1.3 证明 同步讲义 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

1.3 证明 内 容 导 航 题型1 三角形的外角性质 题型2 推理与论证 考 点 演 练 题型1 三角形的外角性质 解｜题｜知｜识 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【典例1】如图①是路边一路灯的实物图，图②为其平面示意图，已知∠NBC＝140°，∠ACB＝30°，则∠CAB的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 【变式1】将两个含30°和45°的直角三角板如图放置，则∠α的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【变式2】如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（　　） A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β 【变式3】如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，则∠3的度数为（　　） A．34° B．35° C．69° D．104° 题型2 推理与论证 解｜题｜知｜识 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式． 【典例1】A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A 【变式1】甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗． 甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．” 乙说：“一定是丁打碎的．” 丙说：“我没有打碎玻璃窗．” 丁说：“我没有干这件事．” 若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 过 关 验 收 1．一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　） A．80° B．95° C．100° D．110° 2．若△ABC有一个外角是钝角，则△ABC一定是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 3．将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝63°，则∠EDB的度数为（　　） A．12° B．15° C．18° D．22° 4．若一个三角形的两个外角分别是135°、125°，则这个三角形的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定形状 5．如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变．为了舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD＝130°，则图中∠E应（　　） A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20° 6．如图是A，B两片木片放在地面上的情形，若∠3＝100°，则∠2﹣∠1等于（　　） A．55° B．80° C．90° D．100° 7．已知三角形三个内角的比为1：3：5，则这个三角形三个外角的比为（　　） A．1：3：4 B．4：3：2 C．7：6：5 D．5：3：1 8．如图，已知D为BC上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝70°，则∠2的度数为（　　） A．37° B．70° C．74° D．84° 9．如图，已知AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数是（　　） A．63° B．83° C．73° D．53° 10．如图，△ABC中，∠C＝80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　） A．360° B．260° C．180° D．140° 11．一副三角板如图放置，若∠1＝90°，则∠2的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．90° 12．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠ACD＝105°，则∠A等于　 　 度． 13．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为 　 　 度． 14．如图，一面小红旗，其中∠A＝60°，∠B＝30°，则∠BCD＝　 　 ． 15．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝　 　 ． 16．△ABC中，∠B＝45°，∠C＝72°，那么与∠A相邻的一个外角等于　 　 °． 17．△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角度数之比为3：5：7，则△ABC是　 　 三角形． 18．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 　 　 ． 19．已知△ABC三个内角的度数之比为1：2：3，则它的三个外角的度数之比是　 　 ． 20．如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C．若∠A＝60°时，点D在△ABC内，则∠ABD+∠ACD的值是　 　 ． 21．一把直尺和一块三角尺如图所示放置，若图中∠2＝131°，则∠1＝　 　 ． 22．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，若∠ABO+∠ACO＝65°，则∠E＝　 　 ． 23．三角形的外角和的度数是　 　 ． 24．一个三角形的三个外角之比为5：4：3，则这个三角形内角中最大的角是　 　 度． 25．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数． 26．已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2． 27．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE，CD相交于点O． （1）若∠A＝50°，∠BOD＝70°，∠C＝25°，求∠B的度数； （2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你的猜想． 28．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D． （1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数； （2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由． 29．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°． 证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角． ∴　 　 ． ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3）， ∵　 　 ． ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360° 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 证明 内 容 导 航 题型1 三角形的外角性质 题型2 推理与论证 考 点 演 练 题型1 三角形的外角性质 解｜题｜知｜识 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【典例1】如图①是路边一路灯的实物图，图②为其平面示意图，已知∠NBC＝140°，∠ACB＝30°，则∠CAB的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 【答案】C 【解答】解：∵∠NBC是△ABC的外角， ∴∠NBC＝∠CAB+∠ACB， ∴∠CAB＝∠NBC﹣∠ACB＝140°﹣30°＝110°． 故选：C． 【变式1】将两个含30°和45°的直角三角板如图放置，则∠α的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【解答】解：由三角形的外角性质得，∠α＝60°﹣45°＝15°． 故选：B． 【变式2】如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（　　） A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β 【答案】A 【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'， ∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'， ∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ， ∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β， 故选：A． 【变式3】如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，则∠3的度数为（　　） A．34° B．35° C．69° D．104° 【答案】A 【解答】解：∵∠2＝∠1+∠3，∠1＝35°，∠2＝69°， ∴69°＝35°+∠3， ∴∠3＝34°， 故选：A． 题型2 推理与论证 解｜题｜知｜识 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式． 【典例1】A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A 【答案】C 【解答】解：若A进入前三强，那么进入前三强的有A、B、C、D、E共5人，显然不合题意， 同理，当B进入前三强时，也不合题意，所以应从C开始进入前三强．即进入前三强的是C，D，E． 故选：C． 【变式1】甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗． 甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．” 乙说：“一定是丁打碎的．” 丙说：“我没有打碎玻璃窗．” 丁说：“我没有干这件事．” 若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解答】解：假设是甲打碎玻璃窗，则甲、乙2人说了谎，与已知不相符，故选项A不合题意； 假设是乙打碎玻璃窗，则甲、乙2人说了谎，与已知不相符，故选项B不合题意； 假设是丙打碎玻璃窗，则乙、丙2人说了谎，与已知不相符，故选项C不合题意； 假设是丁打碎玻璃窗，则丙1人说了谎，与已知相符，故选项D符合题意； 故选：D. 过 关 验 收 1．一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　） A．80° B．95° C．100° D．110° 【答案】B 【解答】解：如图，∠5＝90°﹣30°＝60°，∠3＝∠1﹣45°＝35°， ∴∠4＝∠3＝35°， ∴∠2＝∠4+∠5＝95°， 故选：B． 2．若△ABC有一个外角是钝角，则△ABC一定是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【解答】解：∵一个外角为钝角， ∴与它相邻的内角的度数为锐角， ∴△ABC可能为：钝角三角形或锐角三角形或直角三角形． 故选：D． 3．将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝63°，则∠EDB的度数为（　　） A．12° B．15° C．18° D．22° 【答案】A 【解答】解：∵∠FEB＝63°，∠FED＝45°， ∴∠DEB＝∠FEB﹣∠FED＝63°﹣45°＝18°． 又∵∠ABC是△BDE的外角， ∴∠EDB＝∠ABC﹣∠DEB＝30°﹣18°＝12°． 故选：A． 4．若一个三角形的两个外角分别是135°、125°，则这个三角形的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定形状 【答案】A 【解答】解：∵一个三角形的两个外角分别是135°、125°， ∴与已知两根外角相邻的内角角分别为45°、55°， ∴第三个内角为180°﹣45°﹣55°＝80°， ∴此三角形是锐角三角形． 故选：A． 5．如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变．为了舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD＝130°，则图中∠E应（　　） A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20° 【答案】A 【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图： ∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠ECD＝∠ACB＝70°． ∵∠DGF＝∠DCE+∠E， ∴∠DGF＝70°+30°＝100°． ∵∠EFD＝130°，∠EFD＝∠DGF+∠D， ∴∠D＝30°． 而图中∠D＝20°， ∴∠D应增加10°． 故选：A． 6．如图是A，B两片木片放在地面上的情形，若∠3＝100°，则∠2﹣∠1等于（　　） A．55° B．80° C．90° D．100° 【答案】B 【解答】解：∵∠3＝100°， ∴∠4＝180°﹣∠3＝80°， ∵∠1+∠4＝∠2， ∴∠2﹣∠1＝∠4＝80°， 故选：B． 7．已知三角形三个内角的比为1：3：5，则这个三角形三个外角的比为（　　） A．1：3：4 B．4：3：2 C．7：6：5 D．5：3：1 【答案】B 【解答】解：∵三角形三个内角的比为1：3：5， 设这三个内角分别为x，3x，5x， 根据题意得：x+3x+5x＝180°， 解得x＝20°， ∴这三个内角分别为20°，60°，100°， ∴这三个内角的外角分别为160°，120°，80°， ∵160°：120°：80°＝4：3：2， ∴这个三角形三个外角的比为4：3：2， 故选：B． 8．如图，已知D为BC上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝70°，则∠2的度数为（　　） A．37° B．70° C．74° D．84° 【答案】B 【解答】解：∵∠BAC＝70°， ∴∠BAD+∠1＝70°， ∵∠B＝∠1， ∴∠B+∠BAD＝70°， ∵∠2是△ABD的外角， ∴∠2＝∠B+∠BAD＝70°， 故选：B． 9．如图，已知AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数是（　　） A．63° B．83° C．73° D．53° 【答案】A 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝26°，∠CBE＝37°， ∴∠CAE＝∠C+∠CBE＝26°+37°＝63°， ∵AC∥ED， ∴∠BED＝∠CAE＝63°． 故选：A． 10．如图，△ABC中，∠C＝80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　） A．360° B．260° C．180° D．140° 【答案】B 【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角， ∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C， 即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝80°+180°＝260°． 故选：B． 11．一副三角板如图放置，若∠1＝90°，则∠2的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．90° 【答案】C 【解答】解：如图，∵∠1＝90°， ∴∠3＝90°﹣45°＝45°， ∴∠2＝45°+30°＝75°． 故选：C． 12．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠ACD＝105°，则∠A等于　65　 度． 【答案】65． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝40°，∠ACD＝105°， ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝105°﹣40°＝65°． 故答案为：65． 13．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为 　48　 度． 【答案】48 【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝68°， ∴∠BFD＝∠B＝68°， 而∠D＝∠BFD﹣∠E＝68°﹣20°＝48°． 故答案为：48． 14．如图，一面小红旗，其中∠A＝60°，∠B＝30°，则∠BCD＝　90°　 ． 【答案】90° 【解答】解：∠BCD是三角形ABC的外角， 所以∠BCD＝∠A+∠B＝60°+30°＝90°． 故填90°． 15．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝　25°　 ． 【答案】25° 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠ACB＝∠B＝45°， ∵∠EDF＝90°，∠E＝30°， ∴∠F＝90°﹣∠E＝60°， ∵∠ACE＝∠CDF+∠F，∠BCE＝40°， ∴∠CDF＝∠ACE﹣∠F＝∠BCE+∠ACB﹣∠F＝45°+40°﹣60°＝25°． 故答案为：25°． 16．△ABC中，∠B＝45°，∠C＝72°，那么与∠A相邻的一个外角等于　117　 °． 【答案】117 【解答】解：如图所示： ∵△ABC中，∠B＝45°，∠C＝72°， ∴∠1＝∠B+⊙C＝45°+72°＝117°． 故答案为：117． 17．△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角度数之比为3：5：7，则△ABC是　钝角　 三角形． 【答案】钝角 【解答】解：设三个外角度数分别为3k、5k、7k， 由题意得，3k+5k+7k＝360°， 解得k＝24°， ∴三个外角度数分别为72°，120°，168°， ∴△ABC最大的内角∠A＝180°﹣72°＝108°， ∴△ABC是钝角三角形． 故答案为：钝角． 18．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 　140°　 ． 【答案】140° 【解答】解：如图， ∵∠B＝30°，∠DCB＝65°， ∴∠DFB＝∠B+∠DCB＝30°+65°＝95°， ∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°， 故答案为：140°． 19．已知△ABC三个内角的度数之比为1：2：3，则它的三个外角的度数之比是　5：4：3　 ． 【答案】5：4：3 【解答】解：设较小的一个内角为x，则另外两个内角分别为2x，3x． 则x+2x+3x＝180°，解得x＝30°． 故x＝30°，2x＝60°，3x＝90°． 所以与之对应的外角分别为150°，120°，90°． 故相应的外角度数的比是150°：120°：90°＝5：4：3． 故答案为：5：4：3． 20．如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C．若∠A＝60°时，点D在△ABC内，则∠ABD+∠ACD的值是　30°　 ． 【答案】30°． 【解答】解：连接AD，延长AD交EF于点M，如图所示． ∵∠EDM＝∠ABD+∠BAD，∠FDM＝∠ACD+∠CAD， ∴∠ABD+∠ACD＝∠EDM﹣∠BAD+∠FDM﹣∠CAD ＝（∠EDM+∠FDM）﹣（∠BAD+∠CAD） ＝∠EDF﹣∠BAC ＝90°﹣60° ＝30°． 故答案为：30°． 21．一把直尺和一块三角尺如图所示放置，若图中∠2＝131°，则∠1＝　41°　 ． 【答案】41°． 【解答】解：在图中标上字母，如图所示． ∵∠2是△CDE的外角， ∴∠2＝∠ECD+∠E， ∴∠ECD＝131°﹣90°＝41°． 又∵AB∥CD， ∴∠1＝∠ECD＝41°． 故答案为：41°． 22．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，若∠ABO+∠ACO＝65°，则∠E＝　25°　 ． 【答案】25°． 【解答】解：∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×65°＝130°， ∴∠A＝180°﹣130°＝50°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠DCE∠ACD， ∵∠DCE＝∠E+∠CBE， ∴∠ACD＝∠E+∠CBE， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC， ∴（∠A+∠ABC）＝∠E+∠CBE， ∵∠ABC＝2∠CBE， ∴（∠A+2∠CBE）＝∠E+∠CBE， ∴∠E∠A50°＝25°． 故答案为：25°． 23．三角形的外角和的度数是　360°　 ． 【答案】360°． 【解答】解：如图，∠DAC，∠ABE，∠BCF是△ABC的三个外角， ∵∠DAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABE＝∠BAC+∠ACB，∠BCF＝∠BAC+∠ABC， ∴∠DAC+∠ABE+∠BCF＝∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC＝2（∠ABC+∠ACB+∠BAC）＝2×180°＝360°． ∴三角形的外角和是360°． 故答案为：360°． 24．一个三角形的三个外角之比为5：4：3，则这个三角形内角中最大的角是　90　 度． 【答案】90 【解答】解：∵一个三角形的三个外角之比为3：4：5， ∴设角形的三个外角分别为3x，4x，5x，则 3x+4x+5x＝360°， 解得x＝30°， ∴3x＝90°，4x＝120°，5x＝150°， ∴与之对应的内角分别为：90°，60°，30°， ∴三角形内角中最大的角是90°， 故答案为：90 25．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵DF⊥AB， ∴∠AFE＝90°， ∴∠AEF＝90°﹣∠A＝90°﹣35°＝55°， ∴∠CED＝∠AEF＝55°， ∴∠ACD＝180°﹣∠CED﹣∠D＝180°﹣55°﹣42°＝83°． 答：∠ACD的度数为83°． 26．已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵∠1是△ABC的一个外角， ∴∠1＞∠3， ∵∠3是△DEC的一个外角， ∴∠3＞∠2， ∴∠1＞∠2． 27．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE，CD相交于点O． （1）若∠A＝50°，∠BOD＝70°，∠C＝25°，求∠B的度数； （2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）35°； （2）∠BOC＝∠A+∠B+∠C，证明见解答过程． 【解答】解：（1）∵∠A＝50°，∠C＝25°， ∴∠BDO＝∠A+∠C＝75°， ∴∠B＝180°﹣∠BDO﹣∠BOD＝180°﹣75°﹣70°＝35°； （2）猜想∠BOC＝∠A+∠B+∠C， 理由如下：∠BDO＝∠A+∠C，∠BOC＝∠BDO+∠B， ∴∠BOC＝∠A+∠B+∠C． 28．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D． （1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数； （2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠ACE＝∠A+∠ABC， ∴∠ACD+∠ECD＝∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE＝∠D+∠DBC， 又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE， ∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠ECD， ∴∠A＝2（∠DCE﹣∠DBC），∠D＝∠DCE﹣∠DBC， ∴∠A＝2∠D， ∵∠ABC＝75°，∠ACB＝45°， ∴∠A＝60°， ∴∠D＝30°； （2）∠D（∠M+∠N﹣180°）； 理由：延长BM、CN交于点A， 则∠A＝∠BMN+∠CNM﹣180°， 由（1）知，∠D∠A， ∴∠D（∠M+∠N﹣180°）． 29．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°． 证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角． ∴　∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2　 ． ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3）， ∵　∠1+∠2+∠3＝180°　 ． ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360° 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角． ∴∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2． ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3）， ∵∠1+∠2+∠3＝180°． ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°； 证法2：∵平角等于180°， ∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）． ∵∠1+∠2+∠3＝180°， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°． 故答案为：∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2；∠1+∠2+∠3＝180°． 学科网（北京）股份有限公司 $