2.6 直角三角形同步讲义 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

2.6 直角三角形 内 容 导 航 题型1 直角三角形的性质 题型2 含30度角的直角三角形 题型3 直角三角形斜边上的中线 考 点 演 练 题型1 直角三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 【典例1】如图，在由5×5的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且△ABC是直角三角形，则符合要求的点C共有（　　） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，则∠B的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【变式2】如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2＝（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 【变式3】下面说法正确的个数有（　　） ①三条线段组成的图形叫三角形；②如果2∠A＝∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形；⑤三角形的一个外角大于任何一个内角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 含30度角的直角三角形 解｜题｜知｜识 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 【典例1】某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆AO的长度为4米（如图2所示），栏杆AO从水平位置绕点O顺时针旋转到A′O的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角∠AOA′为30°时，栏杆端点A升高了（　　）米． A．2m B．4m C． D．8m 【变式1】定义：在同一平面内，如果两条线段所在直线形成的夹角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于点F．若边BE是边AD的双关联线段，且，则 ． 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E，DE＝2，则CE的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3】如图，在Rt△ABC中，已知，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，且BD＝13cm，则AC的长是（　　） A．13cm B．6.5cm C．30cm D．6cm 题型3 直角三角形斜边上的中线 解｜题｜知｜识 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 【典例1】如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝8，BC＝20，△EFM的周长是（　　） A．26 B．28 C．30 D．32 【变式1】如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是梯子AB的中点，梯子滑动时，点B沿BC滑向墙角C点，点A水平远离墙角C点，P点和C点的距离（　　） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，AB＝6，则CD的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，若∠A＝62°，则∠BCD的度数为（　　） A．28° B．31° C．34° D．38° 过 关 验 收 1．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④；⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与AC边的夹角为40°，则三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角的度数全部正确的（　　） A．50° 80° 100° 130° B．20° 50° 130° 160° C．20° 80° 100° 160° D．20° 80° 130° 160° 3．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 4．如图，∠ABM是锐角，点C从点B出发沿BM方向运动，连结AC．关于△ABC的形状变化情况，下列说法正确的是（　　） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 5．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，那么∠1+∠2＝　 　 °． 6．如图，直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，D为边AC上一点，E为直线BC上一点，将图形沿DE翻折，得到点C的对应点C′（C′位于BC上方），如果△DC′E有一边平行于边AB，那么∠DEC＝ 　 　 °． 7．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，∠ACD＝2∠CBE，则∠A的度数为　 　 ． 8．已知直角三角形ABC有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是 　 　 ． 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，D是AB边上一点，将△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的点E处，则∠CED＝　 　 度． 10．在△ABC中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为直角三角形，另一个为等腰三角形（无等腰直角三角形），则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．例如：如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝18°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝18°，则直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．如图2，已知∠C＝20°，△ABC同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的二分割线，则∠BAC的度数为　 　 ． 11．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D、F分别在边BC、AB上，连接DF，CF，使∠BFD＝2∠ACF，过D作DE⊥AC于E，交CF于点G，延长交∠AFC的角平分线于点H，若DF平分∠BDE，且∠BFG＝∠DGF，则∠H＝ 　 　 ． 12．如果直角三角形的三边都是200以内的正整数，且较长的两边长相差1，那么这样的直角三角形有 　 　 个． 13．如图，已知：AB∥CD，BD⊥BC，∠1＝40°，求∠2的度数．完成证明过程： 证明：∵AB∥CD（　 　 ）， ∴　 ＝∠1＝40°（　 　 ）． ∵BD⊥BC（已知）， ∴∠CBD＝　 　 ．（垂直定义） ∴　 　 +∠BCD＝90°，（直角三角形的两个锐角互余） ∴∠2＝　 　 °． 14．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”． （1）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，试判断△ABC是否是“准直角三角形”，并说明理由； （2）如果△ABC是“准直角三角形”，那么△ABC是 　 　 ；（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能） （3）如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝75°，BD平分∠ABC交AC于点D． ①若DE∥BC交AB于点E，在①△ADE，②△BDE，③△BDC，④△ABD中“准直角三角形”是 　 　 （填写序号），并说明理由； ②在直线AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，求出∠DFB的度数． 15．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是高，若BC＝8，则AD的长为（　　） A．16 B．12 C．10 D．8 17．如图，所示，是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 　 秒． 18．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD＝4，BE＝6，则AB的长为 　 　 ． 19．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于　 　 ． 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点D，则下列说法：①AD平分∠BAC；②∠ADC＝45°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△ADC：S△ABC＝1：3．其中正确的是　 　 ． 21．如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB的角平分线上的一点，PM⊥OB于点M，PN∥OB交OA于点N，若PM＝2，则PN的长为　 　 ． 22．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝15°，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF，如果AC＝4，则DF＝　 ． 23．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P为BC的中点，将一块三角板的30°角顶点放在点P处，让三角板的两边分别交两腰AB、AC于点E、F，EF＝1，那么S△EPF＝ ． 24．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）求证：BE＝EF． 25．将一副常用的三角板（在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ADE中，∠ADE＝90°，∠CAD＝45°，AC＝AE）按如图①方式放置，如图②将△ADE绕点A按逆时针方向，以每秒5°的速度旋转，设旋转的时间为t秒（0≤t≤36）． （1）图①中，∠BAD的大小为 　 　 °； （2）在△ADE绕点A旋转的过程中，当DE与△ABC的一边平行时，则t的值为 　 　 ． 26．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点D在AC上，CD，点P在△ABC的边上，则当AP＝2PD时，PD的长为 ． 27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AC＝6，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（　　） A．2 B．6 C．3 D．9 28．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边上的中线，那么下列结论中错误的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ECB＝∠A﹣∠ECD C．∠ACD＝∠ECB D．∠ECB＝∠DCE 29．如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，∠CDE＝56°，则∠DCE的度数是（　　） A．56° B．62° C．63° D．68° 30．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC上一点，P是AD的中点．若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8cm，则BP为　 ． 31．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 32．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为6km，则M，C两点间的距离为（　　） A．3km B．3.5km C．4km D．4.5km 33．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，BC＝8，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M，N分别是AB，DE的中点，则MN的最小值为　 ． 34．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，点F是BD中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）过点D作DH⊥AC于H点，如果BD平分∠HDE，求证：BA＝BC． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6 直角三角形 内 容 导 航 题型1 直角三角形的性质 题型2 含30度角的直角三角形 题型3 直角三角形斜边上的中线 考 点 演 练 题型1 直角三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 【典例1】如图，在由5×5的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且△ABC是直角三角形，则符合要求的点C共有（　　） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解答】解：如图，符合要求的点C的位置如图所示． 则符合要求的点C共有6个． 故选：D． 【变式1】在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，则∠B的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【答案】D 【解答】解：根据直角三角形两锐角互余的性质可知： ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠A＝40°， ∴∠B＝90°﹣40°＝50°． 故选：D． 【变式2】如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2＝（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 【答案】C 【解答】解：如图所示： ∵∠1与∠4是对顶角，∠2与∠3是对顶角， ∴∠1＝∠4，∠2＝∠3， ∴此三角形是直角三角形， ∴∠3+∠4＝90°，即∠1+∠2＝90°． 故选：C． 【变式3】下面说法正确的个数有（　　） ①三条线段组成的图形叫三角形；②如果2∠A＝∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形；⑤三角形的一个外角大于任何一个内角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：由题知， 因为三角形是由三条线段首尾顺次连接，组成的封闭图形， 所以①的说法错误． 由2∠A＝∠B＝∠C及∠A+∠B+∠C＝180°得， 5∠A＝180°， 则∠A＝36°， 所以∠B＝∠C＝72°， 显然此三角形不是直角三角形， 所以②的说法错误． 因为三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部， 所以③的说法正确． 因为锐角三角形的三条高都在三角形内部， 直角三角形的两条高为直角边，第三条高在三角形内部， 钝角三角形的两条高在三角形外部，一条高在三角形内部， 所以④的说法错误． 因为钝角三角形中，钝角相邻的外角是锐角，比钝角小， 所以⑤的说法错误． 故选：A． 题型2 含30度角的直角三角形 解｜题｜知｜识 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 【典例1】某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆AO的长度为4米（如图2所示），栏杆AO从水平位置绕点O顺时针旋转到A′O的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角∠AOA′为30°时，栏杆端点A升高了（　　）米． A．2m B．4m C． D．8m 【答案】A 【解答】解：过点A′作A′D⊥AO，垂足为D， ∴∠A′DO＝90°， 由旋转得：AO＝A′O＝4米， ∵∠AOA′＝30°， ∴A′DA′O＝2（米）， ∴栏杆A端升高了2米， 故选：A． 【变式1】定义：在同一平面内，如果两条线段所在直线形成的夹角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于点F．若边BE是边AD的双关联线段，且，则 　　 ． 【答案】． 【解答】解：过点E作EH⊥AD于点H，如图所示： ∴∠EHD＝90°， ∴△EHF是直角三角形， ∵AD⊥BC于点D， ∴∠ADB＝90°， ∴△BDF直角三角形，∠EHD＝∠ADB＝90°， ∴EH∥BC， ∵边BE是边AD的双关联线段， ∴∠BFD＝∠AFE＝60°，BE＝AD， ∵BDDC， ∴设DC＝a，则BD， 在Rt△BDF中，∠DBF＝90°﹣∠BFD＝90°﹣60°＝30°， ∴BF＝2DF， 由勾股定理得：BDDF， ∴DFBDa， ∴BF＝2a， 在Rt△EHF中，∠HEF＝90°﹣∠AFE＝90°﹣60°＝30°， 设FH＝x，则EF＝2x， 由勾股定理得：EH， ∴BE＝BF+EF＝2a+2x，DH＝DF+FH＝a+x， ∴AD＝DH+AH＝a+x+AH， ∵BE＝AD， ∴2a+2x＝a+x+AH， ∴AH＝a+x， ∴AH＝DH＝a+x， ∴点H是AD的中点， ∴EH是△ACD的中位线， ∴CD＝2HE， ∴a， ∴BF＝2a， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E，DE＝2，则CE的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解答】解：连接AE，如图： 在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°， ∵点D是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴BE＝AE， ∴∠B＝∠DAE＝30°， 在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，DE＝2， ∴AE＝2DE＝4， ∵∠BAC＝120°，∠DAE＝30°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△CAE中，∠C＝30°，AE＝4， ∴CE＝2AE＝8． 故选：B． 【变式3】如图，在Rt△ABC中，已知，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，且BD＝13cm，则AC的长是（　　） A．13cm B．6.5cm C．30cm D．6cm 【答案】B 【解答】解；∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D（已知） ∴AD＝BD（线段垂直平分线的性质） ∴∠DAE＝∠B＝15°且AD＝BD＝13cm（等腰三角形的性质） ∴∠ADC＝30°（外角性质） ∴ACAD＝6.5cm． 故选：B． 题型3 直角三角形斜边上的中线 解｜题｜知｜识 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 【典例1】如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝8，BC＝20，△EFM的周长是（　　） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】B 【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，BC＝20， ∴， 同理可得：， ∵EF＝8， ∴△EFM的周长＝FM+ME+EF＝10+10+8＝28． 故选：B． 【变式1】如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是梯子AB的中点，梯子滑动时，点B沿BC滑向墙角C点，点A水平远离墙角C点，P点和C点的距离（　　） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 【答案】A 【解答】解：由题知， ∵BC⊥AC，且点P为AB的中点， ∴CP为Rt△ABC斜边上的中线， ∴CP． ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变． 故选：A． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，AB＝6，则CD的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，AB＝6， ∴， 故选：B． 【变式3】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，若∠A＝62°，则∠BCD的度数为（　　） A．28° B．31° C．34° D．38° 【答案】A 【解答】解：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点， ∴BD＝AD＝CDAB， ∴∠A＝∠DCA＝62°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣62°＝28°． 故选：A． 过 关 验 收 1．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④；⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【解答】解：①由∠A+∠B＝∠C，得到180°﹣∠C＝∠C，求出∠C＝90°，判定△ABC是直角三角形，故①符合题意； ②令∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，得到x+2x+3x＝180°，求出x＝30°，得到∠C＝90°，判定△ABC是直角三角形，故②符合题意； ③由∠A＝∠B＝2∠C，得到2∠C+2∠C+∠C＝180°，求出∠C＝36°，得到∠A＝∠B＝72°，△ABC是锐角三角形，故③不符合题意； ④由，得到∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，由三角形内角和定理求出∠A＝30°，得到∠C＝90°，判定△ABC是直角三角形，故④符合题意； ⑤由∠A＝2∠B＝3∠C，得到∠B∠A，∠C∠A，由三角形内角和定理求出∠A，△ABC是钝角三角形，故⑤不符合题意． ∴能确定△ABC为直角三角形的条件有3个． 故选：C． 2．如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与AC边的夹角为40°，则三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角的度数全部正确的（　　） A．50° 80° 100° 130° B．20° 50° 130° 160° C．20° 80° 100° 160° D．20° 80° 130° 160° 【答案】C 【解答】解：（1）当OD与AC边的夹角为40°时， ①当OD在AC下方时， ∵∠CAD＝40°，∠DAE＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣40°＝50°； ∵∠BAC＝30°， ∴∠BAE＝30°+50°＝80°， ②当OD在AC上方时， ∵∠CAD＝40°，∠DAE＝90°，∠BAC＝30°， ∴∠BAE＝30°+40°+90°＝160°； （2）当OE与AC边的夹角为40°时， ①当OE在AC下方时， ∵∠CAE＝40°，∠BAC＝30°， ∴∠BAE＝40°﹣30°＝10°， ∴∠BAD＝10°+90°＝100°， ②当OE在AC上方时， ∵∠CAE＝40°，∠BAC＝30°， ∴∠BAD＝90°﹣40°﹣30°＝20°， 综上：另一条直角边与AB边的夹角可能是80°，160°，20°，100°， 故选：C． 3．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 【答案】D 【解答】解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意； B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意； C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意； D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 4．如图，∠ABM是锐角，点C从点B出发沿BM方向运动，连结AC．关于△ABC的形状变化情况，下列说法正确的是（　　） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】C 【解答】解：由题意可知：△ABC的形状变化情况是钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形， 故选：C． 5．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，那么∠1+∠2＝　270　 °． 【答案】270． 【解答】解：由条件可知∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠C＝90°， 由图可知，∠1 与∠CAB 互为邻补角，∠2 与∠CBA 互为邻补角， ∴∠1＝180°﹣∠CAB，∠2＝180°﹣∠CBA， ∴∠1+∠2＝（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠CBA） ＝360°﹣（∠CAB+∠CBA） ＝360°﹣90° ＝270°． 故答案为：270． 6．如图，直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，D为边AC上一点，E为直线BC上一点，将图形沿DE翻折，得到点C的对应点C′（C′位于BC上方），如果△DC′E有一边平行于边AB，那么∠DEC＝ 　30或15或60　 °． 【答案】30或15或60． 【解答】解：依题意有以下三种情况： （1）当C′E∥AB时，此时又有两种情况： ①点E在线段BC上时，如图1①所示： ∴∠CEC′＝∠B＝60° 由折叠可得：∠DEC＝∠DEC'∠CEC′＝30°； ②点E在线段CB延长线上时，如图1②所示： ∴∠CEC′＝∠B＝60°， 由折叠可得：∠DEC＝∠DEC'∠CEC′＝30°； （2）当DC′∥AB时，此时又有两种情况： ①点E在线段BC上时，过点C′作C′F∥BC交AB于点F，如图2①所示： ∴∠AFC′＝∠B＝60°， ∵DC′∥AB， ∴∠FC′D＝∠AFC′＝60°， 由折叠可得：∠DC′E＝∠C＝30°，∠DEC＝∠DEC'∠CEC′， ∴∠FC′E＝∠FC′D﹣∠DC′E＝60°﹣30°＝30° ∵C′F∥BC ∴∠FC′E＝∠CEC′＝30° ∴∠DEC＝∠DEC'∠CEC′＝15°； ②点E在线段CB延长线上时，过点C′作C′F∥BC交BA延长线于点F，如图2②所示： ∵C′F∥BC ∴∠AFC′＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵DC′∥AB， ∴∠FC′D＝180°﹣∠AFC′＝60°， ∴由折叠可得：∠DCE＝∠DC′E＝30°，∠DEC＝∠DEC'∠CEC′， ∴∠FC′E＝∠FC′D﹣∠DC′E＝60°﹣30°＝30° ∵C′F∥BC ∴∠FC′E＝∠CEC′＝30° ∴∠DEC＝∠DEC'∠CEC′＝15°； （3）当DE∥AB时，如图3所示： ∴∠DEC＝∠ABC＝60°， 综上所述△DC′E有一边平行于边AB，∠DEC＝30°或15°或60°． 故答案为：30°或15°或60°． 7．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，∠ACD＝2∠CBE，则∠A的度数为　36°　 ． 【答案】36°． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB，D是AB的中点， ∴∠EBA＝∠A， 在Rt△ABC中，D是AB的中点， 则CDAB＝AD， ∴∠ACD＝∠A， ∵∠ACD＝2∠CBE， ∴∠EBA＝∠A＝2∠CBE， 在Rt△ABC中，∠ABC+∠A＝90°， ∴∠A+∠A+∠A＝90°， 解得：∠A＝36°， 故答案为：36°． 8．已知直角三角形ABC有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是 　40°　 ． 【答案】40°． 【解答】解：∵直角三角形ABC有一个锐角等于50°， ∴另一个锐角的度数是90°﹣50°＝40°， 故答案为：40°． 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，D是AB边上一点，将△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的点E处，则∠CED＝　54　 度． 【答案】54． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°， 则∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣36°＝54°， 由折叠的性质可知：∠CED＝∠B＝54°， 故答案为：54． 10．在△ABC中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为直角三角形，另一个为等腰三角形（无等腰直角三角形），则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．例如：如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝18°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝18°，则直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．如图2，已知∠C＝20°，△ABC同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的二分割线，则∠BAC的度数为　35°或45°或50°　 ． 【答案】35°或45°或50°． 【解答】解：如图2所示： ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∵∠C＝20°， ∴∠ADB＝∠C+90°＝110°， ∴∠BAC＝35°； 如图3所示： ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∵∠ADB＝90°， ∴∠BAC＝45°； 如图4所示： ∵CD＝BD，∠C＝20°， ∴∠C＝∠CBD＝20°，∠ABD＝90°，∠ADB＝∠C+∠CBD＝20°+20°＝40°， ∴∠BAC＝50°； 综上所述，∠BAC的度数为35°或45°或50°． 故答案为：35°或45°或50°． 11．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D、F分别在边BC、AB上，连接DF，CF，使∠BFD＝2∠ACF，过D作DE⊥AC于E，交CF于点G，延长交∠AFC的角平分线于点H，若DF平分∠BDE，且∠BFG＝∠DGF，则∠H＝ 　22.5°　 ． 【答案】22.5°． 【解答】解：设AC与FH相交于点P，如图所示： 设∠ACF＝2α， ∵DE⊥AC， ∴∠EGC＝90°﹣2α， ∴∠BFG＝∠DGF＝∠DGF＝90°﹣2α， ∴∠AFC＝180°﹣∠BFG＝180°﹣（90°﹣2α）＝90°+2α， ∵FH平分∠AFC， ∴∠HFG＝1/2∠AFC＝1/2×（90°+2α）＝45°+α， ∵∠BFD＝2∠ACF＝4α， ∴∠DFG＝∠BFG﹣∠BFD＝90°﹣2α﹣4α＝90°﹣6α． ∴∠HFD＝∠HFG+∠DFG＝45°+α+90°﹣6α＝135°﹣5α， ∵∠B＝90°， 在Rt△BFD中，∠BDF＝90°﹣∠BFD＝90°﹣4α， ∵DF平分∠BDE， ∴∠FDH＝∠BDF＝90°﹣4α， ∵∠HPE是△PFC的外角， ∴∠HPE＝∠HFG+∠ACF＝45°+α+2α＝45°+3α， 在Rt△PHE中，∠H＝90°﹣∠HPE＝90°﹣（45°+3α）＝45°﹣3α， 在△DFH中，∠HFD+∠FDH+∠H＝180°， ∴135°﹣5α+90°﹣4α+45°﹣3α＝180°， 解得：α＝7.5°， ∴∠H＝45°﹣3α＝22.5°． 故答案为：22.5°． 12．如果直角三角形的三边都是200以内的正整数，且较长的两边长相差1，那么这样的直角三角形有 　9　 个． 【答案】9． 【解答】解：设该直角三角形三边长为x、y、y+1，其中x≤y＜200，由勾股定理得： x2+y2＝（y+1）2， ∴x2＝2y+1， 显然2y+1为大于1且小于401的奇数， ∴x为大于1小于20的奇数， x＝3，5，7，9，11，13，15，17，19，即满足题意的直角三角形有9个． 故答案为：9． 13．如图，已知：AB∥CD，BD⊥BC，∠1＝40°，求∠2的度数．完成证明过程： 证明：∵AB∥CD（　已知　 ）， ∴　∠BCD ＝∠1＝40°（　两直线平行，同位角相等　 ）． ∵BD⊥BC（已知）， ∴∠CBD＝　90°　 ．（垂直定义） ∴　∠2　 +∠BCD＝90°，（直角三角形的两个锐角互余） ∴∠2＝　50　 °． 【答案】已知；∠BCD；两直线平行，同位角相等；90°；∠2；50． 【解答】证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠BCD＝∠1＝40°（两直线平行，同位角相等）． ∵BD⊥BC（已知）， ∴∠CBD＝90°．（垂直定义） ∴∠2+∠BCD＝90°，（直角三角形的两个锐角互余） ∴∠2＝50°， 故答案为：已知；∠BCD；两直线平行，同位角相等；90°；∠2；50． 14．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”． （1）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，试判断△ABC是否是“准直角三角形”，并说明理由； （2）如果△ABC是“准直角三角形”，那么△ABC是 　③　 ；（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能） （3）如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝75°，BD平分∠ABC交AC于点D． ①若DE∥BC交AB于点E，在①△ADE，②△BDE，③△BDC，④△ABD中“准直角三角形”是 　④　 （填写序号），并说明理由； ②在直线AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，求出∠DFB的度数． 【答案】（1）是； （2）③； （3）①：④理由见解析； ②130°或者115°或者25°或者10°． 【解答】解：（1）是，理由如下 ∠A＝100°，∠B＝70°，则∠C＝180°﹣100°﹣70°＝10°， 则2∠C+∠B＝90° ∴△ABC是“准直角三角形”； （2）若△ABC是“准直角三角形”， 则可设2∠A+∠B＝90°， ∴∠A+∠B＝90°﹣∠A＜90°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＞90°， ∴△ABC为钝角三角形． 故答案为：③． （3）①∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝40°， ∴2∠A+∠ABD＝50°+40°＝90°， ∴△ABD是“准直角三角形”， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC＝80°，∠ADE＝∠C＝75°，∠A＝25°，△AED不满足“准直角三角形”条件， ∵∠EBD＝∠EDB＝40°， ∴∠BED＝100°，△BED不满足“准直角三角形”条件， ∵∠DBC＝40°，∠C＝75°， ∴∠BDC＝180°﹣40°﹣75°＝65°，△BDC不满足“准直角三角形”条件， 故答案为：④． ②由（2）△BFD一定为钝角三角形， 当∠ADB为钝角时， 若2∠BFD+∠FBD＝90°， 由①得△ABD是“准直角三角形”， ∴当F与A重合时，△BFD为“准直角三角形”， 此时∠DFB＝∠DAB＝25°； 若2∠FBD+∠BFD＝90°， ∵∠FBD＝40°， ∴∠DFB＝10°； 当∠BFD为钝角时，此时F点在线段AB上， 若2∠FDB+∠FBD＝90°时，∠FDB＝25°， ∴∠DFB＝180°﹣∠FBD﹣∠FDB＝115°； 若2∠FBD+∠FDB＝90°，∠FDB＝10°， ∴∠DFB＝180°﹣∠FBD﹣∠FDB＝130°； 当∠DBF为钝角时，此时F点在AB的延长线上， ∵∠FBD＝140°， ∴∠BFD+∠BDF＝40°， 若2∠BDF+∠DFB＝90°， 则∠BDF＝50°，与题设矛盾，舍去； 综上，∠DFB的度数为130°或者115°或者25°或者10°． 15．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝∠C＝60°， ∴∠A＝60°， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝30°， ∵AD＝1， ∴AE＝2， ∵BC＝6， ∴AC＝BC＝6， ∴CE＝AC﹣AE＝6﹣2＝4， 故选：B． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是高，若BC＝8，则AD的长为（　　） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8， ∴AB＝2BC＝16，∠B＝60°， 又∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴AD＝AB﹣BD＝12， 故选：B． 17．如图，所示，是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为　26　 秒． 【答案】26 【解答】解：∵30°锐角所对直角边等于斜边的一半 ∴顾客乘自动扶梯上一层楼的距离为2h＝13米 ∴顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为13÷0.5＝26秒． 18．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD＝4，BE＝6，则AB的长为 　　 ． 【答案】 【解答】解：过D点作DG⊥AB于点G，则∠AGD＝∠DGE＝90°， 在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠A＝60°，AB＝2AC， ∵△DEF为等边三角形， ∴DF＝DE，∠EDF＝60°， ∵∠CDE＝∠CDF+∠EDF＝∠A+∠GED， ∴∠CDF＝∠GED， 在△CDF和△GED中， ， ∴△CDF≌△GED（AAS）， ∴CD＝GE＝4， ∵BE＝6， ∴AB＝AG+10， ∵∠A＝60°，∠AGD＝90°， ∴AD＝2AG， ∴AC＝2AG+4， ∵AB＝2AC， ∴AG+10＝2（2AG+4）， 解得AG， ∴AB． 故答案为：． 19．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于　30°或120°或150°　 ． 【答案】30°或120°或150°． 【解答】解：等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则： 如图①： ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∵， ∴∠A＝30°， 如图②： ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∵， ∴∠CAD＝30°， ∴∠DAC＝90°﹣30°＝60°， ∵AB＝AC，∠B+∠ACB＝∠CAD， ∴∠B＝∠ACB＝30°÷2＝15°， 则∠BAC＝180°﹣30°＝150°； 如图③， ∵BD⊥CD，， ∴∠C＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°． 故答案为：30°或120°或150° 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点D，则下列说法：①AD平分∠BAC；②∠ADC＝45°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△ADC：S△ABC＝1：3．其中正确的是　①③④　 ． 【答案】①③④． 【解答】解：由作图可得，AD为∠BAC的角平分线， ∴AD平分∠BAC，故①正确； ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴∠ADC＝90°﹣30°＝60°，故②错误； ∵∠BAD＝∠B＝30°， ∴AD＝BD， ∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确； ∵∠CAD＝30°，∠C＝90°， ∴， ∴， ∴S△ADC：S△ABC＝1：3，故④正确； 综上，正确的说法是①③④， 故答案为：①③④． 21．如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB的角平分线上的一点，PM⊥OB于点M，PN∥OB交OA于点N，若PM＝2，则PN的长为　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：作PQ⊥OA于点Q，则∠PQN＝90°， ∵P是∠AOB的角平分线上的一点，PM⊥OB于点M， ∴PQ＝PM＝2， ∵PN∥OB交OA于点N， ∴∠QNP＝∠AOB＝30°， ∴PN＝2PQ＝4， 故答案为：4． 22．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝15°，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF，如果AC＝4，则DF＝　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：连接CE， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴CE＝BE，∠EDB＝90°， ∴∠ECB＝∠EBC＝15°， ∴∠AEC＝30°， ∵F是BE的中点， ∴DFBE， Rt△ACE中，∠AEC＝30°， ∴ACCE， ∴DF＝AC＝4． 故答案为：4． 23．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P为BC的中点，将一块三角板的30°角顶点放在点P处，让三角板的两边分别交两腰AB、AC于点E、F，EF＝1，那么S△EPF＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：连联结AP，作PI⊥EF与点I，PL⊥EB于点L， ∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P为BC的中点， ∴AP⊥BC，PB＝CP，∠B＝∠C（180°﹣120°）＝30°， ∴∠APB＝90°， ∴APAB＝2， ∴BP2， ∵S△APB4PL2×2， ∴PL， ∵∠B＝∠C＝∠EPF＝30°， ∴∠BEP＝180°﹣∠B﹣∠BPE＝150°﹣∠BPE，∠CPF＝180°﹣∠EPF﹣∠BPE＝150°﹣∠BPE， ∴∠BPE＝∠CPF， ∴△BPE∽△CPF， ∴， ∴， ∵∠EPF＝∠B， ∴△PEF∽△BEP， ∴∠PEF＝∠BEP， ∴PI＝PL， ∵EF＝1， ∴S△EPFEF•PI1， 故答案为：． 24．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）求证：BE＝EF． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，∠C＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF＝30°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠AEF＝∠BED＝90°﹣∠CBF＝60°， ∵∠AFB＝90°﹣∠ABF＝60°， ∴∠AFE＝∠AEF＝60°， ∴△AEF是等边三角形； （2）∵∠ADB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠BAE＝∠ABF＝30°， ∴AE＝BE， 由（1）知△AEF是等边三角形， ∴AE＝EF， ∴BE＝EF． 25．将一副常用的三角板（在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ADE中，∠ADE＝90°，∠CAD＝45°，AC＝AE）按如图①方式放置，如图②将△ADE绕点A按逆时针方向，以每秒5°的速度旋转，设旋转的时间为t秒（0≤t≤36）． （1）图①中，∠BAD的大小为 　15　 °； （2）在△ADE绕点A旋转的过程中，当DE与△ABC的一边平行时，则t的值为 　9或15或27　 ． 【答案】（1）15； （2）9或15或27． 【解答】解：（1）由题知， ∵∠CAD＝45°，∠BAC＝30°， ∴∠BAD＝∠CAD﹣∠BAC＝45°﹣30°＝15°． 故答案为：15． （2）当DE∥AC时，如图所示， 因为DE∥AC， 所以∠EAC＝∠E＝45°， 则t＝45÷5＝9． 当DE∥AB时，如图所示， 因为DE∥AB， 所以∠BAE＝∠E＝45°， 所以∠CAE＝30°+45°＝75°， 则t＝75÷5＝15． 当DE∥BC时，如图所示， 因为DE∥BC， 所以∠D+∠C＝180°， 又因为∠D＝∠C＝90°， 所以D，A，C三点在一条直线上， 所以∠CAE＝180°﹣45°＝135°， 则t＝135÷5＝27， 综上所述，t的值为9或15或27． 故答案为：9或15或27． 26．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点D在AC上，CD，点P在△ABC的边上，则当AP＝2PD时，PD的长为 　或3或　 ． 【答案】或3或． 【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝30°， ∴BCAB＝4， ∴AC4． ∵CD， ∴AD＝AC﹣CD＝3． ①当点P在AC上时，∵PA＝2PD， ∴PDAD； ②当点P′在AB上时，且P′D⊥AC时，P′A＝2P′D，此时P′D＝3； ③当P″在BC上时， ∵∠C＝90°， ∴P″D2﹣CD2＝P″A2﹣AC2＝P″C2， ∴（2P″D）2﹣（4）2＝P″D2﹣（）2， ∴P″D， 综上所述，满足条件的PD的值为或3或． 27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AC＝6，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（　　） A．2 B．6 C．3 D．9 【答案】B 【解答】解：如图，连接DG，AG，设AG交DE于点H， ∵DE⊥DF，G为EF的中点， ∴DG＝GE， ∴点G在线段DE的垂直平分线上， ∵△AED为等边三角形， ∴AD＝AE， ∴点A在线段DE的垂直平分线上， ∴AG为线段DE的垂直平分线， ∴AG⊥DE，∠DAG∠DAE＝30°， ∴点G在射线AH上，当BG⊥AH时，BG的值最小，如图所示，设点G'为垂足， ∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°， ∴∠ACB＝∠AG'B，∠CAB＝∠BAG'， 则在△BAC和△BAG'中， ， ∴△BAC≌△BAG'（AAS）． ∴BG'＝BC， 在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，AC＝6， ∴AB＝2BC， ∵AB2＝BC2+AC2， ∴（2BC）2＝BC2+（6）2， 解得：BC＝6， ∴BG'＝6． 故选：B． 28．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边上的中线，那么下列结论中错误的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ECB＝∠A﹣∠ECD C．∠ACD＝∠ECB D．∠ECB＝∠DCE 【答案】D 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， 故A不符合题意； ∵∠BCD+∠ACD＝∠A+∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠A， ∵∠ECB＝∠BCD﹣∠DCE， ∴∠ECB＝∠A﹣∠ECD， 故B不符合题意； ∵CE是Rt△ABC斜边的中线， ∴CEAB， ∴CE＝BE， ∴∠B＝∠BCE， ∵∠ACD＝∠B， ∴∠ACD＝∠ECB， 故C不符合题意； 如果∠ECB＝∠DCE， ∵∠ACD＝∠BCE， ∴∠ECB＝∠DCE＝∠ACD， ∵∠ECB+∠DCE+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝30°，但∠ACD不一定等于30度， 故D符合题意． 故选：D． 29．如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，∠CDE＝56°，则∠DCE的度数是（　　） A．56° B．62° C．63° D．68° 【答案】A 【解答】解：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点， ∴△ACB和△ADB均为直角三角形，且点E是公共斜边AB的中点， ∴EC，ED， ∴EC＝ED， ∴∠DCE＝∠CDE， ∵∠CDE＝56°， ∴∠DCE＝56°， 故选：A． 30．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC上一点，P是AD的中点．若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8cm，则BP为　4cm ． 【答案】4cm． 【解答】解：∵AC的垂直平分线经过点D，DC＝8cm， ∴DA＝DC＝8cm， ∵∠ABC＝90°，P是AD的中点， ∴BPDA＝4cm． 故答案为：4cm． 31．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接BE、DE， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点， ∴， ∵F是BD的中点， ∴EF⊥BD； （2）解：由（1）可知，， ∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA， ∴2∠EAB＝∠CEB，2∠EAD＝∠CED， ∵∠BAD＝30°， ∴∠BED＝60°， ∵BE＝DE， ∴△BED是等边三角形， ∴BD＝BE＝4． 32．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为6km，则M，C两点间的距离为（　　） A．3km B．3.5km C．4km D．4.5km 【答案】A 【解答】解：∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∵点M是AB的中点，AB＝6km ∴CMAB＝3（km）， ∴M，C两点间的距离为3km， 故选：A． 33．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，BC＝8，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M，N分别是AB，DE的中点，则MN的最小值为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：连接CM，CN， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10， ∵点M为斜边AB中点， ∴， 在Rt△DCE中，DE＝6， ∵点N为斜边DE中点， ∴， 当C、M、N三点在同一直线上时，MN取得最小值， 最小值为：MN＝CM﹣CN＝5﹣3＝2． 故答案为：2． 34．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，点F是BD中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）过点D作DH⊥AC于H点，如果BD平分∠HDE，求证：BA＝BC． 【答案】见解答内容． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点， ∴DEAC，BEAC， ∴DE＝BE， ∵点F是BD中点， ∴EF⊥BD； （2）证明：设AC，BD交于点O， ∵DH⊥AC，EF⊥BD， ∴∠DHO＝∠EFO＝90°， ∵∠DOH＝∠BOE， ∴∠HDF＝∠OEF， ∵DE＝BE， ∴∠EDO＝∠EBO， ∵BD平分∠HDE， ∴∠HDF＝∠BDE， ∴∠OEF＝∠OBE， ∵∠OEF+∠EOF＝90°， ∴∠EOF+∠EBO＝90°， ∴∠BEO＝90°， ∴BE⊥AC， ∴BA＝BC． 学科网（北京）股份有限公司 $