专题1.5 线段垂直平分线的性质（8大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“线段垂直平分线的性质”核心知识点，系统梳理从定义（垂直且平分线段）到性质定理（垂直平分线上的点到两端距离相等）、判定定理（到两端距离相等的点在垂直平分线上）的逻辑脉络，结合尺规作图及角度、长度等多题型应用，构建递进式学习支架。 该资料亮点在于分层设计“即学即练”与8类专题题型，通过复杂图形抽象模型培养几何直观（数学眼光），借助定理互逆关系训练推理意识（数学思维），规范证明过程强化模型意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，提升应用能力。

专题1.5 线段垂直平分线的性质 教学目标 1. 理解线段垂直平分线的定义，明确其“垂直且平分线段”的核心特征。 2. 掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，能准确表述定理内容。 3. 会用尺规作线段的垂直平分线，能运用定理进行简单推理、计算和实际问题求解。 教学重难点 1.重点 （1）线段垂直平分线的性质定理（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）和判定定理（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上）。 （2）尺规作线段垂直平分线的方法，以及定理在几何推理和实际问题中的基础应用。 2.难点 （1）理解性质定理与判定定理的互逆关系，区分定理的条件与结论，建立逻辑关联。 （2）在复杂图形中抽象出线段垂直平分线模型，灵活运用定理进行多步推理，规范书写证明过程。 知识点01 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的性质 1. 核心性质：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等（逆命题为判定定理，可反向推导）。 2. 几何表达：若直线l垂直平分线段AB，点P在l上，则PA=PB。 3. 关键关联：与“等腰三角形三线合一”互通，是证明线段相等、构建对称图形的重要工具。 4. 应用场景：用于几何推理、线段等量关系证明、尺规作图（如作等腰三角形、找对称点）及实际路径最短问题。 【即学即练】1．如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（     ） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴的周长． 2．如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接．若的周长为10，则的长是（     ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，根据的周长为10，得出，从而求出的长． 【详解】解：由作图过程可知：是线段的垂直平分线， ， ∴的周长， ． 3．如图，已知在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若的周长为17，则的长为______． 【答案】 【分析】由作图可得，是的垂直平分线，因此，将的周长转化为，即可求解． 【详解】解：由作图可得，是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． 知识点02 线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的判定 1. 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（与性质定理互逆）。 2. 几何表达：若点P满足PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 3. 推论拓展：两点确定一条直线，因此两个到线段两端距离相等的点，其连线即为该线段的垂直平分线。 4. 应用价值：用于确定线段垂直平分线的位置、证明直线垂直平分线段，是几何作图与图形对称问题的核心依据。 【即学即练】4．已知：如图，在中； (1)求作的边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：点在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质与判定定理，熟知线段垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得，再由线段垂直平分线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：如图所示，连接， ∵线段和线段的垂直平分线交于点P， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 5．如图，在长方形中，，，垂直平分分别交，于，，求证：．（请你将下面的推理过程中的横线空白处补充完整） 解：∵（______________）， ∴（______________）． ∵垂直平分（已知）， ∴（线段垂直平分线的定义）． 在和中， ∴（_________________）． ∴（________________________）． ∵垂直平分（已知）， ∴（线段垂直平分线的性质） ∴（_________________）． 【答案】已知；两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；全等三角形的对应边相等；等量代换 【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵垂直平分（已知）， ∴（线段垂直平分线的定义）． 在和中， ∴（）． ∴（全等三角形的对应边相等）． ∵垂直平分（已知）， ∴（线段垂直平分线的性质） ∴（等量代换）． 故答案为：已知；两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；全等三角形的对应边相等；等量代换． 【点睛】本题考查了平行线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、对顶角相等，熟练掌握利用线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质证明边相等是解答的关键． 6．如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，求证：直线垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（如）以及垂直平分线的性质是解题的关键． （1）通过角的和差关系得到，再结合已知条件用ASA证明，从而证得． （2）利用和推出是的垂直平分线，结合全等三角形的性质得到，再结合，证明垂直平分． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）连接， 证明：，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴点在的垂直平分线上， 又， ∴点在的垂直平分线上， 垂直平分． 题型01 根据线段垂直平分线的性质求角度 【典例1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，在中，是边的垂直平分线，连接，平分交于点F，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质，由线段垂直平分线的性质可得，由三角形外角性质得，由角平分线定义得，由三角形外角性质得． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分交于点F， ， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，点O是三条边的垂直平分线的交点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，由线段垂直平分线的性质推出，得到，，由三角形的外角性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：如图，点D是延长线上一点， ∵点O是各边垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，已知直线是线段的垂直平分线，，则__________． 【答案】/40度 【分析】根据垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，在中，，边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点．交于点，连接，．则___． 【答案】 【分析】由垂直平分线性质可得，，所以，，然后通过三角形内角和定理求得，则有，最后通过角度和与差即可求解． 【详解】解：∵边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型02 根据线段垂直平分线的性质求长度 【典例1】（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，，点D在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（     ） A．5 B．6 C．3 D．7 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，又由的周长等于15，可得，继而求得答案； 【详解】解：∵点D在边的垂直平分线上， ∴， ∵，的周长为15， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作图可知：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵由作图可知， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·重庆大渡口·期末）如图，是边的垂直平分线，若，，则_________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·江西九江·期末）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，的周长为13，则__________． 【答案】 5 【分析】根据垂直平分线的性质得到，由此得到，结合周长的计算即可求解． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴， ∵的周长为13，即， ∴ ． 题型03 根据线段垂直平分线的性质求周长 【典例1】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长为24，，则的周长是（     ）    A．12 B．19 C．16 D．14 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质得到，再根据的周长求出，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴， ∵的周长为24， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式1】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，的周长为26．则的周长为（     ） A．17 B．26 C．43 D．53 【答案】C 【分析】本题通过作图的方式，得到线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，将的周长进行转化，即可求出的周长， 【详解】解：由作图可得垂直平分， ， 的周长， 的周长， 的周长，， 的周长． 【变式2】（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，点，分别在，的垂直平分线上，，，三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为_________． 【答案】10 【分析】根据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得出，，即可求解． 【详解】解：点A，D分别在，的垂直平分线上， ，， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，，，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以的端点A，B为圆心、大于为半径画弧，使两弧相交于点M，N；（2）作直线交于点P，则的周长是______． 【答案】11 【分析】由作图可得垂直平分，则，再由三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：由作图可得：垂直平分， ∴， ∴的周长． 题型04 根据线段垂直平分线的性质求面积 【典例1】（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，在中，是的垂直平分线，若，则图中阴影部分图形的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，轴对称图形的性质，解题的关键是掌握垂线两边的部分对称． 根据对称性，阴影部分的面积等于的面积的一半，求出三角形的面积，可得图中阴影部分的面积． 【详解】解：是的垂直平分线，根据对称性，阴影部分的面积等于的面积的一半， ， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·四川广元·阶段练习）如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连接，，若四边形与四边形的面积分别为和，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线、垂直平分线的定义，由是的中线，是边的中垂线，则，，，由四边形与四边形的面积分别为和，可得，从而求出，即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，是边的中垂线， ∴，，， ∵四边形与四边形的面积分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴，即的面积为， 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·山东东营·阶段练习）如图在中，垂直平分，，、是上的两点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】20 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 在中，是边上的垂直平分线，得，即可证得，即可得，继而求得答案． 【详解】解：∵在中，是边上的垂直平分线， ， 在和中， ， ∴， ， ， 故答案为：20． 【变式3】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，垂直平分，平分，，交的延长线于点H． (1)若，求的度数； (2)若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角和三角形外角的性质可得，由角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形面积计算公式可求出，可证明，得到；可证明的周长的周长，得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，的面积为， ∴； ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ∵的周长，的周长， ∴的周长的周长， ∵与的周长之差为， ∴， ∴． 题型05 根据线段垂直平分线的性质求最值 【典例1】（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，周长，即当点、、在同一直线上时，周长最小． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ∴， ∴周长， ∴当点、、在同一直线上时，周长最小，为． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】A 【分析】连接、，由作图得垂直平分，则，从而可得，由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， 由作图得垂直平分， ∴， ∴， 由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小， ∵在锐角中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【变式2】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为，为上任意一点，，，，则的最小值为_________． 【答案】6 【分析】连接，依据是的垂直平分线，可得，进而得到当B，M，C在同一直线上时，的最小值为的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 当B，M，C在同一直线上时，的最小值为的长， 则的最小值为． 【变式3】（25-26七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是直线上一个动点，若周长的最小值是，则的最大值是________． 【答案】 【分析】将的周长转化为的形式，从而求出的长，再利用三角形三边关系确定最大值即可．　 【详解】如图，连接， 是的垂直平分线， ， 的周长为：， 长度是定值， 要使的周长最小，即的值最小， 根据两点之间，线段最短可知，当，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度，为， 周长的最小值为：， 则， 根据三角形任意两边之差小于第三边，可得， 当，，三点共线时，取得最大值， 即的最大值是． 题型06 根据线段垂直平分线的性质证明 【典例1】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点于点，且，连接． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂直关系可证得，又根据平行关系可得，即可求解； （2）由已知条件证明，即可证得． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：是的垂直平分线，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，体现了“边、角关系的推导与转化”能力． 【变式1】（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，为的角平分线，的垂直平分线交于点E、的延长线于点F，与交于点O． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由为的角平分线，的中垂线交于点、的延长线于点，得 ，又由三角形外角的性质，即可证得：； （2）由线段垂直平分线的性质得，从而，等量代换可证，进而可证． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ， ∵的中垂线交于点、的延长线于点， ， ， ， ． （2）∵是的中垂线， ， ， ， ， ． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)延长交于点，若．求证：是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的性质及其判定定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质和已知条件可证明，则可证明； （2）可证明垂直平分，则可证明是的中点． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ， ， ， ； （2）证明：如图所示， ，， ∴点A和点D都在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ∴是的中点． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）如图1，在中，，点是的中点，点E在上． (1)求证：； (2)若的延长线交于点F，且，垂足为F，如图2，， 求证：①；②． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据三线合一得到，再根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等证明即可； （2）①求出，根据等角对等边得到，根据垂线的定义求出，根据证明即可； ②根据全等三角形的性质得到，根据点是的中点即可证明． 【详解】（1）证明：，点是的中点， ， ； （2）证明：①， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ； ②， ， 为的中点， ， ． 题型07 线段垂直平分线的判定 【典例1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，点在内，，分别垂直平分，，求证：点在边的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、垂直平分线的判定等知识点，掌握到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 先根据垂直平分线的性质可得、，即，从而证明结论． 【详解】证明：垂直平分， ． 垂直平分， ， ， 点在的垂直平分线上． 【变式1】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，在四边形中，分别垂直平分． (1)求证：点在的垂直平分线上； (2)判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键， （1）连接，由垂直平分线的性质得到，可推出，从而得到答案； （2）根据等腰三角形的性质得到，利用等量代换即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵分别垂直平分． ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． （2）解：，理由如下： 由题可知，， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，点，在内部，垂直平分，垂直平分，，作直线． (1)连接，，求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定； （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换，即可得证； （2）根据即可得出垂直平分． 【详解】（1）证明：如图连接， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴垂直平分． 【变式3】（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，求证：直线垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（如）以及垂直平分线的性质是解题的关键． （1）通过角的和差关系得到，再结合已知条件用ASA证明，从而证得． （2）利用和推出是的垂直平分线，结合全等三角形的性质得到，再结合，证明垂直平分． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）连接， 证明：，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴点在的垂直平分线上， 又， ∴点在的垂直平分线上， 垂直平分． 题型08 尺规作线段的垂直平分线 【典例1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，请利用尺规作图法，作出的边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 【分析】边上的中线是顶点与边中点的连线，只需先作出的中点，再连接点和中点即可，利用作线段垂直平分线的方法可得到的中点． 【详解】解：分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两侧两点，过两交点作直线，该直线与交于点，即为的中点，连接，线段即为所求作的边上的中线，保留作图痕迹即可． 【变式1】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，请用尺规作图法作的垂直平分线交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，直线即为所求． 【分析】分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，再过两个交点作直线即可． 【详解】略 【变式2】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，的垂直平分线交边于点，交边于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，如果，，求的周长． 【答案】(1) (2)22 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作线段的垂直平分线，交边于点，交边于点，则点即为所求． （2）由垂直平分线的性质得，从而可求出的周长． 【详解】（1）略 （2）解：由作图得：是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 【变式3】（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，平分， (1)作图：作边的垂直平分线分别交，于点，（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，，求的度数． 【答案】(1)解：如图，直线即为所求； (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可； （2）根据角平分线的定义得出，，利用三角形外角的性质得出，，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 平分， ． ∵， ， ∴，， ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，尺规作出的直线与线段交于，的周长为13，则的周长为（   ） A．16 B．19 C．25 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，结合已知条件即可得到的周长． 【详解】解：由作图知：是的垂直平分线， ， 的周长为13， ， ， 的周长为， 故选：B． 2．（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，，结合的周长为，求出，即可得解． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ，， ， 的周长为， ， ， 的周长， 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，．用尺规进行以下操作：①以C为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接；②以C为圆心，任意长为半径作弧．分别交，于点N，M；③分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的作图及其性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据作图可知，，平分，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得，，再利用角平分线的性质可求得，最后根据角的和差即可求解． 【详解】解：根据作图可知，，平分 ， 又 平分 故选：B． 4．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，用尺规作图在边上确定一点P，使，则一定符合要求的选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图，垂直平分线判定，准确理解题意是解题的关键． 在上找一点使得，必须使得，所以作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴作线段的垂直平分线， 故选：D． 5．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，且分别交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得出，然后利用三角形的内角和定理得出，即可求解． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵ ∴ 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，.若的周长为54，，则的长为 . 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ，， 的周长为54 ， ，即， ， ． 故答案为：8 7．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，的周长为15，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形周长等知识点，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长计算公式推出，再由求得的长，进而得到的长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 8．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在中，是三角形三条角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，连接，，，，若，则的度数是 ． 【答案】125 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出，根据周角的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，求出，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵， ∴， ， ∵O是三边垂直平分线的交点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ ∴，即， ∴， ∵在中，I是三角形三条角平分线的交点 ∴平分平分， ∴，∠， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，等边对等角等，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 9．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的尺规作图是解题关键．先求出，再得出平分，垂直平分，则，，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图痕迹可知，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 10．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交边，于点，，若点为边的中点，点为线段上一点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，，根据等腰三角形的性质得，，再根据面积公式求出，然后根据线段垂直平分线的性质得，接下来根据三角形三边关系得，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵，，点为边的中点， ∴，， ∴， ∴ ∵垂直平分，为线段上的一个动点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可． 【详解】证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． 12．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三线合一以及等边对等角等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）连接，由题意得：，推出即可求证； （2）根据，得到，进而得到，即可求解 【详解】（1）证明：连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可． （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到即可求解． 【详解】（1）解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． （2）解：在中，由三角形内角和定理得， ， 14．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边相交于点，边的垂直平分线与边相交于点（在的左侧）．若的周长为8，． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，将线段进行转化． （1）利用线段垂直平分线的性质，将转化为转化为，再结合的周长求出的长； （2）利用等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形内角和求出的度数． 【详解】（1）解：是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质， ， 是的垂直平分线， 同理可得， 的周长为， 将代入可得： ， 的长为8； （2）解：， ； ， ． 在中，， ，且， ，即， ， ． 15．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，射线平分． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作的中垂线，与相交于点G，连接、； (2)在（1）条件下，和有何数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】考查了作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）作线段的垂直平分线即可； （2）在上截取，连接．首先证明，推出，利用四边形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）解：线段的中垂线如图所示； （2）解：结论：． 证明：在上截取，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵G在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．（25-26八年级上·重庆·期中）在学习了全等三角形和等腰三角形的相关知识后，小德通过研究发现等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此思路完成以下作图和证明过程： (1)如图，在中，，D为底边的中点，于点E．利用尺规作图，过点D作于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） (2)在（1）的条件下，求证：． 证明： ____________① ， D为底边的中点 ____________② 在和中 （____________④） （____________⑤）（理由） 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④，全等三角形，对应边相等⑤ 【分析】本题考查尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线．熟练掌握基本尺规作图，全等三角形的判定与性质，是解题的关键． （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定与性质填空即可． 【详解】（1）作法： 在直线的另一侧取点N，以点D为圆心，以长为半径画弧，交于G，H两点， 分别以点G，H为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点M， 作射线交于点F． （2）证明： ．① ， ． D为底边的中点 ．② 在和中 （④）． ．（全等三角形，对应边相等⑤）（理由） 故答案为：①，②，③，④，全等三角形，对应边相等⑤ 17．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D， 交于点E， 且，的周长等于． (1)求的长； (2)若，并且．试问与有什么关系？ 请说出理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）中垂线的性质，得到，进而推出的周长，进行求解即可； （2）根据等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点D， 交于点E， ∴， ∴的周长， ∵，的周长等于， ∴； （2），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：点D为的中点； (2)若，的周长为26，求的长； (3)若，，（其中a＞b）求的周长．（用含有a、b的代数式表示） 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）由垂直平分得到，再证明，最后用等腰三角形三线合一性质可证； （2）由题意得，从而得出，即， 再由线段垂直平分线的性质可得．可得，再由，可得，再求解即可； （3）先求得，再由垂直平分，可得．从而得出，再由，可得，则问题可解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ，， ∴， ∴点D为的中点； （2）解：∵的周长为26， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴的周长． 一、单选题 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，，，边的垂直平分线分别与、交于点、，连接，则的周长为（   ） A．17 B．24 C．26 D．27 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质可得，则的周长，即可求解． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 2．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由尺规作图可得垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质以及线段的和差求解． 【详解】解：由尺规作图可得垂直平分线段， ∴． 3．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长是． 4．（25-26八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，点是直线上一动点，周长的最小值为（     ） A．11 B．13 C．14 D．16 【答案】B 【分析】连接，由垂直平分线的性质可得，则周长为，因此当、、三点共线时，周长取得最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵直线是中边的垂直平分线， ∴， ∴周长为， ∴当、、三点共线时，周长取得最小值． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，平分交于点，作的中垂线交于点，交于点，连接，若，则图中与相等的角（不增加辅助线，除外）共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据三角形外角性质及已知条件推出，结合角平分线定义、线段垂直平分线性质及平行线的判定与性质，找出所有与相等的角即可． 【详解】解：是的外角， ， ， ， 即， 平分， ， ， 垂直平分， ， ， ， ，， ， ， ， 综上所述，图中与相等的角有、、、，共个． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在 中， 是的垂直平分线，，的周长为，则 的周长为______． 【答案】 【分析】由是的垂直平分线，可得，，的周长为，将代入，得，即可求出的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ， 已知的周长为，即， 将 代入，得， 的周长． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交线段，于点，，的垂直平分线分别交线段，于点，，，的周长为16，则的长度为_____． 【答案】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，根据三角形周长的定义和线段的和差得到，即可求出的长度． 【详解】解：∵垂直平分垂直平分， ∴， ∵的周长为16， ∴ ∵， ∴ 故答案为： 8．（2026·云南昆明·三模）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长为______． 【答案】 【分析】由作图流程可得是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，结合等量代换可知，的周长即为与之和． 【详解】解：由尺规作图可知，是的垂直平分线， ∵点在上， ∴， ∴的周长为． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在四边形中，，，是的中点，，则长的最大值是__________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的三边关系．解题的关键是通过倍长中线法构造全等三角形，将分散的线段和集中到一个三角形中，利用线段垂直平分线的性质将转化为，最后根据三角形两边之和大于第三边确定最大值． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， 是的中点 在和 中 ， 又 是线段的垂直平分线 当点，，三点共线时，取得最大值，最大值为 ， 的最大值为 的最大值为． 10．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，的面积是，是的垂直平分线，点，分别在和上，则的最小值为______． 【答案】 6 【分析】连接，过点A作于点E，根据垂直平分线的性质，点到直线垂线段最短得到，再根据三角形面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点A作于点E， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，，的面积是， ∴， 解得，， ∴的最小值为6 ． 三、解答题 11．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知 ．请利用尺规作图法在BC下方求作一点D，使得，且 ．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】所作图形如图所示： 【分析】作出线段的垂直平分线，以为圆心，为半径作弧，交线段的垂直平分线于点，点D即为所作． 【详解】略 12．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，在等腰中，，垂直平分． (1)若的周长为35，求的长度； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，再将的周长转化为，据此求出长； （2）由（1）知，的周长为，据此求解即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， 的周长为35， ， ， ． ； （2）解：由（1）知，的周长为． 13．（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明是线段的垂直平分线，从而可得，再根据等边对等角得出，结合可求得，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角得出，然后利用三角形外角的性质得出，进而求得； （2）先根据的周长为20，得到，结合，可得，再根据，，可得，进而得到，从而可求得． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长，求出，分割法求面积，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵，的周长为18， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B 关于直线l的对称点，连接与直线l交于点 C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明流程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，， 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ______，______ _______ 在中，， 即最小． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在 中，直线m是边 的垂直平分线，点P 是直线 m 上的动点． 若，，，则周长的最小值为 ． 【模型拓展】1．如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当 的周长取最小值时，的大小是为 度． 2．如图⑥，边长为的等边 中，是上的中线且，点 D在上，连接，在的右侧作等边连接，则 周长的最小值是多少？此时为多少度？ 【答案】模型解决：，，，模型应用：9；模型拓展1：100；2：， 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知轴对称的性质是解题的关键． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：1：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 2：因为，所以当最小时，周长取得最小值，由此作出轴对称图形，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，， 模型应用：如图，设直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，，的周长， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展1：分别作点P关于、的对称点，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为：100； 2：连接并延长，作点关于射线的对称点，连接，，连接交的延长线于点，连接，如下图： 和是等边三角形， ，，， ，即， ， ， ，是上的中线， 且平分， ， ，即点在射线上运动， 点和点关于射线对称， ，，， ， 是等边三角形， ， ∴和是两个全等的等边三角形， 同理可得， ， ， 又， 当最小时（此时点E与点N重合），的周长取得最小值， ∵的最小值为， ， 此时． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.5 线段垂直平分线的性质 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01线段垂直平分线的性质 2.知识清单 知识点02线段垂直平分线的判定 题型01根据线段垂直平分线的性质求角度 题型02根据线段垂直平分线的性质求长度 题型03根据线段垂直平分线的性质求周长 线段垂直平分线的性质 题型04根据线段垂直平分线的性质求面积 3.题型精讲 题型05根据线段垂直平分线的性质求最值 题型06根据线段垂直平分线的性质证明 题型07线段垂直平分线的判定 题型08尺规作线段的垂直平分线 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 理解线段垂直平分线的定义，明确其“垂直且平分线段”的核心特征。 2. 掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，能准确表述定理内容。 教学目标 3. 会用尺规作线段的垂直平分线，能运用定理进行简单推理、计算和实际问题求 解。 1.重点 (1)线段垂直平分线的性质定理（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）和判定 定理（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上）。 教学重难点 (2)尺规作线段垂直平分线的方法，以及定理在几何推理和实际问题中的基础应 用。 2.难点 (1)理解性质定理与判定定理的互逆关系，区分定理的条件与结论，建立逻辑关 1/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 联。 (2)在复杂图形中抽象出线段垂直平分线模型，灵活运用定理进行多步推理，规范 书写证明过程。 知识清单 知识点01线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的性质 1.核心性质：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等（逆命题为判定定理，可反向推 导)。 2.几何表达：若直线1垂直平分线段AB,点P在1上，则PA=PB。 3.关键关联：与“等腰三角形三线合一”互通，是证明线段相等、构建对称图形的重要工具。 4.应用场景：用于几何推理、线段等量关系证明、尺规作图（如作等腰三角形、找对称点）及实际路径 最短问题。 【即学即练】1.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=5,线段AB的垂直平分线交AB于点E,交AC 于点D,则△BCD的周长为() A.25 B.20 C.15 D.10 2.如图，在A1BC中，BC-3分别以点和B为圆心，以大于4B的长为半径作弧，两孤相交于点E 和F,作直线EF交AC于点D,连接BD.若△BCD的周长为lO,则AC的长是() A 2/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.5 C.6 D.7 3.如图，已知在。ABC中，AC=6·分别以点4和点B为圆心，大于24B的长为半径作弧，两弧相交于 点M和N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,若△ACD的周长为l7,则BC的长为 知识点02线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的判定 1.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（与性质定理互逆）。 2.几何表达：若点P满足PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上。 3.推论拓展：两点确定一条直线，因此两个到线段两端距离相等的点，其连线即为该线段的垂直平分 线。 4.应用价值：用于确定线段垂直平分线的位置、证明直线垂直平分线段，是几何作图与图形对称问题的 核心依据。 【即学即练】4，己知：如图，在△ABC中： (I)求作△ABC的边AB,AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为P点.（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：点P在BC的垂直平分线上. 5.如图，在长方形ABCD中，AD∥BC,AB∥CD,MN垂直平分AC分别交AD,BC于M,N,求 证：CM=CW.(请你将下面的推理过程中的横线空白处补充完整) 3/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A M D 9 B C N 解：：AD∥BC(」 .∠DAC=∠ACB( .MN垂直平分AC(已知)， .AO=CO(线段垂直平分线的定义)· ∠MAO=∠NCO 在 和 中， AO=CO(已知) △AMO ACNO ∠AOM=∠CON( .△AOM≌aCON( .AM=CN .MN垂直平分AC(已知)， .AM=CM(线段垂直平分线的性质) .CM=CN ). 6.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,AC=AD,∠ACB=∠ADB,点F在ED上， ∠BAF=∠EAD」 (I)求证：AB=AF, (2)若AC⊥BD,求证：直线AF垂直平分CD 题型精讲 题型01根据线段垂直平分线的性质求角度 4/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨单元测试)如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线， 连接CD,BF平分∠ABC交CD于点F,己知∠A=30°，∠ABC=100°，则∠BFC的度数为() B A.100 B.110° C.120% D.130° 【变式1】(25-26八年级上·山东济南·期末)如图，点0是△ABC三条边的垂直平分线的交点，连接 BO,CO,若∠A=a,则∠0的度数为() A.90°+22 1 B.20 c.w-0 D.90°+0 【变式2】(25-26八年级上河北石家庄阶段检测)如图，已知直线I是线段AB的垂直平分线， ∠APC=50°，则∠A= 【变式3】(25-26八年级下·广东揭阳阶段检测)如图，在△ABC中，∠BAC=120°，边AB的垂直平分 线DM,交AB于点D,交BC于点M,边AC的垂直平分线EN交AC于点E.交BC于点N,连接AM, AN.则∠MAN= 题型02根据线段垂直平分线的性质求长度 【典例1】(25-26七年级下·全国期末)如图，在△ABC中，AB=8,点D在AC边的垂直平分线上， △BCD的周长为15，则BC的长为() 5/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B C A.5 B.6 C.3 D.7 【变式1】(25-26七年级下·山东枣庄阶段检测)如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作 圆弧交BC于点D再分别以点B和点D为圆心，大于DB的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点 N,连接MN交AB于点E.若△ADE的周长为l5,AC=6,则AB的长是() M H D W A.8 B.9 C.10 D.11 【变式2】(25-26七年级下·重庆大渡口·期末)如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC=6, AE=2,则BE= D E 【变式3】(25-26八年级下·江西九江期末)如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD. 若AC=8,△BCD的周长为13，则BC= D 题型03根据线段垂直平分线的性质求周长 【典例1】(25-26八年级下四川成都期末)如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交BC于点D,交 AC于点E,连接BE.若△ABC的周长为24，BD=5,则△ABE的周长是() 6/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 \E B D C A.12 B.19 C.16 D.14 【变式1】(25-26七年级下江苏盐城期中)如图，在。ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于24B长 为半径画弧，两弧交于点D,E,作直线DE,交AC于点M,交AB于点N,连接BM,若AB=I7, △BCM的周长为26.则△ABC的周长为() B A.17 B.26 C.43 D.53 【变式2】(25-26八年级下·山西运城期末)如图，点A,D分别在BM,CM的垂直平分线上，A,M, D三点在同一条直线上，如果AD=3,BC=4,那么四边形ABCD的周长为 M 【变式3】(25-26八年级下·辽宁阜新·期中)如图，在△ABC中，AC=4,BC=7,尺规作图的部分作法 1 如下：(1)分别以AB的端点4，B为圆心、大于2AB为半径画弧，使两弧相交于点M,N:(2)作直线 MW交BC于点P,则△APC的周长是 M 7/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 根据线段垂直平分线的性质求面积 【典例1】(25-26八年级上·吉林延边期中)如图，在△ABC中，AD是BC的垂直平分线，若 BC=8,AD=6,则图中阴影部分图形的面积是() B D A.6 B.8 C.10 D.12 【变式1】(2425八年级上：四川广元阶段练习)如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，EF是BC边 的中垂线，且BD与EF相交于点G,连接AG,CG,若四边形CDGE与四边形ACGE的面积分别为8和 13,则△ABC的面积为() A.36 B.22 C.20 D.21 【变式2】(25-26七年级上山东东营阶段练习)如图在△ABC中，AD垂直平分BC,AD=8,BC=10 E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是 F B D 【变式3】(25-26八年级上·浙江湖州阶段练习)如图，在△ABC中，DE垂直平分BC,BD平分 ∠ABC,DH⊥BA,交BA的延长线于点H. 8/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E (I)若∠ADB=50°，求∠BAC的度数； (2)若AB=6cm,△ABC与△ABD的周长之差为9cm,且△ADB的面积为12cm2,求△BDC的面积. 题型05 根据线段垂直平分线的性质求最值 【典例1】(25-26七年级下·江西萍乡期末)如图，在△ABC中，AB=2,AC=4,EF垂直平分线段 BC,P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是() E A.5 B.6 C.7 D.8 【变式1】(25-26八年级上·安徽准南期末)如图，在锐角△ABC中，BC=4,SBc=14,分别以A、 C为圆心，大于2AC的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN·若D为BC边上的一个动点， E为直线MN上的一个动点，则CE+DE的最小值是() M D A.7 B.9 C.12 D.14 【变式2】(25-26七年级下·山东济南期末)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D,垂 足为E,M为DE上任意一点，BA=3,AC=4,BC=6,则AM+MC的最小值为 9/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26七年级下·福建宁德期末)如图，在△ABC中，AB=8,AC=9,AB的垂直平分线分 别交AB,AC于点M,N,点P是直线MN上一个动点，若△PBC周长的最小值是I6,则PB-PC的最 大值是 题型06根据线段垂直平分线的性质证明 【典例1】(25-26八年级上：陕西延安期末)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，BC的垂直平分线DE分别 交AB,BC于点D,E,BF⊥AB,BG⊥FD于点G,且BG∥AC,连接CD. D G (1)求证：∠A=∠F (2)求证：AC=FD 【变式1】(25-26八年级上·广东珠海·期中)如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于 点E、BC的延长线于点P,AC与EF交于点O. A (1)求证：∠3=∠ABF (2)连接OD,求证：OD∥AB 10124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(2025八年级上·全国·专题练习)如图，在△ABC中，I是AB的垂直平分线，与边AC交于点 E,点D在I上，且DB=DC,连接AD」 (I)求证：∠CAD=∠ACD: (2)延长AD交BC于点F,若AC=AB.求证：F是BC的中点. 【变式3】(25-26八年级上·全国期中)如图1，在△ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，点E在AD 上 A E D 图1 图2 (I)求证：BE=CE: (②)若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,如图2，∠BAC=45°， 求证：①△AEF≌△BCF；②AE=2BD. 题型07线段垂直平分线的判定 【典例1】(25-26八年级上·安徽芜湖期中)如图，点O在△ABC内，OE,OF分别垂直平分AB,AC, 求证：点O在边BC的垂直平分线上. 【变式1】(25-26八年级上·云南曲靖期中)如图，在四边形ABCD中，AE,AF分别垂直平分BC,CD 11/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E (I)求证：点A在BD的垂直平分线上： (2)判断∠EAF,∠BAE,∠DAF之间的数量关系，并说明理由. 【变式2】(2425八年级上：河北石家庄·期中)如图，点O,F在△ABC内部，OD垂直平分AB,OE垂 直平分AC,FB=FC,作直线OF. D E (1)连接OB,OC,求证：OB=OC: (2)求证：OF垂直平分BC. 【变式3】(25-26八年级上：河南焦作期中)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E, AC=AD,∠ACB=∠ADB,点F在ED上，∠BAF=∠EAD. (I)求证：AB=AF. (2)若AC⊥BD,求证：直线AF垂直平分CD. 题型08尺规作线段的垂直平分线 【典例1】(25-26七年级下·陕西西安期末)如图，已知△ABC,请利用尺规作图法，作出△ABC的BC 边上的中线AD(保留作图痕迹，不写作法)· 12124 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26七年级下·陕西汉中·期末)如图，在△ABC中，请用尺规作图法作AC的垂直平分线交 BC于点E,交AC于点F.(保留作图痕迹，不写作法) B 【变式2】(25-26七年级下·上海金山期末)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交边AB于点D,交边 BC于点E. (I)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段BC上作点E(要求：不写作法，保留作图痕迹)： (2)连接AE,如果BC=12,AC=10,求△AEC的周长. 【变式3】(25-26七年级下·全国期末)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC, (I)作图：作BC边的垂直平分线分别交BC,BD于点E,F(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作 法)： (2)在(1)的条件下，连接CF,若∠A=60°，∠FCB=∠FBC,∠ABD=24°，求∠ACF的度数. 强化训练 基础自测 13/24 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(25-26八年级上广东珠海期中)如图，在△ABC中AC=6,尺规作出的直线DE与线段BC交于D, △ABD的周长为13，则△ABC的周长为() A.16 B.19 C.25 D.32 2(2425八年级上厂西河池期肿)知图，在AM8C中，分别以点4和点C为圆心，大于4C的长为半 径作弧，两弧相交于点M、N,直线MN与AC、BC分别相交于点E和点D,连接AD,若AE=3cm, △ABC的周长为l5cm,则△ABD的周长是() M A.6cm B.7.5cm C.9cm D.12cm 3.(25-26八年级上全国期中)如图，在△ABC中，AB=AC.用尺规进行以下操作：①以C为圆心， BC长为半径作弧，交AB于点D,连接CD;②以C为圆心，任意长为半径作弧.分别交BC,CD于点 N,4,③分别以M,N为圆心，大于2MN长为半径作弧，两弧交于点E,作射线CE若∠A=42,则 ∠ACE的度数为() A B A.42° B.48 C.50° D.52° 4.(25-26八年级上·上海徐汇·期中)如图，在△ABC中，BC>AB,用尺规作图在BC边上确定一点P, 使PA+PB=BC,则一定符合要求的选项是() 14/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A D 5.(25-26八年级上北京期中)如图，在△ABC中，DM,EN分别垂直平分AB和AC,垂足为M,N, 且分别交BC于点D,E.若∠BAC=100°，则∠DAE的度数为() A.20° B.30° C.45 D.60° 二、填空题 6.(25-26八年级上广东广州期中)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE分别与边AB,AC交 于D,E两点，边BC的垂直平分线FG分别与边BC,AC交于F,G两点，连接BE,BG.若△BEG的周 长为54，AC=38,则GE的长为 D GE 7.(25-26八年级上重庆期中)如图，在△ABC中，AB=AC,DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长 为15，BC=6,则AB的长为— 15124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 8.(25-26八年级上上海长宁·阶段练习)如图，在△ABC中，I是三角形三条角平分线的交点，O是三 边垂直平分线的交点，连接A,B1,AO,BO,若∠AOB=140°，则∠AIB的度数是 B 9.(25-26八年级上福建厦门期中)如图，△ABC中，∠B=30°，∠BCA=80°，请依据尺规作图的作图 痕迹，则∠a=】 10.(25-26八年级上陕西榆林期中)如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4,S8c=24,AC的垂直 平分线EF分别交边AC,AB于点E,F,若点D为边BC的中点，点M为线段EF上一点，则△CDM周 长的最小值为 B F A E 三、解答题 11. (25-26八年级上云南昆明期中)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F, AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P.求证：点P在线段BC的垂直平分 线上. E M P 12.(24-25八年级上·山东临沂·期中)如图：在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于 16124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点F,D为线段CE的中点，BE=AC】 E D (L)求证：AD⊥BC: (2)若∠B=35°，求∠C的度数. 13.(25-26九年级上湖南长沙阶段练习)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=72°，以点C为圆心，适 当长为半径作弧，交C4于点M:交CB于点N,再分别以点M'N为圆心，大于MW的长度为半径作 弧，两弧相交于点P,作射线CP交AB于点D. (I)求∠BCD的度数： (2)若BC=2.5,求CD的长. 14.(24-25八年级上江苏苏州期末)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC相交于点D,边 AC的垂直平分线2与边BC相交于点E(D在E的左侧).若△ADE的周长为8，∠DAE=60°， D (I)求BC的长； (2)求∠BAC的度数. 15.(25-26八年级上江苏南通阶段练习)如图，在△ABC中，射线AM平分∠BAC. M (I)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G,连接BG、CG; 17/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在(1)条件下，∠BAC和∠BGC有何数量关系？并证明你的结论， 16.(25-26八年级上：重庆·期中)在学习了全等三角形和等腰三角形的相关知识后，小德通过研究发现等 腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论，根据此思路完成以下作图 和证明过程： E B D C (I)如图，在△ABC中，AB=AC,D为底边BC的中点，DE L AB于点E.利用尺规作图，过点D作 DF LAC于点F.(保留作图痕迹，不写作法，不写结论) (2)在(I)的条件下，求证：DE=DF. 证明：AB=AC ① :DE⊥AB,DF⊥AC ∴.∠BED=∠CFD=90° D为底边BC的中点 ② :在△BDE和△CDF中 ∠B=∠C ③ BD=CD .△BDE≌ACDF( ④) ∴.DE=DF( ⑤)（理由） 17.(25-26八年级上四川泸州期中)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D,交AC 于点E,且AC=15cm,△BCE的周长等于25cm, D (1)求BC的长： (2)若∠A=36°，并且AB=AC,试问BC与BE有什么关系？请说出理由. 18124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(25-26八年级上：河南信阳·期中)如图，△ABC中，EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点 E,AD⊥BC,垂足为D,且AB=EC,连接AE. B D E (I)求证：点D为BE的中点； (2)若AC=10,△ABC的周长为26，求CD的长： (3)若AC=a,CD=b,(其中a>b)求△ABC的周长.（用含有a、b的代数式表示） 能力提升 一、单选题 1.(2026陕西榆林模拟预测)如图，在△ABC中，AC=7,BC=10,AB边的垂直平分线分别与AB、 BC交于点D、E,连接AE,则△ACE的周长为() D E A.17 B.24 C.26 D.27 2.(25-26七年级下-江西景德镇期末)如图，在△ABC中，AC=5,AD=2,观察图中尺规作图的痕迹， BD的长为() A M A.1 B.2 C.3 D.6 3.(25-26七年级下~福建福州期末)如图，在△ABC中，BC=6,∠BAC>90°，AB的垂直平分线交BC 于点E,AC的垂直平分线交BC于点F,垂足分别为D,G.则△AEF的周长是() 19124 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A.3 B.4 c.5 D.6 4.(25-26八年级下安徽宿州期末)如图，在△ABC中，AB=9,BC=7,AC=4,直线m是△ABC中 BC边的垂直平分线，点P是直线上一动点，△ACP周长的最小值为() A.11 B.13 C.14 D.16 5.(2026陕西西安·模拟预测)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,作BD的中垂线交AB 于点E,交BC于点F,连接ED,若∠ADB=2LC,则图中与∠C相等的角（不增加辅助线，除∠C外） 共有() B C A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题 6.(2425八年级上江苏常州阶段检测)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3Cm, △ABD的周长为l3cm,则△ABC的周长为cm. D 7.(25-26八年级上湖北武汉期末)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M, P,AC的垂直平分线分别交线段AC,BC于点V,D,BC=10,△AP吧的周长为16，则PO的长度为 20124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 8.(2026云南昆明三模)如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于 2BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M'N:②作直线MN交AB于点D,连接CD,若AC=5” AB=11,则△ACD的周长为 9.(24-25七年级下江苏准安期末)如图，在四边形ABCD中，AD=3,BC=4,E是AB的中点， ∠CED=90°，则CD长的最大值是 E 10.(25-26七年级下·山东青岛期末)如图，在△ABC中，BC=6,△ABC的面积是18，MN是AC的垂 直平分线，点P,D分别在MN和BC上，则PC+PD的最小值为一 三、解答题 11.(2026陕西西安·模拟预测)如图，已知△ABC,请利用尺规作图法在BC下方求作一点D,使得 DB=DC,且AD=AB.(不写作法，保留作图痕迹) 21124 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 12.(25-26八年级下全国暑假作业)如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20,DE垂直平分AB. (I)若△DBC的周长为35，求BC的长度： (2)若BC=13,求△DBC的周长 13.(25-26八年级上河南信阳·期末)如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，E是BC上一点，BD=DE 且EF垂直平分AC,交AC于点F,连接AE B D E C (1)若∠BAE=50°，求∠C的度数： (2)若△ABC的周长为20，AC=8,求DC的长. 14.(25-26八年级上浙江杭州期中)如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD,作DE⊥AB交 AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,且AD平分∠BAC,连接EF. (I)证明：AD垂直平分EF (2)若△ABC的周长为18，面积为24，BC=6,求DE的长. 15.(25-26八年级上·黑龙江大庆期末)【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一 个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边I饮马，然后到B地，到河边什么 22124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将 军饮马问题” 【模型解决】如图①，小明将A,B两地抽象为两个点，将河1抽象为一条直线.如图②，小明作点B关 于直线I的对称点B',连接AB与直线1交于点C,点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的， 小明对此进行了说明，以下是说明流程： 如图③，在直线I上另取任意一点C”(与点C不重合)，连接AC,BC',B'C', :点B与点B关于直线I对称， ∴直线I是BB的垂直平分线. ..CB= ,CB= :.AC+CB=AC+=」 在△ACB中，AB<AC+CB, .AC+CB<AC'+CB,即AC+CB最小. 请你完成上面填空. B 图① 图② 图③ 【模型应用】如图④，在△ABC中，直线m是边BC的垂直平分线，点P是直线m上的动点.若 AB=5,AC=4,BC=7,则△APC周长的最小值为_ 气 P M 图④ 图⑤ 图⑥ 【模型拓展】1.如图⑤，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A,ON上有一点B, 当△PAB的周长取最小值时，∠APB的大小是为_度. 2.如图⑥，边长为C的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b,点D在BF上，连接AD,在AD 的右侧作等边△ADE;连接EF,则△AEF周长的最小值是多少？此时∠CFE为多少度？ 23124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 24124