1.2 定义与命题+1.3 证明10大题型（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦“定义与命题”及“证明”核心知识点，从概念理解（定义、命题含义）到命题分析（结构、真假、互逆），再到逻辑推理与证明（步骤、依据、辅助线），构建从基础到应用的学习支架。 资料通过“特别提醒”明晰易混概念培养抽象能力，“举反例”“证明依据填写”强化推理意识，结合三角形内角和证明等实例提升模型意识。课中辅助教学，课后助力查漏补缺，落实数学核心素养。

第一章 认识三角形 1.2 定义与命题+1.3 证明 课标要点 1. 理解定义、命题、真命题、假命题的含义，能准确区分基本数学概念。 2. 掌握命题结构，能正确找出命题的题设与结论，并规范改写命题形式。 3. 了解公理、定理与证明的概念，知晓几何推理证明的基本依据。 4. 学会判断命题真假，能够通过举反例的方法证明假命题不成立。 5. 初步掌握几何证明的规范步骤，培养严谨的逻辑推理数学思维。 学习重难点 重点： 1. 掌握命题的组成，区分题设与结论。 2. 能够准确判断命题的真假性。 3. 了解几何证明的基本规范步骤。 难点： 1. 准确改写命题的标准句式。 2. 灵活举反例否定假命题。 3. 建立严谨几何逻辑推理思维。 知识点一 定义与命题 1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题：定义：判断某一件事情的句子 结构：由条件和结论两部分组成。 句式改写：如果……那么…… 分类：真命题 通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的 假命题 通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例) 3.互逆命题 原命题、逆命题 互逆定理 原定理、逆定理 每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。 特别提醒 区分定义与命题：定义是对名称含义的规范描述，一定是真命题。命题含题设和结论，可改写成 “如果… 那么…”，分真假。判断假命题只需举出一个反例，真命题需推理证明。注意语句不含判断的不是命题，疑问句、作图指令均不属于命题。做题先拆分条件结论，避免混淆概念，分清公理、定理与普通命题。 即学即练 1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）下列四个选项中不是命题的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 【答案】B 【详解】解∶A．两点确定一条直线是可判断为真的陈述句，属于命题． B．过直线外一点作直线的平行线是操作指令，无法判断真假，不属于命题． C．正数大于负数是可判断为真的陈述句，属于命题． D．有公共顶点的两个角是对顶角是可判断为假的陈述句，属于命题． ∴不是命题的是B选项． 【点睛】命题为判断真假的陈述句． 2．（25-26八年级下·重庆南岸·期中）对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查假命题的反例，反例需满足命题的条件，同时不满足命题的结论，据此分析各选项即可． 【详解】解：∵原命题的条件是，结论是 ∴反例要满足且 对于选项C，，，满足条件但不满足结论，是原命题的反例 选项A满足条件也满足结论，不是反例 选项B、D不满足命题的条件，不是反例 故选：C． 知识点二 证明 证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)、一步一步推得结论成立的推理过程。 证明几何命题的格式：(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在已知中写出条件，在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线。 特别提醒 几何证明先拆分命题的条件与结论，明确已知和待证内容。每一步推理必须写明依据，如定义、公理、已有定理。留意图形隐含等量关系，包含对顶角、公共线段、等角的补余角等。分清真假命题，假命题可举反例推翻，真命题需完整推导。书写条理清晰，不省略关键推理，遇到动点、分类题型检验取值范围，培养规范严谨的逻辑思维。 即学即练 3．（24-25七年级下·福建漳州·阶段检测）学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；； 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和的证明方法，先由内错角相等，两直线平行得到，再由两直线平行，同旁内角互补得到，据此可证明． 【详解】证明；由操作可知， 所以（依据：内错角相等，两直线平行）． 所以，（依据：两直线平行，同旁内角互补）． 即． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点D在上，点E在上，相交于点O． (1)若，求的度数； (2)试猜想与之间的关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) 解：猜想，理由如下： ，， ． 【分析】（1）根据三角形的外角性质求出，根据三角形内角和定理求出的度数； （2）根据三角形的外角性质证明即可． 本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ， ； （2）略 题型01 判断是否是命题 解题贴士 判断命题先看语句是否作出明确判断，陈述句才可能是命题。疑问句、感叹句、作图、祈使句都不是命题。不含判定语意、仅描述名称的定义类语句属于命题，可拆分为条件与结论，无法判断对错的语句也不属于命题。 典｜例｜精｜析 1．下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 【答案】C 【分析】根据命题、定理的定义、基本事实的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．命题包含真命题和假命题，因此命题不一定是定理，定理是经过证明的真命题，因此定理一定是命题，故A选项说法正确； B．定理是被证明为正确的命题，即定理不可能是假命题，故B选项说法正确； C．只有经过推理证明、可作为推理依据的真命题才是定理，并不是所有真命题都是定理，故C选项说法错误； D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是初中几何公认的基本事实，故D选项说法正确． 变｜式｜巩｜固 2．下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．全等三角形对应边相等 D．若a2＝4，求a的值 【答案】C 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．“作两条相交直线”为描叙性语言，它不是命题，所以A选项错误； B．“∠和∠相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以B选项错误； C．全等三角形对应边相等，它是命题，所以C选项正确； D．“若a2＝4，求a的值”为描叙性语言，它不是命题，所以D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3．判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数；______； （2）两个锐角的和是钝角；______； （3）画两个相等的角；______； （4）同旁内角互补；______； （5）所有的质数都是奇数吗？______； （6）两条直线相交，只有一个交点．______， 【答案】 是命题 是命题 不是命题 是命题 不是命题 是命题 【分析】根据命题的定义，即能够判断真假的陈述句叫做命题，依次对每个句子进行判断，看是否符合命题的特征．本题主要考查了命题的定义，熟练掌握命题是能够判断真假的陈述句这一概念是解题的关键． 【详解】解：（1）0是偶数；是命题； （2）两个锐角的和是钝角；是命题； （3）画两个相等的角；不是命题； （4）同旁内角互补；是命题； （5）所有的质数都是奇数吗？不是命题； （6）两条直线相交，只有一个交点，是命题； 故答案为：（1）是命题；（2）是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）不是命题；（6）是命题． 4．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有______（填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了命题与定理，整式的加减，根据“回文数”的定义进行分析即可求解，解题的关键是熟练掌握“回文数”的定义． 【详解】解：根据定义正读倒读都一样，故是“回文数”；是真命题； 两位数的“回文数”为：，，，，，，，，，合计个；是真命题； 三位数的“回文数”中，百位和个位是的为：，，，，，，，，，，合计个，同理百位和个位是的有个，依次类推，则三位数的“回文数”合计个；是真命题； 设任意六位数的“回文数”十万位，万位，千位，百位，十位，个位上的数字分别为，，，，，，则， 根据定义，，，， ∴， ∴是的倍数；是真命题； 故答案为：． 题型02 写出命题的题设与结论 解题贴士 拆分命题先把句子改成 “如果… 那么…”，如果后为题设，那么后为结论。简化语句时不丢失关键条件，分清对象与限定要求。部分命题语序颠倒，需重新整理句式，不可随意删减条件，保证逻辑完整，准确区分已知条件和要推出的结果。 典｜例｜精｜析 5．命题“如果，那么”的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查命题的结构组成，在命题“如果P，那么Q”中，P是条件，Q是结论，据此即可解答． 【详解】解：∵命题是“如果，那么 ”， ∴ 条件部分是， 故选A． 变｜式｜巩｜固 6．把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【分析】将原命题拆分为题设和结论两部分，将题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：原命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”中， 题设为：两条直线垂直于同一条直线，结论为：这两条直线互相平行， 因此改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 7．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 【答案】如果在一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等 【详解】略 8．指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 【答案】(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：且；结论：． 【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【详解】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：且；结论：． 题型03 判断真假命题 典｜例｜精｜析 9．已知命题“如果，那么”，则该命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】 假 【分析】是求出满足的所有的值，判断结论是否一定成立，即可判断命题的真假． 【详解】解：根据平方根的定义，若，则或． 因此当条件成立时，结论不一定成立， 所以该命题是假命题． 变｜式｜巩｜固 10．命题“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行”是__________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 假 【分析】根据平行公理，同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题未对该点的位置进行限制，据此判断命题真假即可． 【详解】解：平行公理为，同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 若原命题中的点在已知直线上，则不存在过该点且与已知直线平行的直线，因此原命题不成立，是假命题． 11．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)两个角的和等于时，这两个角互为余角； (2)如果，那么． 【答案】(1)真命题 (2)假命题，举反例见解析 【分析】（1）根据互余的定义判断即可； （2）举反例，即可说理． 【详解】（1）解：两个角的和等于时，这两个角互为余角，是真命题； （2）解：如果，那么，是假命题， 反例：若，满足， 但，此时，不满足． 12．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，写出条件和结论，并判断真假． (1)偶数是4的倍数． (2)末位数字是5的整数能被5整除． (3)两负数之积为正数． 【答案】(1)如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．条件是一个数是偶数，结论是这个数是4的倍数．是假命题． (2)如果一个整数的末位数字是，那么这个数能被整除，条件是一个整数的末位数字是，结论是这个数能被5整除，结论是这个数能被5整除．是真命题． (3)如果两个数是负数，那么它们的积是正数．条件是两个数是负数，结论是它们的积是正数．是真命题． 【分析】（1）（2）（3）分清每个命题的题设与结论，然后把题设写在如果后面，把结论写在那么后面，然后判断真假即可． 【详解】（1）解：如果一个数是偶数，那么这个数是的倍数． 条件是一个数是偶数，结论是这个数是的倍数．是假命题． （2）解：如果一个整数的末位数字是，那么这个数能被整除，条件是一个整数的末位数字是5，结论是这个数能被整除． 条件是一个数是末位数字为的整数，结论是这个数能被整除．是真命题． （3）解：如果两个数是负数，那么它们的积是正数． 条件是两个数是负数，结论是它们的积是正数．是真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理，真命题与假命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 题型04 举反例 解题贴士 举反例只需找到一个符合题设、却不满足结论的实例。例子数据简单直观，贴合命题范围，不额外添加限制条件。反例要清晰说明为何推翻命题，表述简洁准确，不能违背已知定义，避免复杂数值，保证能直接否定原命题的正确性。 典｜例｜精｜析 13．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A．， B． C．， D．， 【答案】B 【分析】能说明原命题是假命题的反例，需要满足原命题的条件，但不满足原命题的结论，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，且，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意； B、∵， ∴，且，可以说明原命题是假命题，故此选项符合题意； C、∵，， ∴，不满足，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，不满足，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意． 变｜式｜巩｜固 14．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】举反例判断假命题，反例需满足命题的条件，且不满足命题的结论，据此逐一判断选项即可； 【详解】解：反例需满足命题条件，不满足命题结论， 选项A中，不满足条件，不符合要求； 选项B中，满足，且，满足结论，不符合要求； 选项C中，满足，且，满足结论，不符合要求； 选项D中，满足，且，不满足结论，符合反例要求， ∴反例中的可以为． 15．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为，________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】判断一个命题为假命题可通过举反例求解，已知，只需找到满足且不满足的即可． 【详解】解：当，时，，，满足， 又，，可得，不满足， ，可说明原命题是假命题． 16．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数． (2)等角的补角相等． (3)如果，那么． (4)两个奇数的和一定是偶数． 【答案】(1)假命题；反例：0 (2)真命题 (3)假命题；反例： (4)真命题 【分析】本题考查了判断命题真假，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）绝对值等于本身的数不仅有正数，0的绝对值是0． （2）若两个角相等（设为），则它们的补角分别为和，显然相等． （3）当时， （4）奇数可表示为（为整数），两个奇数相加为，是2的倍数，故为偶数． 【详解】（1）解：假命题 反例：0的绝对值等于它本身，但0不是正数． （2）解：真命题 （3）假命题 反例：取，则． （4）解：真命题． 题型05 定理与证明 典｜例｜精｜析 17．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．邻补角互补 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两数相乘，同号得正 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查了公理的概念以及对一些几何和代数真命题的理解，因为判断一个真命题是否为公理，核心就是看它是否是无需证明的基本事实，是后续推理的基础，掌握公理的定义是解题的关键． 公理是无需证明的基本事实，来源于长期实践总结，而非推导，作为证明其他命题的依据；可通过其他知识证明的命题、依赖具体运算或推导的规则都不是公理，以此为标准对选项逐个判断． 【详解】解：A、“邻补角互补” 是可以通过补角的定义等证明的定理，不符合题意； B、“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行” 是人们在长期实践中总结出的基本事实，无需证明，符合题意； C、“两数相乘，同号得正” 是代数中的运算规律，可通过有理数乘法的定义等推导，不符合题意； D、“同角的余角相等” 是可以通过余角的定义和等式的性质证明的定理，不符合题意． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 18．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】根据定理是真命题进行判定． 本题考查了定理的理解，定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述． 【详解】解：A. 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B. 如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，叙述语句是假命题，不是定理，不符合题意； C. 作射线，不是命题，不是定理，不符合题意； D. 同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 19．下列说法错误的是（    ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果一个命题是从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实的，并被选作判断命题真假的依据，那么这样得到的真命题就是定理 【答案】C 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题与定理的定义与意义，属于基础性知识，比较简单． 根据命题与定理的定义与意义分别判断即可． 【详解】解：A、命题不一定是定理，但定理一定是命题，选项说法正确，不符合题意； B、定理不可能是假命题，选项说法正确，不符合题意； C、真命题不一定是定理，故原命题错误，符合题意； D、从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实得到的真命题就是定理，该说法正确，不符合题意． 故选：C． 20．下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键． 公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意； B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题意； C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题意； D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型06 写出一个命题的已知、求证及证明过程 典｜例｜精｜析 21．如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)3 (2)解：如图： 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（三选一即可） 【分析】（1）利用平行线的判定和性质，进行判定即可； （2）利用平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】（1）解：从①，②，③请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题，共可组成三个命题，均为真命题， 即正确的命题有3个； （2）略 变｜式｜巩｜固 22．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)真 【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）根据题意，直接写出结论． 【详解】（1）解：已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． （2）证明：平分 平分， ， ， ； （3）通过（2）的推理证明，此命题是真命题． 23．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2) 已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）略 24．命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (2) 解：该命题是真命题 已知：如图，在中， 求证： 证明： ． 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念： （1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题； （2）根据三角形内角和定理计算，即可证明． 【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 （2）略 题型07 已知证明过程填写理论依据 典｜例｜精｜析 25．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 变｜式｜巩｜固 26．如图，E是，CD外一点，．求证：． 证明：_________ _________， （等量代换）． _________． 【答案】 已知 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查利用三角形外角的性质，平行线的性质和判定定理进行证明，能灵活运用定理进行推理是解题的关键． 根据已知条件和三角形的外角性质和平行线的判定结合证明步骤即可得出答案． 【详解】（已知）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行） ． 故答案为：已知；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；内错角相等，两直线平行． 27．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 28．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】 两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；对顶角相等 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】略 题型08 根据给出的论断组命题并证明 典｜例｜精｜析 29．如图，点，分别在的边，上，连接，为上一点． (1)从①，②，③这三个信息中，选择两个作为条件、剩余的一个作为结论．组成一个真命题并说明理由； 你选择的条件是________、________，结论是________；（填写序号即可） (2)在（1）的题设下（选出任意两个条件），若平分，，°，求的度数． 【答案】(1)条件①②结论③；条件①③结论②；条件②③结论① (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质（内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等或同位角相等），利用等量代换即可求出． （2）根据角平分线的定义推出，在①②的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数；在①③的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数；在②③的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数． 【详解】（1）解：条件①②结论③时，理由如下： ， ， ， ， ． 条件①③结论②时，理由如下： ， ， ， ， ． 条件②③结论①时，理由如下： ， ， ， ， ． （2）解：情况1：在①②的条件下， ， ， ， ． 平分， ， ， ， ． ，， ． ，， ． 情况2：在①③的条件下， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ． ，， ． 情况3：在②③条件下， ， ，， ， ， ． 平分， ， ， ， ， ，， ． ，， ． 变｜式｜巩｜固 30．填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：∵， ∴ （   ）， ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∵（   ）， ∴ ． ∴． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ． 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；三角形内角和定理；两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直 【分析】由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，由三角形内角和定理求出，即可证明，由以上证明即可得到一个真命题． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵平分，平分， ∴，． ∴， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． ∴． 命题为：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 31．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】见解析，证明见解析 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 32．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析 (2)都是真命题，推理见解析 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； （2）解：都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 题型09 三角形内角和定理的证明 解题贴士 证明时借助平行线转移内角，严格标注平行线判定与性质依据。辅助线作法规范书写，不凭空添加线段。三个内角拼接成平角，紧扣平角定义推导。推理步步有据，逻辑连贯，不跳步骤，画图清晰区分内错角，准确转化角度完成证明。 典｜例｜精｜析 33．学习完七年级下册第86页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过撕、拼的方法，而是在的顶点处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明 (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程． 如图，在中，过点作直线， 根据_____________________________ 得到_________，_________， 根据平角定义，___________________________， 因此，，即． 【答案】(1)如图所示，直线即为所求 (2)如图，在中，过点作直线， 根据两直线平行，内错角相等， 得到，， 根据平角定义，． 因此，，即 【分析】（1）根据作一个角等于已知角，作出辅助线即可； （2）利用平行线的性质及平角的定义可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 变｜式｜巩｜固 34．问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？    思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝试思考 请过三角形的顶点A添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和等于．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．    逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（不与点、重合）．如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．    (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长至点，过点作___________、利用平行线的性质得到即可求解． 方法二：如图3，过点作，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．    (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4画出图形，写出证明过程）    【答案】(1)． ，内角和为． (2)选择图2，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； 选择图3，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； (3)证明：过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴ 即内角和为． 【分析】（1）方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，即可求解． 方法二：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； （2）根据平行线的性质进行证明即可； （3）过点作交于点，过点作交于点，由两直线平行，同位角相等，内错角相等易证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 35．课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)证明见解析 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】（1）解：能证明“三角形内角和是”的方法是①②③； （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， 故①能证明“三角形内角和是”； ②∵， ∴，， ∵， ∴， 故②能证明“三角形内角和是”； ③∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故③能证明“三角形内角和是”； ④∵， ∴， 故④不能证明“三角形内角和是”． 36．【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 【答案】(1)A (2)选用③证明三角形的内角和为，理由如下： ∵，， ∴，，，， ∴， 由平角的性质可得，， ∴，即三角形的内角和为． 选用④证明三角形的内角和为，理由如下： 如图所示，延长，在延长线上取一点， ∵， ∴，． 又， ∴， 即三角形的内角和为． 【分析】（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． （2）选用③证明三角形的内角和为，根据平行线的性质得到，，，，得到，再根据平角的性质即可求解； 选用④证明三角形的内角和为，延长，在延长线上取一点，根据平行线的性质可求得，，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角，用到了转化思想，A选项符合题意； （2）略 【点睛】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，利用转化思想将三角形的内角和转化为平角是解题的关键． 题型10 证明综合大题 典｜例｜精｜析 37．已知：直线，A为直线上的一个定点，过点A的直线交于点B，点C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，点D在点E的左侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧． (1)如图1，若，，直接写出的度数 ； (2)射线为的角平分线． ①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②当点D与点B不重合，且时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①，理由： ∵， ∴，， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 即； ②或 【分析】（1）由平行线的性质可得到：，，再利用角的等量代换换算即可； （2）①根据平行线的性质得出，，根据角平分线定义得出，求出，最后根据角度间数量关系，得出答案即可； ②分三种情况讨论：当点D在点B右侧时，当点D在点B左侧，点E在点B右侧时，当D、E均在B点左侧时，运用角的等量代换推导即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵，， ∴． （2）①略 ②当点D在点B右侧时，如图所示， 此时有， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当点D在点B左侧，点E在点B右侧时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当D、E均在B点左侧时，如图所示： 此时，， ， 又∵， ∴， ∴． 综上所述：或． 变｜式｜巩｜固 38．已知直线，直线分别与，相交于E、F． (1)【初步探究】如图1，，分别平分和，则和的位置关系是什么？说明理由． (2)【推广应用】如图2，点G在射线上，点H在射线上，，分别平分和，若，，求和的度数． (3)【拓展提升】如图3，点G在线段上，点H是直线上的动点(不与F重合)，、分别平分和，设，请直接用含m的代数式表示的度数． 【答案】(1)，理由如下： 、分别平分和， 可设，（角平分线的定义）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 又， ， ． 即； (2)， (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得答案； （2）先由外角的性质得，由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，由外角的性质得，最后由角平分线的定义得； （3）分两种情况讨论：当点在点的右边时；当点在点的左边时，画出图形分别求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （3）解：分以下两种情况： 当点在点的右边时，如图3所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在点的左边时，如图所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 39．【定义】 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角的2倍，则称这个三角形为“二阶三角形”生活中处处都有数学，如图1：我们常用的三角板都是“二阶三角形”，它们的度数分别是，，和 ，，． 【简单应用】 (1)如图2，，，是的角平分线，试说明是“二阶三角形”； 【问题探究】 (2)在中，． ①如图3，过点C的直线交的平分线和的外角平分线于点N，M，若是“二阶三角形”，求的度数； (3)②如图4，的平分线和的外角平分线交于点D，点F是线段上的一动点（F不与B、O、D三点重合），，若是“二阶三角形”，直接写出n的值． 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中，， 可得， ∴是“二阶三角形”； (2)①或或；②2或 【分析】（1）先根据三角形内角和为以及，求解出相应角的度数，再根据角平分线的定义得到，再由角度的关系得到，由此可说明； （2）①先根据，以及角平分线的定义求解和的度数，再根据是“二阶三角形”分情况得到的度数，由此求解即可； ②先根据，求解的度数，再由角平分线的定义求解和的度数，设，根据题意可得，再由，可得与之间的关系，再由是“二阶三角形”，分情况表示2倍的关系，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴，， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的外角平分线， ∴， ∴， ∵是“二阶三角形”， 当时，则， 可得， 在中，； 当时，则， 可得，则， 在中，； 当时，则， 在中，； 综上，的度数为或或； ②∵， ∴， 在中，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的外角平分线， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 点F是线段上的一动点（F不与B、O、D三点重合），如图， ∵， 设，则， ∵， ∴，则， ∴， 在中，， ∵是“二阶三角形”， 且在中，，，， 当时，则有， 即，解得，不满足题意，舍； 当时，则有， 即，解得，不满足题意，舍； 当时，则有， 即，解得； 当时，则有， 即，解得； 当时，则有， 即，等式无解； 当时，则有， 即，解得，不满足题意，舍； 综上，n的值为2或． 40．【模型探究】如图①，已知点D、E分别在的边上，点F在的内部，连接，在的内部形成凸四边形．求证：． 甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵在四边形中， ∴（① ） ∵，， ∴． ∴． 乙同学证明：如图②，连接． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴（② ）． ∴ ∴． (1)补全甲同学证明过程：①； 补全乙同学证明过程：②． 【模型应用】如图③，已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，使点A落在内部位置． (2)若则的度数为；（用含的式子表示） (3)若，求的度数； 【模型拓展】 (4)已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，点A落在位置，连接．当时，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) (3) (4) 【分析】（1）根据四边形的内角和为360度，三角形的外角的性质，进行作答即可； （2）根据折叠的性质，得到，根据（1）中结论，即可得出结果； （3）根据三角形的内角和定理，求出的度数，再根据（1）中结论，即可得出结果； （4）根据三角形的内角和定理，求出与的关系，再根据（1）中结论，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵折叠， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴. 基础通关 1．（2026·浙江温州·二模）对于命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查举反例判断命题真假，反例需满足命题的条件，但不满足命题的结论，据此逐一检验选项即可． 【详解】解：说明该命题是假命题的反例，需要满足条件，且不满足结论，即， 对选项A：，，满足条件，且，满足结论，不符合要求； 对选项B：，，满足条件，且，满足结论，不符合要求； 对选项C：，，不满足，不符合条件，不符合要求； 对选项D：，，，满足，但，不满足，符合反例要求． 2．（25-26七年级下·上海虹口·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，需要找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子． 【详解】解：A、，则，满足条件也满足结论，不能作为反例，故A不符合题意； B、，，则，满足条件，但，不满足结论，可以作为反例，故B符合题意； C、，，，不满足条件，不能作为反例，故C不符合题意； D、，不满足条件，不能作为反例，故D不符合题意． 3．（25-26七年级下·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．两直线平行，内错角互补 C．不相等的角不是内错角 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】根据真假命题的定义，结合平行线的性质与判定定理，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵只有两直线平行时，同位角才相等，∴选项A是假命题． ∵两直线平行，内错角相等，不是互补，∴选项B是假命题． ∵两直线不平行时，内错角不相等，因此存在不相等的内错角，∴选项C是假命题． ∵“同旁内角互补，两直线平行”是正确的平行线判定定理，∴选项D是真命题． 4．（2026·浙江舟山·二模）如图，一个含角的直角三角板（即，）被两条平行直线和所截，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，则，然后通过三角形的外角性质和对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·浙江台州·开学考试）下列命题：相等的角都是对顶角；不小于直角的角是锐角；若，则或；若，则．其中属于真命题的是______． 【答案】③④ 【详解】解：相等的角都是对顶角，错误，是假命题； 不小于直角的角是锐角，错误，是假命题； 若，则或，正确，是真命题； 若，则正确，是真命题． 6．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）请举反例说明命题“若，则”是假命题，你举的反例的值为________．（写出一个的值即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】要说明该命题是假命题，只需找到满足命题条件，不满足命题结论的的值即可． 【详解】解：， 则或， 要使“若，则”是假命题，则取的值即可，可取． 7．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角等于与其不相邻的两内角和． 根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：如图： 由三角板可得，， 由三角形的外角的性质可得， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）校运会上，小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛．小振的成绩在前三名，小东既不是第一也不是最后一名，小启也不是第一名，小新是第二名．则获得第一名的是______． 【答案】小振 【分析】本题主要考查了逻辑推理能力，解题的关键是根据题意进行合理的逻辑推理．根据给出的信息进行合理的逻辑推理即可． 【详解】解：小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛，小东既不是第一也不是最后一名，小新是第二名， 则小东是第三名， 因为小振的成绩在前三名，小启也不是第一名， 则小振是第一名，小启是最后一名， 故答案为：小振． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，现有以下三个论断：①；②；③．请以其中两个论断为条件，第三个论断为结论构造新的命题． (1)请写出所有的命题．（可以写成“如果……那么……”的形式） (2)请选择其中一个真命题进行论证． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查的是命题、平行线的判定和性质，掌握命题的概念、平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据命题的概念按要求解答； （2）根据平行线的性质定理、判定定理证明结论． 【详解】（1）解：第一种：如果，，那么； 第二种：如果，那么； 第三种：如果，那么． （2）解：证明第一种：∵， ， ∵，， ∴， ∴； 证明第二种：， ， ， ， ， ； 证明第三种：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，，与的平分线相交于点G， (1)完成下面的证明： ∵平分（              ）， ∴（              ）， 同理． ∵（          ）， ∴________（         ）． ∴________． ∵________（          ）， ∴________． ∴与的位置关系是________． (2)把上面的题设和结论，用文字语言概括为一个命题： ___________________． 【答案】(1)证明见详解 (2)两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直 【分析】（1）利用角平分线的定义将和分别表示为和的一半；再利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）求出的度数，进而求出的度数；最后利用三角形内角和定理求出的度数，从而判断和的位置关系； （2）需将几何证明中的题设（平行线、角平分线）和结论（垂直）用文字语言准确表述即可． 【详解】（1）证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 同理． ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴． ∵（三角形内角和定理）， ∴． ∴与的位置关系是． （2）解：根据上述证明过程，题设为“两平行直线被第三条直线所截”，条件涉及“同旁内角的角平分线”，结论为“互相垂直”， ∴概括为：两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直． 素养提升 11．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则 C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，解题的关键是掌握平方根的性质、全等三角形的性质及同位角的定义． 分别分析各选项：根据平方根的定义判断A；根据二次根式的性质判断B；根据全等三角形的性质判断C；根据同位角的性质判断D． 【详解】解：A、平方根等于本身的数只有0，1的平方根是，不等于其本身，此选项不符合题意； B、若，则，并非，此选项不符合题意； C、全等三角形的对应边相等，这是全等三角形的基本性质，此选项符合题意； D、只有两直线平行时，同位角才相等，此选项不符合题意； 故选：C． 12．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，非负数的性质：偶次方，关一键是通过计算得到与命题的结论相反的例子． 由命题的条件，找到与命题的结论相反的例子即可． 【详解】解：A、，，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意． 故选：D． 13．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义求得的度数，利用邻补角的定义求得的度数，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，点在直线上，点在直线上，点在直线上方，点在的延长线上．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，交于点，根据，可设设，，，，利用平行线的性质及三角形外角的性质可得出，再由即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交于点，交于点， ，， 设，，，， ，， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 即． 15．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，，，分别平分，，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，，从而利用等量代换可得，即可判断①；利用角平分线的定义可得，，然后利用三角形内角和定理以及等量代换可得，从而可得，进而可得，即可判断④；再利用等量代换可得，从而可得，即可判断②；再利用平行线的性质可得，从而可得，即可判断③，即可解答． 【详解】解：平分， ， ， ，， ， 故①正确； ，分别平分，， ，， ， ， ， 故④正确； ， ， ， 故②正确； ， ， ， 故③不正确； 综上所述，正确结论的序号是①②④，共3个． 16．（25-26七年级下·吉林四平·期末）给出下列5个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中是真命题的是______．（填写命题的序号即可） 【答案】① 【分析】本题考查了真命题，平行线的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握平行线的判定与性质及垂线段最短是解题的关键．根据平行线的判定与性质及垂线段最短公理，即可判断答案． 【详解】①是公理,正确； ②忽略了两条直线必须是平行线，故②错误； ③举反例，两直线平行，同旁内角互补，显然这两个角不是邻补角，故③错误； ④“同旁内角互补，两直线平行”，故④不符合平行线的判定，是错误的； ⑤当同旁内角互补时，它们的角的平分线才互相垂直，故⑤错误； 所以真命题是①． 故答案为：①． 17．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若的两边与的两边分别平行，则或；④若，则．其中假命题的是_________（填写序号）． 【答案】①② 【分析】逐个判断各个命题的真假即可． 【详解】解：①两条平行，同位角相等，故①为假命题，符合题意； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故②为假命题，符合题意； ③若的两边与的两边分别平行，如图：则或；故③为真命题，不符合题意； ④若，则，故④为真命题，不符合题意； 综上：假命题有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 18．（25-26七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 【答案】30 【分析】延长交于．根据三角形内角和公式求出，可得，根据三角形外角的性质得，然后代入数据求解即可． 【详解】解：延长交于． ，， ， ． ，， ． ． 19．（25-26九年级上·湖南·阶段检测）小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小明：这个月有5个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月___________号．（填日期） 【答案】16 【分析】本题考查推理与论证和有理数加法的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据6月有30天，再由小明条件可知，若有5个星期二，则第一个星期二必须在1日或2日；分别计算两种情况下星期二日期之和，判断是否满足小李条件（和不为75），从而确定第一个星期二为2日，进而找到第三个星期二日期即可． 【详解】解：6月有30天，若有5个星期二，则第一个星期二可能为1日或2日， 若1日为星期二，则星期二日期为1、8、15、22、29， 和为，与小李条件矛盾； 若2日为星期二，则星期二日期为2、9、16、23、30， 和为，符合小李条件． ∴第一个星期二为2日，第三个星期二为16日． 故答案为：16． 20．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图1，平分，，，． (1)求的度数； (2)如图2，若把“”变成“点在的延长线上，”，，（），请用、的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键： （1）三角形的内角和定理求出的度数，角平分线求出的度数，再利用角的和差关系进行求解即可； （2）三角形的内角和定理结合角平分线求出的度数，三角形的外角求出的度数，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ∴， ∴； （2）解：，， ， 平分， 是的外角， ， ， ， ． 迁移创新 21．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，在延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义．先利用三角形的外角的性质求得，，利用角平分线的定义求得，，据此列式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴，． ∴． ∴． 故选：B． 22．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，度，的平分线和的平分线交于点E，求的度数是________． 【答案】/度 【分析】设直线与相交于点F，直线与相交于点T，先证明，再求出，得到，则，即可求出答案． 【详解】解：如图，设直线与相交于点F，直线与相交于点T， ∵， ∴， ∵的平分线和的平分线交于点E， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵度， ∴ 23．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度． 图1                                图2 （1）若，则______度． （2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则______度．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】（1）由平行线的性质得，，折叠和三角形的外角得'，，最后计算出 ； （2）由折叠和平角的定义求出 ，再次折叠经计算求出 ． 【详解】解：（1）如图1所示， ， ，， 又'， '， 又'， ， 又， ， 故答案为：； （2）如图2所示， ， ， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义以及角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系． 24．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图1，，点在，之间，连接，．易证：．下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作． 小红：如图3，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图4，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点P，连接、，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交于点H，若，，，求的度数． 【答案】(1)解：小刚的证明如下：如图2，过点P作， ∵， ∴， ∴ ∴ 即； (2)证明：∵∴ 又∵ ∴ ∴； (3) 【分析】（1）小刚的证明：过点P作，可得，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长交于点M，可得，再利用三角形内角和定理即可求证； （2）利用三角形内角和定理证明即可求证； （3）由角平分线的定义得，设，则，得，再根据（2）的条件得，解得，设，同理可得，即可求解； 【详解】（1）小红的证明如下：     如图3，延长交于点M， ∵， ， ， ∴， ； （2）略； （3）解：∵平分，， ， 设，则，，     ， ∴， 解得， ； 设， ∵平分， ， ∵， ， ∵在(2)的条件下， 同理可得，，即， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，三角形内角和定理和三角形外交的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 25．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，直线与直线分别交于点G、H，平分交直线于点K，． (1)求证：； (2)如图2，点P在线段上，点N在线段上，平分，若，求的度数； (3)如图3，点M在线段上，点Q为射线上一动点且不与点G重合，连接，作的角平分线与相交于点R，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由角平分线的定义得，结合可得，即可证明； （2）由三角形外角的性质得，，进而得，，根据平分，得，等量代换得，可得； （3）分“点Q在上，点Q在延长线上”两种情况，利用三角形外角的性质、平行线的性质分别求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， 即． ∵平分， ∴， ∴，即； （3）解：∵平分，平分， ∴令，． ∵， ∴． 当点Q在上时，如图所示， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴； 当点Q在延长线上时，如图所示， 同理可得，，， ∴， 综上所述，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 认识三角形 1.2 定义与命题+1.3 证明 课标要点 1. 理解定义、命题、真命题、假命题的含义，能准确区分基本数学概念。 2. 掌握命题结构，能正确找出命题的题设与结论，并规范改写命题形式。 3. 了解公理、定理与证明的概念，知晓几何推理证明的基本依据。 4. 学会判断命题真假，能够通过举反例的方法证明假命题不成立。 5. 初步掌握几何证明的规范步骤，培养严谨的逻辑推理数学思维。 学习重难点 重点： 1. 掌握命题的组成，区分题设与结论。 2. 能够准确判断命题的真假性。 3. 了解几何证明的基本规范步骤。 难点： 1. 准确改写命题的标准句式。 2. 灵活举反例否定假命题。 3. 建立严谨几何逻辑推理思维。 知识点一 定义与命题 1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题：定义：判断某一件事情的句子 结构：由条件和结论两部分组成。 句式改写：如果……那么…… 分类：真命题 通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的 假命题 通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例) 3.互逆命题 原命题、逆命题 互逆定理 原定理、逆定理 每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。 特别提醒 区分定义与命题：定义是对名称含义的规范描述，一定是真命题。命题含题设和结论，可改写成 “如果… 那么…”，分真假。判断假命题只需举出一个反例，真命题需推理证明。注意语句不含判断的不是命题，疑问句、作图指令均不属于命题。做题先拆分条件结论，避免混淆概念，分清公理、定理与普通命题。 即学即练 1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）下列四个选项中不是命题的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 2．（25-26八年级下·重庆南岸·期中）对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 知识点二 证明证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)、一步一步推得结论成立的推理过程。 证明几何命题的格式：(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在已知中写出条件，在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线。 特别提醒 几何证明先拆分命题的条件与结论，明确已知和待证内容。每一步推理必须写明依据，如定义、公理、已有定理。留意图形隐含等量关系，包含对顶角、公共线段、等角的补余角等。分清真假命题，假命题可举反例推翻，真命题需完整推导。书写条理清晰，不省略关键推理，遇到动点、分类题型检验取值范围，培养规范严谨的逻辑思维。 即学即练 3．（24-25七年级下·福建漳州·阶段检测）学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点D在上，点E在上，相交于点O． (1)若，求的度数； (2)试猜想与之间的关系，并证明你的猜想． 题型01 判断是否是命题 解题贴士 判断命题先看语句是否作出明确判断，陈述句才可能是命题。疑问句、感叹句、作图、祈使句都不是命题。不含判定语意、仅描述名称的定义类语句属于命题，可拆分为条件与结论，无法判断对错的语句也不属于命题。 典｜例｜精｜析 1．下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 变｜式｜巩｜固 2．下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．全等三角形对应边相等 D．若a2＝4，求a的值 3．判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数；______； （2）两个锐角的和是钝角；______； （3）画两个相等的角；______； （4）同旁内角互补；______； （5）所有的质数都是奇数吗？______； （6）两条直线相交，只有一个交点．______， 4．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有______（填序号）． 题型02 写出命题的题设与结论 解题贴士 拆分命题先把句子改成 “如果… 那么…”，如果后为题设，那么后为结论。简化语句时不丢失关键条件，分清对象与限定要求。部分命题语序颠倒，需重新整理句式，不可随意删减条件，保证逻辑完整，准确区分已知条件和要推出的结果。 典｜例｜精｜析 5．命题“如果，那么”的条件是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 6．把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 7．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 8．指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 题型03 判断真假命题 典｜例｜精｜析 9．已知命题“如果，那么”，则该命题是______命题．（填“真”或“假”） 变｜式｜巩｜固 10．命题“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行”是__________命题．（填“真”或“假”） 11．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)两个角的和等于时，这两个角互为余角； (2)如果，那么． 12．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，写出条件和结论，并判断真假． (1)偶数是4的倍数． (2)末位数字是5的整数能被5整除． (3)两负数之积为正数． 题型04 举反例 解题贴士 举反例只需找到一个符合题设、却不满足结论的实例。例子数据简单直观，贴合命题范围，不额外添加限制条件。反例要清晰说明为何推翻命题，表述简洁准确，不能违背已知定义，避免复杂数值，保证能直接否定原命题的正确性。 典｜例｜精｜析 13．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A．， B． C．， D．， 变｜式｜巩｜固 14．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为（    ） A．2 B．0 C． D． 15．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为，________． 16．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数． (2)等角的补角相等． (3)如果，那么． (4)两个奇数的和一定是偶数． 题型05 定理与证明 典｜例｜精｜析 17．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．邻补角互补 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两数相乘，同号得正 D．同角的余角相等 变｜式｜巩｜固 18．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 19．下列说法错误的是（    ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果一个命题是从基本事实或其他真命题出发，经过推理证实的，并被选作判断命题真假的依据，那么这样得到的真命题就是定理 20．下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 题型06 写出一个命题的已知、求证及证明过程 典｜例｜精｜析 21．如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 变｜式｜巩｜固 22．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 23．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 24．命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 题型07 已知证明过程填写理论依据 典｜例｜精｜析 25．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 变｜式｜巩｜固 26．如图，E是，CD外一点，．求证：． 证明：_________ _________， （等量代换）． _________． 27．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 28．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 题型08 根据给出的论断组命题并证明 典｜例｜精｜析 29．如图，点，分别在的边，上，连接，为上一点． (1)从①，②，③这三个信息中，选择两个作为条件、剩余的一个作为结论．组成一个真命题并说明理由； 你选择的条件是________、________，结论是________；（填写序号即可） (2)在（1）的题设下（选出任意两个条件），若平分，，°，求的度数． 变｜式｜巩｜固 30．填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：∵， ∴ （   ）， ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∵（   ）， ∴ ． ∴． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ． 31．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 32．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 题型09 三角形内角和定理的证明 解题贴士 证明时借助平行线转移内角，严格标注平行线判定与性质依据。辅助线作法规范书写，不凭空添加线段。三个内角拼接成平角，紧扣平角定义推导。推理步步有据，逻辑连贯，不跳步骤，画图清晰区分内错角，准确转化角度完成证明。 典｜例｜精｜析 33．学习完七年级下册第86页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过撕、拼的方法，而是在的顶点处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明 (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程． 如图，在中，过点作直线， 根据_____________________________ 得到_________，_________， 根据平角定义，___________________________， 因此，，即． 变｜式｜巩｜固 34．问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？    思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝试思考 请过三角形的顶点A添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和等于．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．    逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（不与点、重合）．如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．    (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长至点，过点作___________、利用平行线的性质得到即可求解． 方法二：如图3，过点作，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．    (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4画出图形，写出证明过程）    35．课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 36．【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 题型10 证明综合大题 典｜例｜精｜析 37．已知：直线，A为直线上的一个定点，过点A的直线交于点B，点C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，点D在点E的左侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧． (1)如图1，若，，直接写出的度数 ； (2)射线为的角平分线． ①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②当点D与点B不重合，且时，直接写出的度数． 变｜式｜巩｜固 38．已知直线，直线分别与，相交于E、F． (1)【初步探究】如图1，，分别平分和，则和的位置关系是什么？说明理由． (2)【推广应用】如图2，点G在射线上，点H在射线上，，分别平分和，若，，求和的度数． (3)【拓展提升】如图3，点G在线段上，点H是直线上的动点(不与F重合)，、分别平分和，设，请直接用含m的代数式表示的度数． 39．【定义】 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角的2倍，则称这个三角形为“二阶三角形”生活中处处都有数学，如图1：我们常用的三角板都是“二阶三角形”，它们的度数分别是，，和 ，，． 【简单应用】 (1)如图2，，，是的角平分线，试说明是“二阶三角形”； 【问题探究】 (2)在中，． ①如图3，过点C的直线交的平分线和的外角平分线于点N，M，若是“二阶三角形”，求的度数； (3)②如图4，的平分线和的外角平分线交于点D，点F是线段上的一动点（F不与B、O、D三点重合），，若是“二阶三角形”，直接写出n的值． 40．【模型探究】如图①，已知点D、E分别在的边上，点F在的内部，连接，在的内部形成凸四边形．求证：． 甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵在四边形中， ∴（① ） ∵，， ∴． ∴． 乙同学证明：如图②，连接． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴（② ）． ∴ ∴． (1)补全甲同学证明过程：①； 补全乙同学证明过程：②． 【模型应用】如图③，已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，使点A落在内部位置． (2)若则的度数为；（用含的式子表示） (3)若，求的度数； 【模型拓展】 (4)已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，点A落在位置，连接．当时，直接写出和的数量关系． 基础通关 1．（2026·浙江温州·二模）对于命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海虹口·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D． 3．（25-26七年级下·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．两直线平行，内错角互补 C．不相等的角不是内错角 D．同旁内角互补，两直线平行 4．（2026·浙江舟山·二模）如图，一个含角的直角三角板（即，）被两条平行直线和所截，若，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·浙江台州·开学考试）下列命题：相等的角都是对顶角；不小于直角的角是锐角；若，则或；若，则．其中属于真命题的是______． 6．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）请举反例说明命题“若，则”是假命题，你举的反例的值为________．（写出一个的值即可） 7．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数为_________． 8．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）校运会上，小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛．小振的成绩在前三名，小东既不是第一也不是最后一名，小启也不是第一名，小新是第二名．则获得第一名的是______． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，现有以下三个论断：①；②；③．请以其中两个论断为条件，第三个论断为结论构造新的命题． (1)请写出所有的命题．（可以写成“如果……那么……”的形式） (2)请选择其中一个真命题进行论证． 10．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，，与的平分线相交于点G， (1)完成下面的证明： ∵平分（              ）， ∴（              ）， 同理． ∵（          ）， ∴________（         ）． ∴________． ∵________（          ）， ∴________． ∴与的位置关系是________． (2)把上面的题设和结论，用文字语言概括为一个命题： ___________________． 素养提升 11．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则 C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等 12．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为(    ) A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，点在直线上，点在直线上，点在直线上方，点在的延长线上．若，，，则（     ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，，，分别平分，，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（25-26七年级下·吉林四平·期末）给出下列5个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中是真命题的是______．（填写命题的序号即可） 17．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若的两边与的两边分别平行，则或；④若，则．其中假命题的是_________（填写序号）． 18．（25-26七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 19．（25-26九年级上·湖南·阶段检测）小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小明：这个月有5个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月___________号．（填日期） 20．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图1，平分，，，． (1)求的度数； (2)如图2，若把“”变成“点在的延长线上，”，，（），请用、的代数式表示． 迁移创新 21．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，在延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，度，的平分线和的平分线交于点E，求的度数是________． 23．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度． 图1                                图2 （1）若，则______度． （2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则______度．（用含的代数式表示） 24．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图1，，点在，之间，连接，．易证：．下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作． 小红：如图3，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图4，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点P，连接、，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交于点H，若，，，求的度数． 25．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，直线与直线分别交于点G、H，平分交直线于点K，． (1)求证：； (2)如图2，点P在线段上，点N在线段上，平分，若，求的度数； (3)如图3，点M在线段上，点Q为射线上一动点且不与点G重合，连接，作的角平分线与相交于点R，直接写出与的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $