专题 2.10 等腰三角形常见几何模型讲义【六大模型】- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学等腰三角形六大几何模型，系统梳理角平分线与平行线、垂线结合，等边三角形定角及“手拉手”，直角三角形锐角平分线与高线，等腰直角三角形等模型的条件、图形与结论，构建从模型到应用的学习支架。 资料以模型化教学为特色，通过图形变式培养抽象能力，例题与变式题强化推理意识，同步检测分层巩固模型应用。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升几何问题解决能力。

专题 2.10 等腰三角形常见几何模型讲义【六大模型】 目录 一.模型梳理 1 【模型一】角平分线+平行线→等腰三角形 1 【模型二】角平分线+垂线→等腰三角形 2 【模型三】等边三角形中含定角问题 2 【模型四】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 3 【模型五】等边三角形中含“手拉手” 3 【模型六】等腰直角三角形的常见模型 3 二.题型精析 3 【题型一】角平分线+平行线→等腰三角形 4 【题型二】角平分线+垂线→等腰三角形 7 【题型三】等边三角形中含定角问题 13 【题型四】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 18 【题型五】等边三角形中含“手拉手” 23 【题型六】等腰直角三角形的常见模型 28 三.同步检测 34 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 35 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 43 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 52 一.模型梳理 【模型一】角平分线+平行线→等腰三角形 已知条件 基本图形 基本结论 ， 为等腰三角形 常见变式图形： 【模型二】角平分线+垂线→等腰三角形 已知条件 基本图形 基本结论 平分， 为等腰三角形 常见变式图形： 【模型三】等边三角形中含定角问题 已知条件 基本图形 基本结论 等边中，. 【模型四】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 已知条件 基本图形 基本结论 中，, 平分交、 于点、. 为等腰三角形（） 【模型五】等边三角形中含“手拉手” 已知条件 基本图形 基本结论 和为等边三角形. 【模型六】等腰直角三角形的常见模型 已知条件 基本图形 基本结论 中，，，分别在、上的点，且、是的中点. 是等腰直角三角形. 二.题型精析 【题型一】角平分线+平行线→等腰三角形 【例题1】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）“角平分线”，“平行线”与“等腰三角形”三者关系密切． （1）如图1，已知平分，．求证：是等腰三角形； （2）如图2，已知在中，，平分的外角．求证：． 【答案】（1）证明：∵平分， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）证明：， ， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ， ． 【分析】本题考查角平分线的应用、直线平行的判定与性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质： （1）通过直线平行的性质和角平分线证明即可； （2）根据三角形外角的性质及角平分线证明即可． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别30、24，则的长为（   ） A．8 B．15 C．12 D．6 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的判定，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，因此，判定，同理：，得到的周长，而的周长，即可求出的长． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长， ∵的周长， ∴． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作的平行线，交于点，若，，则的长为_______． 【答案】18 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及平行的性质，先根据角平分线和平行得到，用勾股定理计算出，那么，代入即可． 解：是的角平分线， ， 平行于， ，， ， ， 在中，得 ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在等腰中，，过点A作的平行线交的角平分线于点D，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰三角形； （2）． 【分析】（1）利用平行线的性质得出，进而利用等腰三角形的性质得出即可； （2）由（1）知，根据已知条件得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的选择得到，进一步计算即可得到结论． 解：（1）略 （2）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【题型二】角平分线+垂线→等腰三角形 【例题2】（25-26八年级上·山西忻州·期中）阅读与思考 下面是小明同学研究某三角形性质时的笔记片段，请阅读并完成相应任务． 【概念理解】如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系，这个三角形称为“线垂”三角形，被这条内角平分线所平分的内角叫作“分角”．如图，在中，是的角平分线，是的中线，，垂足为． 【问题解决】问题1：写出中小明同学所发现的结论：________． 证明：是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（依据）， … 问题2：在图中，若“线垂”三角形是直角三角形，求的度数． 任务： （1）问题1中的结论为________，问题1中的依据是________________________； （2）请你完成问题2的解答． 【答案】（1）；等角对等边；（2）可以，理由如下： 当时，如图： ∵，是的中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， 故， ∴是等边三角形， 故， ∵是的角平分线， ∴； 当时，如图： ∵是的角平分线， ∴； 当时，， 与“线垂”三角形中，相矛盾，故舍去； 综上，的度数为或． 【分析】（1）根据角平分线性质得出，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出根据等角对等边得出，再根据中线定义即可得到求解； （2）分，，三种情况讨论，根据（1）中结论和角平分线性质即可求解． （1）解：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（等角对等边）， ∵是的中线， ∴， 即． 故答案为：；等角对等边． （2）略 【点拨】本题考查新定义，等角对等边，直角三角形斜边中线的性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，中线的定义，等边三角形的判定和性质等知识点，理解新定义，熟练掌握相关知识，合理分类讨论是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F， 交于点G，若，则线段的长为（    ）    A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键． 延长交于点E，通过证明，得出，根据平行线的性质得出，则，进而得出，再根据，推出，得出，即可求解． 解：延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，为的角平分线，过C点作的垂线交于点F，垂足为E，若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，三角形外角性质，等腰三角形性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． 连接，结合角平分线定义证明，进而推出，得到，再结合三角形外角性质，以及等腰三角形性质和判定求解，即可解题． 解：连接， 为的角平分线， ， ，垂足为E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，是的角平分线，，交于点E． （1）尺规作图：过点D作线段的垂线交于点F，连接；（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：垂直平分． 证明：∵是的角平分线，，， ∴ ① ． ∴点D在线段的垂直平分线上． 在和中， ， ∴（ ③ ）． ④ ∴点A在线段的垂直平分线上． ∴ ⑤ ． 【答案】（1）如图所示为所求： （2）证明：∵是的角平分线，，， ∴． ∴点D在线段的垂直平分线上． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【分析】（1）以点D为圆心，长度为半径画弧，交于点G，再分别以点C，G为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接点D与该点，交于点F，即为的垂线； （2）先根据角平分线的性质得到，所以点D在线段的垂直平分线上；再证明，得到，所以点A在线段的垂直平分线上，则证明是线段的垂直平分线． 解：（1）略 （2）略 【题型三】等边三角形中含定角问题 【例题3】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，连接，交于点，且． （1）求证：， （2）若点，点分别在边，上改变位置时，保持不变，发现为定值，直接写出______． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质得出． （2）由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，即可得出，由即可得出． 解：（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，，结合，证明，得到，结合，可得，即得答案． 解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，已知为等边三角形，点D，E分别在边，上，且，若交于点F，则的大小为___________度． 【答案】60 【分析】根据题目中的条件和等边三角形的性质可以得到和全等，从而可以得到，然后根据等边三角形的性质和三角形外角和内角的关系即可得到的度数． 解：∵为等边三角形，点D，E分别在边，上，且， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）（1）如图1，点P，Q分别是边长为的等边三角形的边上的动点，点P，Q从顶点A，B同时出发，分别沿运动，且它们的速度都为． ①点P，Q运动多少时间是等边三角形？说明理由； ②连接交于点M，则P，Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； （2）如图2，若点P，Q分别运动到点B，C后，P，Q两点继续在射线上运动，直线的交点为M，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数． 【答案】（1）①解：当点P，Q运动时是等边三角形；理由： ∵是等边三角形， ∴， 设运动时间为， ∴，则， 当时，是等边三角形， ∴， 解得，， ∴当点P，Q运动时是等边三角形； ②是定值，不会变化 （2），度数不会变化 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，一元一次方程，全等三角形的判定和性质． （1）①根据等边三角形的性质得到，结合题意，设运动时间为，则，由等边三角形的判定得到，由此列式即可求解； ②根据等边三角形的性质可证，得到，结合三角形外角的性质即可求解； （2）根据题意证明，得，再证明，得，最后等量代换即可求解． 解：（1）①略 ②是定值，不会变化，理由如下， ∵点P，Q从顶点A，B同时出发，速度都为， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴P，Q运动的过程中，的度数不会变化； （2），度数不会变化，理由如下， ∵点P，Q从顶点A，B同时出发，速度都为， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型四】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 【例题4】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，在中，，于D，平分交于E，交于F，试说明：．    【答案】证明：∵，， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴ 【分析】利用平分知，又，得，再利用对顶角相等得． 解：略 【点拨】此题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，证明是解本题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据是的中线得和等底同高，据此对结论①进行判断； 由，，，，可对结论②进行判断； 连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，可得，又因为，所以，进而得，根据已知条件不能确定，据此对结论③进行判断； 由已知得，，，据此对结论④进行判断； 解：∵是的中线， ∴， ∴和等底同高， ∴． 故得结论①正确； ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 故得结论②正确； 连接，如图： ∵是高，是中线， ∴点是斜边上的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 假设成立 ∴， 此时， 根据已知条件不能确定， 因此假设不成立． 故得结论③不正确； ∵，是角平分线，是高， ∴，，， ∴， 即． 故得结论④正确； 综上所述，错误的是③． 故选：C． 【点拨】本题考查了三角形的角平分线、高和中线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，直角三角形的性质，运用三角形的内角和定理列出角的等量关系，利用角平分线和直角三角形的性质进行角的等量代换是解题的关键，注意直角三角形斜边上的中线和三角形中线的区别． 【变式2】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号是______． ①的面积等于的面积；②；③． 【答案】①②③ 【分析】根据中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等解答即可． 解：∵是中线， ∴的面积等于的面积； 故①正确； ∵，是高， ∴， ∴， 故②正确； ∵，是高， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 故答案为：①②③． 【点拨】本题考查了中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠BAC 的平分线分别交BC，CD于E、F． （1）试说明△CEF是等腰三角形． （2）若AC=6， BC=8，求CF长 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）根据余角的性质可得∠ACD=∠B，然后根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得∠CFE=∠CEF，进一步即可推出结论； （2）根据勾股定理可求得AB的长，过点E作EG⊥AB于点G，如图，根据角平分线的性质可得EC=EG，进而可根据HL证明Rt△AEG≌Rt△AEC，于是可得AG=AC=6，继而可得BG的长，然后设CE=EG=x，则在Rt△BEG中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求出x，从而可得结果． 解：（1）证明：∵∠ACB=90°， ∴∠B+∠BAC=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠ACD=∠B， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAE=∠EAB， ∵∠EAB+∠B=∠CEF，∠CAE+∠DCA=∠CFE， ∴∠CFE=∠CEF， ∴CF=CE， ∴△CEF是等腰三角形． （2）在Rt△ABC中，由勾股定理，得：，所以AB=10， 过点E作EG⊥AB于点G，如图， ∵AE是∠BAC的平分线，∠ACB=90°， ∴EC=EG， ∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）， ∴AG=AC=6， ∴BG=4， 设CE=EG=x，则BE=8－x， 在Rt△BEG中，由勾股定理，得，即， 解得：x=3， ∴CF=CE=3． 【点拨】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 【题型五】等边三角形中含“手拉手” 【例题5】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，C是线段AE上一点，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD与BC交于点M，BE与CD交于点N． 试说明：（1）AD=BE；（2）MN//AE． 【答案】（1）见解析;（2）见解析 【分析】（1）先利用等边三角形的性质可得两组对应边相等，再由角的和差、等边三角形的性质推出，然后利用三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）先利用ASA定理证出，再根据全等三角形的性质可得，从而可得为等边三角形，然后由等边三角形的性质可得，最后根据平行线的判定即可得证． 解：（1）是等边三角形 ，即 在和中， ； （2）由（1）知， 在和中， 为等边三角形 ． 【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、平行线的判定等知识点，较难的是题（2），在题（1）的基础上，联想到利用三角形全等的判定与性质是解题关键． 【变式1】（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，和都是等边三角形，、相交于点O，交于点M，交于点N，连接，则下列结论不一定成立的（   ） A． B． C．是等边三角形 D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，先根据等边三角形的性质得到，判断A；然后根据全等三角形的性质判断D；再根据三角形的内角和定理判断B；然后根据的情况判断C即可解题． 解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∴，，故D正确，不符合题意； ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵不一定是， ∴不一定是等边三角形，故C错误，符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·上海崇明·期末）已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．那么的度数为_________； 【答案】/60度 【分析】由等边三角形的性质得出，，，证明，求出，进一步求得的度数． 解：∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）【问题背景】 如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点，连接、，． （1）【初步探究】求证：； （2）【深入探究】求的度数； （3）【拓展延伸】判断是什么三角形，并说明理由． 【答案】（1）证明：、都是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． （2）60° （3） 是等边三角形，理由如下： ， ，，， 又点、分别是线段、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，证明，即可证明结论； （2）根据全等三角形和等边三角形的性质，推出，再结合三角形内角和定理，即可求出的度数； （3）根据全等三角形的性质和线段的中点，易证，得，，再推出，即可判断的形状． 解：（1）略． （2）解：， ， 为等边三角形， ， ． （3）解：略． 【题型六】等腰直角三角形的常见模型 【例题6】（24-25八年级下·全国·期中）如图，，D，E分别在和上，且，M是的中点．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：如图，连接， 在等腰直角三角形中，是斜边的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 【分析】本题考查了全等三角形性质，以及等腰三角形的定义，解题的关键在于掌握等腰直角三角形的性质以及等腰三角形的判定方法． 连接，利用等腰三角形性质证明，利用全等三角形性质即可证明是等腰三角形． 解：略 【变式1】（24-25八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8．点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值是4；③四边形CDFE的面积保持不变．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【分析】连接CF，由SAS定理可得，从而可证，，便可得到①正确；由△DFE是等腰直角三角形，可得最小时，DF也最小，即当时，DE最小，此时可得，即可判断②错误；再由割补法可证③是正确的． 解： 连接CF Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8 ， △DFE是等腰直角三角形 故①正确； △DFE是等腰直角三角形 最小时，DF也最小 即当时，DE最小，此时 故②错误； 四边形CDFE的面积 四边形CDFE的面积保持不变 故③正确； 综上，正确的结论是①③ 故选：C． 【点拨】此题考查的知识点有等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，利用“割补法”是求不规则图形的面积的常用方法． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）在等腰直角三角形中，，于点，点是平面内任意一点，连接，如图1，当点在边上时，过点作交于点． （1）线段，，之间满足的数量关系是 _________________． （2）如图2，当点在内部时，连接，，若，，，求线段的长为 _____． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）连接，根据等腰直角三角形的性质和证明，从而得到，，结合，可得，最后根据勾股定理即可求解； （2）过点作于点，过点作交于点，先证明，从而得到，在中，， 可得，最后根据勾股定理以及线段的和差即可求解． 解：（1），理由如下： 如图，连接， 是等腰直角三角形，，， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，， ； （2）如图，过点作于点，过点作交于点， ，，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ． 【变式3】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图1和图2，是中边上的中线，为边上的一点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图1，若，，试求的长； （3）如图2，当为边的中点时，若的面积为20，请直接写出的面积是多少． 【答案】（1）证明见解析；（2）14；（3）5 【分析】（1）根据平行线的性质，得，，根据三角形中线的性质，得，再根据全等三角形的性质分析即可完成证明； （2）根据三角形的性质，得，结合题意，通过计算即可得到答案； （3）根据三角形中线的性质，计算得，再根据全等三角形的性质分析，即可得到答案. 解：（1）∵， ∴， ∵是中边上的中线， ∴ 在和中 ∴； （2）∵ ∴； 又∵， ∴ ∴； （3）∵为边的中点， ∴ ∴ ∵是中边上的中线 ∴ ∴ ∵的面积为20 ∴ ∴ ∵ ∴. 【点拨】本题考查了三角形中线，全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解. 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别为32、24，则的长为（　　） A．8 B．15 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，因此，判定，同理：，得到的周长，而的周长，即可求出的长． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长， ∵的周长， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，中，，，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】作于交延长线于G，由平分，得到，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，得到，由，得到，因此，即可求出． 解：作于交延长线于G， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·宁夏银川·三模）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是角平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由角平分线的尺规作图可判断第一个图；垂直平分线的尺规作图可判断第二个图；由平行线和等边对等角性质可判断第三个图；由三线合一性质可判断第四个图． 解：第一个图，由作图得，是的平分线，符合题意； 第二个图，由作图得，是的垂直平分线，不符合题意； 第三个图，由作图得， ∴ ∴ 由作图得， ∴ ∴ ∴是的平分线，符合题意； 第四个图，由作图得，，垂直平分 ∴是的平分线，符合题意． 综上所述，其中是角平分线的有3个． 4．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，已知的角平分线交于点，交于点，且，，则的长度为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并求出是解题的关键．根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得，然后根据代入数据计算即可得解． 解：是的平分线， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：B． 5．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线结合平行可以得到等腰三角形即：，进而可求. 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴ ． 6．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的角平分线，过点作，分别交及的外角的平分线于点，．若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质及角平分线的概念，得出，，则，即可得出结论． 解：是的角平分线，是的外角的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ， 故选：C． 7．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，是的角平分线，过点D作交于点E，交的平分线于点F，若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．无法求出 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质、等角对等边、角平分线的定义等知识，熟练掌握等角对等边是解题的关键．根据角平分线的定义得到，再由平行线的性质得到，则，即可得到，求出的长即可． 解：∵是的角平分线，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 8．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知：如图，是的角平分线，于，于，下列结论不正确的是（） A． B． C．、互相垂直平分 D．平分 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定，角平分线性质的应用，能求出是解此题的关键．根据角平分线性质求出，证，推出，再逐个判断即可． 解：是的角平分线，于，于， 在和中， 平分； 故选项B，D结论正确，不符合题意， 平分， ， 垂直平分，， 故选项A结论正确，不符合题意，选项C结论错误，符合题意， 故选：C． 9．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在等腰，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，延长交的延长线于点，证明，得，再证，得，然后由等腰三角形的性质得，即可得出结论．掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关键． 解：如图，延长交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：B． 10．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由是高得到，根据直角三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，则有，可判断①；根据直角三角形的性质得到，，则有，可判断②；根据中线的性质可判断③；根据三角形的面积公式可判断⑤；由题意无法证明，可判断④，即可得出答案． 解：∵， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵是中线， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故⑤正确； 由题意无法证明，故④不正确； ∴综上所述，结论正确的有①②③⑤，共4个， 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，．过点作的平行线交的角平分线于点，连接．若，则_______． 【答案】70 【分析】根据两直线平行同旁内角互补可得，由两直线平行内错角相等和等边对等角可得，结合角平分线的性质及等角对等边得到，再利用三角形内角和定理即可求解． 解：，， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：70． 【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 12．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，是的角平分线，点E在边上，连接，且．若面积为4，，则面积 _____． 【答案】 【分析】本题考查了全等直角三角形的判定和性质，角平分线的性质定理． 过点 作交于点，可证，，根据面积为4，，求出面积为2，，即，，根据计算即可． 解：如图；过点 作交于点 ∵，是的平分线 ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵面积为4，， ∴面积为2， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·全国·期中）如图，的平分线与的外角的平分线交于点，过点作的平行线，交于点，交于点，若，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义和平行线的性质，等腰三角形的判定，利用平行线的性质和角平分线的定义可得，，继而得到，，可得结论．解题的关键是掌握等腰三角形的判定：等角对等边． 解：∵的平分线与的外角的平分线交于点， ∴，， ∵过点作的平行线，交于点，交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，平分平分，过点作的平行线分别与，相交于点M，N．若，的周长为7，则的周长为______． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，得到，，求得，根据三角形的周长公式即可得到结论． 解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， 的周长为， ， 的周长， 故答案为：12． 15．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在中，是的平分线，过的中点M作的垂线，分别交，的延长线于点F，E，若，则的长为__________． 【答案】7 【分析】延长至点N，使，连接，设交于点G，推导出，得到，进而推导出，得到，证明，得到，则，即可解答． 解：延长至点N，使，连接，设交于点G，如图 ∵M为中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在等腰中，，，的角平分线交于点，交于点，交于点．为的中点，连接，若，，则（用含，的式子表示） 【答案】/ 【分析】连接交于点，证明，推出，再证明、即可得解． 解：连接交于点， ，，为的中点， ， ， 平分， ， ， ， ， 和中， ， ， ， ， ， ， ， 等腰中有， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查的知识点是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题． 17．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，点为的角平分线上一点，过任作一直线分别与的两边交于、，为的中点，过作的垂线交于点，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线性质和线段垂直平分线性质的知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等，过作于，于，求出，根据角平分线性质求出，根据线段垂直平分线性质求出，证，求出，推出，即可得出答案． 解：如图：过作于，于，则， ， ， ，，平分， ， 为中点，， ， 在和中，， ， ， ． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，点，在边上，，，则与的周长差为___________． 【答案】4 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质进行作答． 解：∵平分， ， 又 ∵， ， ， ∵平分， ， 又 ∵， ， ， ， 的周长 ， ， 的周长， 平分， ， 又， ， ， ， 同理可得， ， ∴的周长， ∴与的周长差． 故答案为：4． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在中，D是边上的一点，过点D作边的平行线，分别交的角平分线、的外角的角平分线于M、N两点．求证：． 【答案】证明：∵分别平分， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，先根据角平分线的定义可得，再由平行线的性质得到，则，进而得到，同理可证，． 解：略 20．（本小题满分8分）（2026·河南平顶山·一模）开启作角平分线的智慧之窗． 问题：作的平分线． 作法：如图，甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线． 讨论：大家对甲同学的作法深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是______________； 大家对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定为角平分线．判断的理由是： ，，（依据______________）． 任务： （1）请你将上述讨论过程补充完整． （2）完成对丙同学作法的验证．已知，，求证：平分． 【答案】（1）；等腰三角形的三线合一；（2）证明：∵， ， ， ， ． ，即． 平分． 【分析】（1）结合甲同学的作法和乙同学的作法，完善推理步骤即可； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． （1）解：甲同学：如图， 由作图得，， 在与中， ， ， ， 其判定全等的方法是； 乙同学：，， （等腰三角形的三线合一）； （2）略 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·吉林长春·期中）阅读理解：由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”． 模型应用：在如图1所示的“手拉手”图形中，若，，，连结CE．求证：； 模型拓展：如图2，和均为等腰直角三角形，点在边上，，，，线段与线段交于点，连接． （1）若，则线段 ； （2）若线段时，则线段 ． 【答案】模型应用：证明：，，， ， ， ， ； 模型拓展：（1）；（2） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理； 模型应用：证明即可得出； 模型拓展：（1）根据等腰直角三角形的性质证明，证明，得，由，得，进而可以解决问题； （2）结合（1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题． 解：模型应用：略 模型拓展：（1）为等腰直角三角形，，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）为等腰直角三角形， ， 当线段时，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江西宜春·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，则． （1）【初步感知】 如图1，根据以上条件，容易发现与的数量关系为：_____． （2）【类比解答】 如图2，在中，是的角平分线，于，若，，通过上述构造全等的方法，可求得的度数为_____． （3）【拓展应用】 如图3，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）， 理由如下：延长交于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，由条件证得是解题的关键． （1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据互余得出的度数，进而利用角平分线的定义和三角形的内角和解答即可； （3）延长，交于点，根据证明解答即可． （1）解：平分， ， ， ， 在与中， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：； （3）略 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）（1）如图1，中，，，的平分线交于点，过点作交，于点，．图中有_______个等腰三角形，猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有_____________个等腰三角形；猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作交于，交于．则与，间的数量关系是___________． 【答案】（1）2，；（2）5，；（3）2， 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义并结合平行线的性质可得，，由等角对等边可得，，由此即可得解； （2）由等边对等角可得，则为等腰三角形，再结合平行线的性质可得，由等角对等边可得，即可得出为等腰三角形，由角平分线的定义并结合平行线的性质可得，，由等角对等边可得，，从而得出和是等腰三角形，再证明，得出为等腰三角形，即可得解； （3）由角平分线的定义并结合平行线的性质可得，，由等角对等边可得，，从而得出和是等腰三角形，即可得解 解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴和是等腰三角形， ∴， 故有个等腰三角形，； （2）∵， ∴，为等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， 故有5个等腰三角形，； （3）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和是等腰三角形， ∴， 故有个等腰三角形，． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·河北张家口·期末）综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． （1）如图，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：________；线段和的数量关系是________； 【探究】 （2）如图，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ① ②； 【拓展】 （3）如图，在与中，，，且，若，，连接，，，当，，在同一条直线上，直接写出的面积； 【答案】（1）；；（2）证明：∵都是等边三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴； （3）或 【分析】（1）利用证明即可； （2）根据等边三角形的性质证明，再由全等三角形的性质以及等边三角形的性质证明即可； （3）同理可证明，然后可得，过点作于点，则、均是等腰直角三角形，则，由勾股定理求解得到，再分两种情况求解即可． （1）解：∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）略 （3）解：∵，，且 ∴， ∴ ∴，， ∴ 过点作于点，则、均是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ 当点在点右侧时， 此时 ∴； 当点在点左侧时， 此时 ∴， 综上：的面积为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.10 等腰三角形常见几何模型讲义【六大模型】 目录 一.模型梳理 1 【模型一】角平分线+平行线→等腰三角形 1 【模型二】角平分线+垂线→等腰三角形 2 【模型三】等边三角形中含定角问题 2 【模型四】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 3 【模型五】等边三角形中含“手拉手” 3 【模型六】等腰直角三角形的常见模型 3 二.题型精析 3 【题型一】角平分线+平行线→等腰三角形 4 【题型二】角平分线+垂线→等腰三角形 5 【题型三】等边三角形中含定角问题 7 【题型四】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 8 【题型五】等边三角形中含“手拉手” 9 【题型六】等腰直角三角形的常见模型 10 三.同步检测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 15 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.模型梳理 【模型一】角平分线+平行线→等腰三角形 已知条件 基本图形 基本结论 ， 为等腰三角形 常见变式图形： 【模型二】角平分线+垂线→等腰三角形 已知条件 基本图形 基本结论 平分， 为等腰三角形 常见变式图形： 【模型三】等边三角形中含定角问题 已知条件 基本图形 基本结论 等边中，. 【模型四】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 已知条件 基本图形 基本结论 中，, 平分交、 于点、. 为等腰三角形（） 【模型五】等边三角形中含“手拉手” 已知条件 基本图形 基本结论 和为等边三角形. 【模型六】等腰直角三角形的常见模型 已知条件 基本图形 基本结论 中，，，分别在、上的点，且、是的中点. 是等腰直角三角形. 二.题型精析 【题型一】角平分线+平行线→等腰三角形 【例题1】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）“角平分线”，“平行线”与“等腰三角形”三者关系密切． （1）如图1，已知平分，．求证：是等腰三角形； （2）如图2，已知在中，，平分的外角．求证：． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别30、24，则的长为（   ） A．8 B．15 C．12 D．6 【变式2】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作的平行线，交于点，若，，则的长为_______． 【变式3】（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在等腰中，，过点A作的平行线交的角平分线于点D，连接． （1）求证：为等腰三角形；（2）若，求的度数． 【题型二】角平分线+垂线→等腰三角形 【例题2】（25-26八年级上·山西忻州·期中）阅读与思考 下面是小明同学研究某三角形性质时的笔记片段，请阅读并完成相应任务． 【概念理解】如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系，这个三角形称为“线垂”三角形，被这条内角平分线所平分的内角叫作“分角”．如图，在中，是的角平分线，是的中线，，垂足为． 【问题解决】问题1：写出中小明同学所发现的结论：________． 证明：是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（依据）， … 问题2：在图中，若“线垂”三角形是直角三角形，求的度数． 任务： （1）问题1中的结论为________，问题1中的依据是________________________； （2）请你完成问题2的解答． 【变式1】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F， 交于点G，若，则线段的长为（    ）    A．1 B．2 C． D．3 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，为的角平分线，过C点作的垂线交于点F，垂足为E，若，则________． 【变式3】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，是的角平分线，，交于点E． （1）尺规作图：过点D作线段的垂线交于点F，连接；（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：垂直平分． 证明：∵是的角平分线，，， ∴ ① ． ∴点D在线段的垂直平分线上． 在和中， ， ∴（ ③ ）． ④ ∴点A在线段的垂直平分线上． ∴ ⑤ ． 【题型三】等边三角形中含定角问题 【例题3】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，连接，交于点，且． （1）求证：， （2）若点，点分别在边，上改变位置时，保持不变，发现为定值，直接写出______． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，已知为等边三角形，点D，E分别在边，上，且，若交于点F，则的大小为___________度． 【变式3】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）（1）如图1，点P，Q分别是边长为的等边三角形的边上的动点，点P，Q从顶点A，B同时出发，分别沿运动，且它们的速度都为． ①点P，Q运动多少时间是等边三角形？说明理由； ②连接交于点M，则P，Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； （2）如图2，若点P，Q分别运动到点B，C后，P，Q两点继续在射线上运动，直线的交点为M，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数． 【题型四】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形 【例题4】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，在中，，于D，平分交于E，交于F，试说明：．    【变式1】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号是______． ①的面积等于的面积；②；③． 【变式3】（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠BAC 的平分线分别交BC，CD于E、F． （1）试说明△CEF是等腰三角形． （2）若AC=6， BC=8，求CF长 【题型五】等边三角形中含“手拉手” 【例题5】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，C是线段AE上一点，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD与BC交于点M，BE与CD交于点N． 试说明：（1）AD=BE；（2）MN//AE． 【变式1】（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，和都是等边三角形，、相交于点O，交于点M，交于点N，连接，则下列结论不一定成立的（   ） A． B． C．是等边三角形 D． 【变式2】（24-25七年级下·上海崇明·期末）已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．那么的度数为_________； 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）【问题背景】 如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点，连接、，． （1）【初步探究】求证：； （2）【深入探究】求的度数； （3）【拓展延伸】判断是什么三角形，并说明理由． 【题型六】等腰直角三角形的常见模型 【例题6】（24-25八年级下·全国·期中）如图，，D，E分别在和上，且，M是的中点．求证：是等腰三角形． 【变式1】（24-25八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8．点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值是4；③四边形CDFE的面积保持不变．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）在等腰直角三角形中，，于点，点是平面内任意一点，连接，如图1，当点在边上时，过点作交于点． （1）线段，，之间满足的数量关系是 _________________． （2）如图2，当点在内部时，连接，，若，，，求线段的长为 _____． 【变式3】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图1和图2，是中边上的中线，为边上的一点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图1，若，，试求的长； （3）如图2，当为边的中点时，若的面积为20，请直接写出的面积是多少． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别为32、24，则的长为（　　） A．8 B．15 C．12 D．6 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，中，，，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为（     ） A．4 B． C． D． 3．（2025·宁夏银川·三模）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是角平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，已知的角平分线交于点，交于点，且，，则的长度为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 5．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的角平分线，过点作，分别交及的外角的平分线于点，．若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，是的角平分线，过点D作交于点E，交的平分线于点F，若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．无法求出 8．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知：如图，是的角平分线，于，于，下列结论不正确的是（） A． B． C．、互相垂直平分 D．平分 9．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在等腰，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，．过点作的平行线交的角平分线于点，连接．若，则_______． 12．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，是的角平分线，点E在边上，连接，且．若面积为4，，则面积 _____． 13．（24-25八年级上·全国·期中）如图，的平分线与的外角的平分线交于点，过点作的平行线，交于点，交于点，若，，则_______． 14．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，平分平分，过点作的平行线分别与，相交于点M，N．若，的周长为7，则的周长为______． 15．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在中，是的平分线，过的中点M作的垂线，分别交，的延长线于点F，E，若，则的长为__________． 16．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在等腰中，，，的角平分线交于点，交于点，交于点．为的中点，连接，若，，则（用含，的式子表示） 17．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，点为的角平分线上一点，过任作一直线分别与的两边交于、，为的中点，过作的垂线交于点，，则______． 18．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，点，在边上，，，则与的周长差为___________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在中，D是边上的一点，过点D作边的平行线，分别交的角平分线、的外角的角平分线于M、N两点．求证：． 20．（本小题满分8分）（2026·河南平顶山·一模）开启作角平分线的智慧之窗． 问题：作的平分线． 作法：如图，甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线． 讨论：大家对甲同学的作法深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是______________； 大家对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定为角平分线．判断的理由是： ，，（依据______________）． 任务： （1）请你将上述讨论过程补充完整． （2）完成对丙同学作法的验证．已知，，求证：平分． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·吉林长春·期中）阅读理解：由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”． 模型应用：在如图1所示的“手拉手”图形中，若，，，连结CE．求证：； 模型拓展：如图2，和均为等腰直角三角形，点在边上，，，，线段与线段交于点，连接． （1）若，则线段 ； （2）若线段时，则线段 ． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江西宜春·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，则． （1）【初步感知】 如图1，根据以上条件，容易发现与的数量关系为：_____． （2）【类比解答】 如图2，在中，是的角平分线，于，若，，通过上述构造全等的方法，可求得的度数为_____． （3）【拓展应用】 如图3，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）（1）如图1，中，，，的平分线交于点，过点作交，于点，．图中有_______个等腰三角形，猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有_____________个等腰三角形；猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作交于，交于．则与，间的数量关系是___________． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·河北张家口·期末）综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． （1）如图，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：________；线段和的数量关系是________； 【探究】 （2）如图，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ① ②； 【拓展】 （3）如图，在与中，，，且，若，，连接，，，当，，在同一条直线上，直接写出的面积； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $