1.5 三角形全等的判定 同步讲义 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

1.5 三角形全等的判定 内 容 导 航 题型1 三角形的稳定性 题型2 全等三角形的判定 题型3 作图—基本作图 考 点 演 练 题型1 三角形的稳定性 解｜题｜知｜识 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 【典例1】如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　　） A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 【答案】B 【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性． 故选：B． 【变式1】如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】B 【解答】解：摄影师在拍照时，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是三角形具有稳定性． 故选：B． 【变式2】如图，这是某大桥桥身的一部分，桥身采用三角形钢筋构架，这其中蕴含的数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【解答】解：根据题意可得，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性，故C正确，符合题意；A、B、D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式3】如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状， 所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：D． 题型2 全等三角形的判定 解｜题｜知｜识 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【典例1】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【解答】解：在△AEG和△AFG中， ， ∴△AEG≌△AFG（SSS）， 故选：D． 【变式1】如图，在△ABC和△CDA中，已知∠BAC＝∠DCA，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△CDA，只需再添加的一个条件不可以是（　　） A．AB＝CD B．BC＝DA C．∠B＝∠D D．AD∥BC 【答案】B 【解答】解：∵∠BAC＝∠DCA，AC＝CA， ∴A．当添加AB＝CD时，由SAS可证明△ABC≌△CDA，故此选项正确，不符合题意； B．当添加BC＝DA时，由SSA不能证明△ABC≌△CDA，故此选项错误，符合题意； C．当添加∠B＝∠D时，由AAS可证明△ABC≌△CDA，故此选项正确，不符合题意； D．当AD∥BC时，∠ACB＝∠DAC，由ASA可证明△ABC≌△CDA，故此选项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式2】根据下列已知条件，不能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° B．AB＝3，BC＝6，CA＝8 C．AB＝6，BC＝10，∠B＝60° D．AB＝4，∠A＝60°，∠B＝45° 【答案】A 【解答】解：根据全等三角形的判定定理逐一判断， A．已知两边和一边的对角，不能画出唯一的△ABC，所以该选项错误，符合题意； B．可根据SSS，画出唯一的△ABC，所以该选项正确，不符合题意； C．可根据SAS，画出唯一的△ABC，所以该选项正确，不符合题意； D．可根据ASA，画出唯一的△ABC，所以该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【变式3】如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA， ∴，， ∴， ∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣45°＝135°，故结论①正确； ∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝180°﹣135°＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPA＝∠FPD＝90°， ∴∠FPB＝∠FPD+∠BPD＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 在△ABP和△FBP中， ， ∴△ABP≌△FBP（ASA），故结论②正确； ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF， ∴∠PAH＝∠PFD， 在△PAH和△P F D中， ， ∴△PAH≌△PFD（ASA）， ∴AH＝FD，∠AHP＝∠FDP， ∵∠FDP是△ABD的外角， ∴∠FDP＞∠ABC， ∴∠AHP＞∠ABC，故结论③错误； 又∵AH＝FD，AB＝FB， ∴AB＝FB＝FD+BD＝AH+BD， 即AH+BD＝AB，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 题型3 作图—基本作图 解｜题｜知｜识 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 【典例1】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB、AC于E、F两点：再分别以E、F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H．若∠C＝130°，则∠AHD的大小是（　　） A．135° B．145° C．150° D．155° 【答案】D 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠AHC＝∠HAB， ∵AH平分∠CAB， ∴∠CAH＝∠HAB， ∴∠CAH＝∠AHC， ∵∠C＝130°， ∴∠AHC＝∠CAH（180°﹣130°）＝25°， ∴∠AHD＝180°﹣25°＝155°． 故选：D． 【变式1】已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠CAD的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：选项A，作图痕迹可知，D为BC中点，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意； 选项B，作图痕迹可知，D在AB的垂直平分线上，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意； 选项C，作图痕迹可知，AD是BC边上的高，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意； 选项D，作图痕迹可知，D在∠BAC的平分线上，能确定∠BAD＝∠CAD，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC 【答案】B 【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得， ∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线， ∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线， ∵∠C＝90°， ∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°， ∴∠BDE＝∠BAC， 在Rt△AED和Rt△ACD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL）， ∴AE＝AC， ∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B， 综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 【变式3】如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由各选项图形可知，是过△ABC的顶点A，作BC边上的高的是C选项． 故选：C． 过 关 验 收 1．三角形具有稳定性，下列生活实例中利用这一性质的是（　　） A．伸缩晾衣架 B．自行车车架 C．折叠椅 D．推拉门 【答案】B 【解答】解：自行车车架通常设计为三角形框架，以利用这一性质增强车架的坚固性，故B符合题意； 而伸缩晾衣架（平行四边形结构易变形）、折叠椅（可折叠机制）、推拉门（滑动结构）均未利用三角形稳定性，A、C、D不符合题意． 故选：B． 2.以下图形中，不具有稳定性的是（　　） A．正三角形 B．等腰三角形 C．梯形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解答】解：正三角形、等腰三角形、等腰直角三角形都属于三角形，具有稳定性， 梯形是四边形，四边形没有稳定性， 故选：C． 3．无论在战争年代还是在和平时期，中国人民解放军都是一道坚不可摧的钢铁长城，保卫着祖国的安宁、人民的幸福．如图，某部队战士在射击训练时，手、肘、肩构成托枪三角形，可以在射击过程中保持枪的稳定，其中的数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．三角形具有稳定性 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【解答】解：由题意得蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 故选：B． 4．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是（　　） A．两点之间的所有连线中线段最短 B．三角形具有稳定性 C．两点确定一条直线 D．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 【答案】B 【解答】解：人字梯中间设计的“拉杆”与梯子的两个部分形成了一个三角形结构，根据三角形的稳定性，这个结构能够有效地分散和承受来自梯子使用者的压力和重量，防止梯子的两个部分向外张开，增加使用的安全性， 故选：B． 5．如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（　　） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于180° 【答案】A 【解答】解：主桥采用双塔双索面钢珩架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形具有稳定性． 故选：A． 6．如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形，以下加固方案最好的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据三角形的稳定性可得D是最好的加固方案． 故选：D． 7．下列图形中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误； B、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故本选项正确； C、对角线下方是四边形，不具有稳定性，故本选项错误； D、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误． 故选：B． 8．数学来源于生活，又服务于生活．如图所示的椅子，将椅子脚设计成三角形，椅子非常稳固，其所利用的数学原理是 　三角形具有稳定性　 ． 【答案】三角形具有稳定性． 【解答】解：运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 9．篮球架底座与支架连接处的三角形设计是为了防止篮球架因扣篮等剧烈动作而倾倒，这种做法的依据是　三角形具有稳定性　 ． 【答案】三角形具有稳定性 【解答】解：篮球架底座与支架连接处设计成三角形，就是利用了三角形具有稳定性，防止因扣篮等剧烈动作而倾倒． 故答案为：三角形具有稳定性． 10．周末放学，同学们经常乘坐公交车回家，但公交车上人太多站不稳，我们可以两腿分开站立，同时用手抓住拉环确保站得稳定，这样做的数学道理是　三角形具有稳定性　 ． 【答案】三角形具有稳定性． 【解答】解：由题意得，这样做的数学道理是：三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 11．如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是　利用三角形的稳定性使门板不变形　 ． 【答案】利用三角形的稳定性使门板不变形 【解答】解：这样做的原因是：利用三角形的稳定性使门板不变形． 12．在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 【答案】D 【解答】解：小宏第一步为截取B′C′＝BC，第二步为作C′A′＝CA， 在Rt△A′B′C′与Rt△ABC中， ， ∴Rt△A′B′C′≌Rt△ABC（HL）， ∴画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是HL． 故选：D． 13．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE和CD交于点F，则图中的全等三角形的对数是（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【解答】解：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）； ∴∠B＝∠C，BE＝CD， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝CE， 在△BDF和△CEF中， ， ∴△BDF≌△CEF（AAS）； ∴DF＝EF，BF＝CF， 在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）； 在△ABF和△ACF中， ， ∴△ABF≌△ACF（SSS）， 综上所述，图中的全等三角形有4对． 所以选：B． 14．如图，已知△ABC六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【解答】解：甲和△ABC的两边对应相等，但夹角不一定相等，故甲和△ABC不一定全等； 由SAS判定乙和△ABC全等，故乙符合题意； 由AAS判定丙和△AB全等，故丙符合题意． 故选：B． 15．如图，已知BC＝DC，添加下列某一个条件后，能判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．∠B＝∠D B．∠BAC＝∠DAC C．AD＝BC D．∠BCA＝∠DCA 【答案】D 【解答】解：A、由BC＝DC，AC＝AC，∠B＝∠D，不能判定△ABC≌△ADC，故选项A不符合题意； B、由BC＝DC，AC＝AC，∠BAC＝∠DAC，不能判定△ABC≌△ADC，故选项B不符合题意； C、由BC＝DC，AC＝AC，AD＝BC，不能判定△ABC≌△ADC，故选项C不符合题意； D、由BC＝DC，AC＝AC，∠BCA＝∠DCA，利用SAS能判定△ABC≌△ADC，故选项D符合题意． 故选：D． 16．下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E C．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F D．∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF 【答案】C 【解答】解：在△ABC和△DEF， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， 故A不符合题意； 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， 故B不符合题意； ∵AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F不符合全等三角形的判定定理， ∴由AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F不能判定△ABC与△DEF全等， 故C符合题意； 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， 故D不符合题意， 故选：C． 17．有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝α，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，所剪下的三角形纸片不一定是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等， 故本选项不符合题意； B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等， 故本选项不符合题意； C、如图1， ∵∠DEC＝∠B+∠BDE＝α+∠FEC，∠B＝∠C＝α， ∴∠FEC＝∠BDE， ∵BD＝CE＝3是对应边， 由AAS判定两个小三角形全等 故本选项不符合题意； D、如图2， ∵∠DEC＝∠B+∠BDE＝α+∠FEC，∠B＝∠C＝α， ∴∠FEC＝∠BDE， 所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3， 所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意； 故选：D． 18．如图，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【解答】解：∵∠CAE＝∠BAD， ∴∠BAC＝∠EAD， 又AC＝AD， 则添加①AB＝AE，△ABC≌△AED（SAS）； 添加②BC＝ED，△ABC与△AED不全等； 添加③∠C＝∠D，△ABC≌△AED（ASA）； 添加④∠B＝∠E，△ABC≌△AED（AAS）． 综上所述，能使△ABC≌△AED的条件是①③④，所以只有选项D正确，符合题意． 故选：D． 19．如图，已知AC＝DC，∠1＝∠2，如果添加一个条件用“SAS”使△ABC≌△DEC，则添加的条件是（　　） A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．BC＝EC D．AB＝DE 【答案】C 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE，即∠ACB＝∠DCE， A、添加∠A＝∠D，用ASA可证△ABC≌△DEC，故A不符合要求； B、添加∠B＝∠E，用AAS可证△ABC≌△DEC，故B不符合要求； C、添加BC＝EC，由SAS可证△ABC≌△DEC，故C符合要求； D、添加AB＝DE，无法使△ABC≌△DEC，故D不符合要求． 故选：C． 20．在△XYZ和△X′Y′Z′中，①XY＝X′Y′；②YZ＝Y′Z′；③XZ＝X′Z′；④∠X＝∠X′；⑤∠Y＝∠Y′，若选三个条件判定全等，下列组合一定能判定的是（　　） A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 【答案】D 【解答】解：A． ①②的夹角为∠Y＝∠Y′，符合边边角，不能判断两个三角形全等，所以此选项错误，不符合题意； B． ①③的夹角为∠X＝∠X′，符合边边角，不能判断两个三角形全等，所以此选项错误，不符合题意； C． ②③的夹角为∠Z＝∠Z′，符合边边角，不能判断两个三角形全等，所以此选项错误，不符合题意； D． ②④⑤符合角角边，正确，所以此选项正确，符合题意； 故选：D． 21．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠P′O′Q′＝∠POQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△AOB≌△A′O′B′的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解答】解：由作图知AO＝BO＝A′O′＝B′O′，AB＝A′B′， 在△AOB和△A'O'B'中， ， ∴△AOB≌△A'O'B'（SSS）． 故选：B． 22．如图，AB＝DB，∠1＝∠2，添加下列条件，不能判定△ABC≌△DBE的是（　　） A．BC＝BE B．AC＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DEB 【答案】B 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠ABE＝∠2+∠ABE，即∠DBE＝∠ABC， 又∵AB＝DB， 选项A：∵BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，AB＝DB， ∴△ABC≌△DBE（SAS），故A能判定． 选项B：虽然AC＝DE，AB＝DB，∠ABC＝∠DBE，但这是“边边角”的情况，不能判定两个三角形全等，故B不能判定． 选项C：∵∠A＝∠D，AB＝DB，∠ABC＝∠DBE， ∴△ABC≌△DBE（ASA），故C能判定． 选项D：∵∠ACB＝∠DEB，AB＝DB，∠ABC＝∠DBE， ∴△ABC≌△DBE（AAS），故D能判定． 故选：B． 23．如图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH，小明是通过全等三角形的判定方法得到的结论，则小明用的判定方法是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【解答】解：在△DHE和△DHF中， ， ∴△DHE≌△DHF（SSS）， ∴∠DEH＝∠DFH． 故选：D． 24．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝10cm，BC＝15cm，CD＝20cm，点P在线段BD上以5cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D匀速运动，若△ABP与△PCQ在某一时刻全等，则点Q运动速度为（　　） A．5cm/s或 B． C．5cm/s或 D．5cm/s 【答案】A 【解答】解：设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为vcm/s，则BP＝5tcm，CQ＝vtcm， ∴CP＝（15﹣5t）cm， ∵∠B＝∠C＝120°， ∴△BAP≌△CQP或△BAP≌△CPQ， 当△BAP≌△CQP时，CQ＝AB＝10cm，（全等三角形对应边相等）， ∴5t＝7.5， 解得， ∴， 解得； 当△BAP≌△CPQ时，BP＝CQ＝vtcm（全等三角形对应边相等）， ∴5t＝vt， 解得v＝5cm/s； 综上所述，点Q运动速度为5cm/s或． 故选：A． 25．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动　0或4或8或12　 秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 【答案】0或4或8或12 【解答】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝2， ∴BP＝2， ∴CP＝6﹣2＝4， ∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）； ②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB与△NBP全等， 这时BC＝PB＝6，CP＝0，因此时间为0秒； ③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝2， ∴BP＝2， ∴CP＝2+6＝8， ∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）； ④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB与△NBP全等， ∵BC＝6， ∴BP＝6， ∴CP＝6+6＝12， 点P的运动时间为12÷1＝12（秒）， 故答案为：0或4或8或12． 26．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠BEC，要判定△ADF≌△CBE，则需添加条件　∠A＝∠C（答案不唯一）　 ．（只需写出一种即可） 【答案】∠A＝∠C（答案不唯一）． 【解答】解：需添加条件：∠A＝∠C， 理由：∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF， ∴AF＝CE， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（ASA）； 故答案为：∠A＝∠C（答案不唯一）． 27．如图，AB＝9cm，BC＝12cm，∠B＝∠C．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线CD运动．若经过t秒后同时停止． （1）若∠B＝∠APQ，AB＝PC，则AP与QP相等吗？请说明理由． （2）当△ABP与△CQP全等时，求Q点的运动速度． 【答案】（1）AP＝QP． 理由如下： ∵∠APC＝∠A+∠B，∠APC＝∠APQ+∠CPQ， 而∠B＝∠APQ， ∴∠CPQ＝∠A， 在△PCQ和△ABP中， ， ∴△PCQ≌△ABP（ASA）， ∴PQ＝AP； （2）cm/s或3cm/s． 【解答】解：（1）AP＝QP． 理由如下： ∵∠APC＝∠A+∠B，∠APC＝∠APQ+∠CPQ， 而∠B＝∠APQ， ∴∠CPQ＝∠A， 在△PCQ和△ABP中， ， ∴△PCQ≌△ABP（ASA）， ∴PQ＝AP； （2）设Q点的运动速度为xcm/s，运动的时间为ts，则CQ＝xtcm，BP＝3tcm，PC＝（12﹣3t）cm， ∵∠B＝∠C， ∴当BP＝CP，BA＝CQ时，△ABP≌△QCP（SAS）， 即3t＝12﹣3t，9＝xt， 解得t＝2，x； 当BP＝CQ，BA＝CP时，△ABP≌△PCQ（SAS）， 即3t＝xt，9＝12﹣3t， 解得t＝1，x＝3； 综上所述，Q点的运动速度为cm/s或3cm/s． 28．如图，已知∠AOB，点P为OA上一点，小明借助无刻度的直尺和圆规，经过点P作PM∥OB，根据尺规作图的痕迹，判断小明得出这一结论的依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】B 【解答】解：∵∠APM＝∠AOB， ∴PM∥OB（同位角相等，两直线平行）， 故选：B． 29．下面是“作∠AOB的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】解：连接CD，CE， 由作图得：OD＝OE，CD＝CE，OC＝OC， ∴△OCD≌△OCE（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， 故选：A． 30．如图，∠A＝35°，根据图中尺规作图的痕迹，可得∠ABD的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．60° 【答案】C 【解答】解：由作图痕迹得BD⊥AC． ∴∠ADB＝90°， ∵∠A＝35°， ∴∠ABD＝90°﹣∠A＝55°． 故选：C． 31．观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的中线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：观察作图痕迹可知： A．BC＝BD， 所以A选项不符合题意； B．CD为△ABC的边AB上的中线， 所以B选项符合题意； C．CD是∠ACB的平分线， 所以C选项不符合题意； D．CD⊥AB，但不平分， 所以D选项不符合题意． 故选：B． 32．利用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：作△ABC的高，下列作法正确的是． 故选：D． 33．根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是（　　） A．EA＝ED B．DE⊥AB C．AF∥DE D．AE＝AF 【答案】B 【解答】解： 根据尺规作图痕迹可得：AD是∠BAC的角平分线，EF是AD的垂直平分线， ∴EA＝ED，故A正确；∠EAD＝∠FAD，AO＝OD ∴∠EAD＝∠EDA， ∴∠EDA＝∠FAD， ∴AF∥DE，故C正确； ∵∠AOF＝∠DOE， ∴△AOF≌△DOE（ASA）， ∴AF＝DE， ∴AE＝AF，故D正确； 根据条件无法判断B； 故选：B． 34．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，按以下步骤作图：以点C为圆心，BC长为半径作弧，交AB于点D；分别以点D，B为圆心，大于线段BD长的一半为半径作弧，两弧交于点P；连接CP交AB与点E；则CE＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：利用三角形面积的不变性计算可得， ∴． 故答案为：． 35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE，证明AB⊥DE． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解答】解：（1）如图，AE为所作∠BAC的平分线； （2）证明：如图．连接DE，由（1）知：∠CAE＝∠DAE， 在△ACE和△ADE中， ， ∴△ACE≌△ADE（SAS）， ∴∠ACE＝∠ADE， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ADE＝90°， ∴AB⊥DE． 36．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数． 【答案】30°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ACD+∠CAB＝180°， 又∵∠ACD＝120°， ∴∠CAB＝60°， 由作法知，AM是∠CAB的平分线， ∴． 37．如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图： ①以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于点B，D； ②分别以点B、点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E； ③作直线PE交BD于点F． 若BF＝2，PE＝6，则四边形PBED的面积为　12　 ． 【答案】12． 【解答】解：由作图步骤可知： 步骤①中，以点P为圆心作弧交直线l于B、D， ∴PB＝PD． 步骤②中，分别以B、D为圆心，大于长为半径作弧相交于点E， ∴直线PE是线段BD的垂直平分线， ∴BF＝DF＝2，PE⊥BD． ∴BD＝2BF＝4． ∵四边形PBED的对角线PE与BD互相垂直， ． 故答案为：12． 38．如图矩形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，画出∠DAE的平分线； （2）在图2中，画出∠AEC的平分线． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1所示． ； （2）如图2所示． ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 三角形全等的判定 内 容 导 航 题型1 三角形的稳定性 题型2 全等三角形的判定 题型3 作图—基本作图 考 点 演 练 题型1 三角形的稳定性 解｜题｜知｜识 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 【典例1】如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　　） A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 【变式1】如图，摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度，往往会放一个三脚架来固定和支撑相机，这里用到的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【变式2】如图，这是某大桥桥身的一部分，桥身采用三角形钢筋构架，这其中蕴含的数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【变式3】如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 题型2 全等三角形的判定 解｜题｜知｜识 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【典例1】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【变式1】如图，在△ABC和△CDA中，已知∠BAC＝∠DCA，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△CDA，只需再添加的一个条件不可以是（　　） A．AB＝CD B．BC＝DA C．∠B＝∠D D．AD∥BC 【变式2】根据下列已知条件，不能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° B．AB＝3，BC＝6，CA＝8 C．AB＝6，BC＝10，∠B＝60° D．AB＝4，∠A＝60°，∠B＝45° 【变式3】如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3 作图—基本作图 解｜题｜知｜识 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 【典例1】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB、AC于E、F两点：再分别以E、F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H．若∠C＝130°，则∠AHD的大小是（　　） A．135° B．145° C．150° D．155° 【变式1】已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠CAD的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC 【变式3】如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．三角形具有稳定性，下列生活实例中利用这一性质的是（　　） A．伸缩晾衣架 B．自行车车架 C．折叠椅 D．推拉门 2.以下图形中，不具有稳定性的是（　　） A．正三角形 B．等腰三角形 C．梯形 D．等腰直角三角形 3．无论在战争年代还是在和平时期，中国人民解放军都是一道坚不可摧的钢铁长城，保卫着祖国的安宁、人民的幸福．如图，某部队战士在射击训练时，手、肘、肩构成托枪三角形，可以在射击过程中保持枪的稳定，其中的数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．三角形具有稳定性 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 4．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是（　　） A．两点之间的所有连线中线段最短 B．三角形具有稳定性 C．两点确定一条直线 D．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 5．如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（　　） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于180° 6．如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形，以下加固方案最好的是（　　） A． B． C． D． 7．下列图形中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 8．数学来源于生活，又服务于生活．如图所示的椅子，将椅子脚设计成三角形，椅子非常稳固，其所利用的数学原理是 　 　 ． 9．篮球架底座与支架连接处的三角形设计是为了防止篮球架因扣篮等剧烈动作而倾倒，这种做法的依据是　 　 ． 10．周末放学，同学们经常乘坐公交车回家，但公交车上人太多站不稳，我们可以两腿分开站立，同时用手抓住拉环确保站得稳定，这样做的数学道理是　 　 ． 11．如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是　 　 ． 12．在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 13．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE和CD交于点F，则图中的全等三角形的对数是（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 14．如图，已知△ABC六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 15．如图，已知BC＝DC，添加下列某一个条件后，能判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．∠B＝∠D B．∠BAC＝∠DAC C．AD＝BC D．∠BCA＝∠DCA 16．下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E C．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F D．∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF 17．有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝α，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，所剪下的三角形纸片不一定是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 18．如图，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 19．如图，已知AC＝DC，∠1＝∠2，如果添加一个条件用“SAS”使△ABC≌△DEC，则添加的条件是（　　） A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．BC＝EC D．AB＝DE 20．在△XYZ和△X′Y′Z′中，①XY＝X′Y′；②YZ＝Y′Z′；③XZ＝X′Z′；④∠X＝∠X′；⑤∠Y＝∠Y′，若选三个条件判定全等，下列组合一定能判定的是（　　） A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 21．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠P′O′Q′＝∠POQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△AOB≌△A′O′B′的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 22．如图，AB＝DB，∠1＝∠2，添加下列条件，不能判定△ABC≌△DBE的是（　　） A．BC＝BE B．AC＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DEB 23．如图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH，小明是通过全等三角形的判定方法得到的结论，则小明用的判定方法是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 24．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝10cm，BC＝15cm，CD＝20cm，点P在线段BD上以5cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D匀速运动，若△ABP与△PCQ在某一时刻全等，则点Q运动速度为（　　） A．5cm/s或 B． C．5cm/s或 D．5cm/s 25．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动　 　 秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 26．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠BEC，要判定△ADF≌△CBE，则需添加条件　 　 ．（只需写出一种即可） 27．如图，AB＝9cm，BC＝12cm，∠B＝∠C．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线CD运动．若经过t秒后同时停止． （1）若∠B＝∠APQ，AB＝PC，则AP与QP相等吗？请说明理由． （2）当△ABP与△CQP全等时，求Q点的运动速度． 28．如图，已知∠AOB，点P为OA上一点，小明借助无刻度的直尺和圆规，经过点P作PM∥OB，根据尺规作图的痕迹，判断小明得出这一结论的依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 29．下面是“作∠AOB的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 30．如图，∠A＝35°，根据图中尺规作图的痕迹，可得∠ABD的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．60° 31．观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的中线的是（　　） A． B． C． D． 32．利用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 33．根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是（　　） A．EA＝ED B．DE⊥AB C．AF∥DE D．AE＝AF 34．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，按以下步骤作图：以点C为圆心，BC长为半径作弧，交AB于点D；分别以点D，B为圆心，大于线段BD长的一半为半径作弧，两弧交于点P；连接CP交AB与点E；则CE＝ ． 35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE，证明AB⊥DE． 36．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数． 37．如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图： ①以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于点B，D； ②分别以点B、点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E； ③作直线PE交BD于点F． 若BF＝2，PE＝6，则四边形PBED的面积为　 　 ． 38．如图矩形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，画出∠DAE的平分线； （2）在图2中，画出∠AEC的平分线． 学科网（北京）股份有限公司 $