3.4 一元一次不等式的应用 同步讲义 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

3.4 一元一次不等式的应用 内 容 导 航 题型1 由实际问题抽象出一元一次不等式 题型2 一元一次不等式的应用 考 点 演 练 题型1 由实际问题抽象出一元一次不等式 解｜题｜知｜识 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 【典例1】把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式9x+7＜11x，则横线上的信息可以是（　　） A．每人分7本，则可多分9个人 B．每人分7本，则剩余9本 C．每人分9本，则剩余7本 D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本 【变式1】某次数学竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答均扣5分．若得分不低于150分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（　　） A．10x﹣5（20﹣x）≥150 B．10x﹣5（20﹣x）≤150 C．10x﹣5（20﹣x）＞150 D．10x﹣5（20﹣x）＜150 【变式2】一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3，前两天一共完成了120m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务．问：后6天内平均每天至少要挖土多少立方米？若设后6天内平均每天要挖土xm3，根据题意可列不等式为（　　） A．120+6x≥600 B．120+6x≤600 C．120+6x＞600 D．120+6x＜600 【变式3】小明准备用零花钱购买一个学生VR眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱x个月，下列符合题意的不等式为（　　） A．25x+60≥480 B．25x﹣60≥480 C．25x+60≤480 D．25x﹣60≤480 题型2 一元一次不等式的应用 解｜题｜知｜识 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【典例1】小益同学用100元钱去购买矿泉水和可乐共30瓶，已知矿泉水每瓶2元，可乐每瓶5元，则小益同学最多能买可乐　 　 瓶． 【变式1】某种商品进价为700元，标价为1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，则至多可以打 　 　 折． 【变式2】一部电梯的额定限载量为1000kg，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙的体重分别为70kg和80kg，货物每箱质量为40kg，两人一起乘梯，则每次最多搬运　 　 箱货物． 【变式3】某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分，则应该至少答对 　 　 道题． 过 关 验 收 1．语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（　　） A．x≤5 B．x≥5 C．5 D．x＝5 2．用不等式表示“x+1是负数”： 　 ． 3．x减去y不大于﹣5，用不等式表示为 　 ． 4．用不等式表示：x与5的差小于x的2倍： ． 5．“x的7倍减去1是正数”用不等式表示为　 　 ． 6.“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 7．“x与7的和大于2”用不等式表示为 　 ． 8．一件商品的成本是30元，如果按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润．设这件商品的原价为x元，那么可以列出不等式　 　 ． 9．“2x与7的和是负数”用不等式表示为 ． 10．用不等式表示“线上学习期间，每天体育运动时间超过1小时”，设每天的体育运动时间为x小时，所列不等式为 　 ． 11．八年级师生共245人乘车外出春游，如果每辆旅游车可乘42人，那么至少需要旅游车　　 辆． 12．甲、乙两队进行篮球对抗赛，每场比赛都要分出胜负，比赛规定每队胜1场得3分，负1场扣1分，两队一共比赛了10场，若甲队得分不低于14分，则甲队至少要胜 　 　 场． 13．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于88？”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是 　 ． 14．某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有A型、B型两种客车，它们的载客量和日租金如表： 车型 车辆数/辆 每辆租金/元 租金/元 A型客车 x 1250 　 B型客车 　 1000 　 　 学校根据实际情况，计划租用A，B型客车共8辆．设租用A型客车x辆，回答下列问题： （1）用含x的代数式完成上表； （2）若要保证租车费用不超过9000元，最多租用A型客车多少辆？ 15．某个体户经营榨油厂，主要加工出售菜籽油和芝麻油．某饭店在该油厂采购这两种油，若购买30桶菜籽油和20桶芝麻油共需要4600元，购买10桶菜籽油和50桶芝麻油共需要5000元． （1）求菜籽油和芝麻油每桶的售价； （2）该饭店计划购买菜籽油和芝麻油共100桶，预算总费用不超过9200元，求菜籽油最多购买多少桶？ 16．社团活动中，班级有一半的学生在阅读，的学生在看电影，的学生在踢足球，还剩下不足8人在唱歌，问本班共有多少人？ 17．商场准备购进甲、乙两种商品，若购进甲商品80个，乙商品40个，需要800元；若购进甲商品50个，乙商品30个，需要550元． （1）求商场购进甲、乙两种商品每个需要多少元？ （2）商场准备1000元全部用来购进甲、乙两种商品，设购进乙种商品a个，则购进甲种商品　 　 个（用含a的代数式表示）；计划销售每个甲种商品可获利润4元，销售每个乙种商品可获利润5元，销售这两种商品的总利润不低于590元，那么商场最多购进乙种商品多少个？ 18．某班级组织的社会实践活动“我是夜市小摊主”，分成甲乙丙三组开展活动．三个小组均购买A．B两种款式的文创用品，其中甲乙两组购买记录如下表． 组别 A型文创用品 B型文创用品（件） 合计金额（元） 甲 20 25 800 乙 10 20 550 （1）求A，B两种型号文创用品的单价． （2）丙小组计划购买A，B两种型号的文创用品共40件，预算不超过725元，则B型文创用品最多可以购买几件？ 19．在爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.015m/s，人跑开的速度是3m/s，那么要使点导火索的施工人员在点火后能够跑到100m以外（包括100m）的安全地区，这根导火索的长度至少应取多少米？ 20．如图，这是某电影院的价目表．某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料．如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 21．“春节一一中国人庆祝传统新年的社会实践”于2024年12月4日正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．为弘扬中华传统文化，在综合实践课上，老师计划组织学生编织A、B两款中国结.3个A款中国结比2个B款中国结多用绳12米，若编织1个A款中国结和2个B款中国结需用绳20米． （1）求编织1个A款中国结和1个B款中国结各需用绳多少米； （2）老师计划编织这两款中国结共30个，向学校申请了200米绳子，那么最多能编织多少个A款中国结？ 22．为了更好治理南宁市南湖公园水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表；经调查，购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少3万元． A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 250 150 （1）求a，b的值； （2）经预算，市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元．你认为该公司有哪几种购买方案； （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理南湖公园的污水量不低于1680吨，为了节约资金，请你为市治污公司设计一种最省钱的购买方案． 23．综合与实践． 如图，用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个形状大小完全相同的长方形侧面和2个大小相等的等边三角形底面组成．硬纸板按如图所示的两种方法裁剪，A方法：将一个正方形纸板分成6个形状大小完全相同的长方形；B方法：将一个正方形纸板分成4个形状大小完全相同的长方形（与A方法分成的长方形形状大小也相同），和5个大小相等的等边三角形（裁剪后边角料不再利用）．现有10张硬纸板，裁剪时，x张用A方法，剩余的用B方法． （1）用含x的式子表示裁剪出的侧面的总个数为 　 　 ，底面的总个数为 　 ．（直接写出答案） （2）若x＝4时，最多能做多少个三棱柱盒子？ 24．某花店准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要900元；若购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要960元． （1）求购进甲、乙两种花卉每盆各需多少元？ （2）该花店购进甲，乙两种花卉共100盆，甲种花卉每盆售价20元，乙种花卉每盆售价16元，现该花店把100盆花卉全部售出，若获利超过480元，则至少购进甲种花卉多少盆？ 25．某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元． （1）求该车间的日废水处理量m； （2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围． 26．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元，购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进50个这两种型号的头盔，总费用不超过2550元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 27．南宁市某商场为了迎接618购物节，采购了若干辆购物车 信息1 购物车的示意图如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图2所示.3辆购物车叠放形成的购物车列长度为1.6米. 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，其中手扶电梯总长18米．为安全起见，规定手扶电梯一次只能转运1列购物车，并且购物车列长度不能超过电梯总长度的． 信息3 使用手扶电梯转运一次的时间为2.5分钟，直立电梯转运一次的时间为1.5分钟. 请根据以上信息，完成下列问题： （1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为l米，则l＝　 　 ；（用含n的代数式表示） （2）该商场的手扶电梯一次最多能转运多少辆购物车？ （3）若手扶电梯每次转运购物车的数量为第（2）问所求结果，直立电梯每次转运20辆购物车，商场有110辆购物车需要转运． ①至少使用多少次电梯？现需同时使用两种电梯转运购物车，当电梯使用次数最少时，共有几种使用电梯的 分配方案？ ②为了方便顾客购物，商场要求工作人员转运购物车的时间不超过10分钟．在①的条件下，工作人员能否在 限定的时间内完成任务？请通过计算说明． 28． 背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的亚运盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款亚运盲盒、10个B款亚运盲盒，共需230元；若买25个A款亚运盲盒、25个B款亚运盲盒，共需450元． 素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 某商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？ 任务2 小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0＜m＜40）， 若在线下商店购买，共需要 　 　 元； 若在线上淘宝店购买，共需要 　 　 元．（均用含m的代数式表示） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 29．广西米粉以其独特的风味远近闻名，其做工考究，将上好大米磨成浆，装袋滤干，揣成粉团煮熟后压榨成圆根或片状即成．某米粉加工厂员工张师傅负责加工A，B两款米粉，加工A款米粉10箱，B款米粉15箱，共需时间425分钟；加工A款米粉20箱，B款米粉25箱，共需时间775分钟． （1）张师傅加工一箱A款米粉和一箱B款米粉分别需要多少分钟？ （2）张师傅每天工作8个小时，每月工作25天．如果张师傅今年三月份共加工A款米粉a箱（a为正整数），已知每加工一箱A款米粉可得1.5元，每加工一箱B款米粉可得3元．若张师傅三月份的工资不少于2000元，求a的最大值． 30．在中俄贸易博览会前，哈市某展览馆为更好地适应会展需求，对部分展馆地面进行了升级改造，已知该展馆地面为长40米，宽30米的长方形，现计划将其分成两个展览区，其余部分为等宽的通道，设通道的宽度为x米． （1）求两个展览区的总面积为多少平方米？（请用含x的式子表示） （2）工程负责人准备用A、B两种彩砖铺设展览区的地面，用防滑材料铺设通道，经市场调查发现，铺设展览区若用A种彩砖每平方米需要90元，若用B种彩砖每平方米需要60元，当x＝4时，若铺设展览区的总费用不超过45540元，求最多购买多少平方米A种彩砖？ 31．某中学决定增设乒乓球、羽毛球两门选修课程，需要购进一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元． （1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ （2）已知该中学需要购买两种球拍共80副，所花费用不超过4340元，则可购买的羽毛球拍最多是几副？ 32．某市自来水公司按下列标准收取水费：若某用户某月用水量不超过10m3，则每立方米收费1.5元；若超过10m3，则超过部分每立方米收费2元．如果某用户2月份的水费不少于25元，那么该用户2月份用水量至少是多少立方米？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 一元一次不等式的应用 内 容 导 航 题型1 由实际问题抽象出一元一次不等式 题型2 一元一次不等式的应用 考 点 演 练 题型1 由实际问题抽象出一元一次不等式 解｜题｜知｜识 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 【典例1】把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式9x+7＜11x，则横线上的信息可以是（　　） A．每人分7本，则可多分9个人 B．每人分7本，则剩余9本 C．每人分9本，则剩余7本 D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本 【答案】C 【解答】解：由不等式9x+7＜11x，可得：把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人分11本，则不够； 故选：C． 【变式1】某次数学竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答均扣5分．若得分不低于150分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（　　） A．10x﹣5（20﹣x）≥150 B．10x﹣5（20﹣x）≤150 C．10x﹣5（20﹣x）＞150 D．10x﹣5（20﹣x）＜150 【答案】A 【解答】解：设答对x道题， 总得分 ＝10x﹣5（20﹣x）， 由题意可得：10x﹣5（20﹣x）≥150． 故选：A． 【变式2】一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3，前两天一共完成了120m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务．问：后6天内平均每天至少要挖土多少立方米？若设后6天内平均每天要挖土xm3，根据题意可列不等式为（　　） A．120+6x≥600 B．120+6x≤600 C．120+6x＞600 D．120+6x＜600 【答案】A 【解答】解：设后6天内平均每天要挖土xm3， 由题意得：120+6x≥600， 故选：A． 【变式3】小明准备用零花钱购买一个学生VR眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元．他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱x个月，下列符合题意的不等式为（　　） A．25x+60≥480 B．25x﹣60≥480 C．25x+60≤480 D．25x﹣60≤480 【答案】A 【解答】解：由题意知，已存的60元与x个月存的钱之和大于等于480元， 因此25x+60≥480， 故选：A． 题型2 一元一次不等式的应用 解｜题｜知｜识 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【典例1】小益同学用100元钱去购买矿泉水和可乐共30瓶，已知矿泉水每瓶2元，可乐每瓶5元，则小益同学最多能买可乐　13　 瓶． 【答案】13． 【解答】解：设可乐x瓶，矿泉水为（30﹣x）瓶，则根据题意得： 根据题意得：5x+2（30﹣x）≤100． 解得：， 小益同学最多能买可乐13瓶， 故答案为：13． 【变式1】某种商品进价为700元，标价为1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，则至多可以打 　7　 折． 【答案】7 【解答】解：设该商品打x折出售， 由题意得，， 解得x≥7， ∴至多可以打7折， 故答案为：7． 【变式2】一部电梯的额定限载量为1000kg，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙的体重分别为70kg和80kg，货物每箱质量为40kg，两人一起乘梯，则每次最多搬运　21　 箱货物． 【答案】21． 【解答】解：设每次搬运x箱货物， 则总重量为（70+80+40x）kg＝（150+40x）kg， 根据限载量，有不等式150+40x≤1000， ∴x≤21.25， ∵x为整数，故x最大值为21， 答：两人一起乘梯，则每次最多搬运21箱货物． 故答案为：21． 【变式3】某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分，则应该至少答对 　13　 道题． 【答案】13． 【解答】解：设答对x道题，则答错或不答（30﹣x）道题， 由题意可知，10x﹣3（30﹣x）≥70， 整理得，13x≥160， 解得， ∵x为正整数， ∴x最小为13， 即要使总得分不少于7（0分）则应该至少答对13道题， 答：要使总得分不少于7（0分）则应该至少答对13道题， 故答案为：13． 过 关 验 收 1．语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（　　） A．x≤5 B．x≥5 C．5 D．x＝5 【答案】A 【解答】解：“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5． 故选：A． 2．用不等式表示“x+1是负数”：x+1＜0　 ． 【答案】x+1＜0 【解答】解：x+1＜0． 故答案为：x+1＜0． 3．x减去y不大于﹣5，用不等式表示为 x﹣y≤﹣5　 ． 【答案】x﹣y≤﹣5． 【解答】解：根据题意得：x﹣y≤﹣5． 故答案为：x﹣y≤﹣5． 4．用不等式表示：x与5的差小于x的2倍：x﹣5＜2x ． 【答案】x﹣5＜2x 【解答】解：根据题意可得x﹣5＜2x， 故答案为：x﹣5＜2x． 5．“x的7倍减去1是正数”用不等式表示为　7x﹣1＞0　 ． 【答案】7x﹣1＞0 【解答】解：“x的7倍减去1是正数”用不等式表示为7x﹣1＞0， 故答案为：7x﹣1＞0． 6.“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 x﹣5≥3x ． 【答案】x﹣5≥3x 【解答】解：“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为x﹣5≥3x， 故答案为：x﹣5≥3x． 7．“x与7的和大于2”用不等式表示为 x+7＞2　 ． 【答案】x+7＞2． 【解答】解：“x与7的和大于2”用不等式表示为x+7＞2， 故答案为：x+7＞2． 8．一件商品的成本是30元，如果按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润．设这件商品的原价为x元，那么可以列出不等式　0.88x﹣30≥30×10%　 ． 【答案】0.88x﹣30≥30×10%． 【解答】解：根据利润等于原价乘以折扣再减去进价可得：0.88x﹣30≥30×10%， 故答案为：0.88x﹣30≥30×10%． 9．“2x与7的和是负数”用不等式表示为 　2x+7＜0　 ． 【答案】2x+7＜0 【解答】解：“2x与7的和是负数”用不等式表示为2x+7＜0， 故答案为：2x+7＜0． 10．用不等式表示“线上学习期间，每天体育运动时间超过1小时”，设每天的体育运动时间为x小时，所列不等式为 x＞1　 ． 【答案】x＞1． 【解答】解：由题意得x＞1． 故答案为：x＞1． 11．八年级师生共245人乘车外出春游，如果每辆旅游车可乘42人，那么至少需要旅游车　6　 辆． 【答案】6． 【解答】解：设需要旅游车x辆， 由题意得，42x≥245， 解得， ∵x为正整数， ∴至少需要旅游车6辆， 故答案为：6． 12．甲、乙两队进行篮球对抗赛，每场比赛都要分出胜负，比赛规定每队胜1场得3分，负1场扣1分，两队一共比赛了10场，若甲队得分不低于14分，则甲队至少要胜 　6　 场． 【答案】6 【解答】解：设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场， 由题意得，3x﹣（10﹣x）≥14， 解得：x≥6， 即甲队至少胜了6场． 故答案为：6． 13．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于88？”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是x＞49　 ． 【答案】x＞49 【解答】解：第一次的结果为：2x﹣10，没有输出，则 2x﹣10＞88， 解得：x＞49． 故x的取值范围是x＞49． 故答案为：x＞49 14．某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有A型、B型两种客车，它们的载客量和日租金如表： 车型 车辆数/辆 每辆租金/元 租金/元 A型客车 x 1250 　1250x B型客车 　8﹣x 1000 　1000（8﹣x）　 学校根据实际情况，计划租用A，B型客车共8辆．设租用A型客车x辆，回答下列问题： （1）用含x的代数式完成上表； （2）若要保证租车费用不超过9000元，最多租用A型客车多少辆？ 【答案】（1）8﹣x，1250x，1000（8﹣x）； （2）最多租用A型客车4辆． 【解答】解：（1）设租用A型客车x辆，则租用B型客车（8﹣x）辆， ∵每辆A型客车的租金为1250元，每辆B型客车的租金为1000元， ∴租用A型客车的总租金为1250x元，租用B型客车的总租金为1000（8﹣x）元． 故答案为：8﹣x，1250x，1000（8﹣x）； （2）根据题意得：1250x+1000（8﹣x）≤9000， 解得：x≤4， ∴x的最大值为4． 答：最多租用A型客车4辆． 15．某个体户经营榨油厂，主要加工出售菜籽油和芝麻油．某饭店在该油厂采购这两种油，若购买30桶菜籽油和20桶芝麻油共需要4600元，购买10桶菜籽油和50桶芝麻油共需要5000元． （1）求菜籽油和芝麻油每桶的售价； （2）该饭店计划购买菜籽油和芝麻油共100桶，预算总费用不超过9200元，求菜籽油最多购买多少桶？ 【答案】（1）菜籽油每桶售价为100元，芝麻油每桶售价为80元； （2）60桶． 【解答】解：（1）设菜籽油每桶售价x元，芝麻油每桶售价y元， 根据题意，得， 解得， 答：菜籽油每桶售价为100元，芝麻油每桶售价为80元； （2）设购买菜籽油m桶，则购买芝麻油（100﹣m）桶． 根据题意，得100m+80（100﹣m）≤9200， 解得m≤60， 答：菜籽油最多购买60桶． 16．社团活动中，班级有一半的学生在阅读，的学生在看电影，的学生在踢足球，还剩下不足8人在唱歌，问本班共有多少人？ 【答案】本班共有44人． 【解答】解：设本班共有x人， 根据题意得：xxxx≤8， 解得：x， 又∵x，x，x均为正整数， ∴x＝44． 答：本班共有44人． 17．商场准备购进甲、乙两种商品，若购进甲商品80个，乙商品40个，需要800元；若购进甲商品50个，乙商品30个，需要550元． （1）求商场购进甲、乙两种商品每个需要多少元？ （2）商场准备1000元全部用来购进甲、乙两种商品，设购进乙种商品a个，则购进甲种商品　（200﹣2a）　 个（用含a的代数式表示）；计划销售每个甲种商品可获利润4元，销售每个乙种商品可获利润5元，销售这两种商品的总利润不低于590元，那么商场最多购进乙种商品多少个？ 【答案】（1）商场购进甲种商品每个需要5元，乙种商品每个需要10元； （2）（200﹣2a）；商场最多购进乙种商品70个． 【解答】解：（1）设购进甲种商品每个需要x元，乙种商品每个需要y元， 根据题意列二元一次方程组得，， 解得， 即商场购进甲种商品每个需要5元，乙种商品每个需要10元， 答：商场购进甲种商品每个需要5元，乙种商品每个需要10元； （2）设购进乙种商品a个， 则购进甲种商品（个）； ∴a≥0，200﹣2a≥0， ∴0≤a≤100， 根据题意列一元一次不等式得，4（200﹣2a）+5a≥590， 整理得，3a≤210， 解得a≤70， ∵a是整数， ∴a的最大值为70， 答：商场最多购进乙种商品70个， 故答案为：（200﹣2a）． 18．某班级组织的社会实践活动“我是夜市小摊主”，分成甲乙丙三组开展活动．三个小组均购买A．B两种款式的文创用品，其中甲乙两组购买记录如下表． 组别 A型文创用品 B型文创用品（件） 合计金额（元） 甲 20 25 800 乙 10 20 550 （1）求A，B两种型号文创用品的单价． （2）丙小组计划购买A，B两种型号的文创用品共40件，预算不超过725元，则B型文创用品最多可以购买几件？ 【答案】（1）A型文创用品的单价是15元，B型文创用品的单价是20元； （2）B型文创用品最多可以购买25件． 【解答】解：（1）设A型文创用品的单价是x元，B型文创用品的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型文创用品的单价是15元，B型文创用品的单价是20元； （2）设购买m件B型文创用品，则购买（40﹣m）件A型文创用品， 根据题意得：15（40﹣m）+20m≤725， 解得：m≤25， ∴m的最大值为25． 答：B型文创用品最多可以购买25件． 19．在爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.015m/s，人跑开的速度是3m/s，那么要使点导火索的施工人员在点火后能够跑到100m以外（包括100m）的安全地区，这根导火索的长度至少应取多少米？ 【答案】见试题解答内容 【解答】设导火索的长为xm， 由题意得：，x≥0.5 答：这根导火索的长度至少应取0.5m． 20．如图，这是某电影院的价目表．某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料．如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 【答案】最多可买4盒爆米花． 【解答】解：设可以买x盒爆米花， 根据题意得：80×16+30x+16（16﹣x）≤1600， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为4． 答：最多可买4盒爆米花． 21．“春节一一中国人庆祝传统新年的社会实践”于2024年12月4日正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．为弘扬中华传统文化，在综合实践课上，老师计划组织学生编织A、B两款中国结.3个A款中国结比2个B款中国结多用绳12米，若编织1个A款中国结和2个B款中国结需用绳20米． （1）求编织1个A款中国结和1个B款中国结各需用绳多少米； （2）老师计划编织这两款中国结共30个，向学校申请了200米绳子，那么最多能编织多少个A款中国结？ 【答案】（1）编织1个A款中国结需用8米，编织1个B款中国结需用6米； （2）最多能编织10个A款中国结． 【解答】解：（1）设编织1个A款中国结需用a米，编织1个B款中国结需用b米， 由题意可得：， 解得， 答：编织1个A款中国结需用8米，编织1个B款中国结需用6米； （2）设编织了x个A款中国结，则编织了（30﹣x）个B款中国结， 8x+6（30﹣x）≤200， 解得x≤10， 答：最多能编织10个A款中国结． 22．为了更好治理南宁市南湖公园水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表；经调查，购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少3万元． A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 250 150 （1）求a，b的值； （2）经预算，市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元．你认为该公司有哪几种购买方案； （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理南湖公园的污水量不低于1680吨，为了节约资金，请你为市治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【答案】（1）a的值为12，b的值为9； （2）该公司共有四种购买方案， 方案1：购买B型设备10台； 方案2：购买A型设备1台，B型设备9台； 方案3：购买A型设备2台，B型设备8台； 方案4：购买A型设备3台，B型设备7台； （3）为了节约资金，应购买A型设备2台，B型设备8台． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：． 答：a的值为12，b的值为9； （2）设购买A型设备x台，则购买B型设备（10﹣x）台， 根据题意得：12x+9（10﹣x）≤100， ∴， ∵x取非负整数， ∴x可以为0，1，2，3， ∴该公司共有四种购买方案， 方案1：购买B型设备10台； 方案2：购买A型设备1台，B型设备9台； 方案3：购买A型设备2台，B型设备8台； 方案4：购买A型设备3台，B型设备7台； （3）根据题意得：250x+150（10﹣x）≥1680， ∴x≥1.8， 又∵，且x为非负整数， ∴x可以为2，3， 当x＝2时，购买资金为12×2+9×8＝96（万元）， 当x＝3时，购买资金为12×3+9×7＝99（万元）， ∵96＜99， ∴为了节约资金，应购买A型设备2台，B型设备8台． 23．综合与实践． 如图，用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个形状大小完全相同的长方形侧面和2个大小相等的等边三角形底面组成．硬纸板按如图所示的两种方法裁剪，A方法：将一个正方形纸板分成6个形状大小完全相同的长方形；B方法：将一个正方形纸板分成4个形状大小完全相同的长方形（与A方法分成的长方形形状大小也相同），和5个大小相等的等边三角形（裁剪后边角料不再利用）．现有10张硬纸板，裁剪时，x张用A方法，剩余的用B方法． （1）用含x的式子表示裁剪出的侧面的总个数为 　2x+40　 ，底面的总个数为 　50﹣5x ．（直接写出答案） （2）若x＝4时，最多能做多少个三棱柱盒子？ 【答案】（1）2x+40，50﹣5x； （2）最多能做15个三棱柱盒子． 【解答】解：（1）6x+4（10﹣x）＝2x+40，5（10﹣x）＝50﹣5x， 故答案为：2x+40，50﹣5x； （2）当x＝4时，2x+40＝48，50﹣5x＝30； 设能做y个盒子， 则：， 解得：y≤15， y的最大值为15， 答：最多能做15个三棱柱盒子． 24．某花店准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要900元；若购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要960元． （1）求购进甲、乙两种花卉每盆各需多少元？ （2）该花店购进甲，乙两种花卉共100盆，甲种花卉每盆售价20元，乙种花卉每盆售价16元，现该花店把100盆花卉全部售出，若获利超过480元，则至少购进甲种花卉多少盆？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设购进甲种花卉每盆x元，购进乙种花卉每盆y元 解得， 答：购进甲种花卉每盆15元，购进乙种花卉每盆12元； （2）设购进甲种花卉a盆，则购进乙种花卉（100﹣a）盆 依题意，得（20﹣15）a+（16﹣12）（100﹣a）＞480． 解得a＞80． ∵a为整数∴a的最小整数值为81． ∴至少购进甲种花卉81盆． 25．某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元． （1）求该车间的日废水处理量m； （2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵35×8+30＝310（元），310＜370， ∴m＜35． 依题意，得：30+8m+12（35﹣m）＝370， 解得：m＝20． 答：该车间的日废水处理量为20吨． （2）设一天产生工业废水x吨， 当0＜x≤20时，8x+30≤10x， 解得：15≤x≤20； 当x＞20时，12（x﹣20）+8×20+30≤10x， 解得：20＜x≤25． 综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤25． 26．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元，购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进50个这两种型号的头盔，总费用不超过2550元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）购进1个甲型头盔需要30元，1个乙型头盔需要65元； （2）最多可购进乙型头盔30个； （3）能实现利润不少于1540元的目标，该商场共有3种采购方案： 方案1：购进甲型头盔22个，乙型头盔28个； 方案2：购进甲型头盔21个，乙型头盔29个； 方案3：购进甲型头盔20个，乙型头盔30个． 【解答】解：（1）设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进1个甲型头盔需要30元，1个乙型头盔需要65元； （2）设购进乙型头盔m个，则购进甲型头盔（50﹣m）个， 根据题意得：30（50﹣m）+65m≤2550， 解得：m≤30， ∴m的最大值为30． 答：最多可购进乙型头盔30个； （3）根据题意得：（98﹣65）m+（58﹣30）（50﹣m）≥1540， 解得：m≥28， 又∵m≤30，且m为正整数， ∴m可取28，29，30， ∴能实现利润不少于1540元的目标，该商场共有3种采购方案： 方案1：购进甲型头盔22个，乙型头盔28个； 方案2：购进甲型头盔21个，乙型头盔29个； 方案3：购进甲型头盔20个，乙型头盔30个． 27．南宁市某商场为了迎接618购物节，采购了若干辆购物车 信息1 购物车的示意图如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图2所示.3辆购物车叠放形成的购物车列长度为1.6米. 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，其中手扶电梯总长18米．为安全起见，规定手扶电梯一次只能转运1列购物车，并且购物车列长度不能超过电梯总长度的． 信息3 使用手扶电梯转运一次的时间为2.5分钟，直立电梯转运一次的时间为1.5分钟. 请根据以上信息，完成下列问题： （1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为l米，则l＝　0.2n+1　 ；（用含n的代数式表示） （2）该商场的手扶电梯一次最多能转运多少辆购物车？ （3）若手扶电梯每次转运购物车的数量为第（2）问所求结果，直立电梯每次转运20辆购物车，商场有110辆购物车需要转运． ①至少使用多少次电梯？现需同时使用两种电梯转运购物车，当电梯使用次数最少时，共有几种使用电梯的 分配方案？ ②为了方便顾客购物，商场要求工作人员转运购物车的时间不超过10分钟．在①的条件下，工作人员能否在 限定的时间内完成任务？请通过计算说明． 【答案】（1）l＝0.2n+1； （2）该商场的手扶电梯一次最多能转运25辆购物车； （3）①至少使用5次电梯，当电梯使用次数最少时，有1种使用电梯的分配方案； ②工作人员能在限定的时间内完成任务． 【解答】解：（1）求n辆购物车叠放时购物车列的长度l（用含n的代数式表示）观察可知，1辆购物车单独放置时，长度为1+0.2＝1.2米． 当有n辆购物车叠放时，除了第一辆购物车是1.2米，从第二辆开始，每多一辆车，增加0.2米的长度．所以n辆购物车叠放时，购物车列的长度l＝0.2（n﹣1）+1.2． 化简得l＝0.2n+1， 故答案为：0.2n+1； （2）已知手扶电梯总长18米，规定购物车列长度不能超过电梯总长度的，则购物车列的最大长度为186米． 把l＝6代入l＝0.2n+1中， 得0.2n+1＝6． 解得n＝25，一次最多能运转25辆购物车； （3）①设使用手扶电梯x次，使用直立电梯y次．手扶电梯每次转运25辆购物车，直立电梯每次转运20辆购物车，商场有110辆购物车需要转运， 则可列方程25x+20y＝110， 得y， 因为x，y均为非负整数， 所以对x进行取值讨论： 当x＝0时，y＝5.5，不符合要求． 当x＝1时，y＝4.25，不符合要求． 当x＝2时，y＝3．符合要求． 当x＝3时，y＝1.75，不符合要求． 当x＝4时，y＝0.5，不符合要求． 当x≥5时，25x＞110，不符合要求． 所以至少使用电梯的次数为x+y＝2+3＝5次． 当电梯使用次数最少时， 即x＝2，y＝3， 只有1种使用电梯的分配方案； ②已知使用手扶电梯转运一次的时间为2.5分钟，使用直立电梯转运一次的时间为1.5分钟． 当x＝2，y＝3时，转运购物车的总时间为2.5×2+1.5×3＝9.5， 因为9.5＜10， 所以工作人员能在限定的时间内完成任务． 28． 背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的亚运盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款亚运盲盒、10个B款亚运盲盒，共需230元；若买25个A款亚运盲盒、25个B款亚运盲盒，共需450元． 素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 某商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？ 任务2 小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0＜m＜40）， 若在线下商店购买，共需要 　（1.6m+291）　 元； 若在线上淘宝店购买，共需要 　（1.8m+288）　 元．（均用含m的代数式表示） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【答案】（任务1）该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是10元，B款亚运盲盒的销售单价是8元； （任务2）（1.6m+291），（1.8m+288）； （任务3）当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 【解答】解：（任务1）设该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是x元，B款亚运盲盒的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是10元，B款亚运盲盒的销售单价是8元； （任务2）根据题意得：在线下商店购买，共需要35+10×0.8m+8×0.8（40﹣m）＝（1.6m+291）（元）； 在线上淘宝店购买，共需要10×0.9m+8×0.9（40﹣m）＝（1.8m+288）（元）． 故答案为：（1.6m+291），（1.8m+288）； （任务3）根据题意得：1.6m+291＜1.8m+288， 解得：m＞15， 又∵0＜m＜40， ∴15＜m＜40． 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 29．广西米粉以其独特的风味远近闻名，其做工考究，将上好大米磨成浆，装袋滤干，揣成粉团煮熟后压榨成圆根或片状即成．某米粉加工厂员工张师傅负责加工A，B两款米粉，加工A款米粉10箱，B款米粉15箱，共需时间425分钟；加工A款米粉20箱，B款米粉25箱，共需时间775分钟． （1）张师傅加工一箱A款米粉和一箱B款米粉分别需要多少分钟？ （2）张师傅每天工作8个小时，每月工作25天．如果张师傅今年三月份共加工A款米粉a箱（a为正整数），已知每加工一箱A款米粉可得1.5元，每加工一箱B款米粉可得3元．若张师傅三月份的工资不少于2000元，求a的最大值． 【答案】（1）张师傅加工一箱A款米粉需要20分钟，B款米粉需要15分钟； （2）a的最大值为160． 【解答】解：（1）设张师傅加工一箱A款米粉需要x分钟，B款米粉需要y分钟， 根据题意得：， 解得：． 答：张师傅加工一箱A款米粉需要20分钟，B款米粉需要15分钟； （2）∵张师傅今年三月份共加工A款米粉a箱（a为正整数）， ∴张师傅今年三月份共加工B款米粉箱． 根据题意得：1.5a+32000， 解得：a≤160， ∴a的最大值为160． 答：a的最大值为160． 30．在中俄贸易博览会前，哈市某展览馆为更好地适应会展需求，对部分展馆地面进行了升级改造，已知该展馆地面为长40米，宽30米的长方形，现计划将其分成两个展览区，其余部分为等宽的通道，设通道的宽度为x米． （1）求两个展览区的总面积为多少平方米？（请用含x的式子表示） （2）工程负责人准备用A、B两种彩砖铺设展览区的地面，用防滑材料铺设通道，经市场调查发现，铺设展览区若用A种彩砖每平方米需要90元，若用B种彩砖每平方米需要60元，当x＝4时，若铺设展览区的总费用不超过45540元，求最多购买多少平方米A种彩砖？ 【答案】（1）两个展览区的总面积为（6x2﹣180x+1200）平方米； （2）最多购买366平方米A种彩砖． 【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则展览区的长为（40﹣2x）米，宽为（30﹣3x）米， ∴（40﹣2x）（30﹣3x）＝1200﹣180x+6x2＝（6x2﹣180x+1200）（平方米）， 答：两个展览区的总面积为（6x2﹣180x+1200）平方米； （2）当x＝4时，展览区的总面积为6×42﹣180×4+1200＝576（平方米）， 设购买m平方米A种彩砖，则购买（576﹣m）平方米B种彩砖， 由题意得：90m+60（576﹣m）≤45540， 解得：m≤366， 答：最多购买366平方米A种彩砖． 31．某中学决定增设乒乓球、羽毛球两门选修课程，需要购进一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元． （1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ （2）已知该中学需要购买两种球拍共80副，所花费用不超过4340元，则可购买的羽毛球拍最多是几副？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设购买一副乒乓球拍需要x元，一副羽毛球需要y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买一副乒乓球拍需要35元，一副羽毛球需要70元； （2）设购买m副羽毛球拍，则购买（80﹣m）副乒乓球拍， 根据题意得：35（80﹣m）+70m≤4340， 解得：m≤44， ∴m的最大值为44． 答：可购买的羽毛球拍最多是44副． 32．某市自来水公司按下列标准收取水费：若某用户某月用水量不超过10m3，则每立方米收费1.5元；若超过10m3，则超过部分每立方米收费2元．如果某用户2月份的水费不少于25元，那么该用户2月份用水量至少是多少立方米？ 【答案】15立方米． 【解答】解：设该用户2月份用水量为x立方米， 由题意得，1.5×10+2（x﹣10）≥25， 解得x≥15， 答：该用户2月份用水量至少是15立方米． 学科网（北京）股份有限公司 $