1.7 角平分线的性质 同步讲义 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

1.7 角平分线的性质 内 容 导 航 题型1 角平分线的性质 考 点 演 练 题型1 角平分线的性质 解｜题｜知｜识 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P．连结AP并延长交BC于点D．若CD＝6，则点D到直线AB的距离是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1】如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D．若OD＝3，△ABC的面积是50，则△ABC的周长为（　　） A． B．25 C． D．50 【变式2】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【变式3】如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5.5 过 关 验 收 1．上海正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC、BC的距离都相等，则凉亭H是△ABC的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，已知AD＝3，CD＝8．求阴影部分面积为（　　） A．12 B．24 C．18 D．20 4．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝4．则PQ的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（　　） A．4：3：2 B．5：3：2 C．2：3：4 D．3：4：5 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝3，CD＝2，则点D到边AB的距离为（　　） A．3 B．2 C． D． 7．如图，在△ABC中（∠C＞∠ABC），∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，下列结论：①；②；③若OD＝a，AB+BC+CA＝b，则S△ABC＝ab．④若AB＝BC，则∠AFB＝90°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 8．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论： ①∠DAE＝∠F； ②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE； ③S△AEB：S△AEC＝AB：AC； ④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC内任意一点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，已知DE⊥AB，若AB＝12，CD＝3，则△ABD的面积为 　 　 ． 11．请书写角平分线的性质：　 　 ． 12．如图，已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过点D作直线DE⊥OA，垂足为E，且直线DE交OB于点F，若DE＝2，则DF＝　 　 ． 13．如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB＝5，则线段FG的长为　 　 ． 14．如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是6，则OM+ON的长是 　 　 ． 15．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝4，若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为 　 　 ． 16．如图，BD是△ABC的角平分线，DE是△DBC的高线，AF是△ABD的中线，若DE＝2，AB＝6，则△ABF的面积是 　 　 ． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为 　 ． 18．课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． （1）如图1，已知BG，CG是△ABC的角平分线，求证：点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）如图2，BP，CP分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，连接AP，若∠BAC＝60°，求∠PAC的度数． 19．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 20．已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O． （1）如图1．求证：； （2）如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC． 21．如图△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试说明BE+CF＝EF的理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.7 角平分线的性质 内 容 导 航 题型1 角平分线的性质 考 点 演 练 题型1 角平分线的性质 解｜题｜知｜识 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P．连结AP并延长交BC于点D．若CD＝6，则点D到直线AB的距离是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解答】解：过D作DH⊥AB于H， 根据作图过程，得AD平分∠BAC，又∠C＝90°，CD＝6， ∴DH＝CD＝6， 即点D到直线AB的距离是6． 故选：A． 【变式1】如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D．若OD＝3，△ABC的面积是50，则△ABC的周长为（　　） A． B．25 C． D．50 【答案】C 【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图所示： ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD＝3， ∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3， ∵△ABC的面积是50， ∴S△OAB+S△OBC+S△OAC＝50， ∴AB•OEBC•ODAC•OF＝50， ∴3AB+3BC+3AC＝100， ∴AB+BC+AC， ∴△ABC的周长为． 故选：C． 【变式2】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 【变式3】如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5.5 【答案】A 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F， ∵△ABD的面积为9，AB＝6， ∴DE， ∵BM是∠ABC的平分线， ∴DF＝DE＝3， ∴DP≥3， 故选：A． 过 关 验 收 1．上海正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC、BC的距离都相等，则凉亭H是△ABC的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC、BC的距离都相等， ∴应建在三条角平分线的交点． 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【解答】解：由题意，过点P作PE⊥OB，垂足为E， ∵OP平分∠AOB，且PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC． ∵PC＝3， ∴PE＝3． ∴， 故选：B． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，已知AD＝3，CD＝8．求阴影部分面积为（　　） A．12 B．24 C．18 D．20 【答案】A 【解答】解：由题意可知，四边形BFDE为正方形， 设边长为x， 由勾股定理可知， AB2+BC2＝AC2， （AE+x）2+（x+FC）2＝（8+3）2， AE2+x2+2AEx+x2+FC2+2FCx＝121， AD2+2AEx+CD2+2FCx＝121， 32+82+4S阴影＝121， ∴S阴影＝12， 故选：A． 4．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝4．则PQ的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝4， ∴PQ＝PA＝4． 故选：D． 5．如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（　　） A．4：3：2 B．5：3：2 C．2：3：4 D．3：4：5 【答案】A 【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F， ∵点O是△ABC三条角平分线的交点， ∴OD＝OE＝OF， ∵， ， ， ∴S△OAB：S△OBC：S△OAC＝8OD：6OE：4OF＝4：3：2． 故选：A． 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝3，CD＝2，则点D到边AB的距离为（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC（两直线平行，内错角相等）， ∵AB＝AD＝3， ∴∠ADB＝∠ABD（等边对等角）， ∴∠DBC＝∠ABD（等量代换）， ∵∠C＝90°，CD＝2， ∴点D到边AB的距离＝CD＝2． 故选：B． 7．如图，在△ABC中（∠C＞∠ABC），∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，下列结论：①；②；③若OD＝a，AB+BC+CA＝b，则S△ABC＝ab．④若AB＝BC，则∠AFB＝90°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC+∠BAC＝180°﹣∠C， ∴ABCBAC＝90°C， ∵AE和BF是∠BAC和∠ABC的平分线， ∴∠OBAABC，∠OABBAC， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OBA+∠OAB）＝180°﹣（90°C）＝90°C， 故①正确； ∵AE和BF是∠BAC和∠ABC的平分线， ∴∠FBCABC，∠OABBAC， ∵OD⊥BC， ∴∠EOD＝90°﹣∠OED， ∴∠EOD＝90°﹣（∠ABC+∠OAB） ＝90°﹣（∠ABCBAC） ＝90°（∠ABC+∠BAC+∠ABC） CABC C﹣∠FBC，故②正确； 作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N， ∵∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，OD＝a， ∴OM＝ON＝OD＝a， ∵AB+BC+CA＝b， ∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC AB•OMBC•ODAC•ON （AB+BC+AC）•OD b•a ab， 故③错误； ∵AB＝BC，BF平分∠ABC， ∴BF⊥AC， ∴∠AFB＝90°，故④正确； ∴正确的序号为①②④； 故选：B． 8．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论： ①∠DAE＝∠F； ②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE； ③S△AEB：S△AEC＝AB：AC； ④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：如图，AE交GF于M， ①∵AD⊥BC，FG⊥AE， ∴∠ADE＝∠AMF＝90°， ∵∠AED＝∠MEF， ∴∠DAE＝∠F；故①正确； ②∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴∠EAC∠BAC， ∠DAE＝90°﹣∠AED ＝90°﹣（∠ACE+∠EAC）， ＝90°﹣（∠ACE∠BAC）， （180°﹣2∠ACE﹣∠BAC）， （∠ABD﹣∠ACE）， 即2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE， 故②正确； ③∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴点E到AB和AC的距离相等， ∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确， ④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°， ∴∠AGH＝∠MEF， ∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确； 故选：D． 9．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC内任意一点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点 【答案】D 【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， 根据角平分线的性质得：凉亭的位置应该选择△ABC三条角平分线的交点， 故选：D． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，已知DE⊥AB，若AB＝12，CD＝3，则△ABD的面积为 　18　 ． 【答案】18． 【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB， ∴DE＝CD， ∵CD＝3， ∴DE＝3 ∵AB＝12， ∴△ABD的面积为：AB×DE12×3＝18， 故答案为：18． 11．请书写角平分线的性质：　角的平分线上的点到角的两边的距离相等　 ． 【答案】角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【解答】解：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等， 故答案为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 12．如图，已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过点D作直线DE⊥OA，垂足为E，且直线DE交OB于点F，若DE＝2，则DF＝　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：作DG⊥OB于G， ∵OC是∠AOB的平分线，DG⊥OB，DE⊥OA， ∴DG＝DE＝2， 在Rt△EOF中，∠AOB＝60°， ∴∠OFE＝30°， ∴DF＝2DG＝4， 故答案为：4． 13．如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB＝5，则线段FG的长为　2.5　 ． 【答案】2.5． 【解答】解：延长BF交AC于点M， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠MAF． ∵BF⊥AD， ∴∠AFB＝∠AFM． 又∵AF＝AF， ∴△AFB≌△AFM， ∴AM＝AB＝5． ∵FG∥AB， ∴∠BAF＝∠AFG， ∴∠MAF＝∠AFG， ∴FG＝AG． ∵∠MAF+∠AMF＝∠AFG+∠GFM＝90°， ∴∠GFM＝∠AMF， ∴FG＝GM， ∴FG． 故答案为：2.5． 14．如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是6，则OM+ON的长是 　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：如图，作PE⊥OB于E，PF⊥MN于F，PG⊥OA于G，连接OP， ∵PM平分∠AMN，PF⊥MN，PG⊥OA， ∴PG＝PF， 同理可得：PG＝PE， ∴PG＝PE＝PF， ∵MN＝2，△PMN的面积是2， ∴， ∴PF＝2， ∴PG＝PE＝PF＝2， ∵△OMN的面积是6， ∴S△OMP+S△ONP﹣S△PMN＝6， ∴， ∴OM+ON＝8， 故答案为：8． 15．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝4，若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为 　34　 ． 【答案】34． 【解答】解：过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，连接OA，如图： ∵点O为△ABC的两条角平分线的交点 ∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， 又∵OE⊥AC，OF⊥AB，OD⊥BC，OD＝4， ∴OE＝OD＝4，OF＝OD＝4， ∴S△OABAB•OF＝2AB，S△OBCBC•OD＝2BC，S△OACAC•OE＝2AC， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝2AB+2BC+2AC＝2（AB+BC+AC）， ∵△ABC的周长是17， ∴AB+BC+AC＝17， ∴S△ABC＝2（AB+BC+AC）＝2×17＝34． 16．如图，BD是△ABC的角平分线，DE是△DBC的高线，AF是△ABD的中线，若DE＝2，AB＝6，则△ABF的面积是 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：过点D作DG⊥AB交AB于点H，如图所示： ∵DE是△DBC的高， ∴DE⊥BC， ∵BD是△ABC的角平分线，DH⊥AB，DE⊥BC， ∴DH＝DE＝2， ∴S△ABDAB•DH6， ∵AF是△ABD的中线， ∴△ABF的边AF上的高与△ADF上的高相同， ∴S△ABF＝S△ADF， ∴S△ABF+S△ADF＝S△ABD， 即2S△ABF＝S△ABD， ∴S△ABFS△ABD6＝3． 故答案为：3． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为　2　 ． 【答案】2 【解答】解：如图，作DP′⊥AB于P′， 则此时PD＝P′D最小， 由尺规作图可知，AD平分∠CAB，又∠C＝90°，DP′⊥AB， ∴DP′＝CD＝2， ∴PD的最小值为2， 故答案为：2． 18．课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． （1）如图1，已知BG，CG是△ABC的角平分线，求证：点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）如图2，BP，CP分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，连接AP，若∠BAC＝60°，求∠PAC的度数． 【答案】（1）过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F，如图所示： ∵BG，CG是△ABC的角平分线， ∴GE＝GD，GE＝GF， ∴GE＝GD＝GF， ∴点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）60°． 【解答】（1）证明，过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F，如图所示： ∵BG，CG是△ABC的角平分线， ∴GE＝GD，GE＝GF， ∴GE＝GD＝GF， ∴点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）解：过点P作PM⊥BD于点M，PN⊥BA，交BA的延长线于点N，如图所示： ∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线， ∴PM＝PN，PM＝PQ， ∴PN＝PQ， 又∵点P在∠NAC的内部，且PQ⊥AC，PN⊥BA， ∴点P在∠NAC的平分线上， ∴AP是∠NAC的平分线， ∴∠PAC∠NAC， ∵∠BAC＝60°， ∴∠NAC＝180°﹣∠BAC＝120°， ∴∠PAC∠NAC＝60°． 19．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 20．已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O． （1）如图1．求证：； （2）如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC． 【答案】（1）∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴设，∠， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣2β， ∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝180°﹣α﹣β， ∴； （2）过O作OF⊥AB于点F，作OG⊥BC于点G，作OH⊥AC于点H， ∵BE平分∠ABC， ∴OF＝OG， ∵CD平分∠ACB， ∴OG＝OH， ∴OF＝OH（等量代换）． ∴OA平分∠BAC． 【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴设，∠， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣2β， ∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝180°﹣α﹣β， ∴； （2）过O作OF⊥AB于点F，作OG⊥BC于点G，作OH⊥AC于点H， ∵BE平分∠ABC， ∴OF＝OG， ∵CD平分∠ACB， ∴OG＝OH， ∴OF＝OH（等量代换）． ∴OA平分∠BAC． 21．如图△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试说明BE+CF＝EF的理由． 【答案】∵BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠FCD＝∠BCD，∠EBD＝∠CBD， ∵EF∥BC， ∴∠FDC＝∠BCD，∠EDB＝∠CBD， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC， ∴EB＝ED，FD＝FC， ∴BE+CF＝DE+DF＝EF， 【解答】解：∵BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠FCD＝∠BCD，∠EBD＝∠CBD， ∵EF∥BC， ∴∠FDC＝∠BCD，∠EDB＝∠CBD， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC， ∴EB＝ED，FD＝FC， ∴BE+CF＝DE+DF＝EF 学科网（北京）股份有限公司 $