1.6 线段垂直平分线的性质 同步讲义 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

1.6 线段垂直平分线的性质 内 容 导 航 题型1 线段垂直平分线的性质 考 点 演 练 题型1 线段垂直平分线的性质 解｜题｜知｜识 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【典例1】如图，从△ABC内一点O出发，把△ABC剪成三个三角形（如图1），边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上（如图2），直线MN∥AC，则点O是△ABC的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三边中垂线的交点 【答案】A 【解答】解：如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F． ∵MN∥AB， ∴OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）． 如图2：过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'． 由题意可知：OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'， ∴OD'＝OE'＝OF'， ∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点， 故选：A． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】C 【解答】解：连接DC，如图， ∵AD，CD，AC是△ACD的三条边， ∴AD+DC≥AC， ∵MN为边BC的垂直平分线，AB＝5，BC＝10，AC＝9， ∴DC＝BD， ∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC≥AB+AC＝5+9＝14， 故选：C． 【变式2】如图，A，B，C表示三个居民小区，为了方便居民生活，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（　　） A．三个角的角平分线的交点上 B．三角形三条高的交点上 C．三条边的垂直平分线的交点上 D．三角形三条中线的交点上 【答案】C 【解答】解：生活超市应建在的三边的垂直平分线的交点处． 故选：C． 【变式3】如图，在△ABC中，∠APC＝114°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为（　　） A．48° B．52° C．62° D．66° 【答案】A 【解答】解：∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上， ∴AM＝PM，PN＝CN， ∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN， ∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN， ∴∠BMN＝2∠MPA，∠BNM＝2∠CPN， 又∵∠APC＝114°， ∴∠BMN+∠BNM＝2（∠MPA+∠CPN）＝2（180°﹣∠APC）＝132°， ∴∠ABC＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝48°， 故选：A． 过 关 验 收 1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是（　　） A．15° B．20° C．10° D．25° 【答案】C 【解答】解：如图所示，连接OA， ∵∠BAC＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣80°＝100°， ∵AB、AC的垂直平分线交于点O， ∴OB＝OA，OC＝OA， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB， ∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC， ∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣（∠OBA+∠OCA）＝100°﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°， ∴∠OCB＝∠OBC＝10°， 所以∠OBC的度数为10°， 故选：C． 2．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边中线的交点 【答案】B 【解答】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 3．如图，在△ABC中，点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，已知∠A＝80°，则∠BDC＝（　　） A．80° B．100° C．150° D．160° 【答案】D 【解答】解： ∵点D为边AB，AC的垂直平分线的交点， ∴DA＝DB＝DC， ∴∠DAB＝∠DBA，∠DAC＝∠DCA， ∴∠DBA+∠DCA＝∠A， 在△ABC中，∠DBC+∠DCB＝180°﹣（∠DAB+∠DBA+∠DAC+∠DCA）＝180°﹣2∠A， 在△DBC中，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（180°﹣2∠A）＝2∠A， 即∠BDC＝2∠A＝160°． 故选：D． 4．如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆CD垂直平分AB，AC＝5cm，则BC的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【答案】B 【解答】解：因为CD垂直平分AB，所以BC＝AC＝5cm． 故选：B． 5．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，EF⊥AM．若∠ACB＝26°，∠CBE＝24°，则∠AED＝ 　40°　 ． 【答案】40°． 【解答】解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，交CD于Q，AE交BC于O， ∵DE是线段BC的中垂线， ∴∠EDC＝90°，CE＝BE， ∴∠ECB＝∠CBE， ∵∠CBE＝24°， ∴∠ECB＝24°， ∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣24°＝66°， ∵ER⊥AC，ED⊥BC， ∴∠QRC＝∠QDE＝90°， ∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°， ∵∠CQR＝∠EQD， ∴∠ACB＝∠QED， ∵∠ACB＝26°， ∴∠QED＝26°， ∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM， ∴ER＝EF， 在Rt△ERC和Rt△EFB中， ， ∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL）， ∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝26°+24°＝50°， ∵∠EFB＝90°， ∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣50°＝40°， ∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝26°+66°+40°＝132°， ∵∠ARE＝∠AFE＝90°， ∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣132°＝48°， ∵AE平分∠CAM， ∴∠CAE∠CAM＝24°， ∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝24°+26°＝50°， ∵ED⊥BC， ∴∠EDB＝90°， ∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣50°＝40°， 故答案为：40°． 6．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 　16　 ． 【答案】16． 【解答】解：由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴△ADE的周长为AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝16， 故答案为：16． 7．某天，小花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C（如图）．要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，小花猫最好蹲守在 　线段AB、线段BC的垂直平分线的交点　 ． 【答案】线段AB、线段BC的垂直平分线的交点． 【解答】解：由题意得：小花猫蹲守的位置到三个出口的距离相等， ∴小花猫最好蹲守在线段AB、线段BC的垂直平分线的交点， 故答案为：线段AB、线段BC的垂直平分线的交点． 8．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，已知∠B＝50°，则∠CAF的度数为　50°　 ． 【答案】50° 【解答】解：∵AD的垂直平分线交BC的延长线于点E， ∴AF＝DF， ∴∠FAD＝∠FDA， ∵∠FAD＝∠FAC+∠CAD，∠FDA＝∠B+∠BAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠FAC＝∠B＝50°． 故答案为：50°． 9．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB．若△AEC的周长为9cm，AC＝3cm，则BC＝　6　 cm． 【答案】6 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴BE＝AE， ∵△AEC的周长为9cm， ∴AC+AE+CE＝AC+CE+BE＝9cm， ∵AC＝3cm， ∴CE+BE＝6cm， ∴BC＝6cm， 故答案为：6． 10．如图，小明画线段AB的垂直平分线l，垂足为点C，然后以点B为圆心，线段AB为半径画弧，与直线l相交于点D，联结BD，那么∠CDB的度数是 　30°　 ． 【答案】30°． 【解答】解：连接AD， ∵CD垂直平分AB， ∴AD＝BD，∠BCD＝90°， ∵BA＝BD， ∴△ABD为等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠CDB＝30°． 故答案为：30°． 11．如图，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E．若BE＝2，∠B＝22.5°那么AC的长是　　 ． 【答案】 【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC边于点E，BE＝2，∠B＝22.5° ∴AE＝BE＝2， ∴∠EAB＝∠B＝22.5°． ∵∠AEC是△ABE的外角， ∴∠AEC＝∠B+∠EAB＝45°． ∵∠C＝90°， ∴AC＝AE•sin45°＝2． 故答案为：． 12．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE∠DAC＝40°． 13．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．若BC＝10，则△ADE周长是多少？ 【答案】10． 【解答】解：∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∵BC＝10， ∴AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝10．即△ADE周长为10． 14．如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC于点D，且D为CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若BD＝8cm，求△AEC的周长． 【答案】（1）∵EF是AB的垂直平分线， ∴BE＝AE（线段垂直平分线的性质）， ∵AD⊥BC，D为CE的中点， ∴AD是EC的垂直平分线， ∴AE＝AC， ∴BE＝AC（等量代换）； （2）16cm． 【解答】（1）证明：∵EF是AB的垂直平分线， ∴BE＝AE（线段垂直平分线的性质）， ∵AD⊥BC，D为CE的中点， ∴AD是EC的垂直平分线， ∴AE＝AC， ∴BE＝AC（等量代换）； （2）解：∵D为CE的中点， ∴EC＝2ED． 由（1）得，AE＝AC，BE＝AE， ∵BD＝8cm， ∴C△AEC＝AE+AC+EC＝2AE+2ED＝2BE+2ED＝2（BE+ED）＝2BD＝2×8＝16（cm）． 15．如图，在△ABC中，直线l垂直平分边BC，分别交AC，BC于点D，E，连接BD． （1）若AB＝8，△ABD的周长为19，则AC的长为　11　 ； （2）若∠ADB＝90°，求∠ACB的度数； （3）已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC，试判断点P是否在边AB的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）11； （2）45°； （3）点P在边AB的垂直平分线上， 连接PA、PB， ∵直线l垂直平分边BC，点P在直线l上， ∴PB＝PC， ∵点P在边AC的垂直平分线上， ∴PA＝PC， ∴PA＝PB（等量代换）， ∴点P在边AB的垂直平分线上． 【解答】解：（1）∵直线l垂直平分边BC，分别交AC，BC于点D，E， ∴DB＝DC， ∴AC＝AD+DC＝AD+DB， ∵△ABD的周长为19， ∴AB+AD+DB＝19， ∵AB＝8， ∴AD+DB＝19﹣AB＝19﹣8＝11， 即AC＝11， 所以AC的长为11， 故答案为：11； （2）∵∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝90°， 又∵DB＝DC， ∴∠ACB＝∠DBC＝45°（等边对等角）． 即∠ACB的度数为45°； （3）点P在边AB的垂直平分线上，理由如下： 连接PA、PB， ∵直线l垂直平分边BC，点P在直线l上， ∴PB＝PC， ∵点P在边AC的垂直平分线上， ∴PA＝PC， ∴PA＝PB（等量代换）， ∴点P在边AB的垂直平分线上． 16．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，且AB＝CE，作AD⊥BC交BC于点D． （1）若∠BAE＝44°，求∠C的度数． （2）若AC＝7cm，△ABC的周长为17cm，求DC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵EF是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∴∠C＝∠EAC， ∵AB＝CE， ∴AB＝AE， 又∵∠BAE＝44°， ∴∠ABE＝∠AEB（180°﹣44°）＝68°， ∵∠AEB＝∠C+∠EAC， ∴∠C＝34°； （2）∵AC＝7cm，△ABC的周长为17cm， ∴AB+BC＝17﹣7＝10cm， ∵AB＝AE，AD⊥BC， ∴BD＝DE， ∵AB＝CE， ∴AB+BD＝DE+CE（AB+BC）＝5cm， ∵DC＝DE+CE， ∴DC＝5cm． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.6 线段垂直平分线的性质 内 容 导 航 题型1 线段垂直平分线的性质 考 点 演 练 题型1 线段垂直平分线的性质 解｜题｜知｜识 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【典例1】如图，从△ABC内一点O出发，把△ABC剪成三个三角形（如图1），边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上（如图2），直线MN∥AC，则点O是△ABC的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三边中垂线的交点 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 【变式2】如图，A，B，C表示三个居民小区，为了方便居民生活，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（　　） A．三个角的角平分线的交点上 B．三角形三条高的交点上 C．三条边的垂直平分线的交点上 D．三角形三条中线的交点上 【变式3】如图，在△ABC中，∠APC＝114°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为（　　） A．48° B．52° C．62° D．66° 过 关 验 收 1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是（　　） A．15° B．20° C．10° D．25° 2．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边中线的交点 3．如图，在△ABC中，点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，已知∠A＝80°，则∠BDC＝（　　） A．80° B．100° C．150° D．160° 4．如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆CD垂直平分AB，AC＝5cm，则BC的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 5．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，EF⊥AM．若∠ACB＝26°，∠CBE＝24°，则∠AED＝ 　 　 ． 6．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 　 ． 7．某天，小花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C（如图）．要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，小花猫最好蹲守在 　 　 ． 8．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，已知∠B＝50°，则∠CAF的度数为　 　 ． 9．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB．若△AEC的周长为9cm，AC＝3cm，则BC＝　6　 cm． 10．如图，小明画线段AB的垂直平分线l，垂足为点C，然后以点B为圆心，线段AB为半径画弧，与直线l相交于点D，联结BD，那么∠CDB的度数是 　 　 ． 11．如图，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E．若BE＝2，∠B＝22.5°那么AC的长是 　 ． 12．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 13．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．若BC＝10，则△ADE周长是多少？ 14．如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC于点D，且D为CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若BD＝8cm，求△AEC的周长． 15．如图，在△ABC中，直线l垂直平分边BC，分别交AC，BC于点D，E，连接BD． （1）若AB＝8，△ABD的周长为19，则AC的长为　 ； （2）若∠ADB＝90°，求∠ACB的度数； （3）已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC，试判断点P是否在边AB的垂直平分线上，并说明理由． 16．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，且AB＝CE，作AD⊥BC交BC于点D． （1）若∠BAE＝44°，求∠C的度数． （2）若AC＝7cm，△ABC的周长为17cm，求DC的长． 学科网（北京）股份有限公司 $