1.1 认识三角形 同步讲义 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

1.1 认识三角形 内 容 导 航 题型1 三角形 题型2 三角形的角平分线、中线和高 题型3 三角形三边关系 题型4 三角形内角和定理 题型1 三角形 解｜题｜知｜识 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 【典例1】小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（　　） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角45° D．两条直角边相等 【答案】C 【解答】解：A、两边相等的三角形是等腰三角形，故A不符合题意； B、有一个角是直角的三角形是直角三角形，故B不符合题意； C、如果等腰三角形的顶角是45°，那么这样的等腰三角形不是直角三角形，故C符合题意； D、两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 【变式2】如图，以AB为边的三角形共有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解答】解：以AB为边的三角形共有3个，它们是△ABC，△ABE，△ABD． 故选：C． 【变式3】观察下列图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、是一个角，且只有两条线段没有闭合，所以不是三角形，说法错误，故不符合题意； B、2条线段没有相接，所以不是三角形，说法错误，故不符合题意； C、3条线段的端点首尾相接，且为闭合图形，满足三角形的定义，说法正确，故符合题意； D、有1条线段的端点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形，说法错误，故不符合题意． 故选：C． 题型2 三角形的角平分线、中线和高 解｜题｜知｜识 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【典例1】如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上的一点，CF⊥AD于点H．下列判断错误的有（　　） A．AG是△ABE的角平分线 B．CH为△ACD边AD上的高 C．BE是△ABD边AD上的中线 D．AH为△AFC的高线 【答案】C 【解答】解：A．∵∠1＝∠2， ∴AG是△ABE的角平分线，故本选项结论正确，不符合题意； B．∵CF⊥AD， ∴CH为△ACD边AD上的高，故本选项结论正确，不符合题意； C．∵G为AD的中点， ∴BG是△ABD边AD上的中线，故原说法不正确，符合题意； D．∵CF⊥AD， ∴AH为△AFC的高线，故本选项结论正确，不符合题意； 故选C． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段CD、CE分别为△ABC的高和中线，下列说法中错误的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠BCE＝∠ACD C．2CE＝AB D．2AC＝AB 【答案】D 【解答】解：线段CD为△ABC的高， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠DCB＝∠B+∠DCB＝90°， ∴∠B＝∠ACD，故A选项正确，不符合题意； 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为△ABC的中线， ∴， ∴∠BCE＝∠B， ∵∠B＝∠ACD， ∴∠BCE＝∠ACD，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴AB＝2CE，故选项C正确，不符合题意； 根据题中条件无法推出AC＝AE＝CE，故无法推出2AC＝AB，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：选项D中的AD是△ABC的高， 故选：D． 【变式3】如图△ABC中，AD是哪条边上的高（　　） A．AB B．AC C．BC D．BD 【答案】C 【解答】解：根据三角形高的定义可得： 过A点作AD⊥BC交BC的延长线于点D， 故AD是BC边上的高． 故选：C． 题型3 三角形三边关系 解｜题｜知｜识 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【典例1】学校马师傅为了绿化校园工作，需要搭建一个三角形木架，他去库房取了三根木条，请你帮他选择以下选项中哪三根木条能够完成搭建工作（　　） A．3，10，6 B．2，5，8 C．3，4，5 D．1，5，6 【答案】C 【解答】解：A、3+6＝9＜10，不能构成三角形，则此项不能搭建一个三角形木架，此选项错误，不符合题意； B、2+5＝7＜8，不能构成三角形，则此项不能搭建一个三角形木架，此选项错误，不符合题意； C、3+4＞5，5﹣4＜3，能构成三角形，则此项能搭建一个三角形木架，此选项正确，符合题意； D、1+5＝6，不能构成三角形，则此项不能搭建一个三角形木架，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为7cm和14cm，第三根木条的长度可以是（　　） A．5cm B．18cm C．21cm D．23cm 【答案】B 【解答】解：A、7+5＜14，不能构成三角形，故A不符合题意； B、7+14＞18，能构成三角形，故B符合题意； C、7+14＝21，不能构成三角形，故C不符合题意； D、7+14＜23，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 【变式2】若三角形两边a、b的长分别为3和4，则第三边c的取值范围是（　　） A．1≤c≤7 B．1＜c＜8 C．1＜c＜7 D．2＜c＜9 【答案】C 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：4﹣3＜c＜4+3， 解得：1＜c＜7， 故选：C． 【变式3】下列长度的三条线段能构成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．3，4，7 C．5，6，10 D．5，6，11 【答案】C 【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A中，3+4＝7＜8，不能组成三角形； B中，3+4＝7，不能组成三角形； C中，5+6＝11＞10，能够组成三角形； D中，5+6＝11，不能组成三角形． 故选：C． 题型4 三角形内角和定理 解｜题｜知｜识 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【典例1】如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝68°，则∠β的度数是（　　） A．44° B．45° C．46° D．47° 【答案】A 【解答】解：当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝68°， ∵∠2+∠3＝180°﹣∠α＝180°﹣68°＝112°． ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝2×112°＝224°， ∴∠5+∠6＝180°﹣（∠1+∠2）+180°﹣（∠3+∠4）＝360°﹣224°＝136°， ∴∠β＝180°﹣（∠5+∠6）＝44°． 故选：A． 【变式1】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，若∠A＝60°，则∠D的度数为（　　） A．100° B．120° C．130° D．150° 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝60°， ∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣60°＝120°， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB（∠ACB+∠ABC）120°＝60°， ∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣60°＝120°． 故选：B． 【变式2】若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4， ∴三个内角分别是180°40°，180°60°，180°80°． 所以该三角形是锐角三角形． 故选：A． 【变式3】已知△DEF中，∠D＝42°，∠E＝73°，则∠F的度数为（　　） A．65° B．75° C．85° D．95° 【答案】A 【解答】解：根据题意知，∠D＝42°，∠E＝73°， ∠F＝180°﹣42°﹣73°＝65°． 则∠F的度数为65°． 故选：A． 过 关 验 收 1．下列分类正确的是（　　） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【答案】D 【解答】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形． 故选：D． 2．在△ABE中，AB边所对的角是（　　） A．∠ADB B．∠AEB C．∠ACB D．∠AEC 【答案】B 【解答】解：由题意得，在△ABE中，AB边所对的角是∠AEB， 故选：B． 3．用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：等边三角形是特殊的等腰三角形，B可以表示它们彼此之间的包含关系． 故选：B． 4．下列说法正确的是（　　） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】B 【解答】解：①等腰三角形一定不一定是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，故①错误； ②三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，故②错误； ③等腰三角形至少有两边相等，有两条边相等的三角形是等腰三角形，故③正确； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确． 综上，正确的有③④． 故选：B． 5．图中共有三角形 　8　 个． 【答案】8． 【解答】解：①△BDO，△ABO，△AOE，共3个； ②△ABD，△ADC，2个； ③△ABE，△BCE，2个； ④△ABC，1个； 综上，图中共有共8个三角形． 故答案为：8． 6．在△ABC中，AD，BE为三角形的高，M为AD，BE所在直线的交点，∠BMD＝52°，则∠C的度数是　52°或128°　 ． 【答案】52°或128°． 【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，即∠C为锐角，如图所示， ∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠AME+∠DAC＝90°，∠DAC+∠C＝90°， ∴∠AME＝∠C， ∵∠BMD＝∠AME＝52°， ∴∠C＝52°． 当△ABC为钝角三角形时，即∠C为钝角，如图所示， ∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠MDB＝90°，∠CEB＝90°， ∴∠DMB+∠DBM＝90°，∠DBM+∠BCE＝90°， ∴∠DMB＝∠BCE， ∵∠DMB＝52°， ∴∠BCE＝52°， ∴∠ACB＝180°﹣52°＝128°． 故答案为：52°或128°． 7．观察以下图形，回答问题： （1）图②有　3　 个三角形；图③有　5　 个三角形；图④有　7　 个三角形；…猜测第七个图形中共有　13　 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　（2n﹣1）　 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1； 图③有5个三角形，5＝2×3﹣1； 图④有7个三角形，7＝2×4﹣1； ∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形． 故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）． 8．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：线段BE是△ABC的高的是选项A中的图形； 故选：A． 9．如图，在△ABC中，BC边上的高是（　　） A．线段AE B．线段BD C．线段BF D．线段CF 【答案】A 【解答】解：由图可知：BC边上的高是线段AE； 故选：A． 10．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB＝2BF B．AE＝BE C． D．CD⊥AB 【答案】B 【解答】解：A、∵CF是边AB的中线， ∴AB＝2BF，正确，不符合题意； B、无法证明AE＝BE，说法错误，符合题意； C、∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE∠ACB，正确，不符合题意； D、∵CD是△ABC的高， ∴CD⊥AB，正确，不符合题意， 故选：B． 11．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【答案】B 【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 故选：B． 12．如图，AD是△ABC的中线，AB＝6，AC＝10，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长为AB+AD+BD，△ACD的周长为AC+AD+CD， ∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝AC﹣AB＝10﹣6＝4． 故选：C． 13．下列图形中，正确画出AC边上的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、图中没有画出AC边上的高，不符合题意； B、图中没有画出的BE是AC边上的高，不符合题意； C、图中没有画出AC边上的高，不符合题意； D、图中画出AC边上的高，符合题意； 故选：D． 14．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故A不符合题意； B、钝角三角形，三条高线交于三角形的外部，故B不符合题意； C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，故C符合题意； D、能确定C正确，故D不符合题意． 故选：C． 15．如图，AD是△ABC的中线，BC＝6cm，则CD＝ 　3　 cm． 【答案】3． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝6cm， ∴CDBC6＝3cm． 故答案为：3． 16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则可以作为图中△ABC的高的线段共有　3　 条． 【答案】3 【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D， 则可以作为图中△ABC的高的线段共有3条，即AC，BC，CD． 故答案为：3． 17．如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝9，求AC的长． 【答案】（1）40°； （2）AC＝6． 【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝35°， ∴∠3＝∠1+∠2＝70°， ∴∠3＝∠4＝70°， ∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝40°； （2）∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长比△ACD的周长大3， ∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝3， ∴AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝3， ∴AB﹣AC＝3， ∵AB＝9， ∴AC＝6． 18．下列长度的四根木棒中，能与长为5，10的两根木棒首尾顺次相接围成一个三角形的是（　　） A．4 B．5 C．8 D．16 【答案】C 【解答】解：设第三边为c， 则根据三角形的三边关系得，10﹣5＜c＜10+5， 解得5＜c＜15． ∴四个选项中只有8正确，符合要求． 故选：C． 19．已知点A，B，C，D在同一平面内，且AB＝3，BC＝5，CD＝4，DA＝6，则AC的长不可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解答】解：在△ABC中，由三角形三边关系可得5﹣3＜AC＜5+3，即2＜AC＜8，共线时取等号； 在△ADC中，由三角形三边关系可得6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，共线时取等号； 综上所述，可知2≤AC≤8， 结合点A，B，C，D在同一平面内，可得AC的长不可以是10． 故选：D． 20．已知△ABC的两边长分别为4，8，则第三边长可能是 　5（答案不唯一）　 ．（写一个即可） 【答案】5 （答案不唯一）． 【解答】解：设第三边长为x， 则根据三角形的三边关系得，8﹣4＜x＜4+8， 即4＜x＜12， 所以第三边长可能是5， 故答案为：5 （答案不唯一）． 21．如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是　乙　 （填“甲”或“乙”）． 【答案】乙． 【解答】解：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为a，剪成两段长度分别为m、n，甲小棒长度为b， ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即a＞b， ∴m+n＞b， ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， 由图可知，乙小棒的长度大于甲小棒， ∵甲小棒剪成的两根小棒的和小于乙小棒， ∴围不成三角形，不符合题意； 综上所述，剪开的小棒是乙． 故答案为：乙． 22．若a、b、c是三角形的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝ a+b﹣3c ． 【答案】a+b﹣3c． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|﹣|a﹣b﹣c| ＝a+b﹣c﹣[﹣（b﹣a﹣c）]﹣[﹣（a﹣b﹣c）] ＝a+b﹣c+b﹣a﹣c+a﹣b﹣c ＝a+b﹣3c． 故答案为：a+b﹣3c． 23．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为 　1.5或4　 ． 【答案】1.5或4． 【解答】解：设三角形ABC中，第三条边AB＝x，AC＝2，BC＝3， 等腰△ABC是“倍长三角形”， ①当AB＝2AC，即x＝4， ∴△ABC三边分别是2，3，4，符合题意， ②当AC＝2BC，即x＝6， ∴△ABC三边分别是2，3，6， ∵2+3＜6， ∴此时不能构成三角形，这种情况不存在； ③当AC＝2AB＝2，即x＝1， ∴1+2＝3， ∴此时不能构成三角形，这种情况不存在； ④当BC＝2AB＝3，即x＝1.5， ∴△ABC三边分别是1.5，2，3，符合题意， 综上所述，第三条边的长为是4或1.5， 故答案为：1.5或4． 24．在△ABC中，AB＝6，BC＝4，若AC的长是偶数，则△ABC的周长为　14或16或18　 ． 【答案】14或16或18． 【解答】解：∵根据三角形的三边关系可得，6﹣4＜AC＜6+4， 解得2＜AC＜10， ∵AC长是偶数， ∴AC为4或6或8， 所以周长为：14或16或18， 故答案为：14或16或18． 25．已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， ∵c为奇数， ∴c＝5， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+5＝12． （2）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0， ∴|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c| ＝a﹣c+b﹣[﹣（b﹣c﹣a）]﹣（a+b+c） ＝a﹣c+b+b﹣c﹣a﹣a﹣b﹣c ＝b﹣a﹣3c． 26．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝126°，∠C＝38°，则∠DAE的度数是（　　） A．10° B．11° C．12° D．13° 【答案】B 【解答】解：∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝126°， ∴∠EAC63°， ∵AD⊥BC，∠C＝38°， ∴∠CAD＝52°， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝11°； 故选：B． 27．具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．∠A﹣∠B＝90° D．∠C＝2∠A＝2∠B 【答案】C 【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，且∠A+∠B＝∠C， ∴∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故A不符合题意； ∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+2∠A+3∠A＝180°， ∴∠A＝30°， ∴∠C＝3∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故B不符合题意； ∵∠A﹣∠B＝90°， ∴∠A＝90°+∠B， ∴∠A＞90°， ∴△ABC是钝角三角形，而不是直角三角形， 故C符合题意； ∵∠C＝2∠A＝2∠B， ∴∠A＝∠B∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故D不符合题意， 故选：C． 28．将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝45°，∠BFE＝15°，则∠1的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】C 【解答】解：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BEF＝∠ABC﹣∠BFE＝45°﹣15°＝30°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠1＝180°﹣90°﹣30°＝60°． 故选：C． 29．如图，在△ABC中，点P为△ABC内部的一个定点，∠ABP+∠ACP＝70°，将△ABC沿DE折叠使点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．150° 【答案】B 【解答】解：根据题意可知：∠PDE＝∠ADE，∠PED＝∠AED（折叠的性质）， ∴∠1+2∠ADE＝180°，∠2+2∠AED＝180°． ∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）＝360°， 又∵∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2+2（180°﹣∠A）＝360°，即， ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠A﹣（∠ABP+∠ACP）＝180°﹣40°﹣70°＝70°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣70°＝110°， 则∠BPC的度数是110°， 故选：B． 30．如图，直线a、b分别经过Rt△ABC（∠ACB＝90°）的顶点B、C．若a∥b，∠1＝26°，则∠2的大小为（　　） A．54° B．64° C．74° D．66° 【答案】B 【解答】解：如图， ∵a∥b，∠1＝26°， ∴∠3＝∠1＝26°（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠2＝180°﹣∠ACB﹣∠3＝180°﹣90°﹣26°＝64°． 故选：B． 31．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B＝ 　35°　 ． 【答案】35° 【解答】解：∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠EAD+∠2， ∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝40°﹣25°＝15°， Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°﹣15°＝35°． 故答案为：35°． 32．△ABC中，∠A是∠B的2倍，且∠C比∠A+∠B大12°，试判断△ABC的形状并说明理由． 【答案】△ABC为钝角三角形，理由见解析． 【解答】解：△ABC为钝角三角形，理由如下： 设∠B的度数为x，则∠A的度数为2x， 而∠C比∠A+∠B大12°， 所以∠C的度数为3x+12°， 因为∠A+∠B+∠C＝180°， 所以2x+x+3x+12°＝180°， 解得x＝28°， 所以∠C＝3×28°+12°＝96°， 所以△ABC为钝角三角形． 33．如图，在△ABC中，∠A＝40°． （1）若∠B＝80°，求∠ACB的度数． （2）若∠1＝130°，求∠B的度数． 【答案】（1）60°； （2）90°． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣80°＝60°， 即∠ACB的度数为60°． （2）∵在△ABC中，∠1＝∠A+∠B， ∴∠B＝∠1﹣∠A＝130°﹣40°＝90°． 34．在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知∠A，∠B，∠C是△ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点C作DE∥AB；小星作的辅助线如图②，作AB的延长线AF，作BE∥AC；小红作的辅助线如图③，作CG∥AB； 请你认真阅读思考并完成如下问题： （1）请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． （2）在图2中，求证：∠CBF＝∠A+∠C． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】（1）解：选择小星的作图进行证明 ∵BE∥AC， ∴∠A＝∠EBF，∠C＝∠CBE， ∵∠EBF+∠CBE+∠ABC＝180°， ∴∠A+∠C+∠ABC＝180°， 选择小颖的作图进行证明： ∵DE∥AB， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE， ∵∠ACD+∠BCE+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°， 选择小红的作图进行证明： ∵CG∥AB， ∴∠A+∠ACG＝180°，∠B＝∠BCG， ∴∠A+∠ACB+∠BCG＝180°， ∴∠B+∠A+∠ACB＝180°； （2）证明：∵BE∥AC ∴∠A＝∠EBF，∠C＝∠CBE， ∴∠A+∠C＝∠EBF+∠CBE， ∵∠CBF＝∠EBF+∠CBE， ∴∠CBF＝∠A+∠C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 认识三角形 内 容 导 航 题型1 三角形 题型2 三角形的角平分线、中线和高 题型3 三角形三边关系 题型4 三角形内角和定理 题型1 三角形 解｜题｜知｜识 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 【典例1】小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（　　） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角45° D．两条直角边相等 【变式1】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，以AB为边的三角形共有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3】观察下列图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 题型2 三角形的角平分线、中线和高 解｜题｜知｜识 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【典例1】如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上的一点，CF⊥AD于点H．下列判断错误的有（　　） A．AG是△ABE的角平分线 B．CH为△ACD边AD上的高 C．BE是△ABD边AD上的中线 D．AH为△AFC的高线 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段CD、CE分别为△ABC的高和中线，下列说法中错误的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠BCE＝∠ACD C．2CE＝AB D．2AC＝AB 【变式2】如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图△ABC中，AD是哪条边上的高（　　） A．AB B．AC C．BC D．BD 题型3 三角形三边关系 解｜题｜知｜识 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【典例1】学校马师傅为了绿化校园工作，需要搭建一个三角形木架，他去库房取了三根木条，请你帮他选择以下选项中哪三根木条能够完成搭建工作（　　） A．3，10，6 B．2，5，8 C．3，4，5 D．1，5，6 【变式1】木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为7cm和14cm，第三根木条的长度可以是（　　） A．5cm B．18cm C．21cm D．23cm 【变式2】若三角形两边a、b的长分别为3和4，则第三边c的取值范围是（　　） A．1≤c≤7 B．1＜c＜8 C．1＜c＜7 D．2＜c＜9 【变式3】下列长度的三条线段能构成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．3，4，7 C．5，6，10 D．5，6，11 题型4 三角形内角和定理 解｜题｜知｜识 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【典例1】如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝68°，则∠β的度数是（　　） A．44° B．45° C．46° D．47° 【变式1】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，若∠A＝60°，则∠D的度数为（　　） A．100° B．120° C．130° D．150° 【变式2】若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3】已知△DEF中，∠D＝42°，∠E＝73°，则∠F的度数为（　　） A．65° B．75° C．85° D．95° 过 关 验 收 1．下列分类正确的是（　　） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 2．在△ABE中，AB边所对的角是（　　） A．∠ADB B．∠AEB C．∠ACB D．∠AEC 3．用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（　　） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④ 5．图中共有三角形 　 　 个． 6．在△ABC中，AD，BE为三角形的高，M为AD，BE所在直线的交点，∠BMD＝52°，则∠C的度数是　 　 ． 7．观察以下图形，回答问题： （1）图②有　 　 个三角形；图③有　 　 个三角形；图④有　 个三角形；…猜测第七个图形中共有　 　 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　 　 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 8．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，BC边上的高是（　　） A．线段AE B．线段BD C．线段BF D．线段CF 10．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB＝2BF B．AE＝BE C． D．CD⊥AB 11．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 12．如图，AD是△ABC的中线，AB＝6，AC＝10，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 13．下列图形中，正确画出AC边上的高的是（　　） A． B． C． D． 14．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 15．如图，AD是△ABC的中线，BC＝6cm，则CD＝ 　 　 cm． 16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则可以作为图中△ABC的高的线段共有　 　 条． 17．如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝9，求AC的长． 18．下列长度的四根木棒中，能与长为5，10的两根木棒首尾顺次相接围成一个三角形的是（　　） A．4 B．5 C．8 D．16 19．已知点A，B，C，D在同一平面内，且AB＝3，BC＝5，CD＝4，DA＝6，则AC的长不可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．10 20．已知△ABC的两边长分别为4，8，则第三边长可能是 　 　 ．（写一个即可） 21．如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是 　 （填“甲”或“乙”）． 22．若a、b、c是三角形的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝ ． 23．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为 　 　 ． 24．在△ABC中，AB＝6，BC＝4，若AC的长是偶数，则△ABC的周长为　 ． 25．已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 26．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝126°，∠C＝38°，则∠DAE的度数是（　　） A．10° B．11° C．12° D．13° 27．具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．∠A﹣∠B＝90° D．∠C＝2∠A＝2∠B 28．将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝45°，∠BFE＝15°，则∠1的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 29．如图，在△ABC中，点P为△ABC内部的一个定点，∠ABP+∠ACP＝70°，将△ABC沿DE折叠使点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．150° 30．如图，直线a、b分别经过Rt△ABC（∠ACB＝90°）的顶点B、C．若a∥b，∠1＝26°，则∠2的大小为（　　） A．54° B．64° C．74° D．66° 31．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B＝ 　 　 ． 32．△ABC中，∠A是∠B的2倍，且∠C比∠A+∠B大12°，试判断△ABC的形状并说明理由． 33．如图，在△ABC中，∠A＝40°． （1）若∠B＝80°，求∠ACB的度数． （2）若∠1＝130°，求∠B的度数． 34．在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知∠A，∠B，∠C是△ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点C作DE∥AB；小星作的辅助线如图②，作AB的延长线AF，作BE∥AC；小红作的辅助线如图③，作CG∥AB； 请你认真阅读思考并完成如下问题： （1）请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． （2）在图2中，求证：∠CBF＝∠A+∠C． 学科网（北京）股份有限公司 $