，点P是射线EA上的一个动点，点P、E不共点，连结PF．点N与点E关于直线PF对称．当时，试求出∠PFE的度数． 7．书法是我国传统文化的重要组成部分．下列是“马年吉祥”四个篆体字，其中可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 8．观察如图形所标记的数据，下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙都是轴对称图形 B．只有甲是轴对称图形 C．只有丙不是轴对称图形 D．只有甲、丙是轴对称图形 9．下列图形对称轴最多的是（　　） A．正方形 B．等边三角形 C．圆 D．正五边形 10．下列“我爱数学”的首拼字母中，不属于轴对称图形的是（　　） A．W B．A C．S D．X 11．篆体是我国古代汉字书体之一．下列篆体字“独”，“具”，“匠”，“心”中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 12.“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系和社会实践，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 13．商后母戊鼎又称司母戊鼎是已知中国古代最重的青铜器，鼎身四周铸有精巧的各类纹饰，下列纹饰中是轴对称图形的是（　　） A．夔龙纹 B．牛角兽面纹 C．饕餮纹 D．虎噬人纹 14．下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 15．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 16．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40金27银24铜的优异成绩．下列巴黎奥运会体育图标是轴对称图形的是（　　） A．射击 B．跳水 C．柔道 D．皮划艇静水 学科网（北京）股份有限公司 $