1.7 角平分线的性质讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）2026-2027学年浙教版数学八年级上册

本讲义聚焦角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等）及尺规作图作角平分线，通过知识梳理（性质、作图步骤）与题型精析（从基础求值、证明到与全等三角形、垂直平分线综合）搭建学习支架，衔接全等三角形与后续三角形内心等知识。 资料特色为分层题型设计与生活应用结合，如“凉亭到三边距离相等”问题培养几何直观，综合证明题提升推理能力。同步检测含选择、填空、解答题，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生强化练习，查漏补缺。

1.7 角平分线的性质讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）2026-2027八年级上学期浙教版新教材答案解析 【题型 1】利用角平分线性质求值 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点是的平分线上一点，于点．点是射线上任意一点，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，作于点，由角平分线的性质定理可得，再结合，即可得出结果，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于点， ， ∵点是的平分线上一点，于点， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，平分，垂直于点，的面积等于，，则的长为（   ） A． B． C． D． C 【分析】本题考查了角平分线的性质；根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到的距离等于，然后根据的面积=的面积+的面积，列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵平分垂直于于E点， ∴点D到的距离等于的长度， ∵， ∴ ， ∵的面积等于90， ∴， 解得． 故选：C． 【变式2】（21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图，点是的角平分线上一点，于，且，，则的面积是_____． 【分析】如图，过点作于点，根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵点是的角平分线上一点，，且，， ∴， ∴， ∴的面积是． 【变式3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在直角中，，的角平分线与相交于点，，则点到的距离为__________． 【分析】本题考查角平分线的性质．关键是通过作辅助线，将点到的距离转化为已知线段的长度，利用角平分线的性质直接求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 平分，，， ． 故答案为： 【题型 2】利用角平分线性质证明 【例题2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，点E、F分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②④ C．③④ D．①③④ D 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． ①作，由角平分线性质得，证平分（①对）； ②用全等得，结合，证②错； ③借全等将、转化为、，得（③对）； ④由外角性质+角平分线，得（④对）． 【详解】解：如图， 作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，，， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分，故①正确． 在和中， ∴，同理， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②错误． ∵，， ∴，故③正确． ∵，且（平分）， ∴，故④正确． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是它的角平分线，，，则______． 【分析】本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式；过点作于点，于点，根据角平分线的性质得到，再由三角形面积公式可求得结论． 【详解】解：过点作于点，于点，如图， 是的平分线， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知四边形的面积为，平分，．则点到的距离是______． 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点F，根据角平分线的性质可得，结合四边形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点F， 平分， ， 四边形的面积为，，四边形的面积， ， ， 故答案为：． 【变式3】（21-22八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知：如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F．求证：； 见解析 【分析】过点P作于D，根据角平分线的性质即可得到． 【详解】证明：过点P作于D， ∵和的角平分线相交于点P，且， ∴， ∴． 【变式4】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，角平分线、相交于点O，过点O作于点D． (1)求证：． (2)若，求的面积（用含a，b的代数式表示）． (3)当时，探究与之间的数量关系，并说明理由． (1) 证明：∵的角平分线、相交于点O， ， ． (2) (3) 解：， ， ， ∵的角平分线、相交于点O， ， ， ， 在上取一点H，使， ∵是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ∵是的平分线， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握角平分线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形． （1）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得证； （2）连接，作于H，于M，根据即可得解； （3）先求出，再依次证明，，可得，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，作于H，于M， ∵的角平分线、相交于点O，，， ， ， ． （3）略 【题型 3】尺规作图——作角平分线 【例题3】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． C 【分析】如图，连接，，由作图得，，，然后利用证明即可． 【详解】解：如图，连接，， 由作图得，，，， ∴， ∴，即平分． ∴用到的三角形全等的判定方法是． 【变式1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，请按下列要求作出图形（不写画法，保留作图痕迹）并解决问题： (1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连结，再用直尺和圆规作的平分线，交于点F． (2)若，求的度数． (1) 作图如下； (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作线段的垂直平分线与角平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和与三角形外角的性质，等边对等角等知识，掌握基本尺规作图及相关性质是关键． （1）按照用尺规作线段垂直平分线与角平分线的步骤完成即可； （2）由线段垂直平分线的性质及等边对等角得，从而得，再由三角形内角和及平分线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，． (1)用直尺和圆规作的角平分线．（要求：保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法） (2)若，，求的面积． (1) 即为所求； (2)15 【分析】本题考查了角平分线的作图，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交于两点P，Q，分别以这两点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线，交于点D，即可； （2）过点D作交于点，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点D作交于点， 平分，，， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出的角平分线； (2)在图2中，画出边上的中线； (3)在图3中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合） (1) 如图，点D即为所求． (2) 如图，即为所求． (3) 如图，． 【分析】本题考查作图的应用和设计，中线，三角形全等，角平分线的性质，相似三角形的性质，掌握网格线的特征是解题的关键． （1）根据角平分线的性质作图； （2）根据中线性质作图； （3）根据全等三角形的性质作图． 【详解】（1） （2）略 （3）略 【题型 4】角平分线性质的应用 【例题4】（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三角形三个内角的角平分线的交点处． 故选：D． 【变式1】（19-20八年级上·辽宁大连·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在和的角平分线的交点处，即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处， 故选：D． 【变式2】（12-13八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点共有四处． 故选：D． 【变式3】（22-23八年级上·重庆大足·期末）如图，的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是三条角平分线的交点，则的值为（　　） A． B． C． D． A 【分析】过点O作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可． 【详解】如图，过点O作于点D，于点E，于点F， ∵点是三条角平分线的交点， ∴． ∵， ， ， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线，由角平分线的性质定理得出是解题关键． 【题型 5】尺规作图——角平分线与垂直平分线综合 【例题5】（25-26八年级上·浙江·期末）如图，三角形中，的平分线交于点D，过点D作，垂足分别为E，F，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ A 【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．先根据角平分线的性质得，证明，可得，继而证得①；又由线段垂直平分线的判定，可得②垂直平分；然后利用三角形的面积公式求解即可得③． 【详解】解：①∵三角形中，的平分线交于点D，过点D作， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵，， ∴点D在的垂直平分线上，点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故②正确； ③∵，，， ∴； 故③正确； ④∵不一定等于， ∴不一定平行． 故④错误． 综上所述，正确的有①②③． 故选：A． 【变式1】（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】连接,作的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即为加油站的位置． 【详解】以点O为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点G，作射线；连接，再分别以点C、D为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线，直线与射线交于点P，点P 即为所作， 作图见答案． 简单证明：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，即有点P到、的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到这条线段两个端点的距离相等，即有，问题得证． 【变式2】（25-26八年级上·湖北·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点，，并且平分． (1)求的度数； (2)求证：． (1) (2) 证明：∵平分，且， ∴， 由（1）可知，， ． ， ． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理和含角直角三角形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到，由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）由角平分线的性质得，根据含角直角三角形的性质得到，进而可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ． 又平分， ， ， 又， ； （2）证明：略． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接，且． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，作，垂足为，连接．求证：垂直平分． (1) (2) 证明：由（1）得，，， ， 平分， ，， ， ， ， ， 平分， ，， , ，， 垂直平分． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、外角定理，线段垂直平分线性质和判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理等知识点． （1）由线段垂直平分线得到，根据，，则有等边对等角，，结合三角形的外角定理以及三角形内角和定理建立方程求解； （2）先证明平分，根据角平分线性质得到，再证明平分，则，再根据线段垂直平分线的判定证明即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， 设，则， ， ， ， ， 在中，， 解得， ； （2）略 【题型 6】利用角平分线与全等三角形求值证明 【例题6】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图所示，垂直于的平分线于点，的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定义，三角形中线的性质，延长交于点，由为的角平分线，则，又，所以，然后证明，所以，可得，，从而有，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，点E、F分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②④ C．③④ D．①③④ D 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． ①作，由角平分线性质得，证平分（①对）； ②用全等得，结合，证②错； ③借全等将、转化为、，得（③对）； ④由外角性质+角平分线，得（④对）． 【详解】解：如图， 作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，，， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分，故①正确． 在和中， ∴，同理， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②错误． ∵，， ∴，故③正确． ∵，且（平分）， ∴，故④正确． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在的边上取点，使．过点作于点，若平分，，，则__________． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及角平分线的判定，掌握其性质定理是解决此题的关键．先证明，可得出，，从而得出即可解答． 【详解】解：平分，， ,， 在和中， ， ，， ，，， ， 故答案为： ． 【变式3】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形的面积为16，平分，且，． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． (1)的长为 (2) 证明：如图，过点作，交的延长线于点， 由（1）得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得出，然后根据图形的面积即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为； （2）略 【题型 7】利用角平分线与垂直平分线性质综合求值证明 【例题7】（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在中，，平分，于点，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有______． ①②④ 【分析】根据，，可求出，推出，结合，可判断①；结合角平分线、垂直、等腰三角形的性质，分别算出，，利用外角算得，最后利用三角形内角和，算得，可判断②；过作于，平分，，可推出，在中，，从而判断③；连接，先证明，然后算得，从而判断④． 【详解】解：①，， ， ， ， ，故①正确； ②，平分， ， ，， ， ， ， ， ，故②正确； ③过作于，如图所示： 平分，， ， 在中，， ，故③错误； ④如图，连接， ，平分， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故答案为： ①②④． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及性质，等腰直角三角形判定和性质，同角的余角相等，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，连接，，过点作交于点，延长、交于点，已知所在的直线是线段的垂直平分线． (1)是否平分？请说明理由； (2)过点作于点，若，，的面积为，求的长． (1) 解：平分，理由如下： 所在的直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， 即平分； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，熟知相关知识并根据图形特点灵活应用是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换证明结论； （2）由，的面积为，可得到，再根据角平分线的性质即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， 的面积为， ， 又， ， 平分，，， ． 【变式2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. (1) 证明：如图，连接、， ∵，D为中点， ∴， ∵，，且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) ，证明： 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 即； (3)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）证明得，再结合（1）的结论，得； （3）根据（2）的结论得，再根据可得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由． ， 理由如下：过点D分别作于点M，于点N，如图， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ∴， ∴ 【分析】过点D分别作于点M，于点N， 根据，，可得，再证明，从而问题解决． 【详解】略 同步检测参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B B B D C A C 1．D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，作于点，由角平分线的性质定理可得，再结合，即可得出结果，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于点， ， ∵点是的平分线上一点，于点， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，平分，， ∴， 即点D到边的距离是5. 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A、B，根据等边对等角和垂直的定义可判断选D．由已知条件无法判断选项C． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分， ∴，， 故选项A、B正确， ∴， ∵，， ∴， 故选项D正确， 由已知条件无法得到， 故选项C中说法不一定正确． 故选：C． 4．B 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答． 【详解】解：由角平分线的性质可知：角平分线上的点到角两边的距离相等； 现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等， 则可供选择的地址可以是三角形三条角平分线的交点处． 5．B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和作图－复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由于，则点为的垂直平分线与的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴当时，，即， ∴点为的垂直平分线与的交点． A中，是的角平分线，故该选项不符合题意； B中，点为的垂直平分线与的交点，故该选项符合题意； C中，，故该选项不符合题意； D中，，故，故该选项不符合题意； 故选：B． 6．B 【分析】由角平分线的性质定理可得，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形三边关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 根据题意，得、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，得到，，，利用三角形的三边关系定理解答即可． 【详解】解：∵是三条角平分线的交点， ∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为， ∵的面积记为，的面积记为，的面积记为， ∴，， ∴，，， 由三角形三边关系得， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴可能的值为8， 选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意． 故选：D． 8．C 【分析】本题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识．作于点F，由平分，于点E，根据角平分线的性质得，而，根据，代入数据计算即可求解． 【详解】解：作于点F， ∵平分，于点E， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9．A 【分析】过点O作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可． 【详解】如图，过点O作于点D，于点E，于点F， ∵点是三条角平分线的交点， ∴． ∵， ， ， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线，由角平分线的性质定理得出是解题关键． 10．C 【分析】由角平分线的性质即可判断；由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，，再由三角形内角和定理得，即可判断；在上取一点，使得，证明，得到，进而再证明，得到，据此可得结论；过点作于，于，连接，由角平分线的性质得到，由三角形的面积公式得到，，，根据，即可判断． 【详解】解：，分别是和的角平分线， 根据角平分线的性质，点到三边距离相等，而不是到三个顶点距离相等，故错误； 在中，， ， ，分别是和的角平分线， ，， 在中， ，故正确； 当时，， ， 在上取一点，使得， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故正确； 过点作于，于，连接， 和的角平分线交于点， 点在的平分线上， ， ，，， ， ， ，故正确； 综上所述，正确的是． 11． 【分析】本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式；过点作于点，于点，根据角平分线的性质得到，再由三角形面积公式可求得结论． 【详解】解：过点作于点，于点，如图， 是的平分线， 故答案为：． 12．/ 【分析】根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式即可解答． 【详解】为的平分线，，， ， ∵面积是30， ， 即， 解得． 13．/ 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键．连接，过点O作于点E，作于点F，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：连接，过点O作于点E，作于点F，如图所示： 由，分别平分，，于点，， 故， 故， ， 解得， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，角平分线的性质定理，添加辅助线，利用角平分线的性质定理求解是关键．过点G作于点M，于点N，根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】解：过点G作于点M，于点N， 由作图步骤可知，平分， ， ． 故答案为：． 15．5 【分析】本题主要考查角平分线；过点P作，垂足为点E，过点P作，垂足为点F，过点P作，垂足为点G，连接．得到，，根据的面积是6，求出，得到，即可求出结果． 【详解】解：过点P作，垂足为点E，过点P作，垂足为点F，过点P作，垂足为点G，连接． ∵P是外角平分线的交点， ∴， ∵，的面积是4， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是6， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 16． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形的内角和定理及外角性质，正确的作出辅助线，利用三角形面积关系和底边的关系的相互转化是解题的关键；在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，利用双角平分线证明，，，利用角平分线的性质证明，进而求出，则，进而可求出，再过点，，垂足分别为点，同理可得，由得到，则，那么，即可求解． 【详解】解：在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，如图；   平分， ， ，， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ，， ，则， ∴， 过点，，垂足分别为点， 同理可得， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 17． 所作点P如图所示： 【分析】本题主要考查线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的尺规作图是解题的关键；因此此题可先作线段的垂直平分线，然后再作的角平分线，两线交于一点P，则问题可求解 【详解】略 18．(1) 解：，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴； (2)6 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定和性质． （1）由平行线的性质得到，直接利用即可判定； （2）由（1）得，由垂直的定义得出，即可根据判定，即可得到，再由平行线的性质及角平分线的定义即得出平分，再根据角平分线的性质结合三角形面积公式即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点D作于点M，    由（1）得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， 的面积． 19．(1) 解：，理由如下： ∵O为，的平分线的交点，，，， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到该角两边的距离相等是解题的关键。 （1）根据角平分线的性质得到，则； （2）如图所示，连接，根据推出，再由的周长是40，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， 由（1）得， ∵， ∴ ， ∵的周长是40， ∴， ∴． 20．(1) 证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)10 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，得到，进而求出的长，证明，得到，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 21．(1)的度数为 (2)的面积为 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答； （2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答． 【详解】（1）解： 垂直平分， ， ， ， 为角平分线 ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点 ，，为角平分线， ， ， ， ，，且， ， 的面积为12． 22．(1) 证明：如图，过点作交的延长线于， 平分，，， ，， ，， ， 在和中， ， ； (2)22 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质． （1）如图所示，过点作交的延长线于，根据角平分线的性质得出，再证明，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据，得出，证明，得出，再根据四边形周长定义及线段的和差求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ，，， 平分， ， 在和中， ， ∴． 四边形的周长 ， ，， 四边形的周长． 23．(1) 证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）过P作于G，根据角平分线性质得出，，得出答案即可； （2）根据角平分线的判定得出平分，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质得出，根据，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（1）； （2）证明：∵在中， ∴ ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴ ∵， ∴为的等角分割线； （3）或或或 【分析】（1）根据“等角三角形”的定义解答； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据“等角三角形”的定义证明； （3）分是等腰三角形，和是等腰三角形，四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【详解】解：（1）与，与与是“等角三角形”，故有组； （2）略 （3）当是等腰三角形，如图2，时，， ∴， 当是等腰三角形，如图3，时，， ， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形，如图4，时，， ∴， 当是等腰三角形，如图5，时，， 设， 则， 则， 由题意得，， 解得：， ∴， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴的度数为或或或．    25．(1) (2) (3)存在， 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值； 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）作，， ∵平分，则， ， ， ，， ， 解得：； 当点在点右侧时，， ，解得． （3），， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.7 角平分线的性质讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）2026-2027八年级上学期浙教版新教材 目录 一．知识梳理与题型精析 【知识点一】角平分线性质 【题型 1】利用角平分线性质求值 【题型 2】利用角平分线性质证明 【知识点二】尺规作图——作角平分线 【题型 3】尺规作图——作角平分线 【题型 4】角平分线性质的应用 【题型 5】尺规作图——角平分线与垂直平分线综合 【题型 6】利用角平分线与全等三角形求值证明 【题型 7】利用角平分线与垂直平分线性质综合求值证明 二．同步检测 （一）选择题（共10题，每小题3分，合计30分） （二）填空题（共6题，每小题3分，合计18分） （三）解答题（共8题，每小题9分，合计72分） 一．知识梳理与题型精析 【知识点一】角平分线性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 性质 图示 数学语言 角平分线上的点到角两边的距离相等 ，， 【题型 1】利用角平分线性质求值 【例题1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点是的平分线上一点，于点．点是射线上任意一点，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，平分，垂直于点，的面积等于，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图，点是的角平分线上一点，于，且，，则的面积是_____． 【变式3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在直角中，，的角平分线与相交于点，，则点到的距离为__________． 【题型 2】利用角平分线性质证明 【例题2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，点E、F分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②④ C．③④ D．①③④ 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是它的角平分线，，，则______． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知四边形的面积为，平分，．则点到的距离是______． 【变式3】（21-22八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知：如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F．求证：； 【变式4】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，角平分线、相交于点O，过点O作于点D． (1)求证：． (2)若，求的面积（用含a，b的代数式表示）． (3)当时，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【知识点二】尺规作图——作角平分线 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线． 类型 图示 作图步骤 角平分线    图1                    图2 1．以点为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于、两点；2．分别以点、圆心，大于为半径作弧，两条弧交于内一点； 3．作射线． 射线就是的平分线． 【题型 3】尺规作图——作角平分线 【例题3】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，请按下列要求作出图形（不写画法，保留作图痕迹）并解决问题： (1)用直尺和圆规作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连结，再用直尺和圆规作的平分线，交于点F． (2)若，求的度数． 【变式2】（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，． (1)用直尺和圆规作的角平分线．（要求：保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法） (2)若，，求的面积． 【变式3】（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出的角平分线； (2)在图2中，画出边上的中线； (3)在图3中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合） 【题型 4】角平分线性质的应用 【例题4】（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 【变式1】（19-20八年级上·辽宁大连·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 【变式2】（12-13八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【变式3】（22-23八年级上·重庆大足·期末）如图，的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是三条角平分线的交点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【题型 5】尺规作图——角平分线与垂直平分线综合 【例题5】（25-26八年级上·浙江·期末）如图，三角形中，的平分线交于点D，过点D作，垂足分别为E，F，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【变式1】（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】（25-26八年级上·湖北·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点，，并且平分． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接，且． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，作，垂足为，连接．求证：垂直平分． 【题型 6】利用角平分线与全等三角形求值证明 【例题6】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图所示，垂直于的平分线于点，的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，点E、F分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②④ C．③④ D．①③④ 【变式2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在的边上取点，使．过点作于点，若平分，，，则__________． 【变式3】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形的面积为16，平分，且，． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 【题型 7】利用角平分线与垂直平分线性质综合求值证明 【例题7】（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在中，，平分，于点，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有______． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，连接，，过点作交于点，延长、交于点，已知所在的直线是线段的垂直平分线． (1)是否平分？请说明理由； (2)过点作于点，若，，的面积为，求的长． 【变式2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由． 二．同步检测 （一）选择题（共10题，每小题3分，合计30分） 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点是的平分线上一点，于点．点是射线上任意一点，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，平分，，则点D到的距离为（   ） A．10 B．8 C．5 D．3 3．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（17-18八年级上·浙江杭州·期中）如图，、、表示三个小城，相互之间有公路相连，现要在内建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（   ）．    A．三边中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三边上的高交点处 D．三边的中垂线的交点处 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在中，，用尺规在边上找一点，仔细观察、分析，能使成立的作图是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，是的平分线，于点E，于点F．若，，，则的长是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 8．（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，已知中，平分，于点，连接，若，，则的面积是（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 9．（22-23八年级上·重庆大足·期末）如图，的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是三条角平分线的交点，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①点到的三个顶点的距离相等；②；③当时，；④若，，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ （2） 填空题（共6题，每小题3分，合计18分） 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是它的角平分线，，，则______． 12．（21-22八年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是30，，，则____________           13．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为____． 14．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，则的值为______． 15．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在的边，上取点，，连接，平分平分，若，的面积是4，的面积是6，则的长是_____． 16．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，中，，角平分线相交于G，，若，，则m，n的关系式为：______．    （三）解答题（共8题，每小题9分，合计72分） 17．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知，用直尺和圆规作一点P，使它到点A和点C的距离相等，且到线段与线段所在直线的距离也相等（保留作图痕迹，不必写出作法）． 18．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，过点G作交的延长线于点F，交于点E．    (1)与全等吗？说明理由； (2)当，，，时，求的面积． 19．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，O为，的平分线的交点，，，，垂足分别为． (1)与是否相等，请说明理由； (2)若的周长是40，且，求的面积． 20．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，平分，过点D作于点M，的延长线于点N，且． (1)证明：． (2)若，求的长． 21．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多，的面积为，则三角形的面积为多少？ 22．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在四边形中，平分，，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 23．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 24．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．    理解概念（1）如图，在中，，，图中“等角三角形”有______组． 概念应用（2）如图，在中，为角平分线，，求证：为的等角分割线． （3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数． 25．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $