专题01认识三角形同步培优讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义围绕“认识三角形”核心知识点，从定义与基本元素切入，按角和边分类后，系统学习内角和定理、三边关系，再深入探究高线、中线、角平分线等重要线段及稳定性，构建递进式学习支架。 资料亮点在于18类题型覆盖全面，通过折叠角度计算、中线面积问题等实例，培养几何直观与推理能力，知识清单规范几何符号表达。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与应用意识。

专题01认识三角形同步培优讲义 ✺知识框架 1.三角形的定义与基本元素：定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形），基本元素（顶点、边、内角）及表示方法。 2.三角形的分类：按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。 3.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 4.三角形三边关系：任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边。 5.三角形的重要线段与稳定性：高线、中线、角平分线的概念与特征，以及三角形的稳定性。 ✅本节以 "认识三角形" 为主线：先认识由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的三角形，及其顶点、边、内角三个基本元素，并按角、按边对三角形分类；再掌握三角形的两个基本性质 —— 三个内角的和等于 180°，任何两边的和大于第三边、任何两边的差小于第三边；最后认识高线、中线、角平分线三条重要线段，它们分别交于一点，并了解三角形具有稳定性 ✺学习目标 1.理解三角形的定义，掌握三角形的基本元素及表示方法，能按角、按边对三角形进行分类。 2.掌握三角形三边关系定理及其推论，能判断三条线段能否组成三角形，并能确定第三边的取值范围。 3.掌握三角形内角和定理，能利用它求三角形中角的度数。 4.理解三角形的高线、中线、角平分线的概念，掌握其符号表示与基本特征，能正确作出三角形的高线、中线、角平分线，并了解三角形的稳定性。 ✺题型归纳 题型1.三角形的识别与有关概念 题型2.三角形的个数问题 题型3.与平行线有关的三角形内角和问题 题型4.与角平分线有关的三角形内角和问题 题型5.三角形折叠中的角度问题 题型6.三角形内角和定理的应用 题型7.三角形的分类 题型8.构成三角形的条件 题型9.确定第三边的取值范围 题型10.三角形三边关系的应用 题型11.三角形角平分线的定义 题型12.根据三角形中线求长度 题型13.根据三角形中线求面积 题型14.重心的概念 题型15.画三角形的高 题型16.与三角形的高有关的计算问题 题型17.垂心 题型18.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、三角形的定义与基本元素 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。 2.基本元素：（1）顶点：相邻两边的公共端点； （2）边：组成三角形的线段； （3）内角：相邻两边所组成的角，简称三角形的角。 3.表示方法：三角形用符号 "△" 表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作△ABC；边 BC、CA、AB 分别记作 a、b、c，内角记作∠A、∠B、∠C。 知识点二、三角形的分类 1.按角分类：锐角三角形（三个内角都是锐角）、直角三角形（有一个内角是直角）、钝角三角形（有一个内角是钝角）。 2.按边分类：不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（有两边相等）、等边三角形（三边都相等）；等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点三、三角形内角和定理 1.定理：三角形三个内角的和等于 180°，即在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝180°。 2.应用：已知任意两个内角的度数，可求第三个内角；已知三个内角的关系，可求各内角的度数。 知识点四、三角形三边关系 1.定理：三角形任何两边之和大于第三边。 2.推论：三角形任何两边之差小于第三边。 3.依据：两点之间线段最短。 4.应用： （1）判断三条线段能否组成三角形：若较短两条线段之和大于最长线段，则可以组成三角形； （2）已知两边长 a、b，则第三边 c 的取值范围为 | a−b|＜c＜a＋b。 知识点五、三角形的重要线段 1.三角形的高 定义： 从三角形一个顶点向它对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高。 ▲注意：高是线段，垂线是直线， 几何表达形式：AD是△ABC的边BC上的高或AD⊥BC于点D或∠ADB=∠ADC=90° 2.三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 注意：任意三角形都有三条中线，且全部位于三角形内部。 ★三角形的中线所分成的两个三角形的面积相等. 几何表达形式：AD是△ABC的边BC上的中线或BD=DC=BC或BC=2BD=2DC或D为BC中点。 3.三角形的角平分线 定义：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 注意：任意三角形有三条角平分线，均在三角形内部。 ★三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。 几何表达形式：AD是△ABC的角平分线或∠BAD=∠CAD=∠BAC 4.“三线”的交点：一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，它们所在的直线都分别相交于一点。 三种线段 线的位置 交点名称 图形 三角形的高 锐角三角形：三条高均在三角形内部； 直角三角形：两条高与直角边重合、一条高在内部； 钝角三角形：两条高在三角形外部、一条高在内部； 垂心 三角形的中线 无论锐角、直角、钝角三角形，三条中线全部在三角形内部 重心 三角形的角平分线 无论锐角、直角、钝角三角形，三条角平分线全部在三角形内部， 内心 ☘备注：垂心、重心、内心为本节拓展内容。 知识点六、三角形的稳定性 1.定义：只要三角形三边的长度确定了，它的形状和大小就确定了，这个性质叫做三角形的稳定性。 2.性质对比：三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 3.实际应用：桥梁、起重机、人字形屋顶等建筑与器械，都会利用三角形的稳定性。 ✺题型精讲 题型1.三角形的识别与有关概念 1．如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 2．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 3．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，如下图，以为公共角的“共角三角形”有几对？请写出来． 题型2.三角形的个数问题 1．如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图所示，图中共有三角形______个． 3．如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形． 题型3.与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，在中，，，，则的度数是________． 3．如图，E是线段上一点，与平行吗？为什么？ 题型4.与角平分线有关的三角形内角和问题 1．如图，中，、分别是、的平分线，，则等于（     ）． A． B． C． D． 2．如图，在中，是边上的高，平分交于点E，，，则_______． 3．如图，在中，，，平分求与的度数． 题型5.三角形折叠中的角度问题 1．如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，长方形纸片中，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在点的位置，点落在点的位置（点在点右侧）．若，则__________． 3．在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数． 题型6.三角形内角和定理的应用 1．如图，的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知的三个内角分别是、、，若，，则________°． 3．在中，已知，，的度数之比为，求，和的度数． 题型7.三角形的分类 1．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 2．小明通过测量角的度数来判定三角形的形状时，不小心把墨水倒在了图形上，如图通过测量测得中，，则是___________三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 3．如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 题型8.构成三角形的条件 1．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 2．给出四组线段：①、、；②三边之比为；③、、；④、、；其中能组成三角形的有_________． 3．三角形的两边长分别为和，第三边与前两边中的一边相等，求第三边的长． 题型9.确定第三边的取值范围 1．在手工课上，小明有两根长度分别是和的木棒，他想再取一根木棒与已有的两根木棒首尾相接拼成一个三角形．他再取的这根木棒的长度可以是（   ） A． B． C． D． 2．已知一个三角形的三边长分别为3，6，，若为奇数，则的值可以为________．(写出一个即可) 3．已知一个三角形的一边长为7，另一边长为3，若第三边长为，且为3的倍数，求这个三角形的周长． 题型10.三角形三边关系的应用 1．如图，小明为估计池塘岸边，间的距离，在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 2．如果三角形的三条边长中存在一边是另一边的两倍关系，则称这样的三角形为“倍边三角形”．若一个倍边三角形的两边长为6和8，且第三边长大于这两个边长，则第三边长的值为_______． 3．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． 题型11.三角形角平分线的定义 1．如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 2．如图，已知，，，且，平分分别交、的延长线于点M、N．则______． 3．如图，在中， (1)求证∶为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 题型12.根据三角形中线求长度 1．如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 3．如图，在中,是边上的中线,周长比周长多的周长L为长为，求和的长． 题型13.根据三角形中线求面积 1．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 3．发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到______（填“”“”或“”）； (2)如图，三角形薄板的三条中线，，相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 题型14.重心的概念 1．如图，在正方形网格图中，均为格点，则的重心在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 2．如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平．如图2，取下布料后测得的面积为5，则的面积为_____． 3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上，点是与格线交点． (1)的度数为_______； (2)请用无刻度的直尺，确定的重心； (3)请用无刻度的直尺，确定边的中点．（只需在网格中作图，保留作图痕迹，不需要写画法，不需要证明） 题型15.画三角形的高 1．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，，在中，边上的高是________． 3．如图，已知，，． (1)在中，边上的高是________； (2)在中，边上的高是________； (3)在中，边上的高是________． 题型16.与三角形的高有关的计算问题 1．已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 2．在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 3．如图，在中，，，的高和的比是多少？ 题型17.垂心 1．下列说法不正确的是（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 B．锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部 C．直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点 D．钝角三角形三条边的垂直平分线的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部 2．如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ______． 3．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，、分别是的边、的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 2．一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 3．若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 5．如图，点，分别在的边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上处，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，图中有________个三角形，以为边的三角形有________；在中，的对边是________；在中，的对边是________；在中，边的对角是________． 7．如图，是的外角，，若，，则为______． 8．用长度为的细绳围成一个有一边长为的等腰三角形，三角形的三边长分别为______． 9．如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 10．如图，，，，用小钉子把木棒和，和分别在端点，处连接起来，用橡皮筋把连接起来． （1）设橡皮筋的长为，则的最大值是________，最小值是_______． （2）若围成一个四边形，则橡皮筋的长的取值范围是________． （3）连接，若，的长为整数，则的长是_______． 三、解答题 11．作图： (1)作三角形的三条角平分线； (2)作三角形的三条高． 12．如图，在中，，，平分，交于，，交于，则的大小是多少？ 13．如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，求与的周长之差； (2)当，时，求的度数． 14．如图，在中，、分别是的高和角平分线，，． (1)若，，求的度数； (2)试用、的代数式表示的度数． 15．【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点． （1）①如图1，在中，，则三条高线所在的直线交于点___________ ②如图2，在中，，已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺做出的第三条高（不写做法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E ①若，，则___________ ②请写出于之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是上的一点，则有．如图5，中，M是上一点， ，N是中点．若的面积是m，请直接写出四边形的面积___________．（用含m的代数式表示） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01认识三角形同步培优讲义 ✺知识框架 1.三角形的定义与基本元素：定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形），基本元素（顶点、边、内角）及表示方法。 2.三角形的分类：按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。 3.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 4.三角形三边关系：任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边。 5.三角形的重要线段与稳定性：高线、中线、角平分线的概念与特征，以及三角形的稳定性。 ✅本节以 "认识三角形" 为主线：先认识由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的三角形，及其顶点、边、内角三个基本元素，并按角、按边对三角形分类；再掌握三角形的两个基本性质 —— 三个内角的和等于 180°，任何两边的和大于第三边、任何两边的差小于第三边；最后认识高线、中线、角平分线三条重要线段，它们分别交于一点，并了解三角形具有稳定性 ✺学习目标 1.理解三角形的定义，掌握三角形的基本元素及表示方法，能按角、按边对三角形进行分类。 2.掌握三角形三边关系定理及其推论，能判断三条线段能否组成三角形，并能确定第三边的取值范围。 3.掌握三角形内角和定理，能利用它求三角形中角的度数。 4.理解三角形的高线、中线、角平分线的概念，掌握其符号表示与基本特征，能正确作出三角形的高线、中线、角平分线，并了解三角形的稳定性。 ✺题型归纳 题型1.三角形的识别与有关概念 题型2.三角形的个数问题 题型3.与平行线有关的三角形内角和问题 题型4.与角平分线有关的三角形内角和问题 题型5.三角形折叠中的角度问题 题型6.三角形内角和定理的应用 题型7.三角形的分类 题型8.构成三角形的条件 题型9.确定第三边的取值范围 题型10.三角形三边关系的应用 题型11.三角形角平分线的定义 题型12.根据三角形中线求长度 题型13.根据三角形中线求面积 题型14.重心的概念 题型15.画三角形的高 题型16.与三角形的高有关的计算问题 题型17.垂心 题型18.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、三角形的定义与基本元素 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。 2.基本元素：（1）顶点：相邻两边的公共端点； （2）边：组成三角形的线段； （3）内角：相邻两边所组成的角，简称三角形的角。 3.表示方法：三角形用符号 "△" 表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作△ABC；边 BC、CA、AB 分别记作 a、b、c，内角记作∠A、∠B、∠C。 知识点二、三角形的分类 1.按角分类：锐角三角形（三个内角都是锐角）、直角三角形（有一个内角是直角）、钝角三角形（有一个内角是钝角）。 2.按边分类：不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（有两边相等）、等边三角形（三边都相等）；等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点三、三角形内角和定理 1.定理：三角形三个内角的和等于 180°，即在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝180°。 2.应用：已知任意两个内角的度数，可求第三个内角；已知三个内角的关系，可求各内角的度数。 知识点四、三角形三边关系 1.定理：三角形任何两边之和大于第三边。 2.推论：三角形任何两边之差小于第三边。 3.依据：两点之间线段最短。 4.应用： （1）判断三条线段能否组成三角形：若较短两条线段之和大于最长线段，则可以组成三角形； （2）已知两边长 a、b，则第三边 c 的取值范围为 | a−b|＜c＜a＋b。 知识点五、三角形的重要线段 1.三角形的高 定义： 从三角形一个顶点向它对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高。 ▲注意：高是线段，垂线是直线， 几何表达形式：AD是△ABC的边BC上的高或AD⊥BC于点D或∠ADB=∠ADC=90° 2.三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 注意：任意三角形都有三条中线，且全部位于三角形内部。 ★三角形的中线所分成的两个三角形的面积相等. 几何表达形式：AD是△ABC的边BC上的中线或BD=DC=BC或BC=2BD=2DC或D为BC中点。 3.三角形的角平分线 定义：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 注意：任意三角形有三条角平分线，均在三角形内部。 ★三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。 几何表达形式：AD是△ABC的角平分线或∠BAD=∠CAD=∠BAC 4.“三线”的交点：一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，它们所在的直线都分别相交于一点。 三种线段 线的位置 交点名称 图形 三角形的高 锐角三角形：三条高均在三角形内部； 直角三角形：两条高与直角边重合、一条高在内部； 钝角三角形：两条高在三角形外部、一条高在内部； 垂心 三角形的中线 无论锐角、直角、钝角三角形，三条中线全部在三角形内部 重心 三角形的角平分线 无论锐角、直角、钝角三角形，三条角平分线全部在三角形内部， 内心 ☘备注：垂心、重心、内心为本节拓展内容。 知识点六、三角形的稳定性 1.定义：只要三角形三边的长度确定了，它的形状和大小就确定了，这个性质叫做三角形的稳定性。 2.性质对比：三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 3.实际应用：桥梁、起重机、人字形屋顶等建筑与器械，都会利用三角形的稳定性。 ✺题型精讲 题型1.三角形的识别与有关概念 1．如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的内角的定义判断解得即可． 本题考查了三角形的内角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义，得以为角的三角形是，， 故选：A． 2．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的边角关系，利用三角形中大边对大角的性质，确定各边对应的对角，即可比较三个角的大小． 【详解】解：在任意三角形中，大边对大角，在中，边的对角为，边的对角为，边的对角为， ， ． 3．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，如下图，以为公共角的“共角三角形”有几对？请写出来． 【答案】6对．“共角三角形”有与，与，与，与，与，与． 【分析】本题考查了共角三角形的定义，正确理解定义是解题的关键. 根据有一个公共角的两个三角形为一对共角三角形，首先确定三角形的角，然后确定三角形即可. 【详解】解：以为公共角的“共角三角形”有与、与、 与、与、与、和共6对. 故答案为：6 ． 题型2.三角形的个数问题 1．如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 【详解】解：以为公共角的三角形有，，共个， 故选：． 2．如图所示，图中共有三角形______个． 【答案】5/五 【详解】解：图中有：，，，，，共个． 3．如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形． 【答案】9个三角形，分别为，， 【分析】本题主要考查了三角形个数问题，不在同一直线上的三点可以组成一个三角形，那么线段a上取一个点，线段b上取两个点，这三个点可组成一个三角形或线段a上取两个点，线段b上取一个点，这三个点可组成一个三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵不在同一直线上的三点可以组成一个三角形， ∴可以组成的三角形有，，，共9个三角形． 题型3.与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．如图所示，在中，，，，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】先根据三角形内角和定理求出，根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 3．如图，E是线段上一点，与平行吗？为什么？ 【答案】 解：，理由如下： 过点E作． ∴． ∵， ∴ ∵， ∴（垂直定义）． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 【分析】过点E作．根据平行线的性质及等量代换可得，然后由余角的性质及三角形内角和定理可得．再由平行线的判定与推论即可解答． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂线的定义、三角形的内角和等知识点，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 题型4.与角平分线有关的三角形内角和问题 1．如图，中，、分别是、的平分线，，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∴． 2．如图，在中，是边上的高，平分交于点E，，，则_______． 【答案】20 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理求出，从而即可得出结果． 【详解】解：∵平分交于点E， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 3．如图，在中，，，平分求与的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和为求出的度数，再根据角平分线的性质得出结果． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵平分， ∴． 题型5.三角形折叠中的角度问题 1．如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿着折叠，使点与点重合， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，长方形纸片中，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在点的位置，点落在点的位置（点在点右侧）．若，则__________． 【答案】/度 【分析】设，，用两种方法表示，求出的值，进而解题． 【详解】解：设，， 则，， ∵， ∴，， ∵， ， ∴， 化简得， ∴． 3．在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 根据折叠的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可； 【详解】解：由题意知：， ， ， ． 题型6.三角形内角和定理的应用 1．如图，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．已知的三个内角分别是、、，若，，则________°． 【答案】 80 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．在中，已知，，的度数之比为，求，和的度数． 【答案】，， 【分析】设，，，再由三角形内角和为计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，的度数之比为， ∴设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． 题型7.三角形的分类 1．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的具体形状，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ， ∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角， ∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ， ∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形， 综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能． 2．小明通过测量角的度数来判定三角形的形状时，不小心把墨水倒在了图形上，如图通过测量测得中，，则是___________三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理求出即可判断. 【详解】解：在中，， ∵, ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 3．如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形 【分析】本题考查了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义； 根据是直角，，可得，，是锐角，是锐角，是钝角，然后进行分类即可． 【详解】解：∵是直角， ∴，，是锐角， ∵，点E在线段上， ∴是锐角，是钝角， ∴是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形． 题型8.构成三角形的条件 1．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，选取每组线段中较小的两条边求和，与最长边比较大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，不能组成三角形，不符合题意． B选项， ，不能组成三角形，不符合题意． C选项，，不能组成三角形，不符合题意． D选项，，能组成三角形，符合题意． 2．给出四组线段：①、、；②三边之比为；③、、；④、、；其中能组成三角形的有_________． 【答案】①②④ 【分析】根据三角形三边关系，只需判断每组中较短两条线段的和是否大于最长线段，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：①对于线段、、，且，较短两边的和为， ∵， ∴，满足三边关系，可以组成三角形， ②三边比为，设三边长分别为、、（），较短两边的和为， ∵， ∴，满足三边关系，可以组成三角形， ③对于线段、、，较短两边的和为， ∵， ∴不满足三边关系，不能组成三角形， ④对于线段、、，且，较短两边的和为， ∵， ∴，满足三边关系，可以组成三角形， 综上所述：能组成三角形的是①②④． 3．三角形的两边长分别为和，第三边与前两边中的一边相等，求第三边的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，分第三边的长为和第三边的长为两种情况，结合三角形中，任意两边之和大于第三边进行讨论求解即可． 【详解】解：当第三边的长为，则此时这个三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，故此种情形不符合题意； 当第三边的长为，则此时这个三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，故此种情形符合题意； 综上所述，第三边的长为． 题型9.确定第三边的取值范围 1．在手工课上，小明有两根长度分别是和的木棒，他想再取一根木棒与已有的两根木棒首尾相接拼成一个三角形．他再取的这根木棒的长度可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，先求出第三边的取值范围，再匹配符合条件的选项即可． 【详解】解：设再取的木棒长度为，根据三角形三边关系，可得 ，即， 只有满足，因此选B． 2．已知一个三角形的三边长分别为3，6，，若为奇数，则的值可以为________．(写出一个即可) 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得到，再结合为奇数，即可得到符合条件的的值． 【详解】解：根据三角形三边关系可得 ∴ ． ∵为奇数，所以的值可以为，7． 3．已知一个三角形的一边长为7，另一边长为3，若第三边长为，且为3的倍数，求这个三角形的周长． 【答案】16或19 【分析】-本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系定理，第三边x的取值范围为大于两边之差、小于两边之和，再结合x是3的倍数，确定x的可能值，最后计算周长． 【详解】解：三角形的一边长为7，另一边长为3， ， 即， 为3的倍数， 或， 当时，周长为：， 当时，周长为：， 综上可知，周长为16或19． 题型10.三角形三边关系的应用 1．如图，小明为估计池塘岸边，间的距离，在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系定理，确定第三边的取值范围，进而判断选项即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据三角形的三边关系可得： ， 即 ，选项中只有符合该范围． 2．如果三角形的三条边长中存在一边是另一边的两倍关系，则称这样的三角形为“倍边三角形”．若一个倍边三角形的两边长为6和8，且第三边长大于这两个边长，则第三边长的值为_______． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形的三边关系，先理解“倍边三角形”，再进行分类讨论，然后结合三角形的三边关系进行作答． 【详解】解：∵一个倍边三角形的两边长为6和8，且第三边长大于这两个边长， ∴当第三边为时，则， ∴第三边长的值为； ∴当第三边为时，则，不符合三角形的三边关系， 综上：第三边长的值为， 故答案为：12 3．已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． 【答案】(1)是等边三角形 (2)的周长的最大值为19 【分析】本题考查了三角形的三边关系，非负数的性质，三角形的分类． （1）根据偶次幂的非负性可得，然后问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵为整数， ∴当时，的周长为最大，即为． 题型11.三角形角平分线的定义 1．如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 2．如图，已知，，，且，平分分别交、的延长线于点M、N．则______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义．正确的添加辅助线并确定角度之间的数量关系是解题的关键． 设，，则，，，，由角平分线可得，如图，作，则，可得，，，，则，根据，求得，然后求的值，进而可得的值． 【详解】解：设，，则，，，， ∵平分， ∴， 如图，作，则， ∴， ， ，， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中， (1)求证∶为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵在中，，， 且， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形； (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）在中，根据三角形内角和定理并结合已知求出，即可得证； （2）先根据垂直的定义以及三角形的内角和定理求出，然后根据角平分线的定义求出，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又， ∴ 又∵平分，且由（1）得：， ∴， ∴. 题型12.根据三角形中线求长度 1．如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【详解】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 2．如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 【答案】26 【分析】先计算的长度，由中线的定义得，进而即可求解． 【详解】解：的周长为24， ， ， 是的中线， ， ， ， 即的周长为26． 3．如图，在中,是边上的中线,周长比周长多的周长L为长为，求和的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质及周长的计算，解题的关键是利用中线得出，再结合周长差得到与的关系． 根据三角形中线的定义，，所以和的周长之差也就是与的差，然后列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：由三角形中线可知，， ∴， 即①， ∵的周长L为长为， ∴，即②， ①②得， 解得， ②①得， 解得． 题型13.根据三角形中线求面积 1．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∵点E是边上的中点， ∴，， ∴， ∵点F是边上的中点， ∴． 2．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 【答案】1 【分析】根据三角形的中点平分三角形的面积得到的面积是的面积的一半，即为．再根据点F是的中点即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半．则的面积是的面积的一半，即为． ∵点F是的中点， ∴阴影部分的面积是的面积的一半，即为． 3．发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到______（填“”“”或“”）； (2)如图，三角形薄板的三条中线，，相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 【答案】(1) (2) 三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等， 理由如下： 是的一条中线， 是的中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， ． (3) ，，， 理由如下： 由（2）可知，， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， 同理可得，，． 【分析】本题考查了三角形中线平分面积． （1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等． （2）利用（1）中结论可判断面积相等，面积相等，面积相等，再推导后即可证出六个小三角形面积均相等． （3）利用（2）中结论证明，可推导，用相同方法证明另外两个结论即可． 【详解】（1）解：和的底分别为，高为点到线段的距离，所以两个三角形等底同高，所以面积相等． 故答案为：． （2）略 （3）略 题型14.重心的概念 1．如图，在正方形网格图中，均为格点，则的重心在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】本题主要考查了重心的概念．根据三角形的重心是三角形中线的交点即可判断重心的位置． 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∵三角形的重心是三角形中线的交点， ∴它的重心在线段上． 故选：B． 2．如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平．如图2，取下布料后测得的面积为5，则的面积为_____． 【答案】10 【分析】此题主要考查了三角形重心的定义，三角形的面积，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等是解决问题的关键． 依题意得点O是的重心，则，，，根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，，由，得，进而得，再由，得，由此得，据此即可得出的面积． 【详解】解：依题意得：点O是的重心， ∴，，均为的中线， ∴，，， 根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，， ∵，， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上，点是与格线交点． (1)的度数为_______； (2)请用无刻度的直尺，确定的重心； (3)请用无刻度的直尺，确定边的中点．（只需在网格中作图，保留作图痕迹，不需要写画法，不需要证明） 【答案】(1) (2) 如图，点为的重心． (3)如图，点即为所求； 【分析】本题考查三角形的内角和，三角形的重心与中线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据三角形的内角和求解即可 （2）取格点，连接，取格点M，连接，交于点，连接并延长，与交于点，由点F为的中点，点E为的中点，得到点为的重心． （3）根据三角形的中线的交点即为三角形的重心，即可解答． 【详解】（1）解：由图，得， ∴． 故答案为：． （2）取格点，连接，取格点M，连接，交于点，连接并延长，与交于点； ∵是矩形， ∴点F为的中点， 同理可得，点E为的中点， ∴点为的重心． （3） 连接并延长，交于点即为所求． 题型15.画三角形的高 1．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，排除不垂直于及不过顶点的选项． 【详解】解：根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线.； 为钝角， 垂足落在的延长线上.； 图D中的延长线，符合定义，其它选项不符合定义． 2．如图，，，，在中，边上的高是________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形的高是指，从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答即可． 【详解】解：在中，边上的高应该是从向引垂线， ， 边上的高是． 故答案为：． 3．如图，已知，，． (1)在中，边上的高是________； (2)在中，边上的高是________； (3)在中，边上的高是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形的高的定义．根据从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高进行判断即可． 【详解】（1）解：在中，边上的高是； 故答案为：； （2）解：在中，边上的高是； 故答案为：； （3）解：在中，边上的高是． 故答案为：． 题型16.与三角形的高有关的计算问题 1．已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据面积求出，再分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，解得， 分两种情况： 当点在线段上时，如图所示： 则； 当点在线段的延长线上时，如图所示： ； 综上所述，的长为或． 2．在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】根据，结合三角形面积公式可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 3．如图，在中，，，的高和的比是多少？ 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：∵ ∴． 题型17.垂心 1．下列说法不正确的是（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 B．锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部 C．直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点 D．钝角三角形三条边的垂直平分线的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部 【答案】D 【分析】根据三角形三条边的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】A、三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故正确； B、锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部，故正确； C、直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点，故正确； D、钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，故错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形三条边的垂直平分线的性质，熟练掌握三角形三条边的垂直平分线的性质是解题的关键． 2．如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ______． 【答案】/42度 【分析】本题考查了三角形的三条高交于一点，三角形内角和定理．熟练掌握三角形的三条高交于一点是解题的关键． 如图，延长交于，则为边上的高，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， ∵两条高交于点O， ∴为边上的高，即， ∴， 故答案为：． 3．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 【答案】(1) 点即为所作； (2) 线段即为所作； 【分析】本题考查了重心和垂心的性质． （1）连接，，两线相交于点，作射线并延长交点，根据三角形三条中线相交于一点，即可判断点是的中点，点即为所作； （2）连接并延长交的延长线于点，连接交的延长线于点，根据三角形三条垂线相交于一点，即可得到，线段． 【详解】（1）略 （2）略 ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，、分别是的边、的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 【答案】D 【分析】本题考查了中线定义：在三角形中，从三角形的一个顶点到对边中点的线段叫三角形的中线． 根据中线定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是的中线，故A选项说法正确，不符合题意； B、是的中线，故B选项说法正确，不符合题意； C、由D，E分别是的边的中点，即，故C选项说法正确，不符合题意； D、在中，的对边是，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 2．一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】三角形按角分类由最大角的度数决定，需先结合内角和与角度比求出最大角的度数． 【详解】解：∵ 三角形内角和为，三个内角度数的比为． ∴最大角的度数为． ∴这个三角形是直角三角形． 3．若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的三边长分别是x，3，4， ∴x的取值范围是， 即． 4．如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：∵直线、， ∴， ∵，， ∴． 5．如图，点，分别在的边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上处，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可以求出，根据折叠的性质可以求出，利用三角形的内角和定理即可求出． 【详解】解：， ， 由折叠可知，， ， 在中， ． 二、填空题 6．如图，图中有________个三角形，以为边的三角形有________；在中，的对边是________；在中，的对边是________；在中，边的对角是________． 【答案】 3 【分析】利用三角形的定义以及三角形有关的角和边分别得出即可． 【详解】解：图中有3个三角形，以为边的三角形有；在中，的对边是；在中，的对边是；在中，边的对角是． 7．如图，是的外角，，若，，则为______． 【答案】 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质得出即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ， ． 8．用长度为的细绳围成一个有一边长为的等腰三角形，三角形的三边长分别为______． 【答案】，，或，， 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形三边关系是解题的关键． 根据等腰三角形的定义可分两种情况进行求解． 【详解】解：当边长为6cm是该等腰三角形的底边长时，则该等腰三角形的腰长为， ∴该等腰三角形的三边长分别为； 当边长为6cm是该等腰三角形的腰长时，则该等腰三角形的底边长为， 综上所述：该三角形的三边长为，，或，，， 故答案为：，，或，，． 9．如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义、平角的定义、三角形内角和定理． 根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理求出的度数；根据角平分线的定义得到，，继而得到，再利用平角的定义得到，进而根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵点在延长线上， ∴， ∴， ∴， ∵，在射线上， ∴， ∴． 10．如图，，，，用小钉子把木棒和，和分别在端点，处连接起来，用橡皮筋把连接起来． （1）设橡皮筋的长为，则的最大值是________，最小值是_______． （2）若围成一个四边形，则橡皮筋的长的取值范围是________． （3）连接，若，的长为整数，则的长是_______． 【答案】 【分析】（1）最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长； （2）当大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据（1）中的最大值和最小值即可确定的取值范围； （3）先根据三角形的三边关系求出的范围，再结合的长为整数的条件即可求解． 【详解】解：（1）要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点共线，从左到右依次为、、、． ，，， ； 要求的最小值，即将绕点顺时针方向旋转，使其与共线；将绕点逆时针方向旋转，使其与共线，即四点共线，从左到右依次为、、、． ，，， ； 综上，的最大值是，最小值是． （2）由（1）可知，要围成四边形，则的取值范围为：． （3）在中，，， ，即， ，， ，即， ， 的长为整数， ． 三、解答题 11．作图： (1)作三角形的三条角平分线； (2)作三角形的三条高． 【答案】(1) 见解析 (2) 见解析 【分析】（1）利用量角器和直尺作三角形的三条角平分线； （2）利用三角板和直尺作出三角形的三条高． 【详解】（1）解：如图，为三角形的三条角平分线； （2）解：如图，为三角形的三条高． 12．如图，在中，，，平分，交于，，交于，则的大小是多少？ 【答案】 【分析】根据三角形的内角和定理，角平分线的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴． 13．如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，求与的周长之差； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)2cm (2)． 【分析】（1）结合是的中线，得到，根据三角形的周长公式求解即可； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14．如图，在中，、分别是的高和角平分线，，． (1)若，，求的度数； (2)试用、的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义以及角的和差关系进行求解即可； （2）同（1）法进行求解即可. 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ， 是高线， ， ， ； （2）解：，， ， 是的平分线， ． 是高线， ， ， . 15．【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点． （1）①如图1，在中，，则三条高线所在的直线交于点___________ ②如图2，在中，，已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺做出的第三条高（不写做法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E ①若，，则___________ ②请写出于之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是上的一点，则有．如图5，中，M是上一点， ，N是中点．若的面积是m，请直接写出四边形的面积___________．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①A； ②如图，即为所求． （2）①25； ②与之间的数量关系为， 理由如下： ， ， , ． （3） 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）根据三角形的3条高所在直线交于一点，即可求解； （2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义，即可求解； （3）根据高相等两个三角形，面积比等于对应底边的比，结合，N是中点，即可求解． 【详解】解：（1）①A； ②略 （2）①中，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：25； ②略 （3）如图，连接， N是中点， 设， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $