专题1.2 定义与命题 证明（6大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦“定义与命题 证明”核心知识点，系统梳理定义、命题（真/假命题）、证明（综合法、反证法）等概念，结合三角形内角和定理及外角性质，构建从概念辨析到逻辑推理再到几何应用的学习支架。 该资料通过即学即练、典例与变式题分层设计，如“同角的余角相等”改写培养数学语言表达，玻璃打破逻辑推理题发展推理意识，三角形内角和证明强化几何直观，课中助力教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.2 定义与命题讠 证明 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01定义与命题 2.知识清单 题型01判断是否是命题 题型02写出命题的题设和结论 定义与命题证明 题型03定理与证明 3题型精讲 题型04逻辑推理与论证 题型05三角形内角和定理的证明 题型06三角形的外角的定义及性质 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 明确命题、真/假命题、定义、定理等概念，能将命题改写成“如果…那 么…”的形式，会判断命题真假及举反例。 教学目标 2. 理解证明的必要性，掌握综合法证明的基本步骤与规范格式，能写出文字命题的 己知、求证并证明。 3.初步了解反证法的思路，体会逻辑推理过程，培养严谨的数学思维与推理能力。 1.重点 (1)掌握命题的概念与结构，能准确区分命题真假，明确证明的意义与基本依据。 (2)熟练掌握直接证明的步骤与规范表达，能完成简单几何命题的证明过程。 教学重难点 2.难点 (1)准确将复杂文字命题转化为“已知、求证”的数学形式，把握证明过程中的逻 辑衔接与依据引用。 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)理解反证法的“假设一推矛盾一证结论”核心逻辑，灵活运用证明方法解决综 合几何问题。 知识清单 知识点01定义与命题 定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义 要点诠释： (1)定义实际上就是一种规定. (2)定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题， 假命题：不正确的命题叫做假命题！ 【即学即练】1.下列语句表示命题的是() A.作∠A的平分线 B.内错角不相等 C.直角都相等吗 D.画一条线段 2.下列命题是真命题的是() A.同位角相等 B.两条直线相交成四个角，如果两个角相等，那么这两条直线垂直 C.两直线平行，同旁内角互补 D.作线段AB 3.把命题“3的倍数是奇数”改写成“如果…，那么…”的形式是一 题型精讲 题型01判断是否是命题 【典例1】(2026七年级下·江苏·专题练习)下列描述属于定义的是() 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.两点确定一条直线 B.对顶角相等 C.垂线段最短吗 D.含有未知数的等式叫做方程 【变式1】(25-26七年级下·江苏淮安·期末)下列语句中，是命题的是() A.宇树机器人是当下国内外人们关注的热点之一 B.你喜欢旅游吗 C.吃饭的时候不要说话 D.过点A画一条与直线BC垂直的直线 【变式2】(25-26七年级下·重庆阶段检测)下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③x2不是负 数；④化简a+2(a-),其中不是命题的是」 【变式3】(25-26八年级上全国课前预习)下列语句中，属于定义的是一，是命题的是 (请填写序号) ①三角形的内角和等于180°；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对 顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离. 题型02写出命题的题设与结论 【典例1】(25-26七年级下·安徽芜湖期中)命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”() A.是题设 B,既是题设，也是结论 C.是结论 D.既不是题设，也不是结论 【变式1】(25-26八年级上全国随堂练习)把命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…” 的形式，下面正确的是() A.如果是同角，那么余角相等 B.如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C.如果是同角，那么相等 D.如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【变式2】(25-26七年级下·云南红河阶段检测)“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式， 如果 那么 【变式3】(25-26七年级下·河南许昌·期中)把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 …”的形式： 题型03定理与证明 【典例1】(2025八年级上全国专题练习)下列所学过的真命题中，是公理的是() A.邻补角互补 B.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C.两数相乘，同号得正 D.同角的余角相等 【变式1】(25-26八年级上·全国期中)下面关于公理和定理的说法正确的是() A.公理是真命题，但定理不是 B.公理就是定理，定理也是公理 C.公理可作为证明其他定理的依据D.公理和定理都应经过证明后才能使用 【变式2】(25-26七年级下·全国课后作业)命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题； ②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实：④真命题一定是定理.其中正确 的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式3】(2425七年级下·河北邯郸阶段检测)下列命题可以作定理的有个. ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除： ③x=5是方程7x+7-9x+2 1 6的根：④三角形的内角和是180°： 题型04逻辑推理及论证 【典例1】(2025·湖南长沙模拟预测)四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂 窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的.” 小强说：“是小胖打破的.” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃.” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他.” 这四个小孩只有一个说了实话.请判断：是谁打破了窗户的玻璃？() A.小张 B.小强 C.小明 D.小胖 【变式1】(25-26九年级上：湖南长沙期末)小华和小益进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小华出 4/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 了6次石头，1次剪刀，3次布；②小益出了4次石头，3次剪刀，3次布：③10次对决中没有平局：④你 不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小华赢了()次. A.4 B.5 C.6 D.7 【变式2】(2026四川甘孜中考真题)桌上有6张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意4张（包括已翻 过的牌)，使它们从一面向上变为另一面向上，至少翻动次后，能使6张扑克牌都反面向上：若桌 上有n(n>6)张正面向上的扑克牌，按同样的翻动方式，每次翻动其中任意(1-2)张，则至少翻动 次后，能使所有的牌都反面向上. 【变式3】(2026北京模拟预测)某学校为丰富学生的课余生活，组织校园“班超”足球赛，初一年级6 个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛.己知：第一 天(2)班与(6)班比赛，第二天(4)班与(5)班比赛，第三天(3)班与(5)班比赛，第四天(2) 班与(4)班比赛，那么一共比赛天，第五天与(3)班比赛的是班. 题型05」 三角形内角和定理的证明 【典例1】(25-26七年级下·河南南阳阶段检测)如图，已知△ABC,下列作辅助线的方法不能证明三角 形的内角和为180°的是() C A.I∥AB B 1∥AB C C.I∥AC D.1∥BC 【变式1】(23-24八年级上：广东佛山期末)在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的 四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是180°”的是() E-- --.F A.过点作 CEFI‖AB A 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 --…E B.延长到，过点作 AC F C CE AB A4 C.过上一点作 E AB D DE∥BC,DF∥ACA A D.过上一点作 D E AB DDE∥BCBA 【变式2】(2425七年级下·河北沧州阶段检测)如图，∠A,∠B,∠C为三角形的内角，求： ∠A+∠B+∠C= A B 【变式3】(25-26七年级下·河南开封期中)如图，GA∥FD,一副三角板如图摆放，∠EDF=60°， ∠BAC=45°，若BC∥DE,下列结论：①EF‖AB,②∠GAB=30°：③EC平分∠FED;④∠AED=135°， 其中正确的是 G B 题型06三角形的外角的定义及性质 【典例1】(2026四川内江中考真题)如图，若AB川CD,∠A=80°，∠E=36°，则∠C的度数为 () 6/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.360 B.44 C.50° D.54° 【变式1】(25-26八年级下·山东烟台期末)一副三角板按图所示方式叠放，且AB∥DE, ∠C=∠E=90°，∠A=60°，∠D=45°，则∠1的度数是() A.60° B.65° C.70° D.75° 【变式2】(25-26七年级下四川成都期末)如图是一架婴儿车的示意图，其中AB‖CD,∠I=105°， ∠2=75°，则∠3的度数为 G B 【变式3】(25-26七年级下·四川广元期末)如图，AB/CD,E是平面内一点，连接EB,EC, ∠ABE的平分线与∠DCE的平分线交于点F.若∠BFC=115°，则∠E的度数为. 强化训练 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 基础自测 一、单选题 1,下列语句是命题的是() A.画两条相等的线段 B.你认真做作业了吗？ C.延长线段AO到C,使OC=OA D.两条直线相交有且只有一个交点 2.用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于60°.证明的第一步是() A.假设最大的内角小于60 B.假设最大的内角大于60 C.假设最大的内角大于或等于60° D.假设最大的内角小于或等于60° 3.下列命题：①两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行；②两条直线都与第三条直线垂 直，那么这两条直线也垂直；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④同位角相等. 其中假命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 4.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应首先假设这个直角三角形中 () A.两个锐角都大于45 B.没有一个锐角大于45° C.至少有一个锐角大于45 D.两个锐角都大于等于45° 5.下列命题中，逆命题正确的是() A.两直线平行，内错角相等 B.对项角相等 C.若两个角是直角，那么这两个角相等 D.如果两个实数相等，则它们的绝对值相等 二、填空题 6.(25-26八年级上江苏盐城开学考试)下列命题中，假命题是 (填序号). ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行： ②在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和垂直； ③小于平角的角是钝角： ④同位角相等： ⑤若a>b>0,则a2>b2 7.“如果a=b,那么a2=b2”这个命题的逆命题是一，这个逆命题是 一（真/假)命题. 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26七年级上河南信阳开学考试)推理：谁是小雷锋？ 学校表彰了4位同学，其中有一人是主动打扫了图书馆卫生的“小雷锋”，甲说：“我没打扫图书馆卫 生.” 乙说：“是丁打扫的图书馆卫生.”丙说：“我没打扫图书馆卫生.”丁说：“是甲打扫的图书馆卫 生.” 已知他们4人中只有1人说了真话，则主动打扫图书馆卫生的是 9.(25-26八年级上·全国课后作业)把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果·，那么…” 的形式： 10.写出命题“同角的余角相等”的逆命题： 三、解答题 11.(25-26八年级上全国课后作业)将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式： (1)同位角相等，两直线平行： (2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 12.(2025八年级上·全国专题练习)下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ (1)正数大于一切负数吗？ (2)两点之间线段最短： (3)2不是无理数： (4)作一条直线和已知直线平行. 13.(25-26八年级上·全国课后作业)判断下列命题中是真命题还是假命题，是假命题举出反例 (1)绝对值相等的两个数一定相等： (2)末位数字为0的数必能被5整除； (3)两个锐角之和为钝角， 14.(25-26八年级上山东聊城阶段练习)用反证法证明：如果a+b>0,那么a,b中至少有一个大于零 15.(24-25七年级下贵州遵义期中)如图，有如下三个论断：①4D∥EF,②∠1+∠2=180°，③ DG∥AB.请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题. 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()你选择作为题设的条件是一；作为结论的条件是 (填序号) (2)请证明你选择的命题。 能力提升 一、单选题 1.(25-26七年级下·河北廊坊阶段检测)命题“同位角相等，两直线平行”的题设是() A.两直线平行 B.同位角相等 C.两直线平行，同位角相等 D.同位角相等，两直线平行 2.(25-26七年级下·湖南长沙期末)下列命题是真命题的是() A.4的算术平方根是2 B.直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C.若一个数的立方根等于它本身，则这个数一定是0或1 D.过一点有且只有一条直线与己知直线垂直 3.(25-26七年级下北京·期末)小明在学习三角形的知识时，得到下面两个结论： 甲：如果△ABC的一个外角等于它的一个内角，那么△ABC是直角三角形： 乙：如果△ABC的任意两个内角的和都大于第三个内角，那么△ABC是锐角三角形. 关于这两个结论，以下判断正确的是() A.甲对乙错 B.甲错乙对 C.甲乙都对 D.甲乙都错 4.(25-26七年级下湖南长沙阶段检测)已知命题“若a2=b2,则a=b.”下列三位同学的判断中正确 的有() 甲同学：“该命题是真命题.” 乙同学：“该命题的结论是a=b.” 丙同学：“若在该命题的题设中添加a,b都大于零，则该命题成为真命题.” A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.(25-26七年级下河南周口期末)如图，在△ABC和△BDE中，AC与DE相交于点F.若∠B=90° ∠A=20°，∠D=45°，则∠AEF+∠DCF的度数为() 10113 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A.230° B.240° C.245° D.250° 二、填空题 6.(25-26七年级下四川自贡·期末)命题“负数没有平方根”是。 命题（填“真”或“假”） 7.(25-26七年级下广东江门期中)将命题“邻补角互补”改写成“如果…那么…”的形式：如果 ,那么 8.(25-26七年级下江苏无锡期末)要证明命题“若a,b为有理数，且a2>b2,则a>b”为假命题， 可以举的反例为 .(写出一种情况即可) 9.(25-26七年级下湖北武汉期末)抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化 的瑰宝”，小聪在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象成数学问题：如图，AB∥CD ∠C=2∠A-60°，∠E=22°，则∠A的度数为， 10.(25-26七年级下·湖南长沙期末)如图，己知，AB1川CD,∠A=20°，∠E=30°，则∠C的度数为 D 11.(25-26六年级下·山东泰安·期末)由0~9中的自然数组成的四位密码（没有重复数字），对这个密码 有A、B、C、D四个同学分别进行了猜测，密码提供者作出了相应评判. A:3259,评判：号码都错误： B:6012,评判：两个号码正确，但位置都错误； C:1809,评判：三个号码正确，位置都错误； D:6348,评判：两个号码正确，位置都正确。 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 据此你推断正确的密码应为， 三、解答题 12.(25-26七年级下河北邢台期末)将“两个负数之差是负数”改写成“如果…那么…”的形式， 再判断它是真命题，还是假命题？如果是真命题，请说明理由，如果是假命题，请举出反例来说明， 13.(25-26七年级下·山东潍坊期末)完成填空，并补全证明过程： 如图，∠ACE是△ABC的一个外角，∠A=50°，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D,求∠D的度数. 509 D 3 B 4 E C 解：因为∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于D, 所以2-48C,4-片-()（球推理依据） 2 因为∠ACE是△ABC的外角，∠4是△BCD的外角， 所以∠ACE=∠A+_,∠4=∠D+_· ()(填推理依据) 14. (25-26七年级下江苏扬州期末)如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C:③AB∥CD B G D (1)如果以①和②作为条件，③作为结论，请你按照“如果那么”的形式写出该命题，并判断该命题是真命 题还是假命题： (2)若(1)中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由， 15.(25-26七年级下河北石家庄·期末)如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A, B重合)，CD与BE交于点O. 12113 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ E D B (1)若CD是中线，BC=4,AC=3,则△BCD与△ACD的周长差为， (②)若∠ABC=70°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数. 13113 专题1.2 定义与命题 证明 教学目标 1. 明确命题、真/假命题、定义、定理等概念，能将命题改写成“如果……那么……”的形式，会判断命题真假及举反例。 2. 理解证明的必要性，掌握综合法证明的基本步骤与规范格式，能写出文字命题的已知、求证并证明。 3. 初步了解反证法的思路，体会逻辑推理过程，培养严谨的数学思维与推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握命题的概念与结构，能准确区分命题真假，明确证明的意义与基本依据。 （2）熟练掌握直接证明的步骤与规范表达，能完成简单几何命题的证明过程。 2.难点 （1）准确将复杂文字命题转化为“已知、求证”的数学形式，把握证明过程中的逻辑衔接与依据引用。 （2）理解反证法的“假设—推矛盾—证结论”核心逻辑，灵活运用证明方法解决综合几何问题。 知识点01 定义与命题 定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 【即学即练】1．下列语句表示命题的是（     ） A．作的平分线 B．内错角不相等 C．直角都相等吗 D．画一条线段 【答案】B 【分析】命题是对一件事情作出判断的语句，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项、“作的平分线”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； B选项、“内错角不相等”对内错角的大小关系作出了明确判断，是命题，故此选项符合题意； C选项、“直角都相等吗”是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； D选项、“画一条线段”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意． 2．下列命题是真命题的是（     ） A．同位角相等 B．两条直线相交成四个角，如果两个角相等，那么这两条直线垂直 C．两直线平行，同旁内角互补 D．作线段 【答案】C 【分析】本题需根据命题的定义，平行线的性质，垂直的定义，逐个判断各选项命题的真假． 【详解】对于选项，同位角相等成立的前提是两直线平行，题目未给出两直线平行的条件，同位角不一定相等，是假命题． 对于选项，两条直线相交，对顶角本身一定相等，只有相邻的两个角相等时，两条直线才垂直，是假命题． 对于选项，“两直线平行，同旁内角互补”是平行线的性质定理，是真命题． 对于选项，“作线段”是作图操作，不是对一件事情的判断，不属于命题，不符合要求． 3．把命题“3的倍数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式是_____． 【答案】如果一个数是3的倍数，那么这个数是奇数 【分析】先分清命题“的倍数是奇数”的题设与结论，“如果”后接题设部分，“那么”后接结论部分，即可完成改写． 【详解】解：命题“的倍数是奇数”中，题设为一个数是的倍数，结论为这个数是奇数， 因此改写成“如果……，那么……”的形式为：如果一个数是的倍数，那么这个数是奇数． 题型01 判断是否是命题 【典例1】（2026七年级下·江苏·专题练习）下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】D 【详解】解：选项A、两点确定一条直线，不是定义，不符合题意； 选项B、对顶角相等，不是定义，不符合题意； 选项C、垂线段最短吗，不是定义，不符合题意； 选项D、含有未知数的等式叫做方程，是定义，符合题意． 【变式1】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）下列语句中，是命题的是（     ） A．宇树机器人是当下国内外人们关注的热点之一 B．你喜欢旅游吗 C．吃饭的时候不要说话 D．过点A画一条与直线垂直的直线 【答案】A 【分析】本题根据命题的定义判断即可，命题是指对一件事情作出判断的语句． 【详解】解：A、对宇树机器人的相关情况作出了明确判断，属于命题； B、是疑问句，未对事件作出判断，不属于命题； C、是祈使句，是行为要求，未对事件作出判断，不属于命题； D、是作图操作指令，未对事件作出判断，不属于命题． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简，其中不是命题的是____________． 【答案】④ 【详解】解：根据命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题， ①对墙的颜色作出判断，是命题； ②对的运算结果作出判断，是命题； ③对的取值性质作出判断，是命题； ④仅为化简操作的指令，未对任何事情作出判断，不是命题． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 【详解】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 题型02 写出命题的题设与结论 【典例1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 【答案】D 【分析】先将原命题改写为“如果…那么…”的形式，区分出完整题设和结论，再判断“内错角”的属性 【详解】解：将原命题改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”， 命题中，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论， ∵ 完整题设为“两直线平行”，完整结论为“内错角相等”， ∴ “内错角”只是结论中的部分名词，既不是完整题设，也不是完整结论， 因此选D 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·云南红河·阶段检测）“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】找出原命题的题设与结论，明确“如果”后接题设，“那么”后接结论即可完成改写． 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中，题设为两个角是同一个角的余角，结论为这两个角相等， 因此可得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 【变式3】（25-26七年级下·河南许昌·期中）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果那么”的形式：________． 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【分析】命题由题设和结论两部分组成，“如果”后接题设，“那么”后接结论，先分离出原命题的题设与结论即可完成改写． 【详解】解：原命题的题设为“两个数互为相反数”，结论为“这两个数的和为零”，因此改写为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 题型03 定理与证明 【典例1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．邻补角互补 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两数相乘，同号得正 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查了公理的概念以及对一些几何和代数真命题的理解，因为判断一个真命题是否为公理，核心就是看它是否是无需证明的基本事实，是后续推理的基础，掌握公理的定义是解题的关键． 公理是无需证明的基本事实，来源于长期实践总结，而非推导，作为证明其他命题的依据；可通过其他知识证明的命题、依赖具体运算或推导的规则都不是公理，以此为标准对选项逐个判断． 【详解】解：A、“邻补角互补” 是可以通过补角的定义等证明的定理，不符合题意； B、“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行” 是人们在长期实践中总结出的基本事实，无需证明，符合题意； C、“两数相乘，同号得正” 是代数中的运算规律，可通过有理数乘法的定义等推导，不符合题意； D、“同角的余角相等” 是可以通过余角的定义和等式的性质证明的定理，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互关系． 根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性． 【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题． A：公理和定理都是真命题，此说法错误； B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误； C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确； D：公理无需证明即可使用，此说法错误． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答． 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 【变式3】（24-25七年级下·河北邯郸·阶段检测）下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 题型04 逻辑推理及论证 【典例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 【答案】C 【分析】本题考查了逻辑推理与论证，仔细读题是解决本题的关键． 根据小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，进而判断即可． 【详解】解：根据题意得，小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾， ∴两人的话必有一真一假， ∵“只有一个小孩说真话”， ∴小张和小明的话都是假话， ∴小明说“我没有打破窗户的玻璃”是假话，说明小明打破了玻璃． 故选C． 【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）小华和小益进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小华出了6次石头，1次剪刀，3次布；②小益出了4次石头，3次剪刀，3次布；③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小华赢了（   ）次． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查推理论证，需根据无平局的规则，结合双方出拳次数对应分析赢的情况． 【详解】解：∵10次对决无平局， ∴小华出石头（6次）时，小益只能出剪刀或布（小益共3次剪刀、3次布，总数6次，刚好对应）， ∵石头赢剪刀， ∴这6局中小华赢了3次， 又∵小华剩余1次剪刀、3次布，对应小益的4次石头（）， ∵布赢石头， ∴这4局中小华赢了3次， ∴小华共赢了次， 故选：C． 【变式2】（2026·四川甘孜·中考真题）桌上有6张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意4张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上，至少翻动______次后，能使6张扑克牌都反面向上；若桌上有（）张正面向上的扑克牌，按同样的翻动方式，每次翻动其中任意张，则至少翻动______次后，能使所有的牌都反面向上． 【答案】 【分析】每张牌从正面向上变为反面向上需要翻动奇数次，总翻动次数需和牌的数量同奇偶，分析得翻动1次和2次都无法满足所有牌翻奇数次的要求，构造翻动3次可满足条件，因此最少翻动次数为3. 【详解】解：每张扑克牌变为反面向上，需要翻动奇数次； 当共6张牌，每次翻动4张时： 若翻动1次，仅4张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求； 若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，故不满足要求； 构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余4张；第二次不翻第1、3张，翻其余4张；第三次不翻第2、3张，翻其余4张；各牌翻动次数为1次或3次，均为奇数，可使所有牌反面向上， 故至少翻动3次； 当共张牌，，每次翻动张时： 若翻动1次，仅张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求； 若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，不满足要求； 构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余张；第二次不翻第1、3张，翻其余张；第三次不翻第2、3张，翻其余张； 各牌翻动次数：第1、2、3张各翻动1次，其余牌各翻动3次，所有次数都是奇数，满足所有牌反面向上，因此至少翻动3次. 【变式3】（2026·北京·模拟预测）某学校为丰富学生的课余生活，组织校园“班超”足球赛，初一年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知：第一天（2）班与（6）班比赛，第二天（4）班与（5）班比赛，第三天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（4）班比赛，那么一共比赛_____天，第五天与（3）班比赛的是_____班． 【答案】 5 6 【分析】根据单循环比赛规则，每个班需与其余5个班各赛一场，每天进行3场比赛，先计算总天数，再根据已知比赛排除重复对阵，推理得到结果． 【详解】解：6个班进行单循环比赛，总比赛场次为，每天同时进行3场比赛，因此总天数为； 根据已知条件逐步推理排除重复对阵，得到每日对阵为： 第一天：， 第二天：， 第三天：， 第四天：， 剩余第五天未进行的比赛为： 因此第五天与（3）班比赛的是（6）班． 题型05 三角形内角和定理的证明 【典例1】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； D、无法证明三角形的内角和为，故本选项符合题意 【变式1】（23-24八年级上·广东佛山·期末）在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（    ） A．过点作 B．延长到，过点作 C．过上一点作 D．过上一点作 【答案】D 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意． 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·阶段检测）如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·河南开封·期中）如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是______． 【答案】①②③④ 【分析】根据平行线的判定与性质、三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义判断求解即可． 【详解】解：如图，交于点， ， ， ， ， ， ， ， 故①符合题意； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②符合题意； ，， ， ， ， ， ， 平分， 故③符合题意； ，， ， 故④符合题意， ∴符合题意的有①②③④． 题型06 三角形的外角的定义及性质 【典例1】（2026·四川内江·中考真题）如图，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴. 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）一副三角板按图所示方式叠放，且，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点，利用平行线的性质可得，再根据三角形内角和求得，利用三角形外角的性质求得的度数． 【详解】解：如图，设与交于点， ， ， ，， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，则的度数为________． 【答案】/30度 【分析】先求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，，E是平面内一点， 连接，， 的平分线与的平分线交于点F． 若， 则的度数为_____________． 【答案】/50度 【分析】根据平行线的性质得出，设，，利用角平分线的定义表示出和，结合三角形内角和定理与三角形外角的性质建立关于的方程求解即可； 【详解】解：设与交于点， ， ， 设，，则， 平分，平分， ，， 在中，， ，即， 延长交于点， 是的外角， ， 是的外角， ， ， ， ，即， ， 解得：． 一、单选题 1．下列语句是命题的是（     ） A．画两条相等的线段 B．你认真做作业了吗？ C．延长线段到，使 D．两条直线相交有且只有一个交点 【答案】D 【分析】本题考查命题定义，熟记命题定义是解决问题的关键．能够判断真假的陈述句称为命题，由此逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、画两条相等的线段，祈使句，不是陈述句，故选项中的语句不是命题，不符合题意； B、你认真做作业了吗？疑问句，不是陈述句，故选项中的语句不是命题，不符合题意； C、延长线段到，使，祈使句，不是陈述句，故选项中的语句不是命题，不符合题意； D、两条直线相交有且只有一个交点,是命题，符合题意； 故选：D． 2．用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于．证明的第一步是（   ） A．假设最大的内角小于 B．假设最大的内角大于 C．假设最大的内角大于或等于 D．假设最大的内角小于或等于 【答案】A 【分析】假设命题的结论不成立，假定命题的结论反面成立即可． 本题考查了反证法：掌握反证法的一般步骤（假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确）． 【详解】解：用反证法证明“在一个三角形中，最大的内角不小于”时，应先假设在三角形中，最大的内角小于． 故选：A． 3．下列命题：两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行；两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也垂直；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；同位角相等．其中假命题的个数是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：根据平行公理可知：两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行； 故是真命题； 在同一平面内，两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行； 故是假命题； 根据平行公理可知：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 故是真命题； 两直线平行，则这两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，如果两条被截直线不平行，则被第三条直线所截形成的同位角不一定相等； 故是假命题； 综上所述，假命题的个数是个． 故选：C． 4．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 用反证法证明命题，应先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理，得出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两个锐角都大于． 故选：A． 5．下列命题中，逆命题正确的是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等 C．若两个角是直角，那么这两个角相等 D． 如果两个实数相等，则它们的绝对值相等 【答案】A 【分析】本题考查了命题的逆命题，判断命题的真假，平行线的判定方法，对顶角的定义等；写出各个命题的逆命题逐一进行判断真假，即可求解． 【详解】解：A、逆命题为：内错角相等，两直线平行；此命题是真命题，故符合题意； B、逆命题为：相等的角是对顶角；相等的角不一定是对顶角，此命题是假命题，故不符合题意； C、逆命题为：若两个角相等，那么这两个角是直角；若两个角相等，那么这两个角不一定是直角，此命题是假命题，故不符合题意； D、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，则它们相等；如果两个实数的绝对值相等，则它们相等或互为相反数，此命题是假命题，故不符合题意； 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·江苏盐城·开学考试）下列命题中，假命题是 （填序号）． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和垂直； ③小于平角的角是钝角； ④同位角相等； ⑤若，则． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查的是真假命题的判断，涉及平行线及其性质，直线的位置关系，钝角的定义，不等式的性质，根据以上基础概念逐一判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是假命题； ②同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行，故②是假命题； ③大于度，小于平角的角是钝角，故③是假命题； ④两直线平行，同位角相等，故④是假命题； ⑤若，则，描述正确，故⑤是真命题． 故①②③④是假命题， 故答案为：①②③④ 7．“如果，那么”这个命题的逆命题是 ，这个逆命题是 （真/假）命题． 【答案】 如果，那么 假 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：根据题意得：命题“如果，那么”的条件是如果，结论是， ∴逆命题是如果，那么， 当，时，，但， ∴该命题是假命题． 故答案为：如果，那么；假． 8．（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）推理：谁是小雷锋？ 学校表彰了 4 位同学，其中有一人是主动打扫了图书馆卫生的“小雷锋”．甲说：“我没打扫图书馆卫生．” 乙说：“是丁打扫的图书馆卫生．” 丙说：“我没打扫图书馆卫生．” 丁说：“是甲打扫的图书馆卫生．” 已知他们 4 人中只有 1 人说了真话，则主动打扫图书馆卫生的是 ． 【答案】丙 【分析】本题考查了逻辑推理．解题的关键在于找出矛盾关系，再结合只有一人说了真话这一条件来推断出实际情况． 【详解】解：∵甲说 “我没打扫图书馆卫生”，丁说 “是甲打扫的图书馆卫生”， ∴甲和丁的话相互矛盾． ∴甲和丁之中必有一个人说的是真话，一个人说的是假话． ∵ 4 人中只有 1 人说了真话，而真话在甲和丁之中， ∴乙和丙说的都是假话． ∵乙说 “是丁打扫的图书馆卫生” 是假话， ∴不是丁打扫的． ∵丙说 “我没打扫图书馆卫生” 是假话， ∴是丙打扫的图书馆卫生． 综上，主动打扫图书馆卫生的是丙． 故答案为：丙． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 【答案】如果同旁内角互补，那么两直线平行 【分析】本题考查了命题改写，掌握“如果”后面是题设，“那么”后面是结论是解题的关键． 根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析解答即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的条件是：“同旁内角互补”，结论为：“两直线平行”， 写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”． 故答案为：如果同旁内角互补，那么两直线平行． 10．写出命题“同角的余角相等”的逆命题： ． 【答案】如果两个角的余角相等，那么这两个角是同一个角 【分析】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果．命题的已知部分是条件，即题设，由条件得出结果是结论．把命题的条件和结论交换即可得其逆命题． 【详解】解：“同角的余角相等”的逆命题是，如果两个角的余角相等，那么这两个角是同一个角 故答案为：如果两个角的余角相等，那么这两个角是同一个角． ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： (1)同位角相等，两直线平行； (2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 【答案】(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． (2)在两个三角形中，如果有两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等． 【分析】本题主要考查命题，掌握改写命题的方法是关键，确定命题的题设和结论，根据命题改写的方法即可求解． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行； 题设：同位角相等，结论：两直线平行， ∴改写为：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． （2）解：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 题设：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形，结论：这两个三角形全等， ∴改写为：在两个三角形中，如果有两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）正数大于一切负数吗？ （2）两点之间线段最短； （3）2不是无理数； （4）作一条直线和已知直线平行． 【答案】（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题 【分析】本题主要考查了命题的定义，一般地，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 根据命题的定义即可求解． 【详解】解：由命题的定义可得（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列命题中是真命题还是假命题，是假命题举出反例 (1)绝对值相等的两个数一定相等； (2)末位数字为0的数必能被5整除； (3)两个锐角之和为钝角． 【答案】(1)假命题，反例见解析； (2)真命题． (3)假命题，反例见解析． 【分析】本题考查了绝对值的性质，被5整除的数的特征，钝角的定义，判断命题真假，以及写反例． （1）根据绝对值的性质，即可解答； （2）根据能被5整除的数的特征即可解答； （3）根据钝角的定义，即可解答． 【详解】（1）解：该命题为假命题， 反例：，但是． （2）解：该命题为真命题； （3）解：该命题为假命题， 反例：为锐角． 14．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 【答案】详见解析 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】证明：假设，都不大于零， 即，， 因为两个非正数相加还是非正数， 所以， 这与已知条件矛盾， 所以假设不成立． 所以，中至少有一个大于零． 15．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 【答案】(1)①②，③或②③，①或①③，② (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得． 【详解】（1）解：①选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ②选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ③选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； （2）解：①如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③如果，，那么； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查命题的组成，命题由题设和结论两部分构成，题设是命题中的已知条件，结论是由已知条件推出的结果，掌握命题题设与结论的区分方法是解题关键． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”可改写为“如果同位角相等，那么两直线平行”． ∴该命题的题设是“同位角相等”． 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．4的算术平方根是2 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C．若一个数的立方根等于它本身，则这个数一定是0或1 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题为基本概念辨析题，根据算术平方根、点到直线的距离、立方根、垂直的定义逐一判断命题真假即可． 【详解】解：对选项A：∵ ，算术平方根为非负平方根，∴ 的算术平方根是，A是真命题； 对选项B：点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段本身，∴ B是假命题； 对选项C：立方根等于本身的数是，和，∴ C是假命题； 对选项D：只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项缺少前提，∴ D是假命题． 3．（25-26七年级下·北京·期末）小明在学习三角形的知识时，得到下面两个结论： 甲：如果的一个外角等于它的一个内角，那么是直角三角形； 乙：如果的任意两个内角的和都大于第三个内角，那么是锐角三角形． 关于这两个结论，以下判断正确的是（     ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【答案】C 【详解】解：甲：∵三角形任意一个外角与它相邻的内角和为， ∴若外角等于相邻内角，则两个角都为，故三角形是直角三角形； 若外角等于不相邻内角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和， ∴另一个不相邻内角为，不符合三角形定义，不存在这种情况，故甲结论正确； 乙：设中最大内角为，则，， ∵任意两个内角和大于第三个内角， ∴， ∴，代入得， ∴， ∴三角形三个内角都小于，是锐角三角形，故乙结论正确． 综上，甲乙都对． 4．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据命题的结构和真假命题的定义，依次判断三位同学的说法，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：∵当，时，满足，但， ∴原命题是假命题，甲同学判断错误． “若题设，则结论”是命题的标准形式，该命题的结论为， ∴乙同学判断正确． 添加条件都大于零后，命题变为“若且，则”， ∵两个正数的平方相等，正数本身必然相等， ∴该命题是真命题，丙同学判断正确． 综上，正确的判断共有个． 5．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在和中，与相交于点．若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角性质求出，的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 二、填空题 6．（25-26七年级下·四川自贡·期末）命题“负数没有平方根”是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【详解】解：根据平方根的定义，若存在实数满足，则称为的平方根，对任意实数，都有，不存在实数使得为负数，因此负数没有平方根，该命题是真命题． 7．（25-26七年级下·广东江门·期中）将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那么______． 【答案】 两个角是邻补角 这两个角互补 【详解】解：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项， 因此将命题“邻补角互补”改写为“如果……那么……”的形式为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． 8．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）要证明命题“若，为有理数，且，则”为假命题，可以举的反例为__________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】要证明该命题为假命题，只需举出满足命题条件，不满足命题结论的反例即可． 命题条件为为有理数且，命题结论为，因此只需找到满足条件不满足结论的一组即可． 【详解】解：取，， ，都是有理数， ，， 满足， 但，即不满足， ∴可作为该命题的反例． 9．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．小聪在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象成数学问题：如图，，，，则的度数为________． 【答案】/82度 【分析】先根据平行线的性质得出，再根据三角形外角的性质得出，然后根据，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示：延长交于点， ， ， ， ，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 10．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知，，，，则的度数为________． 【答案】50°/50度 【分析】先设、交点为，利用三角形外角性质算出等于与的和，再根据两直线平行同位角相等，推出与度数相等，即可求出． 【详解】解：与交于点F， ∵，， ∴， ∵ ∴． 11．（25-26六年级下·山东泰安·期末）由中的自然数组成的四位密码（没有重复数字），对这个密码有A、B、C、D四个同学分别进行了猜测，密码提供者作出了相应评判． A：，评判：号码都错误； B：，评判：两个号码正确，但位置都错误； C：，评判：三个号码正确，位置都错误； D：，评判：两个号码正确，位置都正确． 据此你推断正确的密码应为____________． 【答案】0148 【分析】先根据A的猜测结果排除错误数字，再结合C的评判确定密码包含的三个数字，接着结合B的评判排除剩余错误数字得到密码的全部四个数字，最后根据各猜测的位置要求推理得到正确位置，得到密码. 【详解】第一步，确定排除的数字： 因为A猜测，所有号码都错误，因此密码中不含； 第二步，确定密码中的三个数字： C猜测，三个号码正确，位置都错误，因为已排除，因此密码包含； 第三步，确定密码的第四个数字： B猜测，两个号码正确，位置都错误，因为已排除，因此正确号码只能在中选两个，已知密码已经包含，因此正确号码为，因此密码不含； D猜测，两个号码正确，位置都正确，已知已排除，已经在密码中，因此另一个正确号码为，即密码含； 因此密码的四个数字为； 第四步，推理各数字位置： D中正确号码为和，位置都正确，D中在第三位，在第四位，因此密码第三位为，第四位为，剩余第一位和第二位分配和； B中正确号码为和，位置都错误，B中在第二位，因此不能在第二位，故在第一位，剩余在第二位； 因此密码为. 三、解答题 12．（25-26七年级下·河北邢台·期末）将“两个负数之差是负数”改写成“如果……那么……”的形式，再判断它是真命题，还是假命题？如果是真命题，请说明理由．如果是假命题，请举出反例来说明． 【答案】解：改写为：如果两个数都是负数，那么这两个数的差是负数，该命题是假命题，反例如下： 当时，满足a、b都是负数，但是，即与的差是正数， ∴原命题是假命题． 【分析】先拆分原命题得到题设和结论，改写成要求的形式，再通过举反例判断命题真假即可． 【详解】略 13．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）完成填空，并补全证明过程： 如图，是的一个外角，，的平分线与的平分线交于点，求的度数． 解：因为的平分线与的平分线交于， 所以， ．（ ）（填推理依据） 因为是的外角，是的外角， 所以 ， ． （ ）（填推理依据） … 【答案】解：因为的平分线与平分线交于， 所以，（角平分线的定义）， 因为是的外角，是的外角， 所以，，（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）， 所以． 【分析】根据三角形外角的性质可得，，再利用角平分线的定义即可解答 【详解】略 14．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，有三个论断：①；②；③． (1)如果以①和②作为条件，③作为结论，请你按照“如果那么”的形式写出该命题，并判断该命题是真命题还是假命题； (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由． 【答案】(1)如果，那么，此命题为真命题； (2)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据题意写出命题； （2）根据平行线的判定和性质证明结论即可． 【详解】（1）略 （2）略 15．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为________； (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用中线得，两三角形周长相减消去公共线段，直接算出边长差； （2）由高得，由角平分线求出，再用三角形的外角性质算出． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∵的周长为：，的周长为：， ∴与的周长差为：， ∵，， ∴， ∴与的周长差为1； （2）∵是的高， ∴， ∵是角平分线，， ∴， ∵是的外角， ∴， 即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $