专题12一元一次不等式组精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦一元一次不等式组核心知识点，系统梳理从定义（含未知数统一等判定条件）、解集（公共部分）到解法步骤（解不等式、数轴表示、找公共部分）的脉络，涵盖四种解集类型、整数解、含参问题及实际应用，搭建完整学习支架。 资料特色在于分层设计14种题型（难度★到★★★），通过数轴强化数形结合（如解集表示、含参边界校验），高频考点针对性训练（如整数解漏解、实际应用现实约束），培养抽象能力与推理意识，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题12一元一次不等式组精讲学案 核心立意 理解一元一次不等式组及其解集的定义；掌握解不等式组的规范流程，会借助数轴确定解集；掌握四种基本解集类型；会求不等式组的整数解；掌握含参不等式组与实际应用，渗透数形结合思想。 概念辨析 一元一次不等式组：由同一个未知数的若干个一元一次不等式组成。 判定条件：①均为一元一次不等式；②未知数统一；③不等式数量不少于2个。 不等式组的解集：组内各个不等式解集的公共部分；不存在公共部分时，不等式组无解。解不等式组 解不等式组：求不等式组解集的全过程，叫解不等式组。 解一元一次不等式组标准步骤 ①分别求解每个不等式，得到各自解集； ②在同一数轴上表示全部解集； ③找出数轴上重叠的公共部分； ④写出不等式组的最终解集。 数轴作图规范：含等号画实心圆点，不含等号画空心圆圈。 四种解集规律（设a < b）. 结合数轴与口决总结如下: 不等式的解集的表示方法： ①用不等式表示；②用数轴表示. 高频考点 1. 求整数解：先求解不等式组得到解集，在解集范围内筛选整数，注意端点的取舍。 2. 含参不等式组：已知不等式组解的情况（有解、无解、指定整数解个数），逆向求解参数取值范围；结合数轴分析，重点校验边界能否取等号。 3. 实际应用：审题提取不等关系，设未知数，列出不等式组，求解后结合现实意义取舍解集，规范书写答句。 重点辨析 1. 不等式组解集是各不等式解集的公共部分，并非简单拼接各解集。 2. 口诀只做辅助，数轴是判断解集的核心依据。 3. 含参问题中，边界等号的取舍，必须结合数轴验证。 4. 实际问题的解集，除满足代数条件外，还需符合现实约束。 1. 解不等式时，两边同乘或除以负数，忘记改变不等号方向。 2. 数轴作图混淆实心圆点与空心圆圈，造成解集判断错误。 3. 求解整数解时出现漏解、错取端点数值。 4. 含参不等式组，忽略边界等号的取舍。 5. 实际应用题，忽视人数、长度等现实约束条件。 题型 考察方向 难度 题型一 一元一次不等式组的定义 ★ 题型二 求不等式组的解集 ★★ 题型三 解特殊不等式组 ★★ 题型四 求一元一次不等式组的整数解 ★★ 题型五 由一元一次不等式组的解集求参数 ★★★ 题型六 由不等式组解集的情况求参数 ★★★ 题型七 不等式组和方程组结合的问题 ★★★ 题型八 列一元一次不等式组 ★★ 题型九 不等式组的行程问题 ★★★ 题型十 不等式组的工程问题 ★★★ 题型十一 不等式组的经济问题 ★★★ 题型十二 不等式组的分配问题 ★★★ 题型十三 不等式组的方案选择问题 ★★★ 题型十四 不等式组的阶梯收费问题 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：一元一次不等式组的定义 解题思路：①检验组内每一个不等式均为一元一次不等式；②确认所有不等式含有同一个未知数；③不等式数量不少于2个，全部条件同时满足。 1．如图是青岛市2024年6月6日的天气，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 3．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：求不等式组的解集 解题思路：①分别求解组内各个不等式；②在同一数轴上表示各不等式解集；③找出解集的公共部分；④写出不等式组的最终解集，无公共部分则判定为无解。 4．不等式组的解集为__________． 5．若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．不等式组的解集是________． 7．已知关于的不等式组的最小整数解是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型三：解特殊不等式组 解题思路：①分别求出每个不等式的解集；②在同一数轴表示各解集；③处理含等号、无解等特殊情形；④通过数轴确定公共部分，规范写出解集。 8．定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．设，是正整数，且满足，，则_________． 10．若方程组的解为，则方程组的解为．利用上面的解题经验，解决下面问题：若不等式组的解集为，则不等式组的解集为__________． 题型四：求一元一次不等式组的整数解 解题思路：①求解不等式组得到解集；②在解集范围内筛选全部整数；③校验端点是否可取，剔除不符合条件的数值。 11．不等式组的非负整数解是_________． 12．一元一次不等式组的最大整数解是（　　） A． B．0 C．1 D．2 13．一元一次不等式组的整数解的个数为________． 14．一元一次不等式组有且仅有两个整数解则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型五：由一元一次不等式组的解集求参数 解题思路：①分别解出不等式组中含参数的不等式解集；②对照题目给出的确定解集，建立参数对应的等式或不等式；③借助数轴校验边界等号能否取到；④求解得到参数取值。 15．如果不等式组的解集为，则a的取值范围为__________． 16．关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．若关于的不等式组无解，则的取值范围是____________． 18．不等式的负整数解仅有、、，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型六：由不等式组解集的情况求参数 解题思路：①解出各个不等式的解集；②根据有解、无解、指定整数解个数等条件列出不等式；③利用数轴分析边界，判断等号是否可取；④求出参数的取值范围。 19．关于的不等式组的解集是，则的取值范围是________． 20．已知关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是5，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 21．若关于的不等式有且只有一个解，则的值为_______． 22．如果关于的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对共有（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 题型七：不等式组和方程组结合的问题 解题思路：①解方程组，得到用参数表示的未知数；②将方程组的解代入不等式组；③解不等式组求出参数范围；④检验结果满足全部约束条件。 23．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是____________． 24．若关于x，y的方程组的解满足，则m的取值范围是______． 25．已知实数，满足，且，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型八：列一元一次不等式组 解题思路：①审题提取题目中的不等关系；②设定未知数；③根据题意列出两个及以上不等式；④整理得到一元一次不等式组。 26．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为，则的取值范围是__． 27．实验中学为参加社会实践活动的同学安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，可列不等式组_________________． 28．渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C．D． 题型九：不等式组的行程问题 解题思路：①梳理速度、时间、路程之间的数量关系；②挖掘题干隐含的不等条件；③设未知数，列出一元一次不等式组；④求解解集，结合实际筛选符合题意的结果。 29．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 30．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 31．如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间 （秒）的变化情况如图②所示，例如当 时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计） 请根据上述信息，解决下列问题： (1)甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即 ）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由； (2)乙驾驶汽车在道路上以速度 （米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即 ）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度 的取值范围； (3)对于匀速行驶的汽车，是否存在速度 （米/秒），使得该车在 秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出 的取值范围；若不存在，请说明理由． （说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．） 题型十：不等式组的工程问题 解题思路：①分析工作总量、工作效率、工作时间之间的关系；②提取题目中的不等约束；③设未知数列出不等式组；④求解解集，结合工程实际筛选结果。 32．习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 33．某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． 34．为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 题型十一：不等式组的经济问题 解题思路：①梳理成本、售价、利润等数量关系；②提取题干中的不等条件；③设未知数建立一元一次不等式组；④求解后结合实际筛选合理结果。 35．某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 36．某商店促销优惠，每单消费满元减元．小王在该店铺内已选购了元的商品，为满足优惠条件，又加购了一件元的商品．则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 37．某草原服饰店准备购进一批两种不同款式的蒙古袍，已知购进A款蒙古袍3件和B款蒙古袍4件，共需670元；购进A款蒙古袍2件和B款蒙古袍5件，共需680元．销售一件A款蒙古袍可获利20元，销售一件B款蒙古袍可获利30元． (1)A、B两款蒙古袍的进价每件各是多少元？ (2)若已知购进A款蒙古袍的数量是B款蒙古袍数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且A款蒙古袍不多于28件，则该草原服饰店在这次进货中，共有哪几种方案？ 题型十二：不等式组的分配问题 解题思路：①分析分配对象与分配数量之间的关系；②找出分配过程中的不等关系；③设未知数列出不等式组；④求解，结合人数、物品数量为正整数筛选解。 38．一些书分给若干个小朋友，若每个小朋友分3本，则剩2本；若每个小朋友分4本，则有一个小朋友没分到，且最后一个分到书的小朋友分得的书的数量不足3本．已知小朋友人数是奇数，那么小朋友的人数是________． 39．把若干支钢笔分给班级同学，若每人分支，剩余支；若每人分支，则最后一名同学也分到了钢笔，但钢笔数量不足支．设班级共有名学生，据此列出不等式组为（     ） A． B． C． D． 40．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 题型十三：不等式组的方案选择问题 解题思路：①梳理题干条件，列出一元一次不等式组；②求出不等式组解集；③在解集内找出全部正整数解；④根据整数解得到全部可行方案。 41．为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目．学校计划拿出1200元钱全部用于购买排球和足球（两种都买），已知排球每个80元，足球每个60元，则购买方案有（     ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 42．已知温柑一个要4文钱，绿橘一个要2文钱，匾橘一个只要1文钱．现在拿70文钱买这三种橘子（都买），总共买60个．请根据以上内容计算总共有（    ）种购买方案． A．2 B．3 C．4 D．5 43．为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A，B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元． 材料二：据统计，该社区需购买A，B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的．请根据以上材料，完成下列问题： (1)求A，B两种型号的新型垃圾桶的单价； (2)有哪几种购买方案？ 题型十四：不等式组的阶梯收费问题 解题思路：①读懂阶梯收费分段规则；②划分收费区间，提取对应不等关系；③设未知数列出不等式组；④求解解集，结合收费实际条件确定结果。 44．如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 45．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 46．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 解答题 1．解方程组、解不等式组 (1)解方程组： (2)解不等式组，并求出不等式组的所有整数解的和． 2．已知关于，的方程组的解都为非负数，若，，求的最小值． 3．请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间．对于解集取中间的不等式组（比如：，，，），我们规定其“有限距离”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“有限点”．例如：的“有限距离”，“有限点”为． 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分． (1)不等式组的“有限距离”；“有限点”为___________； (2)若不等式组的“有限距离”，求m的取值范围； (3)若（2）中的不等式组恰有2个“有限点”，直接写出m的取值范围：____________ 4．应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 5．2026年5月24日神舟二十三号载人飞船发射任务圆满成功，七年级（1）班很多同学都是航天爱好者，他们计划采购甲、乙两款神舟二十三号仿真飞船模型用于班级收藏．已知购买1件甲种模型和1件乙种模型共需40元；购买2件甲种模型和3件乙种模型一共花费95元． (1)求甲、乙两种飞船模型的销售单价； (2)班委会决定一共采购两款模型共计15件，且总采购预算低于320元，则最多能购进______________件甲种飞船模型； (3)供货商针对甲模型推出阶梯优惠：采购数量不超过5件按原价销售，采购数量超出5件时，超出部分每件优惠6元，乙模型售价保持不变．若仍一共采购15件模型． ①当购买甲模型为7件时，所花费用需要______________元； ②班委会决定同时购买两种模型，所用资金高于280元且不超过295元．请通过计算说明共有多少种购买方案？ 6．综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动．他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶．（食物的营养成分见表一）学校每天为学生提供的午餐有两种套餐（见表二），为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每位学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过．（一周按五天计算） 表一：食物的营养成分表 食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪 蔬菜 牛肉 牛奶 表二：学校每天提供的，两种套餐 套餐 主食 肉类 其他 A B (1)若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为_________； (2)学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶各多少克； (3)为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择A，B套餐各几天？ 7．端午节期间，某商店决定采购A，B两种型号的纪念品进行销售，若购买A 型纪念品8件，B型纪念品3件，则需95元；若购买A型纪念品5件，B型纪念品6件，则需80元． (1)A，B两种型号的纪念品每件的进价分别是多少元? (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件(两种纪念品都要买)，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过765元，那么该商店共有多少种进货方案? (3)若商家决定A型纪念品售价定为元/件，B型纪念品售价定为元/件，其中，则当a为何值时，上面（2）中的所有方案获利均相同． 8．快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于319元，求他平均每天的送件数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12一元一次不等式组精讲学案 核心立意 理解一元一次不等式组及其解集的定义；掌握解不等式组的规范流程，会借助数轴确定解集；掌握四种基本解集类型；会求不等式组的整数解；掌握含参不等式组与实际应用，渗透数形结合思想。 概念辨析 一元一次不等式组：由同一个未知数的若干个一元一次不等式组成。 判定条件：①均为一元一次不等式；②未知数统一；③不等式数量不少于2个。 不等式组的解集：组内各个不等式解集的公共部分；不存在公共部分时，不等式组无解。解不等式组 解不等式组：求不等式组解集的全过程，叫解不等式组。 解一元一次不等式组标准步骤 ①分别求解每个不等式，得到各自解集； ②在同一数轴上表示全部解集； ③找出数轴上重叠的公共部分； ④写出不等式组的最终解集。 数轴作图规范：含等号画实心圆点，不含等号画空心圆圈。 四种解集规律（设a < b）. 结合数轴与口决总结如下: 不等式的解集的表示方法： ①用不等式表示；②用数轴表示. 高频考点 1. 求整数解：先求解不等式组得到解集，在解集范围内筛选整数，注意端点的取舍。 2. 含参不等式组：已知不等式组解的情况（有解、无解、指定整数解个数），逆向求解参数取值范围；结合数轴分析，重点校验边界能否取等号。 3. 实际应用：审题提取不等关系，设未知数，列出不等式组，求解后结合现实意义取舍解集，规范书写答句。 重点辨析 1. 不等式组解集是各不等式解集的公共部分，并非简单拼接各解集。 2. 口诀只做辅助，数轴是判断解集的核心依据。 3. 含参问题中，边界等号的取舍，必须结合数轴验证。 4. 实际问题的解集，除满足代数条件外，还需符合现实约束。 1. 解不等式时，两边同乘或除以负数，忘记改变不等号方向。 2. 数轴作图混淆实心圆点与空心圆圈，造成解集判断错误。 3. 求解整数解时出现漏解、错取端点数值。 4. 含参不等式组，忽略边界等号的取舍。 5. 实际应用题，忽视人数、长度等现实约束条件。 题型 考察方向 难度 题型一 一元一次不等式组的定义 ★ 题型二 求不等式组的解集 ★★ 题型三 解特殊不等式组 ★★ 题型四 求一元一次不等式组的整数解 ★★ 题型五 由一元一次不等式组的解集求参数 ★★★ 题型六 由不等式组解集的情况求参数 ★★★ 题型七 不等式组和方程组结合的问题 ★★★ 题型八 列一元一次不等式组 ★★ 题型九 不等式组的行程问题 ★★★ 题型十 不等式组的工程问题 ★★★ 题型十一 不等式组的经济问题 ★★★ 题型十二 不等式组的分配问题 ★★★ 题型十三 不等式组的方案选择问题 ★★★ 题型十四 不等式组的阶梯收费问题 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：一元一次不等式组的定义 解题思路：①检验组内每一个不等式均为一元一次不等式；②确认所有不等式含有同一个未知数；③不等式数量不少于2个，全部条件同时满足。 1．如图是青岛市2024年6月6日的天气，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义．根据气温为，可得的范围是． 【详解】解：图中温度为：，则， 故选：D． 2．下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断选项，一元一次不等式组需满足：由几个含同一个未知数的一元一次不等式组成，一元一次不等式要求未知数个数为1，未知数次数为1，不等号两边均为整式． 【详解】解：A选项不等式含两个未知数，不符合要求； C选项第一个式子是等式，且未知数次数为2，不符合要求； D选项第二个不等式中是分式，不是整式，不符合要求； B选项两个不等式都只含一个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式组的定义． 3．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 题型二：求不等式组的解集 解题思路：①分别求解组内各个不等式；②在同一数轴上表示各不等式解集；③找出解集的公共部分；④写出不等式组的最终解集，无公共部分则判定为无解。 4．不等式组的解集为__________． 【答案】 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 故原不等式组的解集是：． 5．若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴整数解为， ∴． 6．不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，再根据不等式组解集的法则确定最终解集． 【详解】解：解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ． 根据“同小取小”的法则，可得不等式组的解集为． 7．已知关于的不等式组的最小整数解是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由最小整数解为，确定含的解集端点的取值范围． 【详解】解：解不等式，得．解不等式，得． 不等式组的最小整数解是， ， 解得． 题型三：解特殊不等式组 解题思路：①分别求出每个不等式的解集；②在同一数轴表示各解集；③处理含等号、无解等特殊情形；④通过数轴确定公共部分，规范写出解集。 8．定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可． 【详解】解：∵[]=2， ∴由题意得2≤＜3， 解得5≤x＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键． 9．设，是正整数，且满足，，则_________． 【答案】 【分析】本题可先根据两个不等式解出，的取值范围，根据，是正整数得出，的可能取值，然后将，的值代入中计算即可． 【详解】解：∵，，是正整数， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ，， ∴， ∵，是正整数， ∴或， ①当时，由，得：，这样的正整数不存在， ②当时，由，得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不等式的解法，根据，的取值范围，得出，的整数解，然后代入计算．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 10．若方程组的解为，则方程组的解为．利用上面的解题经验，解决下面问题：若不等式组的解集为，则不等式组的解集为__________． 【答案】 【分析】将待解不等式组变形为与已知不等式组结构一致的形式，对照已知解集求解即可； 【详解】解：对不等式组变形，同时加上得， 整理得， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 题型四：求一元一次不等式组的整数解 解题思路：①求解不等式组得到解集；②在解集范围内筛选全部整数；③校验端点是否可取，剔除不符合条件的数值。 11．不等式组的非负整数解是_________． 【答案】或 【分析】分别解两个不等式，取解集公共部分，再从中找出非负整数． 【详解】解：已知不等式组， 解可得， 解可得， 则不等式组的解集为， 故不等式组的非负整数解为或． 12．一元一次不等式组的最大整数解是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 先解不等式组，然后从不等式组的解集中找到最大整数解即可． 【详解】 解①得， ， 解②得， ， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最大整数解是1， 故选：C． 13．一元一次不等式组的整数解的个数为________． 【答案】 【分析】分别解两个一元一次不等式，得到不等式组的公共解集，找出范围内的整数后统计个数即可． 【详解】解： 由①得 由②得 ∴原不等式组的解集为， 整数解为个． 14．一元一次不等式组有且仅有两个整数解则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式组的整数解个数，确定解集左端点的取值范围是解题关键. 【详解】解：解不等式，得. 解不等式，得； ∴ 不等式组的解集为； ∵ 不等式组有且仅有两个整数解，且， ∴ 两个整数解为和； ∵ 不是该不等式组的整数解， ∴ ； ∵ 是该不等式组的整数解， ∴ ， ∴ ； 解得； 题型五：由一元一次不等式组的解集求参数 解题思路：①分别解出不等式组中含参数的不等式解集；②对照题目给出的确定解集，建立参数对应的等式或不等式；③借助数轴校验边界等号能否取到；④求解得到参数取值。 15．如果不等式组的解集为，则a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组解集的确定规则，得到关于的不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴． 16．关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 首先解不等式组，确定x的解集范围，再根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：解不等式① 得 解不等式② 得 ∴不等式组的解集为， ∵原不等式组的整数解共有2个， ∴． 故选：C． 17．若关于的不等式组无解，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∵不等式组无解 ∴，解得． 18．不等式的负整数解仅有、、，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解出不等式的解集，再根据已知的负整数解确定参数的范围，注意端点的取舍． 【详解】解：， ， 负整数解仅有，，，即大于等于的负整数只有这三个，不是解， ， ． 题型六：由不等式组解集的情况求参数 解题思路：①解出各个不等式的解集；②根据有解、无解、指定整数解个数等条件列出不等式；③利用数轴分析边界，判断等号是否可取；④求出参数的取值范围。 19．关于的不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】已知两个一元一次不等式的解集，根据不等式组解集确定规则“同小取小”，结合给定解集判断的取值范围． 【详解】解：关于x的不等式组的解集是， 根据“同小取小”的原则，可得． 20．已知关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是5，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别解不等式得到不等式组的解集，确定最大整数解，再根据两个整数解的差求出最小整数解，据此确定的取值范围． 【详解】解： 由得， 由得，即， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最大整数解为， ∵最大整数解与最小整数解的差是， ∴最小整数解为， ∴． 21．若关于的不等式有且只有一个解，则的值为_______． 【答案】 【分析】形如的不等式有且只有一个解时，必有左端点等于右端点，据此列出关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解：关于的不等式有且只有一个解， ， 解得． 22．如果关于的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对共有（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据整数解仅为1,2,3，确定不等式组解集边界的取值范围，注意等号的取舍. 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解仅为1，2，3， ∴，， 解得，， ∵m，n为整数， ∴m可取1，2，3，共3个，n可取7，8，共2个， ∴整数对共有对. 题型七：不等式组和方程组结合的问题 解题思路：①解方程组，得到用参数表示的未知数；②将方程组的解代入不等式组；③解不等式组求出参数范围；④检验结果满足全部约束条件。 23．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由可得得，从而得到关于a的不等式组，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴a的取值范围是. 故答案为：. 24．若关于x，y的方程组的解满足，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过加减消元得到关于的表达式，代入不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解： ， 得， 由条件得 解得． 25．已知实数，满足，且，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程和代数式取值范围的求解，解题思路是利用已知方程将其中一个未知数用另一个未知数表示，代入所求代数式得到关于单个未知数的一次式，再根据已知的未知数范围，不等式变形得到所求代数式的取值范围． 【详解】， 移项整理得， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 即； 题型八：列一元一次不等式组 解题思路：①审题提取题目中的不等关系；②设定未知数；③根据题意列出两个及以上不等式；④整理得到一元一次不等式组。 26．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为，则的取值范围是__． 【答案】 【分析】根据题意分别表示出分3次服用和分4次服用的剂量范围，再综合两种情况分析即可得出结论． 【详解】若每天服用3次，则所需剂量为之间， 若每天服用4次，则所需剂量为之间， 所以，一次服用这种药的剂量为之间， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式的实际应用问题，能够准确分情况讨论出不同的范围再综合分析是解题关键． 27．实验中学为参加社会实践活动的同学安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，可列不等式组_________________． 【答案】 【分析】每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满．设宿舍有x间，列出不等式组即可． 【详解】解：设宿舍有x间，寄宿学生的人数为人， 由题意可得． 28．渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，由题意，得： . 题型九：不等式组的行程问题 解题思路：①梳理速度、时间、路程之间的数量关系；②挖掘题干隐含的不等条件；③设未知数，列出一元一次不等式组；④求解解集，结合实际筛选符合题意的结果。 29．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 30．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 【答案】17.5 【分析】首先设汽车的速度，根据题意分别表示汽车绿灯通过B，C两个路口应满足的时间范围，进而确定出速度的取值范围． 【详解】设汽车的绿波速度为v m/s，设车辆从A路口出发的时刻为0，则到达B路口的时间为 s，到达C路口的时间为 s． 红绿灯的循环周期为． 根据各路口绿灯亮起的时间规律，则有 B路口的绿灯时间段满足，其中k为非负整数， C路口的绿灯时间段满足，其中n为非负整数． 要求v的最大值，由于v越大，tB，tC越小，因此从最小的非负整数开始讨论： 当时，解不等式得， 当时，不等式得． 所以“绿波速度”的取值范围为10 ≤ v ≤ 17.5， 所以的最大值是17.5 m/s． 31．如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间 （秒）的变化情况如图②所示，例如当 时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计） 请根据上述信息，解决下列问题： (1)甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即 ）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由； (2)乙驾驶汽车在道路上以速度 （米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即 ）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度 的取值范围； (3)对于匀速行驶的汽车，是否存在速度 （米/秒），使得该车在 秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出 的取值范围；若不存在，请说明理由． （说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．） 【答案】(1)能不停车通过B路口，理由如下： 甲到达B路口的时间是（秒）， 由图②可知，路口B处于绿灯状态， ∴甲驾驶汽车能不停车通过B路口； (2) (3)或 【分析】（1）求出甲到达B路口的时间，根据图②判断即可； （2）设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s，要使其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口，据此列出不等式组，求解即可； （3）分汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口；和在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，两种情况，分别列出不等式组求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s， ∴． ∵要使其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口， ∴，且， 解得 且 ， ∴满足条件的行驶速度v的取值范围为； （3）解：当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得 ； ∴汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足． 当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； ∴汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足． 综上所述，v的取值范围为或． 题型十：不等式组的工程问题 解题思路：①分析工作总量、工作效率、工作时间之间的关系；②提取题目中的不等约束；③设未知数列出不等式组；④求解解集，结合工程实际筛选结果。 32．习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 33．某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． 【答案】(1)A队施工12天，B队施工15天 (2)A队至多施工12天 (3)A工程队施工天数为16天 【分析】（1）设A队施工天，则B队施工天，由题意得：，然后进行求解即可； （2）设队施工天，B队施工天，由题意得：，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设A队施工天，则B队施工天，由题意得： ， 解得：； 答：A队施工12天，B队施工15天 （2）解：设队施工天，B队施工天，由题意得： ， ∴， ∵完工时队施工天数少于队， ∴， 解得：， ∵是正整数，且是的倍数， ∴的最大值为； 答：A队至多施工12天 （3）解：由题意得： ， 得：， ∴， ∵，即，， ∴， 解得：， ∵取正整数， ∴， 答：A工程队施工天数为16天． 34．为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 【答案】(1)改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元 (2)要改造的小学有12所 (3)四种改造方案∶方案一∶改造2所中学，8所小学；方案二∶改造3所中学，7所小学；方案三∶改造4所中学，6所小学；方案四∶改造5所中学，5所小学 【分析】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元，列出方程组进行求解即可； （2）设要改造的小学有m所，根据要改造的乡镇中学不超过8所，列出不等式进行求解即可； （3）设改造中学a所，则改造小学所，由今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据题意，得，解得， 答∶改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元． （2）设要改造的小学有m所，根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，且在范围内，使为整数的值只有， ∴． 答∶要改造的小学有12所． （3）设改造中学a所，则改造小学所，根据题意， 得，解得． ∵a取整数， ∴a的值为2，3，4，5． ∴对应的值分别为8，7，6，5， ∴有以下四种改造方案∶ 方案一∶改造2所中学，8所小学； 方案二∶改造3所中学，7所小学； 方案三∶改造4所中学，6所小学； 方案四∶改造5所中学，5所小学． 【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键． 题型十一：不等式组的经济问题 解题思路：①梳理成本、售价、利润等数量关系；②提取题干中的不等条件；③设未知数建立一元一次不等式组；④求解后结合实际筛选合理结果。 35．某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式组的应用，某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压，“至少得赚回利润1100元”指的是最终销售额需要覆盖最初积压的全部资金(元)，并在此基础上盈利1100元，因此对最终销售额的最低要求为元；设商店应该将这批新进货高出买进价的卖出，则实际出售商品的收入为；商店立即将回收的全部资金以相当于零售价的批发价买回一批畅销货，则以零售价出售的收入为；且满足：最少收入实际出售商品的收入以零售价出售的收入，代入求解即可． 【详解】解：设新进货应高出进价的， 由题意得，则， 解得：， 故选：D． 36．某商店促销优惠，每单消费满元减元．小王在该店铺内已选购了元的商品，为满足优惠条件，又加购了一件元的商品．则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“原本未达到满减，加购元后满足满减优惠”列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵小王需要加购商品才能满足优惠条件，说明原本元未达到满减门槛，加购后总金额满足满减要求， ∴可得不等式组 ， 解得， ∴的取值范围是． 37．某草原服饰店准备购进一批两种不同款式的蒙古袍，已知购进A款蒙古袍3件和B款蒙古袍4件，共需670元；购进A款蒙古袍2件和B款蒙古袍5件，共需680元．销售一件A款蒙古袍可获利20元，销售一件B款蒙古袍可获利30元． (1)A、B两款蒙古袍的进价每件各是多少元？ (2)若已知购进A款蒙古袍的数量是B款蒙古袍数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且A款蒙古袍不多于28件，则该草原服饰店在这次进货中，共有哪几种方案？ 【答案】(1)款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元． (2)共有三种进货方案：①购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；②购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；③购进款蒙古袍件，款蒙古袍件． 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设买了件B款蒙古袍，分别根据蒙古袍的数量和销售所获总利润列出不等式组，求解出范围后得到不同的进货方案． 【详解】（1）解：设款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元， 由题意可列二元一次方程组， 解得， 答：款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元． （2）解：设买了件B款蒙古袍，则买了件A款蒙古袍， 由题意可列不等式组， 解得，且为正整数，故或或，对应的或或， 答：共有三种进货方案：①购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；②购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；③购进款蒙古袍件，款蒙古袍件． 题型十二：不等式组的分配问题 解题思路：①分析分配对象与分配数量之间的关系；②找出分配过程中的不等关系；③设未知数列出不等式组；④求解，结合人数、物品数量为正整数筛选解。 38．一些书分给若干个小朋友，若每个小朋友分3本，则剩2本；若每个小朋友分4本，则有一个小朋友没分到，且最后一个分到书的小朋友分得的书的数量不足3本．已知小朋友人数是奇数，那么小朋友的人数是________． 【答案】 【分析】设小朋友的人数为，先得到书本总数，再根据最后一个分到书的小朋友分得书本数的范围列出不等式组，求解后结合是奇数的条件得到最终结果．本题主要考查列一元一次不等式组解应用题，正确地列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：设小朋友的人数为，为正整数，则书本的总数量为本． 根据题意得 ， 化简得， 解得， ∵是正整数， ∴的可能取值为和， 又∵小朋友人数是奇数，因此． 39．把若干支钢笔分给班级同学，若每人分支，剩余支；若每人分支，则最后一名同学也分到了钢笔，但钢笔数量不足支．设班级共有名学生，据此列出不等式组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意得到钢笔总数，再表示出最后一名同学分得的钢笔数量，结合数量范围列出不等式组即可. 【详解】解：班级共有名学生，每人分支剩余支， 钢笔总数为支， 若每人分支，只有最后一名同学分得的数量不足支，则前名同学共分得支， 最后一名同学分得的钢笔数量为支， 最后一名同学分到钢笔数量大于，且不足支， ． 40．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 题型十三：不等式组的方案选择问题 解题思路：①梳理题干条件，列出一元一次不等式组；②求出不等式组解集；③在解集内找出全部正整数解；④根据整数解得到全部可行方案。 41．为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目．学校计划拿出1200元钱全部用于购买排球和足球（两种都买），已知排球每个80元，足球每个60元，则购买方案有（     ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】B 【分析】根据总费用列出方程后，结合购买数量为正整数且两种球都购买的要求，找出所有符合条件的解，即可得到方案数量． 【详解】解：设购买排球个，购买足球个， 由题意可知，，均为正整数， 根据总费用可得方程：， 整理得，， 变形得，． ∵是正整数，且， ∴是整数，且两种球都买，即， 是3的倍数，且， 的取值为，，，，对应的取值为，，，，均符合要求， 因此，共有4种购买方案． 42．已知温柑一个要4文钱，绿橘一个要2文钱，匾橘一个只要1文钱．现在拿70文钱买这三种橘子（都买），总共买60个．请根据以上内容计算总共有（    ）种购买方案． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意设未知数列出方程，结合三种橘子都买即，，均为正整数的条件，枚举得到符合要求的方案数即可． 【详解】设购买温柑个，绿橘个，匾橘个，由题意得均为正整数， 用第二个方程减去第一个方程消去得：，即 三种橘子都买， ，解得 为正整数， 可取： 当时，，满足，符合要求； 当时，，满足，符合要求； 当时，，满足，符合要求； 因此总共有种购买方案． 43．为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A，B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元． 材料二：据统计，该社区需购买A，B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的．请根据以上材料，完成下列问题： (1)求A，B两种型号的新型垃圾桶的单价； (2)有哪几种购买方案？ 【答案】(1) A型号新型垃圾桶单价为60元，B型号新型垃圾桶单价为100元 (2) 共有3种购买方案： 方案1：购买A型号垃圾桶118个，B型号垃圾桶82个； 方案2：购买A型号垃圾桶119个，B型号垃圾桶81个； 方案3：购买A型号垃圾桶120个，B型号垃圾桶80个 【分析】（1）设A种型号的新型垃圾桶的单价为元，B种型号的新型垃圾桶的单价为元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设购买A种型号的新型垃圾桶个，则购买B种型号的新型垃圾桶个，根据题意列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可求解； 【详解】（1）解：设A种型号的新型垃圾桶的单价为元，B种型号的新型垃圾桶的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：A种型号的新型垃圾桶的单价为元，B种型号的新型垃圾桶的单价为元； （2）解：设购买A种型号的新型垃圾桶个，则购买B种型号的新型垃圾桶个， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴有三种购买方案：①购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个； ②购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个； ③购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个. 题型十四：不等式组的阶梯收费问题 解题思路：①读懂阶梯收费分段规则；②划分收费区间，提取对应不等关系；③设未知数列出不等式组；④求解解集，结合收费实际条件确定结果。 44．如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 45．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 46．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 解答题 1．解方程组、解不等式组 (1)解方程组： (2)解不等式组，并求出不等式组的所有整数解的和． 【答案】(1) (2)不等式组的解集为，所有整数解的和为 【分析】（1）本题考查利用代入消元法解二元一次方程组，将②转化为③，把③代入①消去，得到，并代入③，得到． （2）本题考查解不等式组，分别根据不等式的性质解两个不等式，找这两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，找到所有整数解，计算它们的和即可． 【详解】（1）解：， 由②，得：③， 把③代入①，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得：， 把代入③，得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 解不等式①，去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 解不等式②，去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 原不等式组的解集是， 所有整数解为， 所有整数解的和为． 2．已知关于，的方程组的解都为非负数，若，，求的最小值． 【答案】 【分析】先解方程组得到，再根据方程组的解为非负数得到，则，再由已知条件得到，据此求解即可． 【详解】解：， 得：，解得， 把代入得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于，的方程组的解都为非负数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴的最小值为． 3．请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间．对于解集取中间的不等式组（比如：，，，），我们规定其“有限距离”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“有限点”．例如：的“有限距离”，“有限点”为． 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分． (1)不等式组的“有限距离”；“有限点”为___________； (2)若不等式组的“有限距离”，求m的取值范围； (3)若（2）中的不等式组恰有2个“有限点”，直接写出m的取值范围：____________ 【答案】(1)3； (2)． (3) 【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据“有限距离”和“有限点”的定义求解即可． （2）先求出前两个不等式的解集，再根据m的取值范围以及“有限距离”分情况求解即可． （3）根据（2）中的不等式组的解集和恰有2个“有限点”，可得出第三个不等式的解集范围，进而可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组， 由①，得， 由②，得， ∴解集为， 故“有限距离”；“有限点”为； （2）解：， 由①，得， 由②，得， ∴前两个不等式的解集为， 由③，得， ∵不等式组的“有限距离”， ∴不等式组的解集为：， ∴当，即， ∴不等式的解集为， ∴， ∴， 解得：， 此时， 当时，即， ∴不等式的解集为， ∴， ∴， ∴， 此时，； 当时，即时，不等式③成立， 综上：． （3）解：， 由（2）可知前两个不等式的解集为，且“有限距离”，不等式组恰有2个“有限点”， ∴不等式的解集为：， 解得：． 4．应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 5．2026年5月24日神舟二十三号载人飞船发射任务圆满成功，七年级（1）班很多同学都是航天爱好者，他们计划采购甲、乙两款神舟二十三号仿真飞船模型用于班级收藏．已知购买1件甲种模型和1件乙种模型共需40元；购买2件甲种模型和3件乙种模型一共花费95元． (1)求甲、乙两种飞船模型的销售单价； (2)班委会决定一共采购两款模型共计15件，且总采购预算低于320元，则最多能购进______________件甲种飞船模型； (3)供货商针对甲模型推出阶梯优惠：采购数量不超过5件按原价销售，采购数量超出5件时，超出部分每件优惠6元，乙模型售价保持不变．若仍一共采购15件模型． ①当购买甲模型为7件时，所花费用需要______________元； ②班委会决定同时购买两种模型，所用资金高于280元且不超过295元．请通过计算说明共有多少种购买方案？ 【答案】(1)甲种模型的销售单价为元、乙种模型的销售单价元； (2)9 (3)①；②共4种方案 【分析】（1）题目给出两组甲乙搭配购买的总价等量关系，可设单价建立二元一次方程组求解； （2）设甲采购数量为未知数，结合总件数表示乙的数量，根据总预算低于元列不等式，取满足条件的最大整数； （3）①甲采购7件超出5件，分段计算甲的费用，再结合乙的采购数量算出乙费用，两者相加得到总花费；②分甲采购量不超过5件、超过5件两种优惠情况列出总费用表达式，结合资金范围解不等式，筛选合法整数取值得到方案数． 【详解】（1）解：设甲种模型的销售单价为、乙种模型的销售单价为， ， 解得：， 答：甲种模型的销售单价为元、乙种模型的销售单价为元； （2）解：设购进甲种模型件，则购进乙种模型件， 由题意得：， 解得：， 因为为正整数， 所以的最大值为； （3）解：①当购买甲模型为7件时， 前5件按原价：元； 超出的2件每件优惠6元：元； 乙模型的数量为， 费用：元， 所花费用需要：元； ②设购买甲种模型件，则乙种模型件， 当时， ， 解得：， ， 故此情况无解； 当时， ， 解得：， 为正整数，故，共4种方案． 6．综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动．他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶．（食物的营养成分见表一）学校每天为学生提供的午餐有两种套餐（见表二），为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每位学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过．（一周按五天计算） 表一：食物的营养成分表 食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪 蔬菜 牛肉 牛奶 表二：学校每天提供的，两种套餐 套餐 主食 肉类 其他 A B (1)若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为_________； (2)学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶各多少克； (3)为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择A，B套餐各几天？ 【答案】(1) (2)每份早餐中牛肉为，牛奶为 (3)共有三种选择方案：选择A套餐2天，B套餐3天；或A套餐3天，B套餐2天；或A套餐4天，B套餐1天 【分析】（1）分别用蔬菜、牛肉、牛奶的质量乘以对应的蛋白质含量占比，再相加即可求解； （2）设每份早餐中牛肉为克，牛奶为克，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （3）设每个学生每周午餐可以选择A套餐天，则选择B套餐天，根据题意列出不等式组，求出的范围，结合是整数，即可解答． 【详解】（1）解：， ∴该份早餐中蛋白质总含量为； （2）解：设每份早餐中牛肉为克，牛奶为克， 由题意得，， 解得：， 答：每份早餐中牛肉为，牛奶为； （3）解：设每个学生每周午餐可以选择A套餐天，则选择B套餐天， 由题意得，， 解得：， ∵是整数， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴每个学生每周午餐可以选择A套餐2天，B套餐3天，或选择A套餐3天，B套餐2天，或选择A套餐4天，B套餐1天． 7．端午节期间，某商店决定采购A，B两种型号的纪念品进行销售，若购买A 型纪念品8件，B型纪念品3件，则需95元；若购买A型纪念品5件，B型纪念品6件，则需80元． (1)A，B两种型号的纪念品每件的进价分别是多少元? (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件(两种纪念品都要买)，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过765元，那么该商店共有多少种进货方案? (3)若商家决定A型纪念品售价定为元/件，B型纪念品售价定为元/件，其中，则当a为何值时，上面（2）中的所有方案获利均相同． 【答案】(1)A型纪念品每件进价10元，B型纪念品每件进价5元 (2)该商店共有4种进货方案 (3)当时，（2）中的所有方案获利均相同 【分析】（1）根据两次购买的数量与总费用，列二元一次方程组求解进价； （2）根据资金范围列一元一次不等式组，结合正整数条件确定方案数； （3）表示总利润的表达式，令其与A型进货量无关，求解a的值． 【详解】（1）解：设A型纪念品每件进价为元，B型纪念品每件进价为元． 根据题意，得， 解得； 答：A型纪念品每件进价10元，B型纪念品每件进价5元； （2）解：设购进A型纪念品件，则购进B型纪念品件，为正整数． 根据题意，得， 解得， ∵为正整数， ∴可取50，51，52，53，共4种进货方案． 答：该商店共有4种进货方案； （3）解：设总利润为元， 每件A型纪念品的利润为（元）， 每件B型纪念品的利润为（元）， 则， 整理得， ∵所有方案获利均相同，即的值与无关 ， ∴， 解得， 答：当时，（2）中的所有方案获利均相同． 8．快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于319元，求他平均每天的送件数． 【答案】(1)快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元； (2)他平均每天的送件数是160件或161件或162件． 【分析】（1）设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，由题意列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件，由题意列一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元， 根据题意得， 解得， 答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元； （2）解：设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件， 根据题意得， 解得， ∵是正整数， ∴的值为160，161，162， 答：他平均每天的送件数是160件或161件或162件． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $