2.8 直角三角形全等的判定 同步讲义 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

2.8 直角三角形全等的判定 内 容 导 航 题型1 直角三角形全等的判定 题型2 角平分线的性质 考 点 演 练 题型1 直角三角形全等的判定 解｜题｜知｜识 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 【典例1】在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 【变式1】如图，∠C＝∠D＝90°，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是（　　） A．AB平分∠CAD B．AC＝BD C．BC＝BD D．AD＝BC 【变式2】下列说法不正确的是（　　） A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 C．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．有一个角是60°的两个等腰三角形不一定全等 【变式3】如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（　　） A．AAS B．HL C．SAS D．ASA 题型2 角平分线的性质 解｜题｜知｜识 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 【典例1】如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【变式1】如图，在△ABC中，BC＞BA，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC．若△ABC的面积为4，则△BPC的面积为（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝6，则DE的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P．连结AP并延长交BC于点D．若CD＝6，则点D到直线AB的距离是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 过 关 验 收 1．如图，AC＝BC，且∠D＝∠E＝90°，能保证Rt△ADC≌Rt△CEB成立的条件有（　　）①∠ACB＝90°；②AD＝CE；③AC＝2AD；④CD＝BE． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（　　） A．1 B．2 C．5 D．无法确定 3．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（　　） A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3 B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40° C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3 D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40° 4．下列命题中真命题是（　　） A．如果两个直角三角形的两条边相等，那么这两个直角三角形全等 B．如果两个直角三角形的一条边和一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形全等 C．如果两个直角三角形的两个角对应相等，那么这两个直角三角形全等 D．如果两个直角三角形的一条直角边和斜边对应相等，那么这两个直角三角形全等 5．下列结论正确的是（　　） A．两个等边三角形全等 B．有一个锐角相等的两个直角三角形全等 C．有两边及一个角对应相等的两个三角形全等 D．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 6．如图，在Rt△ABC和Rt△DCF中，点B、D、C在同一条直线上，∠B＝∠DCF＝90°，AB＝DC．若添加一个条件后可用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCF，则添加的条件可以是 ． 7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC于D，EC⊥BC于点C，且AB＝BE，CD＝CE． （1）求证：AB＝AC； （2）求证：Rt△ABD≌Rt△BEC． 8．如图，AB⊥AF，CD⊥DE，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE． 9．如图，AB＝CD，AF＝CE，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 10．在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E在AD上，连接BE，CE，BE＝CE． （1）如图1，求证：AD平分∠BAC； （2）如图2，过点E作EF⊥AB，EG⊥AC，在不添加其他辅助线的情况下，请直接写出图2中四对的全等的直角三角形． 11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝6，CD＝2，则△DBE的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 12．如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 13．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 14．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D．若OD＝3，△ABC的面积是50，则△ABC的周长为（　　） A． B．25 C． D．50 15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，已知AD＝3，CD＝8．求阴影部分面积为（　　） A．12 B．24 C．18 D．20 16．如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（　　） A．4：3：2 B．5：3：2 C．2：3：4 D．3：4：5 17．如图，在△ABC中（∠C＞∠ABC），∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，下列结论：①；②；③若OD＝a，AB+BC+CA＝b，则S△ABC＝ab．④若AB＝BC，则∠AFB＝90°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 18．如图，AP是△ABC的角平分线，PM，PN分别是△APB，△APC的高，则下列结论错误的是（　　） A．AM＝AN B．AB•PC＝AC•PB C．S△ABC（AB+AC）•MP D． 19．如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，若MN＝4，△PMN的面积是6，△OMN的面积是9，则OM+ON的长是 　 　 ． 20．在△ABC中，∠B＝120°，BC＝6，CD＝2BD，AD为△ABC的角平分线，在AC上取一点E，使得BD＝DE，则CE的长为 ． 21．请书写角平分线的性质：　 　 ． 22．如图，已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过点D作直线DE⊥OA，垂足为E，且直线DE交OB于点F，若DE＝2，则DF＝　 　 ． 23．如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P＝　 　 ． 24．如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8．若S△ABC＝28，则DE＝　 　 ． 25．如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝　 　 ． 26．图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长． 27．课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． （1）如图1，已知BG，CG是△ABC的角平分线，求证：点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）如图2，BP，CP分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，连接AP，若∠BAC＝60°，求∠PAC的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.8 直角三角形全等的判定 内 容 导 航 题型1 直角三角形全等的判定 题型2 角平分线的性质 考 点 演 练 题型1 直角三角形全等的判定 解｜题｜知｜识 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 【典例1】在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 【答案】D 【解答】解：由图示知，小宏第一步为截取线段B′C′＝BC，第二步为作线段C′A′＝CA，判定方法为HL， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 【变式1】如图，∠C＝∠D＝90°，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是（　　） A．AB平分∠CAD B．AC＝BD C．BC＝BD D．AD＝BC 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AB，∠C＝∠D＝90°， ∴要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，需要添加的 条件是AC＝AD或BC＝BD， 故选：C． 【变式2】下列说法不正确的是（　　） A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 C．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．有一个角是60°的两个等腰三角形不一定全等 【答案】C 【解答】解：A．利用SAS可判定两直角三角形全等，所以本选项正确，不符合题意； B．利用HL可判定两直角三角形全等，所以本选项正确，不符合题意； C．仅两角相等，无边对应相等，不能判定全等，所以本选项错误，符合题意； D．有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形，等边三角形角都相等，但这两个等边三角形不一定边相等，所以这两个等边三角形不一定全等，所以本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式3】如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（　　） A．AAS B．HL C．SAS D．ASA 【答案】B 【解答】证明：∵BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F， ∴∠BEC＝∠BFC＝90°， 在Rt△BCF和Rt△CBE中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△CBE（HL）， ∴Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是HL． 故选：B． 题型2 角平分线的性质 解｜题｜知｜识 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 【典例1】如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， ∴S△POD6×3＝9． 故选：C． 【变式1】如图，在△ABC中，BC＞BA，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC．若△ABC的面积为4，则△BPC的面积为（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】D 【解答】解：∵BD＝BA，BP平分∠ABD，S△ABC＝4， ∴BP为△ABD的中线，P为AD中点， ∴CP为△CAD的中线， ∴，， ∵S△BPC＝S△BPD+S△CPD，S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴，即， ∴． 故选：D． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝6，则DE的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∠B＝90°， ∴BD＝DE＝6， 故选：B． 【变式3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P．连结AP并延长交BC于点D．若CD＝6，则点D到直线AB的距离是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解答】解：过D作DH⊥AB于H， 根据作图过程，得AD平分∠BAC，又∠C＝90°，CD＝6， ∴DH＝CD＝6， 即点D到直线AB的距离是6． 故选：A． 过 关 验 收 1．如图，AC＝BC，且∠D＝∠E＝90°，能保证Rt△ADC≌Rt△CEB成立的条件有（　　）①∠ACB＝90°；②AD＝CE；③AC＝2AD；④CD＝BE． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：根据直角三角形全等的判定条件“HL”可知： ②AD＝CE和④CD＝BE满足定理“HL”， ①∵∠ACB＝90°，∠D＝∠E＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， 条件③AC＝2AD，不能证明Rt△ADC≌Rt△CEB， 故选：C． 2．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（　　） A．1 B．2 C．5 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F， ∵∠EDF+∠FDC＝90°， ∠GDC+∠FDC＝90°， ∴∠EDF＝∠GDC， 于是在Rt△EDF和Rt△CDG中， ， ∴△DEF≌△DCG， ∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1， 所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1． 故选：A． 3．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（　　） A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3 B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40° C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3 D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40° 【答案】B 【解答】解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90° A选项：AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3， 符合直角三角形全等的判定条件HL， ∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′； B选项：AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°， 不符合直角三角形全等的判定条件， ∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′； C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS； ∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′； D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA， ∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′； 故选：B． 4．下列命题中真命题是（　　） A．如果两个直角三角形的两条边相等，那么这两个直角三角形全等 B．如果两个直角三角形的一条边和一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形全等 C．如果两个直角三角形的两个角对应相等，那么这两个直角三角形全等 D．如果两个直角三角形的一条直角边和斜边对应相等，那么这两个直角三角形全等 【答案】D 【解答】解：A、如果两个直角三角形的两条边相等，那么这两个直角三角形不一定全等，故此选项错误； B、如果两个直角三角形的一条边和一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形不一定全等，故此选项错误； C、如果两个直角三角形的两个角对应相等，那么这两个直角三角形不一定全等，故此选项错误； D、如果两个直角三角形的一条直角边和斜边对应相等，那么这两个直角三角形全等．此选项正确． 故选：D． 5．下列结论正确的是（　　） A．两个等边三角形全等 B．有一个锐角相等的两个直角三角形全等 C．有两边及一个角对应相等的两个三角形全等 D．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 【答案】D 【解答】解：D选项中两个直角三角形，有直角相等，一组锐角对应相等和一组斜边对应相等，两组角一组边，符合AAS或者ASA，所以D正确． 故选：D． 6．如图，在Rt△ABC和Rt△DCF中，点B、D、C在同一条直线上，∠B＝∠DCF＝90°，AB＝DC．若添加一个条件后可用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCF，则添加的条件可以是AC＝DF ． 【答案】AC＝DF． 【解答】解：由题意知，添加的条件为AC＝DF， 在Rt△ABC和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCF（HL）， 故答案为：AC＝DF． 7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC于D，EC⊥BC于点C，且AB＝BE，CD＝CE． （1）求证：AB＝AC； （2）求证：Rt△ABD≌Rt△BEC． 【答案】见解答． 【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（ASA）， ∴AB＝AC； （2）∵△ADB≌△ADC， ∴BD＝CD， ∵CD＝CE， ∴BD＝CE， ∵EC⊥BC， ∴∠BCE＝90°， 在Rt△ABD和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△BEC（HL）． 8．如图，AB⊥AF，CD⊥DE，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE． 【答案】∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∵BF＝BE+EF，CE＝CF+EF， ∴BF＝CE， ∵AB⊥AF，CD⊥DE， ∴∠A＝∠D＝90°（垂直的定义）， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∵BF＝BE+EF，CE＝CF+EF， ∴BF＝CE， ∵AB⊥AF，CD⊥DE， ∴∠A＝∠D＝90°（垂直的定义）， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）． 9．如图，AB＝CD，AF＝CE，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF， 即AE＝CF， 在Rt△ABE与Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）． 10．在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点E在AD上，连接BE，CE，BE＝CE． （1）如图1，求证：AD平分∠BAC； （2）如图2，过点E作EF⊥AB，EG⊥AC，在不添加其他辅助线的情况下，请直接写出图2中四对的全等的直角三角形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】（1）证明：在△ABE和△ACE中， ， ∴△ABE≌△ACE（SSS）， ∴∠BAE＝∠CAE，即∠BAD＝∠CAD， ∴AD平分∠BAC； （2）解：由（1）可得：AD平分∠BAC， ∵EF⊥AB，EG⊥AC， ∴EF＝EG， 在Rt△AEF和Rt△AEG中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△AEG（HL）， 在Rt△BEF和Rt△CEG中， ， ∴Rt△BEF≌Rt△CEG（HL）； ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）； 在Rt△EBD和Rt△ECD中， ， ∴Rt△EBD≌Rt△ECD（HL）． 11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝6，CD＝2，则△DBE的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F， 由条件可知DF＝CD＝2， ∵点E为AB的中点，AB＝6， ∴， ∴△DBE的面积， 故选：A． 12．如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：过P点作PF⊥OD， ∵∠AOB＝150°，OC平分∠AOB， ∴∠DOP＝∠POE＝75°， ∵DP∥OA， ∴∠DPO＝∠POE＝75°， ∴∠DOP＝∠DPO＝75°， ∴DP＝OD＝4， ∴∠PDO＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∵PF⊥OD， ∴∠PFD＝90°， ∴PFDP＝2， ∵PE⊥OA，OC平分∠AOB， ∴PE＝PF＝2， 故选：A． 13．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 14．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D．若OD＝3，△ABC的面积是50，则△ABC的周长为（　　） A． B．25 C． D．50 【答案】C 【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图所示： ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD＝3， ∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3， ∵△ABC的面积是50， ∴S△OAB+S△OBC+S△OAC＝50， ∴AB•OEBC•ODAC•OF＝50， ∴3AB+3BC+3AC＝100， ∴AB+BC+AC， ∴△ABC的周长为． 故选：C． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，已知AD＝3，CD＝8．求阴影部分面积为（　　） A．12 B．24 C．18 D．20 【答案】A 【解答】解：由题意可知，四边形BFDE为正方形， 设边长为x， 由勾股定理可知， AB2+BC2＝AC2， （AE+x）2+（x+FC）2＝（8+3）2， AE2+x2+2AEx+x2+FC2+2FCx＝121， AD2+2AEx+CD2+2FCx＝121， 32+82+4S阴影＝121， ∴S阴影＝12， 故选：A． 16．如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（　　） A．4：3：2 B．5：3：2 C．2：3：4 D．3：4：5 【答案】A 【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F， ∵点O是△ABC三条角平分线的交点， ∴OD＝OE＝OF， ∵， ， ， ∴S△OAB：S△OBC：S△OAC＝8OD：6OE：4OF＝4：3：2． 故选：A． 17．如图，在△ABC中（∠C＞∠ABC），∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，下列结论：①；②；③若OD＝a，AB+BC+CA＝b，则S△ABC＝ab．④若AB＝BC，则∠AFB＝90°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC+∠BAC＝180°﹣∠C， ∴ABCBAC＝90°C， ∵AE和BF是∠BAC和∠ABC的平分线， ∴∠OBAABC，∠OABBAC， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OBA+∠OAB）＝180°﹣（90°C）＝90°C， 故①正确； ∵AE和BF是∠BAC和∠ABC的平分线， ∴∠FBCABC，∠OABBAC， ∵OD⊥BC， ∴∠EOD＝90°﹣∠OED， ∴∠EOD＝90°﹣（∠ABC+∠OAB） ＝90°﹣（∠ABCBAC） ＝90°（∠ABC+∠BAC+∠ABC） CABC C﹣∠FBC，故②正确； 作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N， ∵∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，OD＝a， ∴OM＝ON＝OD＝a， ∵AB+BC+CA＝b， ∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC AB•OMBC•ODAC•ON （AB+BC+AC）•OD b•a ab， 故③错误； ∵AB＝BC，BF平分∠ABC， ∴BF⊥AC， ∴∠AFB＝90°，故④正确； ∴正确的序号为①②④； 故选：B． 18．如图，AP是△ABC的角平分线，PM，PN分别是△APB，△APC的高，则下列结论错误的是（　　） A．AM＝AN B．AB•PC＝AC•PB C．S△ABC（AB+AC）•MP D． 【答案】D 【解答】解：A、由角平分线性质可知PM＝PN，HL可证Rt△AMP≌△ANP，则AM＝AN，选项正确，不符合题意； B、由角平分线性质可知，即AB•PC＝AC•BP，选项正确，不符合题意； C、S△ABC＝S△ABP+S△ACPMP，选项正确，不符合题意； D、，选项错误，符合题意； 故选：D． 19．如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，若MN＝4，△PMN的面积是6，△OMN的面积是9，则OM+ON的长是 　10　 ． 【答案】10 【解答】解：过P作PH⊥MN于H，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于D，连接PO， ∵MP平分∠AMN，NP平分∠MNB， ∴PC＝PH，PD＝PH， ∴PC＝PD， ∵△PMN的面积MN•PH＝6，MN＝4， ∴PH＝3， ∴PC＝PD＝3， ∵△PMN的面积是6，△OMN的面积是9， ∴△POM+△PON＝6+9＝15， ∴OM•PCON•PD＝15， ∴（OM+ON）×3＝15×2， ∴OM+ON＝10． 故答案为：10． 20．在△ABC中，∠B＝120°，BC＝6，CD＝2BD，AD为△ABC的角平分线，在AC上取一点E，使得BD＝DE，则CE的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：作DF⊥AC于点F，DH⊥AB交AB的延长线于点H，则∠CFD＝∠H＝90°， ∵AD为△ABC的角平分线， ∴AD平分∠CAB，∴DF＝DH， 在Rt△DFE和Rt△DHB中， ∴Rt△DFE≌Rt△DHB（HL）， ∴EF＝BH， ∵BC＝CD+BD＝6，且CD＝2BD， ∴2BD+BD＝6， ∴BD＝2，CD＝4， ∵∠ABC＝∠BDH+∠H，且∠ABC＝120°，∠H＝90°， ∴∠BDH＝∠ABC﹣∠H＝30°， ∴EF＝BHBD＝1， ∴DF＝DH， ∴CF， ∴CE＝CF﹣EF， 故答案为：． 21．请书写角平分线的性质：　角的平分线上的点到角的两边的距离相等　 ． 【答案】角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【解答】解：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等， 故答案为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 22．如图，已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过点D作直线DE⊥OA，垂足为E，且直线DE交OB于点F，若DE＝2，则DF＝　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：作DG⊥OB于G， ∵OC是∠AOB的平分线，DG⊥OB，DE⊥OA， ∴DG＝DE＝2， 在Rt△EOF中，∠AOB＝60°， ∴∠OFE＝30°， ∴DF＝2DG＝4， 故答案为：4． 23．如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P＝　90°　 ． 【答案】90° 【解答】解：∵点P到AB、BC、CD距离都相等， ∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∴∠CBP∠ABC，∠BCP∠BCD， ∴∠CBP+∠BCP（∠ABC+∠BCD）， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠CBP+∠BCP180°＝90°， ∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣90°＝90°． 故答案为：90°． 24．如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8．若S△ABC＝28，则DE＝　4　 ． 【答案】4 【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∵AB＝6，BC＝8， ∴S△ABCAB•DEBC•DF6DE8DE＝28， 即3DE+4DE＝28， 解得DE＝4． 故答案为：4． 25．如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝　4：3　 ． 【答案】4：3 【解答】解：∵BF＝2EF．S△DEF＝2， ∴S△BDE＝3S△DEF＝3×2＝6， ∵点E为AD的中点， ∴S△ABD＝2S△BDE＝2×6＝12， ∵S△ABC＝21， ∴S△ACD＝21﹣12＝9， 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴DM＝DN， ∴， 则AB：AC＝4：3， 故答案为：4：3． 26．图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下： 在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）． ∴∠DAF＝∠EAF， ∴AP平分∠BAC． （2）如图，过点P作PG⊥AC于点G． ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB， ∴PG＝PQ＝6． ∵S△ABC＝S△ABP+S△APCAB•PQAC•PG， ∴AB×69×6＝60． ∴AB＝11． 27．课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． （1）如图1，已知BG，CG是△ABC的角平分线，求证：点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）如图2，BP，CP分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，连接AP，若∠BAC＝60°，求∠PAC的度数． 【答案】（1）过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F，如图所示： ∵BG，CG是△ABC的角平分线， ∴GE＝GD，GE＝GF， ∴GE＝GD＝GF， ∴点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）60°． 【解答】（1）证明，过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F，如图所示： ∵BG，CG是△ABC的角平分线， ∴GE＝GD，GE＝GF， ∴GE＝GD＝GF， ∴点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）解：过点P作PM⊥BD于点M，PN⊥BA，交BA的延长线于点N，如图所示： ∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线， ∴PM＝PN，PM＝PQ， ∴PN＝PQ， 又∵点P在∠NAC的内部，且PQ⊥AC，PN⊥BA， ∴点P在∠NAC的平分线上， ∴AP是∠NAC的平分线， ∴∠PAC∠NAC， ∵∠BAC＝60°， ∴∠NAC＝180°﹣∠BAC＝120°， ∴∠PAC∠NAC＝60°． 学科网（北京）股份有限公司 $