2.5-2.6 逆命题和逆定理，直角三角形（知识解读）-2026-2027学年八年级数学上册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本初中数学讲义聚焦逆命题与逆定理、线段垂直平分线判定及直角三角形的性质与判定核心知识点，构建从命题结构分析到定理应用，再到直角三角形性质（两锐角互余、斜边中线性质等）与判定的递进式学习支架。 资料以题型归纳为特色，每个知识点匹配典例与变式题，如逆命题书写培养抽象能力，直角三角形性质应用（钢缆中点距离问题）发展数学眼光，随堂检测覆盖多样题型，课中助力教师分层教学，课后帮助学生强化推理意识与查漏补缺。

2.5-2.6 逆命题和逆定理，直角三角形（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型·1.写出命题的逆命题】 1 【题型·2.互逆定理】 2 【题型·3·线段垂直平分线的判定 】 3 【题型·4·直角三角形的两个锐角互余】 4 【题型·5·斜边的中线等于斜边的一半】 5 【题型·6·锐角互余的三角形是直角三角形】 6 【随堂检测】 7 知识点1 命题，定理与证明 【题型·1.写出命题的逆命题】 【典例1】命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式1-1】命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】命题“锐角小于”的逆命题是（   ） A．小于 的角是锐角 B．不是锐角的角不小于 C．不小于的角不是锐角 D．如果一个角是锐角，那么这个角小于 【变式1-3】“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（　　） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形 【题型·2.互逆定理】 【典例2】下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 【变式2-1】下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【变式2-3】下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 知识点2 垂直平分线的判定 在同一平面内，若一个点到某条线段的两个端点的距离相等，则这个点一定在该线段的垂直平分线上。 【题型·3·线段垂直平分线的判定 】 【典例3】已知：如图，是的平分线上一点，，，垂足分别为，． 求证： (1)； (2)是的垂直平分线． 【变式3-1】如图，在中，于点D，平分交于点，若，，求证：点在线段的垂直平分线上． 【变式3-2】如图，在中，于点D，平分交于点E，若，，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【变式3-3】已知，如图，在中，，点D、E分别在边上，且，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接直线OA，证明直线垂直平分． 知识点3 直角三角形 性质 1. 两锐角之和等于90° 2. 斜边上的中线等于斜边的一半 3. 30°角所对的直角边等于斜边的一半 4. 若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明） 判定 1. 有一个角为90°的三角形时直角三角形 2. 有两个角的和时90°的三角形是直角三角形 3. 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 面积公式 ，其中a是底边常，hs是底边上的高 【题型·4·直角三角形的两个锐角互余】 【典例4】在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在中，是高，是角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，，垂足为，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在四边形中，，平分，交于点，延长到点．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【题型·5·斜边的中线等于斜边的一半】 【典例5】如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【变式5-1】如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式5-2】如图，是的中线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，在中，，点，，分别为，，的中点．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型·6·锐角互余的三角形是直角三角形】 【典例6】具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】在中，，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【变式6-2】下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A．B．C． D． 【变式6-3】在中， ， ， 则这个三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 随堂检测 【随堂检测】 1．下列定理有逆定理的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．对顶角相等 C．同旁内角互补 D．等角对等边 2．如图，在中，，为中点，若，则的长是（   ）． A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，在中，，是边上的高．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，D为边的中点，E为边的中点，，则的长是（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 5．下列是真命题的语句是（   ） A．两直线平行，同位角互补 B．相等的角是对顶角 C．两直线平行，同旁内角相等 D．直角三角形的两锐角互余 6．如图，直线，直线分别与，相交于点，，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是________，它是________命题（填“真”或“假”）． 8．命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______． 9．中，，，则______． 10．如图，在中，，E，F分别是边的中点，若，则________． 11．已知：如图，在中，，，，垂足分别为，与交于点． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，求证：垂直平分． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5-2.6 逆命题和逆定理，直角三角形（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型·1.写出命题的逆命题】 1 【题型·2.互逆定理】 3 【题型·3·线段垂直平分线的判定 】 5 【题型·4·直角三角形的两个锐角互余】 9 【题型·5·斜边的中线等于斜边的一半】 11 【题型·6·锐角互余的三角形是直角三角形】 13 【随堂检测】 16 知识点1 命题，定理与证明 【题型·1.写出命题的逆命题】 【典例1】命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为如果，那么． 【变式1-1】命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查写出命题的逆命题，把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，据此即可得出答案． 【详解】解：原命题为“若，则”，其逆命题是将原命题的条件和结论交换，即“若，则”． 故选：D 【变式1-2】命题“锐角小于”的逆命题是（   ） A．小于 的角是锐角 B．不是锐角的角不小于 C．不小于的角不是锐角 D．如果一个角是锐角，那么这个角小于 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度较小．交换命题的题设和结论即可写出该命题的逆命题． 【详解】解：命题“锐角小于”的逆命题是小于的角是锐角， 故选：A 【变式1-3】“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（　　） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】此题考查命题的逆命题，一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，则该命题是原命题的逆命题，根据逆命题的定义直接解答即可． 【详解】“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 故选：C． 【题型·2.互逆定理】 【典例2】下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 【答案】A 【分析】本题考查逆定理的概念．一个定理的逆命题不一定为真命题，若其逆命题为假命题，则称该定理没有逆定理．解题时，需写出各选项的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，假命题，故该选项符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； C、等边对等角的逆命题是等角对等边，是真命题，故该选项不符合题意； D、全等三角形的对应边相等的逆命题是三边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选∶A． 【变式2-1】下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】A 【分析】本题考查逆定理的判断，核心是理解逆定理的定义：若一个定理的逆命题为真命题，则该定理存在逆定理；若逆命题为假命题，则该定理没有逆定理．据此逐项分析即可． 【详解】解：选项A：原定理“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”．对应角相等的三角形不一定全等，该逆命题是假命题，故原定理没有逆定理； 选项B：原定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项C：原定理“等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合”的逆命题是“若一个三角形一边上的高、中线和该边所对顶角的平分线互相重合，则这个三角形是等腰三角形”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项D：原定理“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 故选：A． 【变式2-3】下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 【答案】B 【分析】本题考查定理与逆定理的概念．定理的逆命题不一定是真命题，只有当逆命题为真时，才能称为逆定理．选项A错误，因为并非所有定理都有逆定理；选项C错误，因为原命题与逆命题的真假无必然联系；选项D错误，因为定理的逆命题不一定为真． 【详解】解：∵定理的逆命题不一定是真命题， ∴只有当逆命题为真时，才有逆定理， ∴选项B正确． ∵选项A任何定理都有逆定理，但如定理“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假命题，故无逆定理， ∴A错误． ∵选项C原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题，但原命题是真命题时逆命题可能是假命题（如“对顶角相等”）， ∴C错误． ∵选项D定理的逆命题都是真命题，但如上例逆命题为假命题， ∴D错误． 故选B． 知识点2 垂直平分线的判定 在同一平面内，若一个点到某条线段的两个端点的距离相等，则这个点一定在该线段的垂直平分线上。 【题型·3·线段垂直平分线的判定 】 【典例3】已知：如图，是的平分线上一点，，，垂足分别为，． 求证： (1)； (2)是的垂直平分线． 【答案】(1)证明：平分，，， ， (2)证明：平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线 【分析】（1）由角的平分线性质得，再由等边对等角即可证明； （2）由平分得，由，得，结合共用可证，可得，，由垂直平分线判定定理得出是的垂直平分线即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3-1】如图，在中，于点D，平分交于点，若，，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】证明：平分，， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上． 【分析】先证明，求解，，进一步证明即可得到结论． 【详解】略 【变式3-2】如图，在中，于点D，平分交于点E，若，，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】证明见解析 【分析】先证明，求解，，进一步证明即可得到结论． 【详解】证明：平分，， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上． 【变式3-3】已知，如图，在中，，点D、E分别在边上，且，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接直线OA，证明直线垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证，推出，进而证明，根据等角对等边，可得； （2）根据，，可得点O，A在的垂直平分线上，由此可证直线垂直平分． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，延长交于点F， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点O在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分． 知识点3 直角三角形 性质 1. 两锐角之和等于90° 2. 斜边上的中线等于斜边的一半 3. 30°角所对的直角边等于斜边的一半 4. 若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明） 判定 1. 有一个角为90°的三角形时直角三角形 2. 有两个角的和时90°的三角形是直角三角形 3. 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 面积公式 ，其中a是底边常，hs是底边上的高 【题型·4·直角三角形的两个锐角互余】 【典例4】在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知直角和的度数，用减去的度数即可求出的度数． 【详解】∵在中，， ∴． 【变式4-1】如图，在中，是高，是角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件是高, ，,得出,,又因为是角平分线,得出． 【详解】解： , 是角平分线 【变式4-2】如图，，垂足为，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直的定义求出，利用直角三角形两锐角互余求出，再根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 【变式4-3】如图，在四边形中，，平分，交于点，延长到点．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质结合角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【题型·5·斜边的中线等于斜边的一半】 【典例5】如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】C 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：连接， ∵电线杆与地面垂直， ∴， ∵点D是的中点， ∴在中，（米）， 即，两点间的距离为4米． 【变式5-1】如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵在中，，，点为的中点， ∴． 【变式5-2】如图，是的中线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，则，结合三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴． 【变式5-3】如图，在中，，点，，分别为，，的中点．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：因为，点为的中点，， 故则的长为． 题型·6·锐角互余的三角形是直角三角形】 【典例6】具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用三角形内角和为，计算各选项中三角形的内角度数，判断是否存在直角，即可得出结论． 【详解】解：三角形的三个内角满足， A ， ，得， 是直角三角形，不符合题意； B ， ， 是直角三角形，不符合题意； C ， ， 是直角三角形，不符合题意； D ， ， 解得，三角形中不存在的角， 不是直角三角形，符合题意． 【变式6-1】在中，，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵ 在中，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 【变式6-2】下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：选项A： ∵，且， ∴ ， ∴， ∴是直角三角形， 故选项A不符合题意； 选项B： ∵，，， ∴中最大的角为， ∴不是直角三角形， 故选项B符合题意； 选项C： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， 故选项C不符合题意； 选项D： ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴是直角三角形， 故选项D不符合题意． 故选：B． 【变式6-3】在中， ， ， 则这个三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形判定，根据已知条件求出和的度数，再根据角度判断三角形的形状，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 又∵三角形内角和为， ∴， ∴是直角三角形， 故选：． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列定理有逆定理的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．对顶角相等 C．同旁内角互补 D．等角对等边 【答案】D 【分析】本题考查了互逆定理，判断定理是否有逆定理，需考虑原定理的逆命题是否成立． 先判断各选项语句是否为命题，再写出其逆命题，判断逆命题是否成立即可． 【详解】解：∵ 定理有逆定理需逆命题成立． A、“两点之间，线段最短” 非条件语句，无逆定理； B、逆命题为：相等的角是对顶角，错误，故“对顶角相等”没有逆定理； C、“同旁内角互补”本身不是定理，故没有逆定理； D、逆命题为：等边对等角，且是真命题，故为“等角对等边”的逆定理， 故选：D． 2．如图，在中，，为中点，若，则的长是（   ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】已知斜边中线长度，且结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，直接可求出斜边． 【详解】解：，为斜边的中点， 根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ， 已知，代入得：， ∴． 3．如图，在中，，是边上的高．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等腰三角形的性质求出顶角的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴． 4．如图，在中，，D为边的中点，E为边的中点，，则的长是（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】根据等腰三角形三线合一性质推出是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出，即可得解． 【详解】解：∵在中，，是边的中点， ∴， ∴是直角三角形； ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴． 5．下列是真命题的语句是（   ） A．两直线平行，同位角互补 B．相等的角是对顶角 C．两直线平行，同旁内角相等 D．直角三角形的两锐角互余 【答案】D 【详解】解：A，两直线平行，同位角相等，不是互补，原命题是假命题，不符合题意； B，相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； C，两直线平行，同旁内角互补，不是相等，原命题是假命题，不符合题意； D，直角三角形的两锐角和为，两锐角互余，原命题是真命题，符合题意。 6．如图，直线，直线分别与，相交于点，，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由垂直的定义结合直角三角形的两锐角互余可得的度数，再由两直线平行，内错角相等即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 7．定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是________，它是________命题（填“真”或“假”）． 【答案】 三边分别对应相等的两个三角形全等 真 【分析】将原命题拆分为题设和结论，交换二者得到逆命题，再根据全等三角形的判定判断真假． 【详解】解：原命题“全等三角形的对应边相等”可拆分为： 题设：两个三角形是全等三角形， 结论：两个三角形的对应边相等， 交换题设和结论，得到逆命题：如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等， 根据全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形一定全等，因此该逆命题是真命题． 8．命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______． 【答案】两锐角相等的三角形是直角三角形 【分析】先确定原命题的条件与结论，再将条件和结论互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】原命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题为：两个锐角相等的三角形是直角三角形． 9．中，，，则______． 【答案】60 【分析】直角三角形两锐角互余，即，结合条件，通过等量代换建立方程即可求出． 【详解】解：是直角三角形，， ， 又，即， 将代入得：， 解得：． 10．如图，在中，，E，F分别是边的中点，若，则________． 【答案】4 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案 ． 【详解】解：∵，点E为的中点， ∴ ． 11．已知：如图，在中，，，，垂足分别为，与交于点． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据证明 ，可得； （2）由 得，由得，进而证明，推出，进而即可证明垂直平分． 【详解】（1）证明： ，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图，连接并延长，交于点， 由（1）得 ， ， ， ， ， ， ， 又 ， 垂直平分． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $