专题03 线段垂直平分线的性质、角平分线的性质 同步讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学线段垂直平分线与角平分线的性质，系统梳理定义、性质定理及逆定理，依托轴对称性建立“形-数量-证形”思维链条，明确三角形交点性质，为八年级几何推理提供核心依据。 资料通过结构化知识清单与对比表格助学生用数学眼光区分等距对象，多样题型含实际选址问题培养应用意识，规范几何语言书写提升推理能力，课中辅助系统教学，课后分层练习帮助查漏补缺。

专题03线段垂直平分线的性质、角平分线的性质同步培优讲义 ✺知识框架 1.线段垂直平分线：依托线段的轴对称性，建立点到线段端点的等距关系。既可以由直线位置推出线段相等，也可由线段相等判定点的位置，多用于线段等量转化以及多点等距类问题。 角平分线 2.角平分线：依托角的轴对称性，建立点到直线的垂线段等距关系。既可以由角平分线推出垂线段相等，也可由垂线段相等判定角平分线，多用于垂线段等量证明以及多边等距类问题。 ✅本节体现 “由形得数量、由数量证形” 的典型几何思维。线段垂直平分线解决到顶点等距问题，角平分线解决到边等距问题，二者是八年级几何推理的高频依据。 ✺学习目标 1.理解线段垂直平分线、角平分线的定义，认识两类图形的轴对称特征。 2.掌握线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理，明确各定理的适用条件。 3.能够运用定理完成几何计算与简单证明，规范书写几何推理过程。 4.了解三角形中两类平分线的交点性质，可解决相关几何问题与简单实际选址问题。 ✺题型归纳 题型1.线段垂直平分线的性质 题型2.作已知线段的垂直平分线 题型3.作垂线(尺规作图) 题型4.角平分线的性质定理 题型5.角平分线性质的实际应用 题型6.作角平分线(尺规作图) 题型7.课堂小结 ✺知识清单 知识点一、线段的垂直平分线 1.定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。如下图：直线MN垂直于线段AB，且平分线段AB，AC=BC,因此直线MN是线段AB的垂直平分线。 线段是轴对称图形，它的垂直平分线是该线段的一条对称轴。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：若直线MN垂直平分线段 AB，点 P 在直线MN上，则 PA=PB。 3.逆定理（判定）：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若PA=PB，则点 P 在 AB 的垂直平分线上。 4.三角形交点性质： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点到三角形三个顶点的距离相等。 知识点二、角平分线 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2.性质定理：角平分线上的点，到角两边的垂线段的长度相等。 几何语言：∵OC平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴ PD=PE（角的平分线上的点到角两边的距离相等）。 3.逆定理（判定）：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：点P 在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，则OP 平分∠AOB。 4.三角形交点性质： 三角形三条角平分线相交于一点，该点到三角形三条边的距离相等。 知识点三、线段垂直平分线与角平分线对比 对比项目 线段垂直平分线 角平分线 等距对象 点到线段两个端点（点对点） 点到角两边（点到直线的垂线段） 使用条件 点在垂直平分线上 点在角平分线上，且向角两边作垂线 三角形交点结论 交点到三个顶点距离相等 交点到三条边距离相等 ★易错提示： 1.运用角平分线的性质，必须具备垂直条件，缺少垂直不能直接使用定理。 2.两个逆定理主要用于判定点是否在垂直平分线上、判定射线是否为角平分线。 ▲解题思路： 1.证明线段相等：优先考虑线段垂直平分线的性质，实现线段等量转化。 2.证明垂线段相等、判定角平分线：选用角平分线的性质或逆定理。 3.解决选址问题：需要到多个顶点距离相等，找三边垂直平分线的交点；需要到多条边距离相等，找三条角平分线的交点。 ✺题型精讲 题型1.线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线．若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可判断为的垂直平分线，可得，，通过周长公式进行等量代换求解． 【详解】解：根据题意可知，为的垂直平分线， 则，， ， ， 的周长为， ， ，即， ， 故的周长为． 2．如图是一风筝的骨架图，是的垂直平分线，为垂足．若，，则四边形的周长是________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴． 3．如图，，垂足为点，．求证：． 【答案】证明：∵，垂足为点，， ∴垂直平分， ∴，， ∴． 【分析】由题意可得垂直平分，再结合线段垂直平分线的性质证明即可． 【详解】略． 题型2.作已知线段的垂直平分线 1．如图，中，，分别以点B和C为圆心，大于线段长的一半为半径作弧，两弧分别交于M，D两点，连接交于点N．则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图得：垂直平分， ∴． 2．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，，则的周长为_____ 【答案】 【分析】本题考查了作图——线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由作图可知，垂直平分，可得，然后由的周长为，然后代入求解即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 3．过直线上一点作已知直线的垂线，按下面的作图步骤画图： 在直线上点的两旁分别截取线段，，使； 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点； 过点，作直线，则直线即为所求作的垂线． 【答案】 【分析】根据题干作图步骤，先在直线上点的两旁分别截取线段，，使，然后作出线段的垂直平分线，即直线即为所求作的垂线． 【详解】略 题型3.作垂线(尺规作图) 1．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点和点为圆心、相同长度为半径作弧，两弧分别相交于点和点；②作直线．则直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本作图得到，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选项D符合题意． 2．如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P和点O，作直线交于点E，交于点D，若，，连接，则的周长为________． 【答案】13 【分析】本题考查了尺规作图作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据作法得到垂直平分，得到 ， 然后利用线段的等量关系将的周长转化为，代入计算即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， 的周长为． 故答案为：13 3．如图，已知，利用尺规作图作出的边上的中线． 【答案】如图所示，即为所求； 【分析】作的垂直平分线，交于点D，连接，即为所求． 【详解】略 题型4.角平分线的性质定理 1．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于边上的点处，于点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知条件及，可推导出且，进而得出，代入数据求解即可． 【详解】解：， ， 平分，， ， 同理，， ， 平分，， ， ， ， ， ． 2．如图，在中，，平分交于点，于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】先得出，又平分，，则有，然后通过线段的和与差得到即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的长为． 3．如图，已知，垂足分别为点E和点．求证：． 【答案】 证明：，， ∴． ∵， ， ∴． 【分析】由角平分线的性质得到；再结合，通过线段相加即可证出． 【详解】略 题型5.角平分线性质的实际应用 1．如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】到三条直线距离相等的点，即为这三条直线所围成三角形的内角平分线或外角平分线的交点． 【详解】解：三条直线两两相交围成一个三角形； ∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条直线距离相等的点必在角的平分线上，三角形内部有一个点，即三条内角平分线的交点；三角形外部有三个点，即两条外角平分线与一条内角平分线的交点； ∴共有处可供选择的地址． 2．如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 【详解】过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 3．如图所示，在中，和的平分线相交于点P，且，，垂足分别是E、F． (1)PE与PF相等吗？请说明理由； (2)若，，，点P到BC的距离为2，求的面积． 【答案】(1)PE与PF相等，理由见解析； (2)18 【分析】（1）过P点作PH⊥BC于H点，根据角平分线的性质得到PH＝PE，PH＝PF，等量代换即可得到PE＝PF； （2）由（1）得到PE＝PF＝2，然后根据进行计算． 【详解】（1）解：PE与PF相等． 理由：过P点作PH⊥BC于H点，如图， ∵BP为∠ABC的平分线，PE⊥BA，PH⊥BC， ∴PH＝PE， ∵CP为∠ACB的平分线，PF⊥CA，PH⊥BC， ∴PH＝PF， ∴PE＝PF； （2）∵点P到BC的距离为2，即PH＝2， ∴PE＝PF＝2， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 题型6.作角平分线(尺规作图) 1．如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图痕迹判断为的平分线，利用角平分线的性质及三角形面积公式逐项判断． 【详解】解：由作图痕迹可知为的平分线， 故A选项说法一定正确，不合题意； 为的平分线， 点P到，的距离相等， 故C选项说法一定正确，不合题意； 设点P到，的距离为h， 则， 故B选项说法一定正确，不合题意； 根据现有条件不能得出， 故D选项说法不一定正确，符合题意． 2．如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D．则的度数为________． 【答案】/度 【分析】根据三角形的内角和为和角平分线的性质求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由作图可知，是的角平分线， ∴， 在中，， ∴． 3．如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，即为所作．（作法不唯一） 【分析】根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】略 ✺课堂小练 一、单选题 1．王岗社区是由，，三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在（ ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：∵充电点到三条路的距离相等， ∴充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 2．如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长． 3．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（     ） A．2 B．7 C．9 D．14 【答案】B 【分析】过点D作于点E，由角平分线的定义得到，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点E， 由作图方法可知平分， ∵，， ∴， ∵， ∴． 二、填空题 4．如图，已知线段，使用直尺和圆规作得直线l，交于点D，点C在直线l上，若，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图一线段的垂直平分线，等腰三角形的判定与性质。根据尺规作图痕迹可知，直线垂直平分，点在直线上，是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据尺规作图痕迹可知，直线垂直平分，点在直线上，是等腰三角形， ． 故答案为：． 5．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是________． 【答案】 【分析】由作图过程可知，直线，然后通过三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线， ． ， ， ． 6．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可求得__________． 【答案】 【分析】利用三角形内角和定理可解得，由尺规作图的痕迹可以判断，是的平分线，即可求出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， 根据尺规作图痕迹，可以判断是的平分线， ∴． 三、解答题 7．如图，在中，平分． (1)作出的边上的高（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的度数； 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) 【分析】（1）利用尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，三角形的内角和定理进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴. 8．如图在四边形中，．取中点P，连接，，若． (1)求证：； (2)若，四边形面积为78，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交的延长线于E，根据可知，再根据点为的中点，可证得，结合全等三角形的性质可知，，再由是线段的垂直平分线，可得，再由线段的和差以及等量代换即可得证； （2）由（1），根据梯形面积公式，列方程，求的长． 【详解】（1）证明：延长交的延长线于E， ∵， ∴， ∵取中点P， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即； （2）解：由（1）知，， ∵，， ∴四边形面积， ∴． 9．完成以下问题 (1)【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作，，垂足分别为和，若，则__________； (2)【探究】如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； (3)【应用】如图③，的周长是13．、分别平分和，于点．若，求的面积． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质，求解即可； （2）根据角平分线的性质，可知与的高相等，面积比等于底边长的比； （3）确定O为三条角平分线的交点，该交点到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，，， ∴； （2）解：作，，垂足分别为和， ∵是的角平分线，     ∴． 设， 则， ∴． ∵， ∴与的面积比为． 答：与的面积比为； （3）解：作，，垂足分别为和，连接， ∵、分别平分和，， ∴，． 的面积可分割为、、 的面积之和（如图）， 即 ． ∵的周长是13，即， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03线段垂直平分线的性质、角平分线的性质同步培优讲义 ✺知识框架 1.线段垂直平分线：依托线段的轴对称性，建立点到线段端点的等距关系。既可以由直线位置推出线段相等，也可由线段相等判定点的位置，多用于线段等量转化以及多点等距类问题。 角平分线 2.角平分线：依托角的轴对称性，建立点到直线的垂线段等距关系。既可以由角平分线推出垂线段相等，也可由垂线段相等判定角平分线，多用于垂线段等量证明以及多边等距类问题。 ✅本节体现 “由形得数量、由数量证形” 的典型几何思维。线段垂直平分线解决到顶点等距问题，角平分线解决到边等距问题，二者是八年级几何推理的高频依据。 ✺学习目标 1.理解线段垂直平分线、角平分线的定义，认识两类图形的轴对称特征。 2.掌握线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理，明确各定理的适用条件。 3.能够运用定理完成几何计算与简单证明，规范书写几何推理过程。 4.了解三角形中两类平分线的交点性质，可解决相关几何问题与简单实际选址问题。 ✺题型归纳 题型1.线段垂直平分线的性质 题型2.作已知线段的垂直平分线 题型3.作垂线(尺规作图) 题型4.角平分线的性质定理 题型5.角平分线性质的实际应用 题型6.作角平分线(尺规作图) 题型7.课堂小结 ✺知识清单 知识点一、线段的垂直平分线 1.定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。如下图：直线MN垂直于线段AB，且平分线段AB，AC=BC,因此直线MN是线段AB的垂直平分线。 线段是轴对称图形，它的垂直平分线是该线段的一条对称轴。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：若直线MN垂直平分线段 AB，点 P 在直线MN上，则 PA=PB。 3.逆定理（判定）：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若PA=PB，则点 P 在 AB 的垂直平分线上。 4.三角形交点性质： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点到三角形三个顶点的距离相等。 知识点二、角平分线 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2.性质定理：角平分线上的点，到角两边的垂线段的长度相等。 几何语言：∵OC平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴ PD=PE（角的平分线上的点到角两边的距离相等）。 3.逆定理（判定）：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：点P 在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，则OP 平分∠AOB。 4.三角形交点性质： 三角形三条角平分线相交于一点，该点到三角形三条边的距离相等。 知识点三、线段垂直平分线与角平分线对比 对比项目 线段垂直平分线 角平分线 等距对象 点到线段两个端点（点对点） 点到角两边（点到直线的垂线段） 使用条件 点在垂直平分线上 点在角平分线上，且向角两边作垂线 三角形交点结论 交点到三个顶点距离相等 交点到三条边距离相等 ★易错提示： 1.运用角平分线的性质，必须具备垂直条件，缺少垂直不能直接使用定理。 2.两个逆定理主要用于判定点是否在垂直平分线上、判定射线是否为角平分线。 ▲解题思路： 1.证明线段相等：优先考虑线段垂直平分线的性质，实现线段等量转化。 2.证明垂线段相等、判定角平分线：选用角平分线的性质或逆定理。 3.解决选址问题：需要到多个顶点距离相等，找三边垂直平分线的交点；需要到多条边距离相等，找三条角平分线的交点。 ✺题型精讲 题型1.线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线．若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．如图是一风筝的骨架图，是的垂直平分线，为垂足．若，，则四边形的周长是________． 3．如图，，垂足为点，．求证：． 题型2.作已知线段的垂直平分线 1．如图，中，，分别以点B和C为圆心，大于线段长的一半为半径作弧，两弧分别交于M，D两点，连接交于点N．则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，，则的周长为_____ 3．过直线上一点作已知直线的垂线，按下面的作图步骤画图： 在直线上点的两旁分别截取线段，，使； 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点； 过点，作直线，则直线即为所求作的垂线． 题型3.作垂线(尺规作图) 1．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点和点为圆心、相同长度为半径作弧，两弧分别相交于点和点；②作直线．则直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，的值可能是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P和点O，作直线交于点E，交于点D，若，，连接，则的周长为________． 3．如图，已知，利用尺规作图作出的边上的中线． 题型4.角平分线的性质定理 1．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于边上的点处，于点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，平分交于点，于点，若，，则的长为______． 3．如图，已知，垂足分别为点E和点．求证：． 题型5.角平分线性质的实际应用 1．如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 2．如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 3．如图所示，在中，和的平分线相交于点P，且，，垂足分别是E、F． (1)PE与PF相等吗？请说明理由； (2)若，，，点P到BC的距离为2，求的面积． 题型6.作角平分线(尺规作图) 1．如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 2．如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D．则的度数为________． 3．如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． ✺课堂小练 一、单选题 1．王岗社区是由，，三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在（ ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 2．如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（     ） A．2 B．7 C．9 D．14 二、填空题 4．如图，已知线段，使用直尺和圆规作得直线l，交于点D，点C在直线l上，若，则的度数为_____________． 5．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是________． 6．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可求得__________． 三、解答题 7．如图，在中，平分． (1)作出的边上的高（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的度数； 8．如图在四边形中，．取中点P，连接，，若． (1)求证：； (2)若，四边形面积为78，，求的长． 9．完成以下问题 (1)【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作，，垂足分别为和，若，则__________； (2)【探究】如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； (3)【应用】如图③，的周长是13．、分别平分和，于点．若，求的面积． 试卷第1页（共3页） 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