3.3 一元一次不等式及其解法 同步讲义 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

3.3 一元一次不等式及其解法 内 容 导 航 题型1 一元一次不等式的定义 题型2 解一元一次不等式 题型3 一元一次不等式的整数解 考 点 演 练 题型1 一元一次不等式的定义 解｜题｜知｜识 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 【典例1】下列为一元一次不等式的是（　　） A．x+y＞﹣2 B． C．﹣2x＝7 D． 【答案】D 【解答】解：A、含有2个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； B、含有分式，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是一元一次方程，不是一元一次不等式，不符合题意； D、是一元一次不等式，符合题意． 故选：D． 【变式1】如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（　　） A．2x＜6 B．﹣2x＞﹣6 C．﹣x≤3 D．﹣2x≥﹣6 【答案】D 【解答】解：A．2x＜6，解得：x＜3，解集不符合，不改变不等式的符号，故该选项不符合题意； B．﹣2x＞﹣6，解得：x＜3，解集不符合，故该选项不符合题意； C．﹣x≤3，解得：x≥﹣3，解集不符合，故该选项不符合题意； D．﹣2x≥﹣6，解得：x≤3，系数为负数，改变不等式的符号，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A．x2＞0 B．2x﹣1 C．2y＜8 D． 【答案】C 【解答】解：A、x2＞0，未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； B、2x﹣1，不是不等式，故此选项不符合题意； C、2y＜8，是一元一次不等式，故此选项符合题意； D、，不等式左边不是整式，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型2 解一元一次不等式 解｜题｜知｜识 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【典例1】不等式2x≥4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：2x≥4， x≥2， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 故选：D． 【变式1】如果不等式（m+1）x＞m+1的解集是x＜1，那么m必须满足（　　） A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．m≥1 D．m＞1 【答案】B 【解答】解：因为（m+1）x＞m+1的解集是x＜1，不等号的方向改变了， 所以m+1＜0，解得m＜﹣1． 故选：B． 【变式2】关于x的一元一次不等式3x＞6的解都能满足下列哪一个不等式的解（　　） A．4x﹣9＜x B．2x+4＜0 C．﹣3x+2＜0 D．x＜2 【答案】C 【解答】解：解不等式3x＞6得x＞2， A、解不等式4x﹣9＜x得x＜3，不符合题意； B、解不等式2x+4＜0得x＜﹣2，不符合题意； C、解不等式﹣3x+2＜0得x，符合题意； D、x＜2，不符合题意； 故选：C． 【变式3】已知不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集是x＜1，则a的取值范围为a＜1　 ． 【答案】a＜1 【解答】解：∵（a﹣1）x＞a﹣1的解集是x＜1，不等号方向发生了改变， ∴a﹣1＜0， ∴a＜1． 故答案为：a＜1． 题型3 一元一次不等式的整数解 解｜题｜知｜识 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 【典例1】如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则a的取值范围是（　　） A．1＜a≤2 B．2≤a＜3 C．3≤a＜4 D．3＜a≤4 【答案】B 【解答】解：∵该不等式恰有3个非负整数解， ∴结合图形可得，该不等式的三个非负整数解为0，1，2， ∴a的取值范围是2≤a＜3， 故选：B． 【变式1】已知关于x的不等式3x﹣m＜1的最大整数解为3，则m的取值范围是（　　） A．8≤m＜11 B．8＜m＜11 C．8≤m≤11 D．8＜m≤11 【答案】D 【解答】解：3x﹣m＜1， 3x＜1+m， ∴x， ∵已知不等式的最大整数解为3， ∴34， ∴8＜m≤11． 故选：D． 【变式2】若关于x的不等式2x﹣a≤0的正整数解只有1和2，则a的取值范围是（　　） A．4＜a≤6 B．4≤a＜6 C．2＜a≤4 D．2≤a＜4 【答案】B 【解答】解：2x﹣a≤0， 2x≤a， x． 因为关于x的不等式2x﹣a≤0的正整数解只有1和2， 所以， ∴4≤a＜6， 故选：B． 【变式3】不等式1的负整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：1， 去分母，得2（x﹣1）+4≥x， 去括号，得2x﹣2+4≥x， 移项，得2x﹣x≥﹣4+2， 合并同类项，得x≥﹣2， 所以不等式的负整数解是﹣2，﹣1，共2个． 故选：B． 过 关 验 收 1．不等式：的解集是x　 ． 【答案】x． 【解答】解：∵， ∴xx＜1， 则x，即x， 故答案为：x． 2．不等式的解集是x　 ． 【答案】x． 【解答】解：， ， （）x＞1， x， x， 故答案为：x． 3．不等式的解集是　　 ． 【答案】． 【解答】解：， x≥﹣1， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中的较大者，例如max{4，3}＝4，则： （1）max{﹣3，5，1}＝　5　 ； （2）max{x+4，x+1，﹣x+1}的最小值等于　3　 ． 【答案】（1）5； （2）3． 【解答】解：（1）∵﹣3＜1＜5， ∴max{﹣3，5，1}＝5， 故答案为：5； （2）①设max{x+4，x+1，﹣x+1}x+4， 则需同时满足x+4≥x+1，x+4≥﹣x+1， 分别化简x≥﹣3，x≥﹣3， 解得：﹣2≤x≤6， 则当x＝﹣2时，x+4为最小值，x+4＝3； ②设max{x+4，x+1，﹣x+1}＝﹣x+1， 则需同时满足x+4≤﹣x+1，x+1≤﹣x+1， 分别化简x≤﹣3，2x≤0， 解得：x≤﹣2， 则当x≤﹣2时，﹣x+1为最小值，﹣x+1＝3； ③设max{x+4，x+1，﹣x+1}＝x+1， 则需同时满足x+4≤x+1，﹣x+1≤x+1， 分别化简3x，0≤2x， 解得：x≥6， 则当x＝6时，x+1为最小值，x+1＝7， 综上所述，max{x+4，x+1，﹣x+1}的最小值为3， 故答案为：3． 5．当x　＜﹣2　 时，整式2（x+1）的值小于整式的值． 【答案】＜﹣2 【解答】解；根据题意得：2（x+1）， 去分母得：8（x+1）＜3x﹣2， 去括号得：8x+8＜3x﹣2， 移项合并得：5x＜﹣10， 解得：x＜﹣2． 故答案为：＜﹣2． 6．定义新运算：对于任意实数a，b都有a*b＝（a+3b）﹣ab，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：2*5＝（2+15）﹣2×5＝7，那么不等式5*x＜13的解集为 x＞﹣4　 ． 【答案】x＞﹣4． 【解答】解：∵5*x＜13， ∴5+3x﹣5x＜13， 3x﹣5x＜13﹣5， ﹣2x＜8， x＞﹣4， 故答案为：x＞﹣4． 7．若关于x的方程的解是非正数，则m的取值范围是 m≤3　 ． 【答案】m≤3 【解答】解：解方程得x＝m﹣3， ∵关于x的方程的解是非正数， ∴m﹣3≤0， 解得m≤3， 故答案为：m≤3． 8．不等式的解集是x≥4　 ． 【答案】x≥4 【解答】解：去分母，得：7（1﹣x）≤3（1﹣2x）， 去括号，得：7﹣7x≤3﹣6x， 移项、合并同类项，得：﹣x≤﹣4， 系数化成1得：x≥4． 故答案为：x≥4． 9．解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3 （2） 【答案】（1）x≤﹣1，数轴见解析过程； （2）x＞2，数轴见解析过程． 【解答】解：（1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3， 2x﹣11≥4x﹣12+3， 2x﹣4x≥﹣12+3+11， ﹣2x≥2， x≤﹣1． 数轴如下： （2）， 2（2x﹣1）＜3（3x﹣2）﹣6， 4x﹣2＜9x﹣6﹣6， 4x﹣9x＜﹣6﹣6+2， ﹣5x＜﹣10， x＞2． 数轴如下： 10．（1）解不等式：4x﹣2（3x﹣1）＜4，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组：． 【答案】（1）x＞﹣1，； （2）x＜﹣1． 【解答】解：（1）∵4x﹣2（3x﹣1）＜4， ∴4x﹣6x+2＜4， 4x﹣6x＜4﹣2， ﹣2x＜2， 则x＞﹣1， 将解集表示在数轴上如下： （2）由1+x≤4得：x≤3， 由3x﹣1＜2（x﹣1）得：x＜﹣1， 则不等式组的解集为x＜﹣1． 11．小马虎解不等式的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤（相对于前一步）的序号，并写出正确的解答过程．错误步骤：　①②⑤　 ． 解：去分母：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤1① 去括号：4x﹣2﹣15x+3≤1② 移项：4x﹣15x≤1+2﹣3③ 合并同类项：﹣11x≤0④ 两边都除以﹣11得x≤0⑤ 【答案】①②⑤；解答见解析． 【解答】解：第①步错误，出现漏乘； 第②步错误，出现去括号没变号； 第⑤步错误，不等号没有改变方向． 正确解答步骤如下： 去分母：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤6， 去括号：4x﹣2﹣15x﹣3≤6， 移项：4x﹣15x≤6+2+3， 合并同类项：﹣11x≤11， 两边都除以﹣11得x≥﹣1， 故答案为：①②⑤． 12．定义关于@的一种运算：a@b＝a+2b，如2@3＝2+6＝8． （1）若3@x＜7，且x为正整数，求x的值． （2）若关于x的不等式3（x+1）≤8﹣x的解和x@a≤5的解相同，求a的值． 【答案】（1）x＝1； （2）． 【解答】解：（1）3@x＜7， 3+2x＜7， 解得x＜2， ∵x为正整数， ∴x＝1； （2）解不等式3（x+1）≤8﹣x得，x， 解不等式x@a≤5得x≤5﹣2a， ∵关于x的不等式3（x+1）≤8﹣x的解和x@a≤5的解相同， ∴5﹣2a， 解得a． 13．使不等式x﹣5＞3x﹣1成立的x的值中，最大整数为　﹣3　 ． 【答案】﹣3 【解答】解：移项、合并同类项，得﹣2x＞4； 系数化为1，得x＜﹣2； 使不等式x﹣5＞3x﹣1成立的值中的最大整数是﹣3． 故答案为：﹣3． 14．已知关于x的不等式2x﹣m＜0的正整数解恰好是1，2，3，4，那么m的取值范围是 　8＜m≤10　 ． 【答案】8＜m≤10． 【解答】解：解不等式2x﹣m＜0得：xm． 根据题意得：4m≤5， 解得：8＜m≤10． 故答案为8＜m≤10． 15．不等式6﹣2x＞1的非负整数解是　0，1，2　 ． 【答案】0，1，2 【解答】解：不等式6﹣2x＞1， 整理得，2x＜5， x； 则不等式的非负整数解是：0，1，2． 故答案为：0，1，2． 16．不等式2x﹣3≥5x﹣10的所有正整数解的和为 　3　 ． 【答案】3 【解答】解：2x﹣3≥5x﹣10， 2x﹣5x≥﹣10+3， ﹣3x≥﹣7， x， ∴该不等式的所有正整数解为：1，2， ∴等式2x﹣3≥5x﹣10的所有正整数解的和为3， 故答案为：3． 17．不等式x﹣3＞﹣14x的最小负整数解 　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：x﹣3＞﹣14x， 移项，得xx＞﹣14+3， 合并同类项，得3x＞﹣11， 系数化成1，得x， 所以不等式的最小负整数解是﹣3， 故答案为：﹣3． 18．请你写出一个满足不等式2x﹣1＜6的正整数x的值：　1，2，3，填一个即可　 ． 【答案】1，2，3，填一个即可 【解答】解：移项得：2x＜6+1， 系数化为1得：x＜3.5， 满足不等式2x﹣1＜6的正整数x的值为：1，2，3． 19．不等式2x﹣1＜3的正整数解为　1　 ． 【答案】1 【解答】解：不等式的解集是x＜2，故不等式2x﹣1＜3的正整数解为1． 20．已知关于x的方程2x﹣a＝3． （1）若该方程的解满足x＞1，求a的取值范围； （2）若该方程的解是不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1）的最小整数解，求a的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）解方程2x﹣a＝3，得x， ∵该方程的解满足x＞1， ∴1， 解得a＞﹣1； （2）解不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1）， 去括号，得：3x﹣6+5＜4x﹣4， 移项，得3x﹣4x＜﹣4+6﹣5， 合并同类项，得﹣x＜﹣3， 系数化成1得：x＞3． 则最小的整数解是4． 把x＝4代入2x﹣a＝3得：8﹣a＝3， 解得：a＝5． 21．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程2x﹣1＝1的解是x＝1，同时x＝1也是不等式x+1＞0的解，则称方程2x﹣1＝1的解x＝1是不等式x+1＞0的“友好解”． （1）试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？A A．是 B．不是 （2）若关于x、y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围； （3）当k＜6时，方程3（x﹣1）＝k的解是不等式4x﹣1＜x+2m的“友好解”，求m的最小整数值． 【答案】（1）A； （2）k＜17； （3）4． 【解答】解：（1）解方程得x＝3， 解得：x＞1， ∴方程的解是x＝3同时也是不等式的解， ∴是“友好解”， 故选：A． （2）解方程组得， ∵关于x、y的方程组的解是不等式的“友好解”， ∴， 解得k＜17． （3）由3（x﹣1）＝k，k＜6得： 3（x﹣1）＜6，解得x＜3． 由4x﹣1＜x+2m得： ， 由条件可得， 解得m≥4， ∴m的最小整数值为4． 22．求满足的x的最小整数值． 【答案】x的最小整数值是4． 【解答】解：， 6x﹣4﹣18+4x≥3x+6， 7x≥28， x≥4， ∴x的最小整数值是4． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 一元一次不等式及其解法 内 容 导 航 题型1 一元一次不等式的定义 题型2 解一元一次不等式 题型3 一元一次不等式的整数解 考 点 演 练 题型1 一元一次不等式的定义 解｜题｜知｜识 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 【典例1】下列为一元一次不等式的是（　　） A．x+y＞﹣2 B． C．﹣2x＝7 D． 【变式1】如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（　　） A．2x＜6 B．﹣2x＞﹣6 C．﹣x≤3 D．﹣2x≥﹣6 【变式2】下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A．x2＞0 B．2x﹣1 C．2y＜8 D． 题型2 解一元一次不等式 解｜题｜知｜识 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【典例1】不等式2x≥4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如果不等式（m+1）x＞m+1的解集是x＜1，那么m必须满足（　　） A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．m≥1 D．m＞1 【变式2】关于x的一元一次不等式3x＞6的解都能满足下列哪一个不等式的解（　　） A．4x﹣9＜x B．2x+4＜0 C．﹣3x+2＜0 D．x＜2 【变式3】已知不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集是x＜1，则a的取值范围为a＜1　 ． 题型3 一元一次不等式的整数解 解｜题｜知｜识 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 【典例1】如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则a的取值范围是（　　） A．1＜a≤2 B．2≤a＜3 C．3≤a＜4 D．3＜a≤4 【变式1】已知关于x的不等式3x﹣m＜1的最大整数解为3，则m的取值范围是（　　） A．8≤m＜11 B．8＜m＜11 C．8≤m≤11 D．8＜m≤11 【变式2】若关于x的不等式2x﹣a≤0的正整数解只有1和2，则a的取值范围是（　　） A．4＜a≤6 B．4≤a＜6 C．2＜a≤4 D．2≤a＜4 【变式3】不等式1的负整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 过 关 验 收 1．不等式：的解集是 　 ． 2．不等式的解集是 ． 3．不等式的解集是 ． 4．设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中的较大者，例如max{4，3}＝4，则： （1）max{﹣3，5，1}＝　 　 ； （2）max{x+4，x+1，﹣x+1}的最小值等于　 　 ． 5．当x　 时，整式2（x+1）的值小于整式的值． 6．定义新运算：对于任意实数a，b都有a*b＝（a+3b）﹣ab，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：2*5＝（2+15）﹣2×5＝7，那么不等式5*x＜13的解集为 　 ． 7．若关于x的方程的解是非正数，则m的取值范围是　 ． 8．不等式的解集是 　 ． 9．解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3 （2） 10．（1）解不等式：4x﹣2（3x﹣1）＜4，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组：． 11．小马虎解不等式的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤（相对于前一步）的序号，并写出正确的解答过程．错误步骤：　 　 ． 解：去分母：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤1① 去括号：4x﹣2﹣15x+3≤1② 移项：4x﹣15x≤1+2﹣3③ 合并同类项：﹣11x≤0④ 两边都除以﹣11得x≤0⑤ 12．定义关于@的一种运算：a@b＝a+2b，如2@3＝2+6＝8． （1）若3@x＜7，且x为正整数，求x的值． （2）若关于x的不等式3（x+1）≤8﹣x的解和x@a≤5的解相同，求a的值． 13．使不等式x﹣5＞3x﹣1成立的x的值中，最大整数为　 　 ． 14．已知关于x的不等式2x﹣m＜0的正整数解恰好是1，2，3，4，那么m的取值范围是 　 　 ． 15．不等式6﹣2x＞1的非负整数解是　 　 ． 16．不等式2x﹣3≥5x﹣10的所有正整数解的和为 　 　 ． 17．不等式x﹣3＞﹣14x的最小负整数解 　 　 ． 18．请你写出一个满足不等式2x﹣1＜6的正整数x的值：　 　 ． 19．不等式2x﹣1＜3的正整数解为　 　 ． 20．已知关于x的方程2x﹣a＝3． （1）若该方程的解满足x＞1，求a的取值范围； （2）若该方程的解是不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1）的最小整数解，求a的值． 21．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程2x﹣1＝1的解是x＝1，同时x＝1也是不等式x+1＞0的解，则称方程2x﹣1＝1的解x＝1是不等式x+1＞0的“友好解”． （1）试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？ A．是 B．不是 （2）若关于x、y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围； （3）当k＜6时，方程3（x﹣1）＝k的解是不等式4x﹣1＜x+2m的“友好解”，求m的最小整数值． 22．求满足的x的最小整数值． 学科网（北京）股份有限公司 $