3.3 一元一次不等式的应用（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦一元一次不等式的应用核心知识点，系统梳理从审清不等关系、设未知数、列不等式到求解并结合实际检验的完整流程，通过关键词对应表、易错点归纳及行程、工程等七类题型构建学习支架，衔接不等式解法与实际问题解决。 该资料以真实情境问题（如购物优惠、低碳出行）培养数学眼光，通过题型分类与解题贴士提升推理能力和运算能力，强化模型意识。课中助力教师系统教学，课后分层练习（基础到创新）帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

第三章 一元一次不等式 3.3 一元一次不等式的应用 课标要点 1.掌握列一元一次不等式解实际应用题的基本步骤，能从生活情境中提取不等关系。 2.能区分实际问题中的等量关系与不等关系，准确列出一元一次不等式。 3.会求解不等式并结合实际意义检验解集，能根据题意取整数解、非负解等符合实际的解。 4.能解决取值范围、方案选择、最值决策等常见不等式实际问题，建立不等模型思想。 学习重难点 重点： 1.找准实际问题中的不等关系，正确列出一元一次不等式； 2.掌握不等式应用题的解题流程； 3.结合实际情境确定合理取值。 难点： 1.识别题目中的不等关键词，准确区分不等关系与等量关系； 2.根据实际约束条件对不等式解集进行取舍，正确取整数解； 3.复杂情境下的最优方案分析与建模。 知识点 用一元一次不等式解决实际问题 1. 用一元一次不等式解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案。 2. 常见的不等号： 符号 实际意义 ＜ 小于、不足 ＞ 大于、超过、高出 ≤ 不大于、不超过、至多、最多 ≥ 不小于、不低于、至少、最少 ≠ 不相等 易错提醒 1）审题错误，将不等关系当成等量关系列方程； 2）关键词翻译符号出错（至少≥、至多≤最易混淆）； 3）解出解集后，忽略实际情境，未取整数、正数等符合题意的值； 4）作答遗漏限制条件，答案范围扩大或缩小； 5）设未知数语句不规范。 随学随练 1．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）某商场推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价为150元/件，标价为250元/件．现准备打x折销售这种商品，且每件利润不得低于50元，则根据题意可列不等式为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西延安·期末）端午节是中国四大传统节日之一．某公司计划购入A、B两款端午节礼盒共100件，且购入这两款礼盒的总费用不超过10400元，已知A、B两款礼盒的价格分别为80元/件和120元/件，若设该公司购入A款端午节礼盒件，则根据题意可列不等式为__________． 3．为了奖励考试进步的同学，老师计划购买一些钢笔和圆规作为奖品，已知购买一个圆规需要5元，购买一支钢笔需要10元．若购买钢笔的数量比购买圆规的数量的一半还少1个，且购买奖品的总价不超过310元，则最多可以购买多少个圆规？ 拓展 实际题型关键词与不等号精准对应对比 1. 实际应用题的核心易错点为关键词与不等号匹配错误，所有限定词汇对应关系整理如下，杜绝符号混用错用： 题干关键词 对应不等号 取值含义说明 小于、不足 ＜ 不包含临界数值，取值严格偏小 大于、超过、高出 ＞ 不包含临界数值，取值严格偏大 不大于、不超过、至多、最多 ≤ 包含临界最大值，可等于临界值 不小于、不低于、至少、最少 ≥ 包含临界最小值，可等于临界值 不相等 ≠ 两量数值完全不等 活学活用 1．（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）贵阳地铁某站点入口处设置了一条安全提示“携带物品长度不超过米”，如果设物品长度为，则能正确表示该提示的不等式为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）根据“x的3倍减去5不大于2”，可列不等式：________． 3．某服装厂计划生产一种服装，每件成本是元，售价是元．该厂生产这种服装，每月除成本外的其他开支共为元．如果想使生产这种服装的月获利不低于元，那么每月至少要生产这种服装多少件？ 拓展 实际应用高频易错点归纳 1. 符号混淆易错：极易混淆“至多、至少”与“大于、小于”，忘记带等号，导致取值范围偏小或偏大，答案出错。 2. 忽略实际检验易错：不等式求解出的是全体实数范围，但实际问题中人数、个数、长度等必须为正整数或正数，需舍去不符合实际的解。 3. 审题逻辑易错：习惯性按照方程思路找等量关系，忽略题干中的限制、最值类不等关键词，导致列式错误。 4. 作答不规范易错：直接书写解集，未结合实际题意转化为文字答案，不符合应用题答题要求。 活学活用 1．在一次数学竞赛中，共有20道选择题，答对一题得5分，答错一题扣3分，不答得0分．小红有2道题未答，设小红答对x道题． (1)用含x的式子表示小红的得分y； (2)若小红的得分不低于70分，求x的取值范围； (3)小红的得分能达到95分吗？为什么？ 2．某公司计划购买普通医用口罩和专业口罩捐赠给湖北，已知专业口罩的单价是普通医用口罩的单价的4倍，用1200元购买普通医用口罩可比购买专业口罩多600只． (1)请问普通医用口罩和专业口罩的单价各为多少？ (2)如果该公司计划购买普通医用口罩和专业口罩共5万只，总费用不超过12万元，通过计算说明最多可以购买专业口罩多少万只？ 题型 行程问题 解题贴士 根据行程公式路程=速度×时间，抓取不等关键词（至少、至多、不超过、不少于），结合路程、速度、时间的限制关系列不等式，求解速度或时间的取值范围。 ▌例1．张老师和学生们一起步行去植树，他们步行的速度是．出发后，学校打电话通知张老师在内（含）返校开会，并让张老师在原地等候，学校立即派人骑摩托车去接他，那么摩托车的速度至少为多少才能保证张老师按时参加会议？ ▌对点练1-1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点时他以的速度向终点冲刺，在他身后的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点？设李明冲刺的速度为，可列出不等式为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．甲、乙两车从相距210千米的A、B两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60千米/时，乙的行驶速度为30千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，原地检修用了30分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？ 题型 工程问题 解题贴士 1）公式：工作量=工作效率×工作时间； 2）根据“完工、不延期、超额完成、至少完成”等条件，列不等式求解。 ▌例1．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·山西晋中·期中）某学校八年级同学到劳动基地进行实践活动，第一天的任务是用100斤黄豆磨豆浆．由于操作不熟练，开始的半小时只磨完9斤黄豆，基地要求完成全部任务的时间不超4小时，若设在剩余时间内每小时需磨完斤黄豆，则可列一元一次不等式为______． ▌对点练1-2．某工程队计划招聘从事甲、乙两种工作的工人共150名．根据工程需要，从事乙工种的人数不少于从事甲工种人数的2倍，那么从事甲工种的工人最多可招聘多少名？ ▌对点练1-3．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）随着人工智能技术发展，智能分拣机器人已广泛应用于现代物流行业．某智能物流分拣机器人，单个机械手平均8秒分拣一件快递包裹，每台机器人搭载4个相同的机械手，若要在1小时内分拣的包裹数量不少于10000件，至少需要多少个这样的机器人同时工作？ 题型 经济问题 解题贴士 根据“利润不低于、成本不超过、盈利、亏本”等条件列不等式求解。 ▌例1．（25-26八年级下·四川成都·期末）“芦溪河（天府新区段）”又名“鹿溪河”，是岷江的二级支流，锦江的一级支流，2026年成功入选四川省2025年度省级幸福河湖，成为全省河湖生态治理与公园城市建设深度融合的标杆样板．某社区组织“守护母亲河”志愿服务活动，计划用450元购买一批垃圾夹与捞网进行河道治理，其中垃圾夹每个15元，捞网每个20元．现已购买16个垃圾夹，最多还能购买多少个捞网？设还能购买捞网个，根据题意列式得（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，已知购买一本甲种笔记本需10元，购买一本乙种笔记本需5元，该班购买甲、乙两种笔记本共35本，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少本甲种笔记本？ ▌对点练1-1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）小知和同学利用暑假勤工俭学，以每件元的价格购进了一批哪吒主题的卫衣，标价为每件元，为了尽快出售，小知准备打折销售，但要使利润率不低于，则至多可以打__________折． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·山西太原·期中）国内某知名车企研发的最新超快充充电技术，大幅提升充电效率，5分钟即可补能，9分钟能充至近满电．该技术兼顾极寒环境适应性与电池安全性，配合新一代刀片电池，实现高效、安全、耐用的综合优势，全面引领电动车快充新时代．为响应节能减排号召，某市出租车公司计划采购该车企的A、B两款搭载此项超快充技术的新能源电动汽车．已知每辆A款车进价18万元，每辆B款车进价10万元，公司拟用不超过1500万元的资金购进两款车共120辆，求最多可购买多少辆A款新能源电动汽车？ ▌对点练1-3．（2026·贵州遵义·一模）2025年12月为纪念仁怀撤县设市30周年，仁怀举办了大型无人机表演，科技走入了我们的生活．某校准备开设无人机驾驶实验课程，打算购买两种型号的无人机．已知型号无人机的单价比型号无人机单价多2000元，若购买3台型号无人机和2台型号无人机需要21000元． (1)求型号、型号无人机的单价分别是多少元； (2)若学校预计用不高于145000元的资金购买，两种型号的无人机共40台，则最多可以购买型号无人机多少台？ ▌对点练1-4．（25-26七年级下·云南昭通·期末）2025年亚洲冬季运动会在哈尔滨举办，某文创商铺准备采购“滨滨”“妮妮”两款纪念玩偶．经核算，5个“滨滨”和4个“妮妮”的进货总价为1120元，4个“滨滨”和8个“妮妮”的进货总价为1280元． (1)求“滨滨”和“妮妮”两款玩偶的进货单价分别是多少元； (2)该商铺将“滨滨”售价定为200元/个，“妮妮”售价定为110元/个，计划两款玩偶共购进200个且全部售完．若总盈利不低于6500元，求至少需要购进“滨滨”多少个？ 题型 分配方案问题 解题贴士 1）设分配数量为未知数，根据物资总数、人数限制，列出不等式； 2）求出解集后，结合实际只能取正整数解，枚举所有可行分配方案。 ▌例1．（25-26八年级上·山东济南·期末）小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张5元．其中甲商店的优惠条件是：从第1张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买10张以上，从第11张开始按标价的七折销售．设小明购买贺卡的数量为张（为正整数），在甲商店购买的总费用为元，在乙商店购买的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式，以及当时与之间的函数关系式； (2)若小明购买的贺卡数量大于10张，选择哪一家商店更划算？ ▌例2．（25-26七年级下·河南濮阳·期末）小明每天上下学的往返路程共，上周他坐私家车和乘公交车两种方式上下学（每天只选择一种交通方式）．已知小明上周（5天）上下学搭乘的交通工具的碳排放量共，两种交通方式的碳排放数据如下： 交通工具 碳排放量/（） 私家车 0.27 公交车 0.20 (1)填空：小明每天坐私家车上下学的碳排放量是__________，每天乘公交车上下学的碳排放量是__________． (2)上周小明上下学坐私家车和乘公交车各多少天？ (3)本周起，小明决定践行绿色出行理念，不再坐私家车上下学，改为每天乘公交车或骑自行车（碳排放量为零）上下学．若小明本周上下学搭乘的交通工具的碳排放量不高于上周的，求他这周有哪几种出行方案？ ▌对点练1-1．（25-26七年级下·新疆和田·期末）为深入传承和弘扬和田悠久的历史文化，切实做好青少年传统文化研学实践教育工作，和田某中学组织本校学生前往和田约特干古城开展研学参观活动．为保障出行安全有序，学校计划统一租用甲、乙两种型号的客车负责接送学生．经调研测算，3辆甲型客车与2辆乙型客车一次性可运送195名学生；1辆甲型客车与1辆乙型客车一次性可运送75名学生． (1)求甲、乙两种型号客车每辆载客人数分别是多少？ (2)本次研学出行，学校计划总共租用甲、乙两种客车合计12辆，为保证所有参与研学的学生顺利出行，要求租用车辆一次性可承载的总人数不少于435人．则该学校至少需要租用甲型客车多少辆？ ▌对点练1-2．（25-26七年级下·海南·期末）某校七年级560名学生和12位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆．客运公司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示． 车型 A型 B型 载客量/人 40 50 租金/元 1000 1200 学校计划租用12辆客车，那么 (1)最多可以租用多少辆A型客车？ (2)共有几种租车方案？哪种方案租金最低？ ▌对点练1-3．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）如何下单，最优惠？ 如何下单，最优惠？ 背景 随着餐饮消费模式的日益丰富，如何根据不同的优惠策略做出更经济的消费选择，成为一项具有现实意义的数学应用问题．在本次数学综合与实践课上，老师以“平台点餐优惠方案比较”为主题，引导同学们运用数学知识分析和解决如下实际问题： 某餐厅打算在M平台和e平台根据点餐金额采用不同的优惠策略： 在M平台实施方案如下表：    在e平台实施方案如下表： M平台一次性点餐金额 优惠举措 e平台一次性点餐金额 优惠举措 不超过60元 无优惠 不超过60元 无优惠 超过60元， 但不超过160元 减10元 超过60元， 但不超过160元 大于60元的部分，打八折 超过160元 减30元 超过160元 大于60元，但不大于160元的部分，打八折；大于160元的部分打六折 问题解决 问题1 小华点了超过60元，但不超过160元的午餐，发现在两个平台上优惠后的价格相同，那么小华点的午餐优惠前的价格是多少？ 问题2 若小华一次性点餐金额为200元，请你帮她选择在哪个平台点餐更优惠？并说明理由． 题型 比赛积分问题 解题贴士 根据胜负平对应积分规则，用未知数表示胜、负、平场次，结合总场次、总积分限制（积分不少于、晋级分数线）列不等式求解。 ▌例1．（25-26七年级下·湖南娄底·期末）某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共道题，选对得分，不选或选错扣分．若得分不低于可得奖，设要得奖至少应选对道题，则根据题意可列不等式为（     ） A． B． C． D． ▌例2．（2026·江苏泰州·一模）甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ ▌对点练1-1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在一场篮球比赛中，某队罚球得分10分，投进2分球和3分球共48个，如果这支球队在本场比赛中总得分超过110分，则他们至少投进________个3分球． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ ▌对点练1-3．（25-26七年级下·福建福州·期末）学校举办数学知识竞赛，共25道题，每题都给出3个答案，只有一个答案正确，每题选对得4分，不选或错选倒扣2分，初赛不低于70分就能进入复赛，那么进入复赛的选手至少对了多少道题？ 题型 阶梯收费问题 解题贴士 1）分段梳理收费标准，先判断用量所在区间，分段计算总费用； 2）根据总费用的上限、下限列不等式，反求用量的取值范围。 ▌例1．（25-26七年级下·重庆云阳·期末）为提倡节约用电，某市居民阶梯电价采用二档分档递增模式，具体标准如下：每户每月用电量不超过度时，按第一档单价收费；超过度时，超过的部分按第二档单价计费．年月张华家用电度，缴费元；李明家用电度，缴费元． (1)该市规定的第一档电费单价和第二档电费单价分别为多少元/度？ (2)刘生家月份家庭支出计划中电费不超过元，他家最大用电量为多少度？ ▌对点练1-1．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）某市自来水公司实行阶梯式收费，收费标准如表所示： 月用水量 收费标准/元 ？ 9月份小华家缴纳水费元，小莉家缴纳水费元，并且小华家的用水量恰好是小莉家的． (1)若小明家9月份用水量是（），则小明家9月份需要缴纳的水费为________元（用含的代数式表示）；若小明家9月缴纳的水费不超过元，求小明家9月用水量最多是多少？ (2)求月用水量大于时的收费标准． ▌对点练1-2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为了鼓励居民节约用水，某城市实行阶梯水价制度，规定每月用水量在一定范围内按基础价格收费，超出部分则提高价格收费．已知该城市居民用水基础价格为每吨2.5元，超出部分每吨价格为4元，小亮家上个月用水12吨，共缴纳水费33元． (1)求该城市规定的基础用水量是多少吨？ (2)若小亮家本月水费预算不超过46元，那么他家这个月最多能用多少吨水？ 题型 其他问题 解题贴士 提取题干数量限制关键词，将实际约束转化为不等关系，设未知数列不等式求解，最终结果根据实际场景取整数、正数。 ▌例1．（25-26八年级下·河北保定·期末）嘉嘉制作了一份某市的（城市漫步）打卡地图，地图上的打卡点分为口袋公园和潮流街区两类，这两类加起来共13个打卡点．其中，口袋公园打卡点的数量不少于潮流街区打卡点数量的2倍．若设此城市潮流街区打卡点的数量为x个，则可得不等式（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． ▌对点练1-1．把5个体积为的立方体铅块熔化后，最多能制成多少个体积为的立方体铅块？设能制成个的立方体铅块，则根据题意可列不等式为________． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本? ▌对点练1-3．（25-26七年级下·广东广州·期末）项目主题：低碳出行，从我做起． 背景：为响应国家“碳达峰、碳中和”号召，小华全年出行的碳排放限额100千克．某月他因出差乘坐飞机，共产生600千克碳排放量，为了补偿超额部分，他决定改掉每天自驾私家车的通勤习惯，尽可能改用其他绿色的出行方式，最大限度降低通勤碳排放量． 信息一 碳排放数据（单位：千克/辆·千米） 交通工具 自行车 地铁 公交车 私家车 碳排放量 0 0.03 0.04 0.15 信息二 小华一年上班240天，每天上下班总距离20千米． 根据以上信息，探索完成以下任务： (1)任务一：接下来的30个工作日，小华先骑共享单车上下班7天，其余时间自驾私家车或乘坐公交车，经计算这30天的总碳排放量比原来每天自驾私家车通勤的总碳排放量减少了54千克．求这30天他自驾私家车和乘坐公交车的天数分别是多少？ (2)任务二：完成上述30天的计划后，小华计划在剩下的210个工作日中，每天坐地铁或骑共享单车，使全年工作日（共240天）的碳排放量不超过100千克，则他在剩下的210个工作日中至少需要骑共享单车多少天？ 基础通关 1．（25-26七年级下·广西桂林·期末）某校组织研学活动，将租赁A型客车和B型客车共12辆．已知每辆A型客车可乘坐45人，每辆B型客车可乘坐35人，且要求总载客量不超过480人．设租赁A型客车x辆，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得5分，答错或不答都扣3分．小明得分要超过70分，他至少要答对多少道题？设小明答对了道题，则根据题意可列不等式为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）谷雨，春雨渐多，气温回升，寒潮褪去，空气湿润，降雨频繁，正是雨生百谷的时节．今年谷雨这一天上海市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温 满足的不等关系为______ ． 4．（25-26八年级下·广东深圳·期中）美国“阿尔忒弥斯2号”载人绕月飞行任务中，飞船需要从地球出发，绕月球飞行后返回地球．已知地球到月球的平均距离约为，飞船在月球轨道附近执行任务（停留）约48小时．整个任务的总时间（包括飞行和停留）要求不超过168小时．设飞船往返的平均速度为，则应满足的不等式是______． 5．（25-26七年级下·福建泉州·期中）“一方有难，八方支援”，一辆货车向灾区运送物资，共有166千米的路程，需要不超过2小时送到，前80分钟已经走了120千米，后40分钟的速度至少为多少才能不延误时间？ 6．（25-26七年级下·河南南阳·期中）2026年2月，教育部召开深入落实“健康第一”工作部署会，强调将“健康第一”的教育理念转化为刚性制度，同步印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求落实中小学生每天综合体育活动不低于2小时的要求．某中学积极响应号召，利用课后服务时间在七年级开展班级篮球赛，共16个班级参与，以此激励学生增强体质、热爱运动． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班在15场比赛中获得的总积分为39分，求该班胜了多少场； (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线上及3分线内投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个3分球． 7．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在“一带一路”农业技术合作项目中，某国引进中国的甲、乙两种新型沼气池技术．已知甲种技术处理20吨农业有机垃圾所用的时间与乙种技术处理25吨农业有机垃圾所用的时间相同，且甲种技术每小时比乙种技术少处理2吨农业有机垃圾． (1)求甲、乙两种技术每小时各处理多少吨农业有机垃圾； (2)该国计划新建甲、乙两种技术沼气池共12个，要求1小时内完成不低于100吨的农业有机垃圾处理任务，且甲种技术沼气池的数量不超过乙种技术沼气池数量的2倍，那么新建乙种技术沼气池至少多少个？ 8．松南学校在“指南针”课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织3个大号中国结和4个小号中国结需用绳24米；若编织1个大号中国结和5个小号中国结需用绳19米． (1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； (2)松南中学决定编织以上两种中国结共150个用以庆祝十一国庆节，这两种中国结所用绳长不超过550米，那么该中学最多编织多少个大号中国结? 9．（25-26七年级下·广东惠州·期末）惠东县全力推进乡村振兴，全县两百多个行政村集体收入连续两年超过十万元．幸福村今年计划采购一批荔枝苗和龙眼苗，用于扩大种植规模．已知购买2棵荔枝苗和3棵龙眼苗需要85元，购买3棵荔枝苗和2棵龙眼苗需要90元． (1)求每棵荔枝苗和每棵龙眼苗的价格； (2)该村计划购买两种树苗共100棵，且总费用不超过1700元，那么最多可以购买荔枝苗多少棵？ 10．（25-26七年级下·四川资阳·期末）炎热的夏天里，人们喜欢去游泳馆游泳。某游泳馆销售A、B两种型号的泳衣，进价分别为70元、50元，如下表是近两天的销售情况： 销售量/件 销售收入/元 A型泳衣 B型泳衣 第一天 3 4 600 第二天 6 5 975 (1)求A，B两种型号泳衣的销售单价； (2)若购进A，B两种型号的泳衣共50件，且总进价不超过2900元． ①最多可以购进A型号泳衣多少件？ ②为使这50件泳衣完全销售后的总利润超过1340元，应如何进货？请给出相应的进货方案． 素养提升 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）某饮品店果汁的价格如下表所示： 杯型 容量（毫升/杯） 价格（元/杯） 小杯 350 8 大杯 500 10 (1)某天该店果汁的总销量为57升，收入为1200元，求这天该店小杯果汁、大杯果汁各卖了多少杯？ (2)若某天该店小杯果汁、大杯果汁一共卖了150杯，且总收入不低于1375元．那么小杯果汁最多卖多少杯？ 2．（25-26七年级下·河南周口·期末）文房四宝是中华传统文化瑰宝，承载千年东方美学．某文具店销售A，B两种规格的文房四宝礼盒，A，B两种礼盒每套的进价分别为50元、55元，下表是近两个月礼盒的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种礼盒 B种礼盒 第一个月 3套 5套 610元 第二个月 4套 10套 1080元 (1)求A，B两种规格的文房四宝礼盒每套的售价． (2)若该文具店准备用不多于2080元的金额再采购A，B两种文房四宝礼盒共40套，求B种文房四宝礼盒最多能采购多少套． (3)在（2）的条件下，商店销售完这40套文房四宝礼盒能否实现利润为900元的目标？请说明理由． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）为了发扬中华传统，体验民俗之美，学校举办“书香茶叙”品茗活动，准备去工艺品店购买“手工茶杯”和“花砖杯垫”两种民俗手工艺品． 第一天无促销活动： 购买个手工茶杯和个花砖杯垫共需元；购买个手工茶杯所需的钱数和购买个花砖杯垫所需的钱数相同． 第二天开展促销活动： 活动一：“清仓打折”：手工茶杯打八折，花砖杯垫打四折； 活动二：“买一送一”：购买一个手工茶杯送一个花砖杯垫． (1)该店在第一天无促销活动时，手工茶杯和花砖杯垫的销售单价各是多少元？ (2)第二天开展促销活动后，学校决定购买手工茶杯、花砖杯垫共个，其中手工茶杯不超过个．购买手工茶杯的数量在什么范围内时，活动二更实惠． 4．（25-26七年级下·江苏南京·期末）某社区响应全民健身号召，积极改造居民健身场地，采购健身器材，已知每辆健身动感单车800元，每台音乐智慧跳绳机80元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案如下： 甲厂家 买一辆健身动感单车送三台音乐智慧跳绳机 乙厂家 健身动感单车和音乐智慧跳绳机全部按原价8折优惠 该社区现要购买3辆健身动感单车和若干台音乐智慧跳绳机，若购买的音乐智慧跳绳机为台（），经计算发现在甲厂家购买比在乙厂家购买花费少，则要购买的音乐智慧跳绳机最多几台？最少几台？ 5．（25-26七年级下·广东惠州·期末）根据以下素材，探究并完成任务． 背景 目前，无人机外卖已在深圳、北京、上海、广州、香港实现常态化运营，其中深圳覆盖范围最广． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动： ①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 问题解决 (1)任务1：该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元？ (2)任务2：某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买件（），①若使用无人机配送商品，则共需要 元；②若不使用无人机配送商品，则共需要 元．（结果用含的代数式表示，要求化简） (3)任务3：请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买A商品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？ 6．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果今年8月份小王家计划水费不超过80元，则小王家这个月用水最多为多少吨？ 迁移创新 1．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展．某企业计划采购一批推理加速卡和服务器内存条．已知采购5个推理加速卡和2个服务器内存条共需7.6万元；采购2个推理加速卡和3个服务器内存条共需4.8万元． (1)每个推理加速卡和每个服务器内存条的价格分别是多少万元？ (2)若该企业计划用不超过19万元的费用购买推理加速卡和服务器内存条共20个，最多可以买多少个推理加速卡？（两种商品只可以买整数个） 2．（25-26八年级下·四川成都·期末）2026年是中国航天事业创建70周年，4月24日，第11个“中国航天日”以“七秩问天路，携手探九霄”为主题在四川成都盛大启幕．某校拟购进一批航天模型，若购买1个A类模型和2个B类模型共需500元，购买2个A类模型和3个B类模型共需800元． (1)求A，B两类模型每个进价分别是多少元？ (2)现计划购进A类模型数量比B类模型数量的2倍还多10个，且预算不超过10000元，则最多可购进B类模型多少个？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次不等式 3.3 一元一次不等式的应用 课标要点 1.掌握列一元一次不等式解实际应用题的基本步骤，能从生活情境中提取不等关系。 2.能区分实际问题中的等量关系与不等关系，准确列出一元一次不等式。 3.会求解不等式并结合实际意义检验解集，能根据题意取整数解、非负解等符合实际的解。 4.能解决取值范围、方案选择、最值决策等常见不等式实际问题，建立不等模型思想。 学习重难点 重点： 1.找准实际问题中的不等关系，正确列出一元一次不等式； 2.掌握不等式应用题的解题流程； 3.结合实际情境确定合理取值。 难点： 1.识别题目中的不等关键词，准确区分不等关系与等量关系； 2.根据实际约束条件对不等式解集进行取舍，正确取整数解； 3.复杂情境下的最优方案分析与建模。 知识点 用一元一次不等式解决实际问题 1. 用一元一次不等式解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案。 2. 常见的不等号： 符号 实际意义 ＜ 小于、不足 ＞ 大于、超过、高出 ≤ 不大于、不超过、至多、最多 ≥ 不小于、不低于、至少、最少 ≠ 不相等 易错提醒 1）审题错误，将不等关系当成等量关系列方程； 2）关键词翻译符号出错（至少≥、至多≤最易混淆）； 3）解出解集后，忽略实际情境，未取整数、正数等符合题意的值； 4）作答遗漏限制条件，答案范围扩大或缩小； 5）设未知数语句不规范。 随学随练 1．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）某商场推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价为150元/件，标价为250元/件．现准备打x折销售这种商品，且每件利润不得低于50元，则根据题意可列不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵商品打折销售，标价为250元， ∴实际售价为元． ∵进价为150元， ∴每件利润为元． ∵每件利润不得低于50元， ∴． 2．（25-26七年级下·陕西延安·期末）端午节是中国四大传统节日之一．某公司计划购入A、B两款端午节礼盒共100件，且购入这两款礼盒的总费用不超过10400元，已知A、B两款礼盒的价格分别为80元/件和120元/件，若设该公司购入A款端午节礼盒件，则根据题意可列不等式为__________． 【答案】 【分析】先得到B款端午节礼盒的数量，再根据总费用不超过10400元的条件列不等式即可． 【详解】解：由题意得：该公司购入B款端午节礼盒件， 则可列不等式为． 3．为了奖励考试进步的同学，老师计划购买一些钢笔和圆规作为奖品，已知购买一个圆规需要5元，购买一支钢笔需要10元．若购买钢笔的数量比购买圆规的数量的一半还少1个，且购买奖品的总价不超过310元，则最多可以购买多少个圆规？ 【答案】最多可以购买32个圆规 【分析】设购买x个圆规，则购买支钢笔，根据“购买奖品的总价不超过310元”列不等式求解． 【详解】解：设购买x个圆规，则购买支钢笔， 由题意得：， 解得， x最大值为32． 答：最多可以购买32个圆规． 拓展 实际题型关键词与不等号精准对应对比 1. 实际应用题的核心易错点为关键词与不等号匹配错误，所有限定词汇对应关系整理如下，杜绝符号混用错用： 题干关键词 对应不等号 取值含义说明 小于、不足 ＜ 不包含临界数值，取值严格偏小 大于、超过、高出 ＞ 不包含临界数值，取值严格偏大 不大于、不超过、至多、最多 ≤ 包含临界最大值，可等于临界值 不小于、不低于、至少、最少 ≥ 包含临界最小值，可等于临界值 不相等 ≠ 两量数值完全不等 活学活用 1．（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）贵阳地铁某站点入口处设置了一条安全提示“携带物品长度不超过米”，如果设物品长度为，则能正确表示该提示的不等式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】理解“不超过”对应的不等关系． 【详解】解：∵“长度不超过米”表示物品长度小于或等于米， ∴． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）根据“x的3倍减去5不大于2”，可列不等式：________． 【答案】 【详解】解：x的3倍为，不大于为， ∴根据“x的3倍减去5不大于2”，可列不等式：． 3．某服装厂计划生产一种服装，每件成本是元，售价是元．该厂生产这种服装，每月除成本外的其他开支共为元．如果想使生产这种服装的月获利不低于元，那么每月至少要生产这种服装多少件？ 【答案】件 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设每月生产这种服装 件，根据单位利润乘以数量减去开支不低于元列不等式求解即可． 【详解】解：设每月生产这种服装 件，依题意得， ， ， ， ． 答：每月至少要生产 件． 拓展 实际应用高频易错点归纳 1. 符号混淆易错：极易混淆“至多、至少”与“大于、小于”，忘记带等号，导致取值范围偏小或偏大，答案出错。 2. 忽略实际检验易错：不等式求解出的是全体实数范围，但实际问题中人数、个数、长度等必须为正整数或正数，需舍去不符合实际的解。 3. 审题逻辑易错：习惯性按照方程思路找等量关系，忽略题干中的限制、最值类不等关键词，导致列式错误。 4. 作答不规范易错：直接书写解集，未结合实际题意转化为文字答案，不符合应用题答题要求。 活学活用 1．在一次数学竞赛中，共有20道选择题，答对一题得5分，答错一题扣3分，不答得0分．小红有2道题未答，设小红答对x道题． (1)用含x的式子表示小红的得分y； (2)若小红的得分不低于70分，求x的取值范围； (3)小红的得分能达到95分吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程与一元一次不等式的应用，熟练掌握根据实际问题列方程和不等式的方法是解题的关键． （1）先确定答错的题数，再根据得分规则列出得分的表达式． （2）根据得分不低于70分列出不等式，求解并结合实际意义确定的取值范围． （3）假设得分能达到95分，列出方程求解，根据需为整数判断是否能达到． 【详解】（1）解：总题数20，2道未答，答对道，答错道． ， ， ； （2）解：由，即， ， ， ， 因为为整数且， 所以； （3）解：假设能达到，， ， ， ， 因为不是整数， 所以不能达到． 2．某公司计划购买普通医用口罩和专业口罩捐赠给湖北，已知专业口罩的单价是普通医用口罩的单价的4倍，用1200元购买普通医用口罩可比购买专业口罩多600只． (1)请问普通医用口罩和专业口罩的单价各为多少？ (2)如果该公司计划购买普通医用口罩和专业口罩共5万只，总费用不超过12万元，通过计算说明最多可以购买专业口罩多少万只？ 【答案】(1)普通医用口罩的单价为元，专业口罩的单价为6元； (2)最多可以购买专业口罩1万只． 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设普通医用口罩的单价为x元，则专业口罩的单价为元，根据数量总价单价，结合用1200元购买普通医用口罩可比购买专业口罩多600只，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设可以购买专业口罩m万只，则购买普通医用口罩万只，根据总价单价数量，结合总价不超过12万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设普通医用口罩的单价为x元，则专业口罩的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：普通医用口罩的单价为元，专业口罩的单价为6元． （2）解：设可以购买专业口罩m万只，则购买普通医用口罩万只， 依题意得：， 解得：． 答：最多可以购买专业口罩1万只． 题型 行程问题 解题贴士 根据行程公式路程=速度×时间，抓取不等关键词（至少、至多、不超过、不少于），结合路程、速度、时间的限制关系列不等式，求解速度或时间的取值范围。 ▌例1．张老师和学生们一起步行去植树，他们步行的速度是．出发后，学校打电话通知张老师在内（含）返校开会，并让张老师在原地等候，学校立即派人骑摩托车去接他，那么摩托车的速度至少为多少才能保证张老师按时参加会议？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用．设摩托车的速度为才能保证张老师按时参加会议，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设摩托车的速度为才能保证张老师按时参加会议，根据题意得： ， 解得： ， 答：摩托车的速度至少为才能保证张老师按时参加会议． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点时他以的速度向终点冲刺，在他身后的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点？设李明冲刺的速度为，可列出不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设李明冲刺的速度为， ∵张华离终点，冲刺速度为， ∴张华到达终点的时间为 ∵李明在张华身后， ∴李明到终点的总路程为 ， 要使李明在张华之前到达终点，即在张华跑完全程的时间内，李明跑的路程要大于他到终点的总路程， 因此列出不等式为 ． ▌对点练1-2．甲、乙两车从相距210千米的A、B两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60千米/时，乙的行驶速度为30千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，原地检修用了30分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？ 【答案】乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米/时 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．设乙车比原来的行驶速度提高m千米/时，，利用路程=速度×时间，结合乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设乙车比原来的行驶速度提高m千米/时， 根据题意得：， 解得， 的最小值为15． 答：乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米/时． 题型 工程问题 解题贴士 1）公式：工作量=工作效率×工作时间； 2）根据“完工、不延期、超额完成、至少完成”等条件，列不等式求解。 ▌例1．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用3小时完成的任务量不小于列不等式即可． 【详解】解：由题意可得3小时完成的任务量不小于， 设剩余时间每小时平整， 如果工作3小时，则3小时总平整面积为， 可得不等式． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·山西晋中·期中）某学校八年级同学到劳动基地进行实践活动，第一天的任务是用100斤黄豆磨豆浆．由于操作不熟练，开始的半小时只磨完9斤黄豆，基地要求完成全部任务的时间不超4小时，若设在剩余时间内每小时需磨完斤黄豆，则可列一元一次不等式为______． 【答案】 【分析】设在剩余时间内每小时需磨完x斤黄豆，根据完成任务量大于或等于100列不等式求解即可． 【详解】解：设在剩余时间内每小时需磨完x斤黄豆， 依题意得：． ▌对点练1-2．某工程队计划招聘从事甲、乙两种工作的工人共150名．根据工程需要，从事乙工种的人数不少于从事甲工种人数的2倍，那么从事甲工种的工人最多可招聘多少名？ 【答案】 50名 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意找到各数量间的关系列出不等式是解题的关键．设甲工种人数为x，则乙工种人数为，根据乙工种人数不少于甲工种人数的2倍，列出不等式求解即可． 【详解】解：设从事甲工种的工人数为x名，则从事乙工种的工人数为名。 由题意，得，解得。 答：从事甲工种的工人最多可招聘50名． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）随着人工智能技术发展，智能分拣机器人已广泛应用于现代物流行业．某智能物流分拣机器人，单个机械手平均8秒分拣一件快递包裹，每台机器人搭载4个相同的机械手，若要在1小时内分拣的包裹数量不少于10000件，至少需要多少个这样的机器人同时工作？ 【答案】至少需要6个这样的机器人同时工作 【分析】设需要个这样的机器人同时工作，根据题意，得：，然后进行求解即可． 【详解】解：设需要个这样的机器人同时工作，根据题意，得： ， 解这个不等式，得； 为正整数． 最小取6； 答：至少需要6个这样的机器人同时工作． 题型 经济问题 解题贴士 根据“利润不低于、成本不超过、盈利、亏本”等条件列不等式求解。 ▌例1．（25-26八年级下·四川成都·期末）“芦溪河（天府新区段）”又名“鹿溪河”，是岷江的二级支流，锦江的一级支流，2026年成功入选四川省2025年度省级幸福河湖，成为全省河湖生态治理与公园城市建设深度融合的标杆样板．某社区组织“守护母亲河”志愿服务活动，计划用450元购买一批垃圾夹与捞网进行河道治理，其中垃圾夹每个15元，捞网每个20元．现已购买16个垃圾夹，最多还能购买多少个捞网？设还能购买捞网个，根据题意列式得（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示购买16个垃圾夹的费用和购买个捞网的费用，根据总费用不超过450元列不等式即可． 【详解】解： 设还能购买捞网个，根据题意得． ▌例2．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，已知购买一本甲种笔记本需10元，购买一本乙种笔记本需5元，该班购买甲、乙两种笔记本共35本，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少本甲种笔记本？ 【答案】25本 【分析】设出未知数，结合“费用不超过300元”建立不等式求解即可． 【详解】解：设购买本甲种笔记本，则购买本乙种笔记本， 由题意得：， 解得：， 答：至多购买25本甲种笔记本． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）小知和同学利用暑假勤工俭学，以每件元的价格购进了一批哪吒主题的卫衣，标价为每件元，为了尽快出售，小知准备打折销售，但要使利润率不低于，则至多可以打__________折． 【答案】八 【详解】解：设该卫衣打折销售， 依题意得， 解得， 即至多可以打八折． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·山西太原·期中）国内某知名车企研发的最新超快充充电技术，大幅提升充电效率，5分钟即可补能，9分钟能充至近满电．该技术兼顾极寒环境适应性与电池安全性，配合新一代刀片电池，实现高效、安全、耐用的综合优势，全面引领电动车快充新时代．为响应节能减排号召，某市出租车公司计划采购该车企的A、B两款搭载此项超快充技术的新能源电动汽车．已知每辆A款车进价18万元，每辆B款车进价10万元，公司拟用不超过1500万元的资金购进两款车共120辆，求最多可购买多少辆A款新能源电动汽车？ 【答案】37辆 【分析】设购买x辆A款新能源电动汽车，则购买辆B款新能源电动汽车，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设购买x辆A款新能源电动汽车，则购买辆B款新能源电动汽车，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大值取37， 答：最多可购买37辆A款新能源电动汽车． ▌对点练1-3．（2026·贵州遵义·一模）2025年12月为纪念仁怀撤县设市30周年，仁怀举办了大型无人机表演，科技走入了我们的生活．某校准备开设无人机驾驶实验课程，打算购买两种型号的无人机．已知型号无人机的单价比型号无人机单价多2000元，若购买3台型号无人机和2台型号无人机需要21000元． (1)求型号、型号无人机的单价分别是多少元； (2)若学校预计用不高于145000元的资金购买，两种型号的无人机共40台，则最多可以购买型号无人机多少台？ 【答案】(1)A型号无人机单价为5000元，B型号无人机单价为3000元； (2)最多可以购买A型号无人机12台． 【分析】（1）设型号无人机的单价为元，根据“购买3台型号无人机和2台型号无人机需要21000元”，列一元一次方程求解即可； （2）设购买型号无人机台，根据费用不高于145000元列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设型号无人机的单价为元，则型号无人机的单价为元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：A型号无人机单价为5000元，B型号无人机单价为3000元； （2）解：设购买型号无人机台，则购买型号无人机台， 由题意得：， 解得：， 是整数， 的最大取值为12， 答：最多可以购买A型号无人机12台． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·云南昭通·期末）2025年亚洲冬季运动会在哈尔滨举办，某文创商铺准备采购“滨滨”“妮妮”两款纪念玩偶．经核算，5个“滨滨”和4个“妮妮”的进货总价为1120元，4个“滨滨”和8个“妮妮”的进货总价为1280元． (1)求“滨滨”和“妮妮”两款玩偶的进货单价分别是多少元； (2)该商铺将“滨滨”售价定为200元/个，“妮妮”售价定为110元/个，计划两款玩偶共购进200个且全部售完．若总盈利不低于6500元，求至少需要购进“滨滨”多少个？ 【答案】(1)“滨滨”的进货单价为160元，“妮妮”的进货单价为80元 (2)若总盈利不低于6500元，至少需要购进“滨滨”50个 【分析】（1）设“滨滨”的进货单价为元，“妮妮”的进货单价为元，再由5个“滨滨”和4个“妮妮”的进货总价为1120元，4个“滨滨”和8个“妮妮”的进货总价为1280元列方程，再解方程即可； （2）设购进“滨滨”个，则购进“妮妮”个，由总获利不低于6500元，再列不等式，再解不等式即可． 【详解】（1）解：设“滨滨”的进货单价为元，“妮妮”的进货单价为元，根据题意，得 解得 答：“滨滨”的进货单价为160元，“妮妮”的进货单价为80元． （2）解：设购进“滨滨”个，则购进“妮妮”个， 根据题意，得， 解得， 答：若总盈利不低于6500元，至少需要购进“滨滨”50个． 题型 分配方案问题 解题贴士 1）设分配数量为未知数，根据物资总数、人数限制，列出不等式； 2）求出解集后，结合实际只能取正整数解，枚举所有可行分配方案。 ▌例1．（25-26八年级上·山东济南·期末）小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张5元．其中甲商店的优惠条件是：从第1张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买10张以上，从第11张开始按标价的七折销售．设小明购买贺卡的数量为张（为正整数），在甲商店购买的总费用为元，在乙商店购买的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式，以及当时与之间的函数关系式； (2)若小明购买的贺卡数量大于10张，选择哪一家商店更划算？ 【答案】(1)； (2)当时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以；当时，选择甲商店；当时，选择乙商店 【分析】本题考查了一次函数的应用： （1）根据甲乙商店的优惠条件，分别列出函数关系式； （2）通过比较和的大小，确定在不同购买数量下选择的情况． 【详解】（1）解：甲商店：； 乙商店：时，； （2）解：由，得， 解得； 由，得， 解得； 由，得， 解得． ， 当时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以； 当时，选择甲商店； 当时，选择乙商店． ▌例2．（25-26七年级下·河南濮阳·期末）小明每天上下学的往返路程共，上周他坐私家车和乘公交车两种方式上下学（每天只选择一种交通方式）．已知小明上周（5天）上下学搭乘的交通工具的碳排放量共，两种交通方式的碳排放数据如下： 交通工具 碳排放量/（） 私家车 0.27 公交车 0.20 (1)填空：小明每天坐私家车上下学的碳排放量是__________，每天乘公交车上下学的碳排放量是__________． (2)上周小明上下学坐私家车和乘公交车各多少天？ (3)本周起，小明决定践行绿色出行理念，不再坐私家车上下学，改为每天乘公交车或骑自行车（碳排放量为零）上下学．若小明本周上下学搭乘的交通工具的碳排放量不高于上周的，求他这周有哪几种出行方案？ 【答案】(1)2.7，2 (2)上周小明上下学坐私家车4天，乘公交车1天 (3)共有两种出行方案：①乘公交车0天，骑自行车5天；②乘公交车1天，骑自行车4天 【分析】（1）根据“碳排放量×距离”可得每天的碳排放量； （2）设上周小明上下学坐私家车为x天，乘公交车为y天．根据题意列二元一次方程组求解即可； （3）设本周小明乘公交车的天数为m天，则骑自行车上下学的天数为天，根据“小明本周上下学搭乘的交通工具的碳排放量不高于上周的”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：坐私家车碳排放量：； 坐公交车碳排放量：； （2）解：设上周小明上下学坐私家车为x天，乘公交车为y天．根据题意，得： ， 解得：， 答：上周小明上下学坐私家车4天，乘公交车1天； （3）解：设本周小明乘公交车的天数为m天，则骑自行车上下学的天数为天，根据题意，得： ， 解得， 为非负整数， 或1， 或4， 共有两种出行方案： ①乘公交车0天，骑自行车5天； ②乘公交车1天，骑自行车4天 ▌对点练1-1．（25-26七年级下·新疆和田·期末）为深入传承和弘扬和田悠久的历史文化，切实做好青少年传统文化研学实践教育工作，和田某中学组织本校学生前往和田约特干古城开展研学参观活动．为保障出行安全有序，学校计划统一租用甲、乙两种型号的客车负责接送学生．经调研测算，3辆甲型客车与2辆乙型客车一次性可运送195名学生；1辆甲型客车与1辆乙型客车一次性可运送75名学生． (1)求甲、乙两种型号客车每辆载客人数分别是多少？ (2)本次研学出行，学校计划总共租用甲、乙两种客车合计12辆，为保证所有参与研学的学生顺利出行，要求租用车辆一次性可承载的总人数不少于435人．则该学校至少需要租用甲型客车多少辆？ 【答案】(1)甲型号客车每辆载客人数为45名，乙型号客车每辆载客人数为30名 (2)5辆 【分析】（1）设甲型号客车每辆载客人数为人，乙型号客车每辆载客人数为人，根据题意列方程组解决即可； （2）设该学校租用甲型客车m辆，则租用乙型客车辆，列不等式解决即可； 【详解】（1）解：设甲型号客车每辆载客人数为人，乙型号客车每辆载客人数为人，由题意得： ， 解得， 答：甲型号客车每辆载客人数为45名，乙型号客车每辆载客人数为30名； （2）解：设该学校租用甲型客车m辆，则租用乙型客车辆． ， 解得， 答：该学校至少需要租用甲型客车5辆． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·海南·期末）某校七年级560名学生和12位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆．客运公司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示． 车型 A型 B型 载客量/人 40 50 租金/元 1000 1200 学校计划租用12辆客车，那么 (1)最多可以租用多少辆A型客车？ (2)共有几种租车方案？哪种方案租金最低？ 【答案】(1)最多可以租用2辆A型客车． (2)共有3种租车方案：方案一：租用12辆B型客车；方案二：租用1辆A型客车，11辆B型客车；方案三：租用2辆A型客车，10辆B型客车；租用2辆A型客车、10辆B型客车的租金最低 【分析】（1）设租用x辆A型客车，则租用辆B型客车，根据总载客量要不小于师生总人数建立不等式求解即可； （2）根据（1）所求可确定租用A型客车的数量为0辆或1辆或2辆，据此求出对应方案的租金，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设租用x辆A型客车，则租用辆B型客车， 由题意得，， 解得， ∵x为非负整数， ∴x的最大值为2， 答：最多可以租用2辆A型客车； （2）解：由（1）得租用A型客车的数量为0辆或1辆或2辆， 当租用0辆A型客车时，则租用12辆B型客车，此时的租金为元， 当租用1辆A型客车时，则租用11辆B型客车，此时的租金为元， 当租用2辆A型客车时，则租用10辆B型客车，此时的租金为元， ∵， ∴租用2辆A型客车，租用10辆B型客车的租金最低； 答：共有3种租车方案：方案一：租用12辆B型客车；方案二：租用1辆A型客车，11辆B型客车；方案三：租用2辆A型客车，10辆B型客车；租用2辆A型客车、10辆B型客车的租金最低． ▌对点练1-3．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）如何下单，最优惠？ 如何下单，最优惠？ 背景 随着餐饮消费模式的日益丰富，如何根据不同的优惠策略做出更经济的消费选择，成为一项具有现实意义的数学应用问题．在本次数学综合与实践课上，老师以“平台点餐优惠方案比较”为主题，引导同学们运用数学知识分析和解决如下实际问题： 某餐厅打算在M平台和e平台根据点餐金额采用不同的优惠策略： 在M平台实施方案如下表：    在e平台实施方案如下表： M平台一次性点餐金额 优惠举措 e平台一次性点餐金额 优惠举措 不超过60元 无优惠 不超过60元 无优惠 超过60元， 但不超过160元 减10元 超过60元， 但不超过160元 大于60元的部分，打八折 超过160元 减30元 超过160元 大于60元，但不大于160元的部分，打八折；大于160元的部分打六折 问题解决 问题1 小华点了超过60元，但不超过160元的午餐，发现在两个平台上优惠后的价格相同，那么小华点的午餐优惠前的价格是多少？ 问题2 若小华一次性点餐金额为200元，请你帮她选择在哪个平台点餐更优惠？并说明理由． 【答案】 问题1：小华点的午餐优惠前的价格是元； 问题2：解：在平台点餐更优惠，理由如下： 点餐金额为元，， 在平台优惠后的价格为（元）， 在平台优惠后的价格为（元）， ∵， ∴在平台点餐更优惠． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用． （1）设小华点的午餐优惠前的价格为元，根据题意列方程求解即可； （2）分别计算在两个平台优惠后的价格，比较大小，即可求解． 【详解】问题1： 解：设小华点的午餐优惠前的价格为元， 根据题意得，． 解得． ∴小华点的午餐优惠前的价格是元． 问题2：略 题型 比赛积分问题 解题贴士 根据胜负平对应积分规则，用未知数表示胜、负、平场次，结合总场次、总积分限制（积分不少于、晋级分数线）列不等式求解。 ▌例1．（25-26七年级下·湖南娄底·期末）某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共道题，选对得分，不选或选错扣分．若得分不低于可得奖，设要得奖至少应选对道题，则根据题意可列不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】读懂题意，找准不等关系，明确得分和扣分的计算规则，得分不低于60即总得分大于等于60． 【详解】解：∵设要得奖至少应选对道题，总题数为25道， ∴不选或选错的题数为道， 选对道的总得分是，不选或选错总共扣分， 题目要求得分不低于60分，即总得分满足， ∴根据题意可列不等式为． ▌例2．（2026·江苏泰州·一模）甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 【答案】(1)不能，理由 设甲队胜了场， ∵甲队负了场， ∴平的场次为场， ∵胜一场得分，平一场得分，负一场得分， ∴， 解得：， ∵为非负整数， ∴甲队的得分不能为分． (2)场 【分析】（1）设甲胜场，则平场，根据得分列方程求出，根据为非负整数，即可得出答案； （2）设乙胜了场，根据乙队保持不败，得分超过分，列不等式，求出，即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：设乙胜了场， ∵乙队保持不败， ∴平的场次为场， ∴， 解得：． ∴至少胜5场． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在一场篮球比赛中，某队罚球得分10分，投进2分球和3分球共48个，如果这支球队在本场比赛中总得分超过110分，则他们至少投进________个3分球． 【答案】 【分析】设投进个3分球，则投进2分球的个数为，然后根据题意列不等式求解，并取最小整数值即可解答． 【详解】解：设投进个3分球，则投进个2分球， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为， 即他们至少投进个3分球． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ 【答案】(1)温州队的积分为14分 (2)温州队要获得小组第一，至少还要胜10场 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和一元一次不等式应用，根据表格中的数据求出胜负平的得分，读懂题意正确列出方程和不等式是解题关键． （1）设胜1场加分，负1场加分，根据题意列方程即可解答； （2）设胜场，负场，根据题意列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设胜1场加分，负1场加分 由题，得 解得， 所以（分） 答：温州队的积分为14分． （2）解：由题，得温州队一共要进行场比赛 设胜场，负场 由题，得 解得， ， 答：温州队要获得小组第一，至少还要胜10场． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·福建福州·期末）学校举办数学知识竞赛，共25道题，每题都给出3个答案，只有一个答案正确，每题选对得4分，不选或错选倒扣2分，初赛不低于70分就能进入复赛，那么进入复赛的选手至少对了多少道题？ 【答案】进入复赛的选手至少对了20道题 【分析】设答对题数为未知数，根据得分规则和复赛分数要求列一元一次不等式，求解最小正整数解． 【详解】解：设进入复赛的选手答对了x道题，不选或错选道题， 根据题意可知：， 解得：， ∵x为非负整数，且， ∴满足条件的x的最小值为20， 答：进入复赛的选手至少对了20道题． 题型 阶梯收费问题 解题贴士 1）分段梳理收费标准，先判断用量所在区间，分段计算总费用； 2）根据总费用的上限、下限列不等式，反求用量的取值范围。 ▌例1．（25-26七年级下·重庆云阳·期末）为提倡节约用电，某市居民阶梯电价采用二档分档递增模式，具体标准如下：每户每月用电量不超过度时，按第一档单价收费；超过度时，超过的部分按第二档单价计费．年月张华家用电度，缴费元；李明家用电度，缴费元． (1)该市规定的第一档电费单价和第二档电费单价分别为多少元/度？ (2)刘生家月份家庭支出计划中电费不超过元，他家最大用电量为多少度？ 【答案】(1)该市规定的第一档电费单价为元/度，第二档电费单价为元/度 (2)度 【分析】（1）设该市规定的第一档电费的单价是元，第二档电费的单价是元，根据“年月张华家用电度，缴费元；李明家用电度，缴费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设刘生家月份的用电量为度，根据“刘生家月份家庭支出计划中电费不超过元”列出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设该市规定的第一档电费的单价是元，第二档电费的单价是元， 依题意，得：， 解得：， 答：该市规定的第一档电费单价为元/度，第二档电费单价为元/度； （2）解：设刘生家月份的用电量为度， ∵， 依题意，得：， 解得：， ∴他家最大用电量为度． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）某市自来水公司实行阶梯式收费，收费标准如表所示： 月用水量 收费标准/元 ？ 9月份小华家缴纳水费元，小莉家缴纳水费元，并且小华家的用水量恰好是小莉家的． (1)若小明家9月份用水量是（），则小明家9月份需要缴纳的水费为________元（用含的代数式表示）；若小明家9月缴纳的水费不超过元，求小明家9月用水量最多是多少？ (2)求月用水量大于时的收费标准． 【答案】(1) ；小明家月用水量最多是 (2) 月用水量大于时的收费标准是元 【分析】（1）根据阶梯收费规则，分两段计算水费化简得到代数式，再根据水费限制判断用水量所在区间，列一元一次不等式求解最大用水量； （2）先根据已有的阶梯水费计算结果，判断小华家和小莉家用水量都超过，再设超过后的单价和小莉家用水量，根据两家水费和用水量的关系列方程组求解单价． 【详解】（1）解：当时， 前的水费为（元），超过部分的水费为元． 总水费为元； 若小明家月缴纳水费不超过元， 当时总水费为（元）， ∵， ∴小明家用水量满足． 列不等式得． 解得． 答：小明家月用水量最多是． （2）解：∵的水费为元，小华家缴纳水费元元，且小华家用水量是小莉家的， ∴两家用水量都超过． 设月用水量大于时的收费标准为元，小莉家用水量为，则小华家用水量为， 根据题意列方程组：， 化简得：， 两式相减得， 即． 将代入， 得． 解得． 答：月用水量大于时的收费标准是元． ▌对点练1-2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为了鼓励居民节约用水，某城市实行阶梯水价制度，规定每月用水量在一定范围内按基础价格收费，超出部分则提高价格收费．已知该城市居民用水基础价格为每吨2.5元，超出部分每吨价格为4元，小亮家上个月用水12吨，共缴纳水费33元． (1)求该城市规定的基础用水量是多少吨？ (2)若小亮家本月水费预算不超过46元，那么他家这个月最多能用多少吨水？ 【答案】(1)该城市规定的基础用水量是吨 (2)他家这个月最多能用吨水 【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，根据题意找准等量关系正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设该城市规定的基础用水量是吨，列方程得，解方程即可得到答案； （2）设他家这个月最多能用吨水，列不等式得，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， 小亮家上个月用水量超过了基础用水量， 设该城市规定的基础用水量是吨， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：该城市规定的基础用水量是吨； （2）解：设他家这个月最多能用吨水， 根据题意得：， 解得：， 他家这个月最多能用吨水． 题型 其他问题 解题贴士 提取题干数量限制关键词，将实际约束转化为不等关系，设未知数列不等式求解，最终结果根据实际场景取整数、正数。 ▌例1．（25-26八年级下·河北保定·期末）嘉嘉制作了一份某市的（城市漫步）打卡地图，地图上的打卡点分为口袋公园和潮流街区两类，这两类加起来共13个打卡点．其中，口袋公园打卡点的数量不少于潮流街区打卡点数量的2倍．若设此城市潮流街区打卡点的数量为x个，则可得不等式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据总打卡点数量表示出口袋公园打卡点的数量，再根据题目给出的不等关系列出不等式即可． 【详解】解：∵设潮流街区打卡点数量为个，两类打卡点共13个， ∴口袋公园打卡点的数量为个， 又∵口袋公园打卡点的数量不少于潮流街区打卡点数量的倍， ∴可得不等式． ▌例2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【答案】平行于墙的一边长为，且． 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案． 【详解】解：平行于墙的一边长为，且， 解得， 所以平行于墙的一边长为，且． ▌对点练1-1．把5个体积为的立方体铅块熔化后，最多能制成多少个体积为的立方体铅块？设能制成个的立方体铅块，则根据题意可列不等式为________． 【答案】（答案形式不唯一） 【分析】根据熔化前后铅的总体积关系，制成的所有小铅块的总体积不超过原来铅块的总体积，据此列出不等式即可． 【详解】解：原来个立方体铅块的总体积为． 个体积为的立方体铅块总体积为． 熔化后铅的总体积不变，制成铅块的总体积不能超过原有铅块的总体积，因此可得不等式． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本? 【答案】数学书最多还可以摆85本 【分析】本题主要考查一元一次不等式的运用，理解题意，设数学书最多还可以摆x本，由此列式求解即可． 【详解】解：设数学书最多还可以摆x本， ， 解得，， ∴数学书最多还可以摆85本． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·广东广州·期末）项目主题：低碳出行，从我做起． 背景：为响应国家“碳达峰、碳中和”号召，小华全年出行的碳排放限额100千克．某月他因出差乘坐飞机，共产生600千克碳排放量，为了补偿超额部分，他决定改掉每天自驾私家车的通勤习惯，尽可能改用其他绿色的出行方式，最大限度降低通勤碳排放量． 信息一 碳排放数据（单位：千克/辆·千米） 交通工具 自行车 地铁 公交车 私家车 碳排放量 0 0.03 0.04 0.15 信息二 小华一年上班240天，每天上下班总距离20千米． 根据以上信息，探索完成以下任务： (1)任务一：接下来的30个工作日，小华先骑共享单车上下班7天，其余时间自驾私家车或乘坐公交车，经计算这30天的总碳排放量比原来每天自驾私家车通勤的总碳排放量减少了54千克．求这30天他自驾私家车和乘坐公交车的天数分别是多少？ (2)任务二：完成上述30天的计划后，小华计划在剩下的210个工作日中，每天坐地铁或骑共享单车，使全年工作日（共240天）的碳排放量不超过100千克，则他在剩下的210个工作日中至少需要骑共享单车多少天？ 【答案】(1)这30天他自驾私家车8天，乘坐公交车15天 (2)他在剩下的210个工作日中至少需要骑共享单车104天 【分析】（1）设他自驾私家车天，乘坐公交车天，由题意得，进而求解即可； （2）设他在剩下的210个工作日需要骑共享单车天，则坐地铁（）天，由题意得：，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设他自驾私家车天，乘坐公交车天，由题意得： ， 解得． 答：这30天他自驾私家车8天，乘坐公交车15天． （2）解：设他在剩下的210个工作日需要骑共享单车天，则坐地铁（）天， 由题意得：． 解得． 取整数， ． 答：至少需要骑共享单车104天． 基础通关 1．（25-26七年级下·广西桂林·期末）某校组织研学活动，将租赁A型客车和B型客车共12辆．已知每辆A型客车可乘坐45人，每辆B型客车可乘坐35人，且要求总载客量不超过480人．设租赁A型客车x辆，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题思路是先根据总车辆数表示出B型客车的数量，再根据总载客量的限制条件列出不等式即可. 【详解】解：∵ 租赁A型客车辆，则 租赁B型客车辆， ∵ 每辆A型客车可乘坐人，每辆B型客车可乘坐人， ∴ 总载客量为人， 又∵ 要求总载客量不超过人， ∴ 列出不等式为 ． 2．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得5分，答错或不答都扣3分．小明得分要超过70分，他至少要答对多少道题？设小明答对了道题，则根据题意可列不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设小明答对了道题，则答错或不答的题数为道， 根据题意得，． 3．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）谷雨，春雨渐多，气温回升，寒潮褪去，空气湿润，降雨频繁，正是雨生百谷的时节．今年谷雨这一天上海市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温 满足的不等关系为______ ． 【答案】 【分析】直接根据题意表示出t的取值范围即可． 【详解】解：由题意可得，当天我市气温 满足的不等关系为： 4．（25-26八年级下·广东深圳·期中）美国“阿尔忒弥斯2号”载人绕月飞行任务中，飞船需要从地球出发，绕月球飞行后返回地球．已知地球到月球的平均距离约为，飞船在月球轨道附近执行任务（停留）约48小时．整个任务的总时间（包括飞行和停留）要求不超过168小时．设飞船往返的平均速度为，则应满足的不等式是______． 【答案】 【分析】先确定往返的路程为，往返的时间为小时，停留48小时，根据总时间不超过168小时列不等式即可． 【详解】解：根据时间得：． 5．（25-26七年级下·福建泉州·期中）“一方有难，八方支援”，一辆货车向灾区运送物资，共有166千米的路程，需要不超过2小时送到，前80分钟已经走了120千米，后40分钟的速度至少为多少才能不延误时间？ 【答案】后40分钟的速度至少为才能不耽误时间 【分析】先算出剩余路程和剩余时间，再设后40分钟的速度为，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，总路程为：，总时间上限：，已行驶路程：，已用时间：， ∴剩余路程： ； 剩余时间： ， 设后40分钟的速度为， ∴ 解得， ∴后40分钟的速度至少为才能不耽误时间． 6．（25-26七年级下·河南南阳·期中）2026年2月，教育部召开深入落实“健康第一”工作部署会，强调将“健康第一”的教育理念转化为刚性制度，同步印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求落实中小学生每天综合体育活动不低于2小时的要求．某中学积极响应号召，利用课后服务时间在七年级开展班级篮球赛，共16个班级参与，以此激励学生增强体质、热爱运动． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班在15场比赛中获得的总积分为39分，求该班胜了多少场； (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线上及3分线内投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个3分球． 【答案】(1)胜12场 (2)4个 【分析】（1）设该班胜x场，则负y场，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设该班这场比赛中投中3分球个，2分球个，根据题意列出不等式，解不等式，求得最小整数解，即可． 【详解】（1）解：设该班胜x场，则负y场， 由题意得． 解得 答：该班胜12场 （2）解：设该班这场比赛中投中3分球个，2分球个 由题意得 解得 的最小值是4． 答：该班这场比赛中至少投中4个3分球 7．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在“一带一路”农业技术合作项目中，某国引进中国的甲、乙两种新型沼气池技术．已知甲种技术处理20吨农业有机垃圾所用的时间与乙种技术处理25吨农业有机垃圾所用的时间相同，且甲种技术每小时比乙种技术少处理2吨农业有机垃圾． (1)求甲、乙两种技术每小时各处理多少吨农业有机垃圾； (2)该国计划新建甲、乙两种技术沼气池共12个，要求1小时内完成不低于100吨的农业有机垃圾处理任务，且甲种技术沼气池的数量不超过乙种技术沼气池数量的2倍，那么新建乙种技术沼气池至少多少个？ 【答案】(1)甲种技术每小时处理8吨，乙种技术每小时处理10吨 (2)新建乙种技术沼气池至少4个 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设甲种技术每小时处理吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理吨农业有机垃圾，根据等量关系列分式方程解答即可； （2）设新建甲种技术沼气池共个，则新建乙种技术沼气池共个，根据不等式关系列出一元一次不等式解答即可． 【详解】（1）解：设甲种技术每小时处理吨农业有机垃圾，乙种技术每小时处理吨农业有机垃圾，则， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：甲种技术每小时处理8吨，乙种技术每小时处理10吨． （2）设新建乙种技术沼气池共个，则新建甲种技术沼气池共个， ，． ，． 综上可知，． 答：新建乙种技术沼气池至少4个． 8．松南学校在“指南针”课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织3个大号中国结和4个小号中国结需用绳24米；若编织1个大号中国结和5个小号中国结需用绳19米． (1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； (2)松南中学决定编织以上两种中国结共150个用以庆祝十一国庆节，这两种中国结所用绳长不超过550米，那么该中学最多编织多少个大号中国结? 【答案】(1)编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米 (2)该中学最多编织100个大号中国结 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （2）设该中学编织个大号中国结，则编织个小号中国结，根据题意列出不等式，求出的最大值即可解答． 【详解】（1）解：设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米， 由题意得，， 解得， 答：编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米； （2）解：设该中学编织个大号中国结，则编织个小号中国结， 由题意得，， 解得， ∴的最大值为100， 答：该中学最多编织100个大号中国结． 9．（25-26七年级下·广东惠州·期末）惠东县全力推进乡村振兴，全县两百多个行政村集体收入连续两年超过十万元．幸福村今年计划采购一批荔枝苗和龙眼苗，用于扩大种植规模．已知购买2棵荔枝苗和3棵龙眼苗需要85元，购买3棵荔枝苗和2棵龙眼苗需要90元． (1)求每棵荔枝苗和每棵龙眼苗的价格； (2)该村计划购买两种树苗共100棵，且总费用不超过1700元，那么最多可以购买荔枝苗多少棵？ 【答案】(1) 每棵荔枝苗20元，每棵龙眼苗15元 (2) 最多可以购买荔枝苗40棵 【分析】（1）设两种树苗的单价为未知数，根据题干给出的两种购买总费用条件列出二元一次方程组，求解得到单价； （2）设荔枝苗的购买数量，根据总费用不超过1700元的限制列出一元一次不等式，求解得到最大购买数量． 【详解】（1）解：设每棵荔枝苗的价格为元，每棵龙眼苗的价格为元 根据题意可得 解得 答：每棵荔枝苗20元，每棵龙眼苗15元； （2）解：设购买荔枝苗棵，则购买龙眼苗棵 根据题意可得 解得 答：最多可以购买荔枝苗40棵． 10．（25-26七年级下·四川资阳·期末）炎热的夏天里，人们喜欢去游泳馆游泳。某游泳馆销售A、B两种型号的泳衣，进价分别为70元、50元，如下表是近两天的销售情况： 销售量/件 销售收入/元 A型泳衣 B型泳衣 第一天 3 4 600 第二天 6 5 975 (1)求A，B两种型号泳衣的销售单价； (2)若购进A，B两种型号的泳衣共50件，且总进价不超过2900元． ①最多可以购进A型号泳衣多少件？ ②为使这50件泳衣完全销售后的总利润超过1340元，应如何进货？请给出相应的进货方案． 【答案】(1)型泳衣销售单价为100元，型泳衣销售单价为75元 (2)①最多可以购进型泳衣20件； ②购进方案为：方案一，购进型泳衣19件，型泳衣31件；方案二，购进型泳衣20件，型泳衣30件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的求解： （1）设型泳衣销售单价为元，型泳衣销售单价为元，根据“单价数量总价”来列方程组求解； （2）设购进型泳衣件，则购进型泳衣件：①根据题意列不等式求解；②根据题意列不等式，再结合①，求解出型泳衣可能的数量，再分别计算出不同数量下的型泳衣的数量即可； 【详解】（1）解：设型泳衣销售单价为元，型泳衣销售单价为元， 由题意得， ，     解得：；     答：型泳衣销售单价为100元，型泳衣销售单价为75元； （2）解：设购进型泳衣件，则购进型泳衣件， ①由题意得： ，     解得：；     答：最多可以购进型泳衣20件； ②由题意得： ， 解得：， ∴，     ∵为整数， ∴的值为，     ∴或； 答：购进方案为：方案一：购进型泳衣19件，型泳衣31件； 方案二：购进型泳衣20件，型泳衣30件． 素养提升 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）某饮品店果汁的价格如下表所示： 杯型 容量（毫升/杯） 价格（元/杯） 小杯 350 8 大杯 500 10 (1)某天该店果汁的总销量为57升，收入为1200元，求这天该店小杯果汁、大杯果汁各卖了多少杯？ (2)若某天该店小杯果汁、大杯果汁一共卖了150杯，且总收入不低于1375元．那么小杯果汁最多卖多少杯？ 【答案】(1)这天该店小杯果汁卖了杯，大杯果汁卖了杯； (2)小杯果汁最多卖杯． 【分析】（1）这天该店小杯果汁卖了杯，大杯果汁卖了杯，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设小杯果汁卖了杯，则大杯果汁卖了杯，根据题意列出一元一次不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：这天该店小杯果汁卖了杯，大杯果汁卖了杯， 根据题意得， 解得， 答：这天该店小杯果汁卖了杯，大杯果汁卖了杯； （2）解：设小杯果汁卖了杯，则大杯果汁卖了杯， 根据题意得， 解得， 因为是正整数， 所以最大取62， 答：小杯果汁最多卖杯． 2．（25-26七年级下·河南周口·期末）文房四宝是中华传统文化瑰宝，承载千年东方美学．某文具店销售A，B两种规格的文房四宝礼盒，A，B两种礼盒每套的进价分别为50元、55元，下表是近两个月礼盒的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种礼盒 B种礼盒 第一个月 3套 5套 610元 第二个月 4套 10套 1080元 (1)求A，B两种规格的文房四宝礼盒每套的售价． (2)若该文具店准备用不多于2080元的金额再采购A，B两种文房四宝礼盒共40套，求B种文房四宝礼盒最多能采购多少套． (3)在（2）的条件下，商店销售完这40套文房四宝礼盒能否实现利润为900元的目标？请说明理由． 【答案】(1)每套A种文房四宝礼盒的售价为70元，每套B种文房四宝礼盒的售价为80元 (2)B种文房四宝礼盒最多能采购16套 (3)商店销售完这40套文房四宝礼盒不能实现利润为900元的目标． 理由：假设能实现，根据题意，得， 解得． ， 不符合题意， ∴假设不成立，即在（2）的条件下，商店销售完这40套文房四宝礼盒不能实现利润为900元的目标． 【分析】（1）设每套种礼盒售价为元，每套种礼盒售价为元．根据“3套和5套共610元”和“4套和10套共1080元”列二元一次方程组，解方程即可． （2）设采购种礼盒套，则种礼盒为 套．根据题意“总成本不超过 2080 元”列不等式求解即可． （3）根据“利润元”列方程，解得．由（2）知，不符合题意，故不能实现目标． 【详解】（1）解：设每套A种文房四宝礼盒的售价为元，每套B种文房四宝礼盒的售价为元． 根据题意，得，解得． 答：每套A种文房四宝礼盒的售价为70元，每套B种文房四宝礼盒的售价为80元． （2）设采购B种文房四宝礼盒套，则采购A种文房四宝礼盒套． 根据题意，得，解得， 种文房四宝礼盒最多能采购16套． （3）略． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）为了发扬中华传统，体验民俗之美，学校举办“书香茶叙”品茗活动，准备去工艺品店购买“手工茶杯”和“花砖杯垫”两种民俗手工艺品． 第一天无促销活动： 购买个手工茶杯和个花砖杯垫共需元；购买个手工茶杯所需的钱数和购买个花砖杯垫所需的钱数相同． 第二天开展促销活动： 活动一：“清仓打折”：手工茶杯打八折，花砖杯垫打四折； 活动二：“买一送一”：购买一个手工茶杯送一个花砖杯垫． (1)该店在第一天无促销活动时，手工茶杯和花砖杯垫的销售单价各是多少元？ (2)第二天开展促销活动后，学校决定购买手工茶杯、花砖杯垫共个，其中手工茶杯不超过个．购买手工茶杯的数量在什么范围内时，活动二更实惠． 【答案】(1)手工茶杯的销售单价为元，花砖杯垫的销售单价为元 (2)当购买手工茶杯的数量大于个且小于等于个时，活动二更实惠 【分析】（1）设手工茶杯的销售单价为元，花砖杯垫的销售单价为元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购买手工茶杯个，则购买花砖杯垫个，根据题意分别表示出活动一、二的费用再列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设手工茶杯的销售单价为元，花砖杯垫的销售单价为元， 依题意列二元一次方程组得， 解得； 答：手工茶杯的销售单价为元，花砖杯垫的销售单价为元； （2）解：设购买手工茶杯个，则购买花砖杯垫个， 活动一的费用为：元， 活动二的费用为：元， 当时， 解得， 又， ， 答：当购买手工茶杯的数量大于个且小于等于个时，活动二更实惠． 4．（25-26七年级下·江苏南京·期末）某社区响应全民健身号召，积极改造居民健身场地，采购健身器材，已知每辆健身动感单车800元，每台音乐智慧跳绳机80元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案如下： 甲厂家 买一辆健身动感单车送三台音乐智慧跳绳机 乙厂家 健身动感单车和音乐智慧跳绳机全部按原价8折优惠 该社区现要购买3辆健身动感单车和若干台音乐智慧跳绳机，若购买的音乐智慧跳绳机为台（），经计算发现在甲厂家购买比在乙厂家购买花费少，则要购买的音乐智慧跳绳机最多几台？最少几台？ 【答案】 要购买的音乐智慧跳绳机最少9台，最多14台. 【分析】根据题意列出不等式，求出解集即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得． ∵， ∴， 所以在甲厂家购买比在乙厂家购买花费少，则要购买的音乐智慧跳绳机最多14台，最少9台． 5．（25-26七年级下·广东惠州·期末）根据以下素材，探究并完成任务． 背景 目前，无人机外卖已在深圳、北京、上海、广州、香港实现常态化运营，其中深圳覆盖范围最广． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动： ①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 问题解决 (1)任务1：该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元？ (2)任务2：某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买件（），①若使用无人机配送商品，则共需要 元；②若不使用无人机配送商品，则共需要 元．（结果用含的代数式表示，要求化简） (3)任务3：请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买A商品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？ 【答案】(1)该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元 (2)， (3)当时，使用无人机配送商品更合算 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）先确定购买B商品的数量为件，再根据两种促销方案的折扣规则，结合任务1求得的单价，分别计算使用无人机配送和不使用无人机配送时的总费用，用含a的代数式表示； （3）根据使用无人机配送更合算，建立一元一次不等式，求解不等式并结合a的范围，确定购买A商品数量的范围． 【详解】（1）解：设该商店在无促销活动时，商品的销售单价是元，商品的销售单价是元， 由题意得，， 解得：． 答：该商店在无促销活动时，商品的销售单价是160元，商品的销售单价是200元． （2）解：由题意得，A商品购买件，B商品购买件， ①若使用无人机配送商品，共需要（元）； ②若不使用无人机配送商品，共需要（元）． （3）解：由题意得：， 解得：， ， ． 答：当时，使用无人机配送商品更合算． 6．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果今年8月份小王家计划水费不超过80元，则小王家这个月用水最多为多少吨？ 【答案】(1) (2)小王家这个月用水最多为吨 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，理解题意正确列出方程和不等式是关键． （1）当用水15吨时，水费为元，根据水费为，则列式可求得a的值；当用水26吨时，由所求a的值，可计算出基本水费与超过部分水费，等于元减去污水处理费，由此列式计算求得b的值； （2）设小王家这个月用水为吨，根据（1）所求a与b的值，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：当用水15吨时，水费为元，则， 则（元）； 当用水26吨时，17吨水的费用为（元），（元）， 所以， 得：； （2）解：设小王家这个月用水为吨， ，则， 根据题意： ， 答：小王家这个月用水最多为吨． 迁移创新 1．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展．某企业计划采购一批推理加速卡和服务器内存条．已知采购5个推理加速卡和2个服务器内存条共需7.6万元；采购2个推理加速卡和3个服务器内存条共需4.8万元． (1)每个推理加速卡和每个服务器内存条的价格分别是多少万元？ (2)若该企业计划用不超过19万元的费用购买推理加速卡和服务器内存条共20个，最多可以买多少个推理加速卡？（两种商品只可以买整数个） 【答案】(1)每个推理加速卡的价格为1.2万元，每个服务器内存条的价格为0.8万元 (2)最多可以买7个推理加速卡 【分析】（1）设每个推理加速卡的价格为万元，每个服务器内存条的价格为万元，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设可以购买个推理加速卡，则可以购买个服务器内存条，根据题意列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：设每个推理加速卡的价格为万元，每个服务器内存条的价格为万元， 由题意得， 解得， 故每个推理加速卡的价格为1.2万元，每个服务器内存条的价格为0.8万元； （2）解：设可以购买个推理加速卡，则可以购买个服务器内存条， 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴最多可以买个推理加速卡． 2．（25-26八年级下·四川成都·期末）2026年是中国航天事业创建70周年，4月24日，第11个“中国航天日”以“七秩问天路，携手探九霄”为主题在四川成都盛大启幕．某校拟购进一批航天模型，若购买1个A类模型和2个B类模型共需500元，购买2个A类模型和3个B类模型共需800元． (1)求A，B两类模型每个进价分别是多少元？ (2)现计划购进A类模型数量比B类模型数量的2倍还多10个，且预算不超过10000元，则最多可购进B类模型多少个？ 【答案】(1) A类模型每个进价100元，B类模型每个进价200元. (2) 最多可购进B类模型22个. 【分析】（1）设类模型的进价是元，类模型的进价是元，根据题意建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）设购买类模型个，则购买类模型个，根据“预算不超过10000元”建立不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设类模型的进价是元，类模型的进价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：类模型的进价是元，类模型的进价是元； （2）解：设购买类模型个，则购买类模型个， 根据题意得：， 解得， ∴最大整数的值为， 答：最多可购进B类模型22个. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $