3.2 不等式的基本性质 同步讲义 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

3.2 不等式的基本性质 内 容 导 航 题型1 不等式的性质 题型2 不等式的解集 考 点 演 练 题型1 不等式的性质 解｜题｜知｜识 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 【典例1】若x＞y，且ax＜ay，则a的值可能是（　　） A．0 B．﹣1.5 C．2 D．π 【变式1】若a+1＜b，则下列结论不一定正确的是（　　） A．﹣a﹣1＞﹣b B．2a+1＜2b C．a＜b D． 【变式2】已知a＜b，则下列不等式成立的是（　　） A．﹣2a＜﹣2b B．2﹣a＜2﹣b C．ac2≤bc2 D． 【变式3】下列说法不正确的是（　　） A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若2a＞2b，则a＞b 题型2 不等式的解集 解｜题｜知｜识 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 【典例1】若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（　　） A．1＜a≤7 B．a≤7 C．a＜1或a≥7 D．a＝7 【变式1】用不等式表示图中的解集，正确的是（　　） A．x＞4 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 【变式2】下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解？（　　） A．﹣3 B．0 C．1 D．2 【变式3】如果（m+3）x＞2m+6的解集为x＜2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＜﹣3 C．m＞﹣3 D．m是任意实数 过 关 验 收 1．有理数a，b，c，a＝b，c＜a，下列式子一定成立的是（　　） A．c2＜a2 B．c﹣a＝c﹣b C．|c|＜|b| D． 2．若x＜y，则下列式子中错误的是（　　） A．x﹣2＜y﹣2 B．x+2＜y+2 C． D．﹣2x＜﹣2y 3．若a＜b，则下列不等式中一定成立的是（　　） A．﹣a＜﹣b B．a2+1＜b2+1 C． D．a﹣3＜b+1 4．已知a≥3b，根据不等式的性质，下列不等式中错误的是（　　） A．a+1≥3b+1 B．﹣a≥﹣3b C． D．a﹣2≥3b﹣2 5．若a+1＞b，则下列结论一定正确的是（　　） A．a＞b B．2a+1＞2b C．﹣a+1＜﹣b D． 6．若6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，设t＝2a+b﹣c，则t的取值范围为（　　） A．﹣2≤t≤﹣1 B．﹣3≤t≤﹣2 C．﹣2≤t≤0 D．﹣4≤t≤﹣1 7．不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则 8．设“●”“▲”“■”表示三种不同的物体，现用天平称称了两次，情况如图所示，那么●▲■这三种物体按质量从大到小的顺序排列（　　） A．■●▲ B．■▲● C．▲●■ D．▲■● 9．下列不等式变形正确的是（　　） A．由a＞b，得am＞bm B．由a＞b，得a﹣2024＜b﹣2024 C．由ab＞ac，得b＜c D．由，得b＞c 10．当x＝﹣2时，下列不等式成立的是（　　） A．x﹣5＞﹣6 B．x+2＞﹣1 C．3+2x＞6 D．x﹣1＜﹣3 11．观察图，下面四个判断正确的是（　　） A．小兰体重＞小云体重 B．小云体重＝小冬体重 C．小兰体重＜小冬体重 D．以上都不对 12．如图，设长方形ABCD的长AD＝a，宽AB＝b，BE＝DM＝c，且a＞b＞0，则 　 　 （填“＞”或“＜”或“＝”）． 13．已知x﹣3y＝3，且x＞2，y＜1，若m＝x+2y，则m的取值范围是 ． 14．比较大小，用“＞”或“＜”填空：若x＜y，且（a﹣b）x＞（a﹣b）y，则a　 　 b． 15．若不等式（m﹣2023）x＞m﹣2023，两边同除以（m﹣2023），得x＜1，则m的取值范围为 　 ． 16．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b﹣c＝0，a+2b﹣c＜0． （1）证明：b＜0． （2）若a﹣4b+c＝3，且b＞﹣3，求a+c的取值范围． 17．请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知n＜0，试比较：与的大小． 解：∵，n＜0， ∴根据不等式的基本性质3，得 ，第一步 ∴根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上m，得．第二步 （1）上述解题过程中，从第　 　 步开始出现错误，错误的原因是　 　 ； （2）请写出正确的解题过程． 18．阅读下述材料完成问题． 利用不等式的性质说明下列结论的正确性： 如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d． 解：因为a＞b，所以a+c＞b+c．① 又因为c＞d，所以b+c＞b+d．② 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性， 所以由①②，可得a+c＞b+d． 通过上述材料，我们可以得到不等式的同向可加性． 例如：若x＞1，y＞2，那么x+y＞1+2，即x+y的取值范围是x+y＞3． （1）根据上述性质解决问题：若x＜1，y＜3，则x+y的取值范围是 　 ；若﹣1＜x＜2，0＜y＜1，则x+y的取值范围是　 　 ； （2）【性质应用】已知x﹣y＝﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围． 解：由x﹣y＝﹣3，得x＝y﹣3． 将x＝y﹣3代入x＜﹣1得， y﹣3＜﹣1， 即y＜2． 又因为y＞1， 所以1＜y＜2． 以上是求解的部分过程，请你在此基础上将剩余的解答过程补充完整 （3）【拓展提升】已知x+y＝3，且x＞2，y＞﹣2，则2x﹣y的取值范围是　 　 ． 19．已知a，b，c为三个非负数，且满足3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1． （1）求c的取值范围； （2）设S＝3a+b﹣7c，求S的最大值和最小值． 20．在一个含有两个字母的代数式中，如果任意交换这两个字母的位置，代数式的值不变，则称这个代数式为二元对称式，例如：x+y，xy，，都是二元对称式，其中x+y，xy叫做二元基本对称式．请根据以上材料解决下列问题： （1）下列各代数式中，属于二元对称式的是 　 　 （填序号）； ①；②（a﹣b）2；③；④． （2）若x+y＝m，xy＝n2，将用含m，n的代数式表示，并判断所得的代数式是否为二元对称式； （3）先阅读下面问题1的解决方法，再自行解决问题2： 问题1：已知x+y﹣4＝0，求x2+y2的最小值． 分析：因为条件中左边的式子x+y﹣4和求解中的式子x2+y2都可以看成以x，y为元的对称式，即交换这两个元的位置，两个式子的值不变，也即这两个元在这两个式子中具有等价地位，所以当这两个元相等时，x2+y2可取得最小值． 问题2，①已知x2+y2＝4，则x+y的最大值是 　 　 ； ②已知x+2y﹣2＝0，则2x+4y的最小值是 　 　 ． 21．完成下列填空：若x＞y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小． 解：∵x＞y ∴﹣3x　 　 ﹣3y（依据：　 　 ） ∴2﹣3x　 　 2﹣3y（依据：　 　 ） 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 不等式的基本性质 内 容 导 航 题型1 不等式的性质 题型2 不等式的解集 考 点 演 练 题型1 不等式的性质 解｜题｜知｜识 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 【典例1】若x＞y，且ax＜ay，则a的值可能是（　　） A．0 B．﹣1.5 C．2 D．π 【答案】B 【解答】解：根据不等式的基本性质，当两边同时乘以一个负数时，不等式方向改变可得： ∵x＞y，且ax＜ay，∴a＜0． 选项 A、C、D均非负数，只有选项 B（﹣1.5）为负数， 故选：B． 【变式1】若a+1＜b，则下列结论不一定正确的是（　　） A．﹣a﹣1＞﹣b B．2a+1＜2b C．a＜b D． 【答案】D 【解答】解：根据不等式性质，对已知条件变形或取反例判断各选项进行判断可得： ∵a+1＜b， A：两边同乘﹣1，不等号方向改变，得﹣a﹣1＞﹣b，一定成立． B：两边同乘2，得2a+2＜2b，又∵2a+1＜2a+2，∴2a+1＜2b，一定成立． C：由a+1＜b，得a＜b﹣1，又∵b﹣1＜b，∴a＜b，一定成立． D：由a+1＜b，得，但不一定成立， 反例：取a＝1，b＝3，则，此时，故不等式不成立，故不一定正确． ∴不一定正确的是D． 故选：D． 【变式2】已知a＜b，则下列不等式成立的是（　　） A．﹣2a＜﹣2b B．2﹣a＜2﹣b C．ac2≤bc2 D． 【答案】C 【解答】解：∵a＜b，根据不等式的性质2，两边同乘以﹣2，不等号的方向要改变， ∴﹣2a＞﹣2b，故A不符合题意； ∵a＜b，根据不等式性质3得：﹣a＞﹣b，再根据不等式的性质1得：2﹣a＞2﹣b，故B不符合题意； ∵a＜b，c2≥0，当c≠0时，c2＞0，∴根据不等式的性质2得：ac2＜bc2；当c＝0时，ac2＝bc2＝0； ∴ac2≤bc2，故C符合题意； 当c＝0时，分母c2＝0无意义，故D不符合题意． 故选：C． 【变式3】下列说法不正确的是（　　） A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若2a＞2b，则a＞b 【答案】C 【解答】解：因为a＞b， 则根据不等式的基本性质1得，a+2＞b+2． 故A选项不符合题意． 因为a＞b， 则根据不等式的基本性质2得，． 故B选项不符合题意． 因为a＞b， 则根据不等式的基本性质2得，ac2＞bc2（c≠0）． 故C选项符合题意． 因为2a＞2b， 则根据不等式的基本性质2得，a＞b． 故D选项不符合题意． 故选：C． 题型2 不等式的解集 解｜题｜知｜识 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 【典例1】若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（　　） A．1＜a≤7 B．a≤7 C．a＜1或a≥7 D．a＝7 【答案】A 【解答】解：解不等式2x＜4得：x＜2， ∵（a﹣1）x＜a+5， ①当a﹣1＞0时，x， ∴2， ∴1＜a≤7． ②当a﹣1＜0时，x，不合题意舍去． 故选：A． 【变式1】用不等式表示图中的解集，正确的是（　　） A．x＞4 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 【答案】B 【解答】解：由数轴可知，表示的不等式的解集是x≥2， 故选：B． 【变式2】下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解？（　　） A．﹣3 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：2（x﹣1）+3＜0， 2x﹣2+3＜0， 2x＜2﹣3， 2x＜﹣1， x， 因为只有﹣3， 所以只有﹣3是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解， 故选：A． 【变式3】如果（m+3）x＞2m+6的解集为x＜2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＜﹣3 C．m＞﹣3 D．m是任意实数 【答案】B 【解答】解：由不等式（m+3）x＞2m+6，得 （m+3）x＞2（m+3）， ∵（m+3）x＞2m+6的解集为x＜2， ∴m+3＜0， 解得，m＜﹣3； 故选：B． 过 关 验 收 1．有理数a，b，c，a＝b，c＜a，下列式子一定成立的是（　　） A．c2＜a2 B．c﹣a＝c﹣b C．|c|＜|b| D． 【答案】B 【解答】解：当c＝﹣2，a＝1时，c2＞a2，则A不符合题意， 由a＝b得﹣a＝﹣b，那么c﹣a＝c﹣b，则B符合题意， 当c＝﹣2，b＝1时，|c|＞b|，则C不符合题意， 当c＝0时，，均无意义，则D不符合题意， 故选：B． 2．若x＜y，则下列式子中错误的是（　　） A．x﹣2＜y﹣2 B．x+2＜y+2 C． D．﹣2x＜﹣2y 【答案】D 【解答】解：A、不等式的两边都减2，不等号的方向不变，故A正确； B、不等式的两边都加，不等号的方向不变，故B正确； C、不等式的两边都除以2，不等号的方向不变，故C正确； D、不等式的两边都乘以﹣2，不等号的方向改变，故D错误； 故选：D． 3．若a＜b，则下列不等式中一定成立的是（　　） A．﹣a＜﹣b B．a2+1＜b2+1 C． D．a﹣3＜b+1 【答案】D 【解答】解：A、由a＜b，可得﹣a＞﹣b，原式不成立； B、由a＜b，不一定能得到a2+1＜b2+1，例如﹣1＜0，但是（﹣1）2+1＝2＞02+1＝1，原式不一定成立； C、由a＜b，不一定能得到，例如a＝﹣1，b＝1，但是，原式不一定成立； D、由a＜b，可得a﹣3＜b﹣3＜b+1，原式一定成立； 故选：D． 4．已知a≥3b，根据不等式的性质，下列不等式中错误的是（　　） A．a+1≥3b+1 B．﹣a≥﹣3b C． D．a﹣2≥3b﹣2 【答案】B 【解答】解：A、不等式a≥3b的两边同时再加上1，不等号的方向不变，即a+1≥3b+1，故选项正确，不符合题意； B、不等式a≥3b的两边同时乘以﹣1，不等号的方向改变，即﹣a≤﹣3b，故选项错误，符合题意； C、不等式a≥3b的两边同时乘以，不等号的方向不变，即，故选项正确，不符合题意； D、不等式a≥3b的两边同时乘以3再减2，不等号的方向不变，即a﹣2≥3b﹣2，故选项正确，不符合题意； 故选：B． 5．若a+1＞b，则下列结论一定正确的是（　　） A．a＞b B．2a+1＞2b C．﹣a+1＜﹣b D． 【答案】D 【解答】解：A．若a+1＞b，则a＞b﹣1，故选项A错误； B．若a+1＞b，则2a+1＞a+b，故选项B错误； C．若a+1＞b，则﹣a﹣1＜﹣b，故选项C错误； D．若a+1＞b，则，所以，故选项D正确． 故选：D． 6．若6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，设t＝2a+b﹣c，则t的取值范围为（　　） A．﹣2≤t≤﹣1 B．﹣3≤t≤﹣2 C．﹣2≤t≤0 D．﹣4≤t≤﹣1 【答案】A 【解答】解：∵6a＝3b+12＝2c，c≤9， ∴3b+12≤18， ∴b≤2，而b≥0， ∴0≤b≤2， ∵6a＝3b+12＝2c， ∴， ∴t＝2a+b﹣c ， ∵0≤b≤2， ∴， ∴， ∴2≤t≤﹣1． 故选：A． 7．不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则 【答案】A 【解答】解：由题意得，a＞b， ∴a+c＞b+c， ∴图中两人的对话体现的数学原理是若a＞b，则a+c＞b+c． 故选：A． 8．设“●”“▲”“■”表示三种不同的物体，现用天平称称了两次，情况如图所示，那么●▲■这三种物体按质量从大到小的顺序排列（　　） A．■●▲ B．■▲● C．▲●■ D．▲■● 【答案】B 【解答】解：由图1可知1个■的质量大于1个▲的质量，由图2可知1个▲的质量等于2个●的质量，因此1个▲质量大于1个●的质量． 故选：B． 9．下列不等式变形正确的是（　　） A．由a＞b，得am＞bm B．由a＞b，得a﹣2024＜b﹣2024 C．由ab＞ac，得b＜c D．由，得b＞c 【答案】D 【解答】解：根据不等式的基本性质逐项分析判断如下： A．由a＞b，若m＞0，则可得am＞bm，故本选项变形错误，不符合题意； B．由a＞b，得a﹣2024＞b﹣2024，故本选项变形错误，不符合题意； C．由ab＞ac，若a＜0，则可得b＜c，故本选项变形错误，不符合题意； D． ，因为a2+1＞0，所以可得b＞c，故本选项变形正确，符合题意． 故选：D． 10．当x＝﹣2时，下列不等式成立的是（　　） A．x﹣5＞﹣6 B．x+2＞﹣1 C．3+2x＞6 D．x﹣1＜﹣3 【答案】B 【解答】解：当x＝﹣2时， x﹣5＝﹣7＜﹣6，则A不符合题意， x+2＝0＞﹣1，则B符合题意， 3+2x＝﹣1＜6，则C不符合题意， x﹣1＝﹣3，则D不符合题意， 故选：B． 11．观察图，下面四个判断正确的是（　　） A．小兰体重＞小云体重 B．小云体重＝小冬体重 C．小兰体重＜小冬体重 D．以上都不对 【答案】C 【解答】解：体重之间的关系是小兰＜小云，小云＜小冬， ∴小兰＜小冬． 故选：C． 12．如图，设长方形ABCD的长AD＝a，宽AB＝b，BE＝DM＝c，且a＞b＞0，则 　＜　 （填“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】＜． 【解答】解：根据长方形面积计算公式可得S长方形AEFD＝AD•AE＝a（b+c），S长方形ABHM＝AB•AM＝b（a+c）， S长方形AEFD＝S长方形ABCD+S长方形BEFC，S长方形ABHM＝S长方形ABCD+S长方形DVHM， S长方形BEFC＝BE•BC＝ac，S长方形DCHM＝DM•CD＝bc， 由条件可知ac＞bc， ∴S长方形BEFC＞S长方形DCHM， ∴S长方形AEFD＞S长方形ABHM， ∴a（b+c）＞b（a+c）， ∴， 故答案为：＜． 13．已知x﹣3y＝3，且x＞2，y＜1，若m＝x+2y，则m的取值范围是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵x﹣3y＝3， ∴， ∵m＝x+2y ∴5y+3＝m，m， ∴y，x， ∵x＞2，y＜1， ∴，， ∴． 故答案为：． 14．比较大小，用“＞”或“＜”填空：若x＜y，且（a﹣b）x＞（a﹣b）y，则a　＜　 b． 【答案】＜． 【解答】解：若x＜y，且（a﹣b）x＞（a﹣b）y， 则a﹣b＜0， 那么a＜b， 故答案为：＜． 15．若不等式（m﹣2023）x＞m﹣2023，两边同除以（m﹣2023），得x＜1，则m的取值范围为 m＜2023　 ． 【答案】m＜2023 【解答】解：由题意，得：m﹣2023＜0， ∴m＜2023； 故答案为：m＜2023． 16．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b﹣c＝0，a+2b﹣c＜0． （1）证明：b＜0． （2）若a﹣4b+c＝3，且b＞﹣3，求a+c的取值范围． 【答案】（1）∵a﹣2b﹣c＝0， ∴a﹣c＝2b， ∵a+2b﹣c＜0， ∴2b+2b＜0， ∴b＜0； （2）﹣9＜a+c＜3． 【解答】证明：（1）∵a﹣2b﹣c＝0， ∴a﹣c＝2b， ∵a+2b﹣c＜0， ∴2b+2b＜0， ∴b＜0； 解：（2）∵b＜0，b＞﹣3， ∴﹣3＜b＜0， ∴﹣12＜4b＜0， ∴﹣9＜3+4b＜3， ∵a﹣4b+c＝3， ∴a+c＝3+4b， ∴﹣9＜a+c＜3． 17．请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知n＜0，试比较：与的大小． 解：∵，n＜0， ∴根据不等式的基本性质3，得 ，第一步 ∴根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上m，得．第二步 （1）上述解题过程中，从第　一　 步开始出现错误，错误的原因是　不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变　 ； （2）请写出正确的解题过程． 【答案】（1）一；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （2）∵，n＜0， ∴根据不等式的基本性质3，得， ∴根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上m，得． 【解答】解：（1）由题干中的解题步骤可得从第一步开始出现错误，错误的原因是不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变， 故答案为：一；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （2）∵，n＜0， ∴根据不等式的基本性质3，得， ∴根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上m，得． 18．阅读下述材料完成问题． 利用不等式的性质说明下列结论的正确性： 如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d． 解：因为a＞b，所以a+c＞b+c．① 又因为c＞d，所以b+c＞b+d．② 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性， 所以由①②，可得a+c＞b+d． 通过上述材料，我们可以得到不等式的同向可加性． 例如：若x＞1，y＞2，那么x+y＞1+2，即x+y的取值范围是x+y＞3． （1）根据上述性质解决问题：若x＜1，y＜3，则x+y的取值范围是x+y＜4　 ；若﹣1＜x＜2，0＜y＜1，则x+y的取值范围是　﹣1＜x+y＜3　 ； （2）【性质应用】已知x﹣y＝﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围． 解：由x﹣y＝﹣3，得x＝y﹣3． 将x＝y﹣3代入x＜﹣1得， y﹣3＜﹣1， 即y＜2． 又因为y＞1， 所以1＜y＜2． 以上是求解的部分过程，请你在此基础上将剩余的解答过程补充完整 （3）【拓展提升】已知x+y＝3，且x＞2，y＞﹣2，则2x﹣y的取值范围是　3＜2x﹣y＜12　 ． 【答案】（1）x+y＜4；﹣1＜x+y＜3； （2）﹣1＜x+y＜1； （3）3＜2x﹣y＜12． 【解答】解：（1）∵x＜1，y＜3， ∴x+y＜1+3，即x+y＜4， ∵﹣1＜x＜2，0＜y＜1， ∴﹣1+0＜x+y＜2+1，即﹣1＜x+y＜3， 故答案为：x+y＜4；﹣1＜x+y＜3． （2）由x﹣y＝﹣3，得x＝y﹣3， 将x＝y﹣3代入x＜﹣1， ∴y﹣3＜﹣1， ∴y＜2， ∵y＞1， ∴1＜y＜2， ∴2＜2y＜4， ∴2﹣3＜2y﹣3＜4﹣3，即﹣1＜y+y﹣3＜1， ∴﹣1＜x+y＜1． （3）∵x+y＝3， ∴x＝3﹣y， ∴2x﹣y ＝2（3﹣y）﹣y ＝6﹣2y﹣y ＝6﹣3y， ∵x＞2， ∴3﹣y＞2， ∴﹣y＞﹣1， ∴y＜1， ∵y＞﹣2， ∴﹣2＜y＜1， ∴﹣3＜﹣3y＜6， ∴3＜6﹣3y＜12， ∴3＜2x﹣y＜12， 故答案为：3＜2x﹣y＜12． 19．已知a，b，c为三个非负数，且满足3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1． （1）求c的取值范围； （2）设S＝3a+b﹣7c，求S的最大值和最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意可得方程组， 解得， 因为a，b，c为三个非负数， 故a≥0，b≥0，c≥0， 即可得不等式组， 解得； （2）将代入到S＝3a+b﹣7c中，得 S＝3（7c﹣3）+7﹣11c﹣7c＝3c﹣2， 因为， 故， 即， 故S最大值为，最小值为． 20．在一个含有两个字母的代数式中，如果任意交换这两个字母的位置，代数式的值不变，则称这个代数式为二元对称式，例如：x+y，xy，，都是二元对称式，其中x+y，xy叫做二元基本对称式．请根据以上材料解决下列问题： （1）下列各代数式中，属于二元对称式的是 　②④　 （填序号）； ①；②（a﹣b）2；③；④． （2）若x+y＝m，xy＝n2，将用含m，n的代数式表示，并判断所得的代数式是否为二元对称式； （3）先阅读下面问题1的解决方法，再自行解决问题2： 问题1：已知x+y﹣4＝0，求x2+y2的最小值． 分析：因为条件中左边的式子x+y﹣4和求解中的式子x2+y2都可以看成以x，y为元的对称式，即交换这两个元的位置，两个式子的值不变，也即这两个元在这两个式子中具有等价地位，所以当这两个元相等时，x2+y2可取得最小值． 问题2，①已知x2+y2＝4，则x+y的最大值是 　2　 ； ②已知x+2y﹣2＝0，则2x+4y的最小值是 　4　 ． 【答案】（1）②④；（2），不是二元对称式；（3）①2；②4． 【解答】解：（1）①，故不是二元对称式； ②（a﹣b）2＝（b﹣a）2，故是二元对称式； ③，故不是二元对称式； ④，故是二元对称式； 故答案为：②④； （2）22， ∵x+y＝m，xy＝n2， ∴， ∵， ∴不是二元对称式； （3）①x2+y2可以看成以x，y为元的对称式，x+y可以看成以x，y为元的对称式， ∴当这两个元相等时，x+y可取得最大值， ∵x2+y2＝4， ∴x＝y， ∴x+y最大值为2， 故答案为：2； ②x+2y可以看成以x，2y为元的对称式， ∵2x+4y＝2x+22y可以看成以x，2y为元的对称式， ∴当这两个元相等时，2x+22y可取得最小值， ∵x+2y﹣2＝0， ∴x＝2y＝1， ∴2x+22y的最小值4， 故答案为：4． 21．完成下列填空：若x＞y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小． 解：∵x＞y ∴﹣3x　＜　 ﹣3y（依据：　不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．　 ） ∴2﹣3x　＜　 2﹣3y（依据：　不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变．　 ） 【答案】＜；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；＜；不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 【解答】解：根据题意可知，∵x＞y， ∴﹣3x＜﹣3y，（依据：不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．） ∵﹣3x＜﹣3y， ∴2﹣3x＜2﹣3y，（依据：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变．） 故答案为：＜；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；＜；不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 学科网（北京）股份有限公司 $