期中模拟数学试题【进阶卷】2026-2027学年九年级数学上学期（人教版）

2026-2027学年九年级上学期期中模拟数学试题（人教版）【进阶卷】 （满分 120 分　　考试时间 90 分钟　　共 24 小题） 考试范围：第二十五章 一元二次方程　第二十六章 二次函数　第二十七章 反比例函数 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．一元二次方程 x²＋2x-3＝0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根 C．没有实数根　　D．只有一个实数根 2．抛物线 y＝2(x-1)²＋3 的顶点坐标是（　　） A．(1，3)　　B．(-1，3)　　C．(1，-3)　　D．(-1，-3) 3．下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝ax²＋bx＋c　　B．y＝(x-1)²-x²　　C．y＝x²＋　　D．y＝3x²-2x＋1 4．若 y 与 x-1 成反比例，且当 x＝3 时 y＝4，则 y 与 x 之间的函数关系式是（　　） A．y＝　　B．y＝　　C．y＝　　D．y＝ 5．对于二次函数 y＝-2x²＋4x＋1，下列结论正确的是（　　） A．图象的开口向上　　B．图象的对称轴是直线 x＝-1 C．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小　　D．函数的最大值是 1 6．如图是二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象，它与 x 轴的一个交点是 A(3，0)，对称轴是直线 x＝1，则方程 ax²＋bx＋c＝0 的另一个解是（　　） A．-5　　B．-1　　C．1　　D．5 7．某超市销售一种商品，每件进价为 40 元，当售价为每件 60 元时，每月可卖出 300 件．市场调查反映：售价每上涨 1 元，每月销售量就减少 10 件．设该商品的售价为每件 x 元（x≥60），每月销售这种商品所获利润为 y 元，则 y 与 x 之间的函数关系式是（　　） A．y＝-10x²＋1300x-36000　　B．y＝-10x²＋700x-24000 C．y＝10x²-1300x＋36000　　D．y＝-10x²＋1300x-24000 8．设 x₁、x₂ 是一元二次方程 x²-4x-2＝0 的两个实数根，则 x₁²＋x₂² 的值是（　　） A．16　　B．18　　C．20　　D．24 9．如图，二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象与 x 轴交于点 A(-2，0) 和点 B，且对称轴是直线 x＝1．下列结论：① abc＞0；② 2a＋b＝0；③ a＋b＋c＞0；④ 方程 ax²＋bx＋c＝0 的两个根之和为 2．其中正确的个数是（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 10．如图，点 A、B 是反比例函数 y＝（x＞0）的图象上的两点，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D，且 OC＝CD．若 △OAB 的面积为 6，则 k 的值是（　　） A．4　　B．6　　C．8　　D．12 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．已知 x＝2 是关于 x 的一元二次方程 x²-mx＋6＝0 的一个根， 则方程的另一个根是＿＿＿＿，m＝＿＿＿＿． 12．已知点 A(-2，y₁)、B(1，y₂) 都在反比例函数 y＝ 的图象上， 则 y₁＿＿＿＿y₂（填“＞”“＜”或“＝”）． 13．已知近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）成反比例， 若 200 度的镜片焦距为 0.5 米，则 y＝＿＿＿＿，焦距为 0.25 米时度数为＿＿＿＿度． 14．二次函数 y＝-2x²＋8x-5 的图象的对称轴是直线＿＿＿＿，函数的最大值是＿＿＿＿． 15．将抛物线 y＝x²-2x-3 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度． 所得抛物线的解析式为＿＿＿＿；若它与 x 轴交于 A、B 两点，则 AB＝＿＿＿＿． 16．若关于 x 的一元二次方程 x²-6x＋m＝0 的两个实数根都是正整数，则 m 的值为＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（6分）解下列方程： (1) x²-4x＝5； (2) 3x(x-1)＝2(x-1)． 18．（6分）某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 28 场比赛，应邀请多少个代表队参加比赛？ 19．（8分）已知二次函数 y＝x²-4x＋3． (1) 用配方法把它化成 y＝(x-h)²＋k 的形式； (2) 在给定的平面直角坐标系中，用描点法画出这个函数的图象； (3) 观察所画的图象，直接写出下列结果： 　　① 方程 x²-4x＋3＝0 的解；② 不等式 x²-4x＋3＞0 的解集； 　　③ 当 -1≤x≤4 时，函数值 y 的取值范围． 20．（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售、增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．设每件衬衫降价 x 元，商场平均每天盈利 y 元． (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 21．（10分）如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 y＝ 的图象交于点 A(1，4)，与 x 轴交于点 B(-3，0)． (1) 求反比例函数和一次函数的解析式； (2) 求 △AOB 的面积； (3) 直接写出不等式 kx＋b＞ 的解集． 22．（10分）已知关于 x 的一元二次方程 x²-(2k＋1)x＋k²＋k＝0． (1) 求证：无论 k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 若该方程的两个实数根 x₁、x₂ 满足 x₁²＋x₂²＝5，求 k 的值． 23．（12分）如图，抛物线 y＝-x²-2x＋3 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D． (1) 求点 A、B、C、D 的坐标； (2) 求 △ABC 的面积； (3) 设点 P 是抛物线对称轴上的一动点，当 PA＋PC 最小时，求点 P 的坐标及 PA＋PC 的最小值． 24．（12分）如图，抛物线 y＝x²-2x-8 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C． (1) 求点 A、B、C 的坐标及直线 BC 的解析式； (2) 点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 BC 于点 Q．求线段 PQ 长的最大值； (3) 求 △PBC 面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟数学试题（人教版）【进阶卷】 （满分 120 分　　考试时间 90 分钟　　共 24 小题） 考试范围：第二十五章 一元二次方程　第二十六章 二次函数　第二十七章 反比例函数 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．一元二次方程 x²＋2x-3＝0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根 C．没有实数根　　D．只有一个实数根 【答案】 A 【解析】 a＝1，b＝2，c＝-3，所以 Δ＝b²-4ac＝2²-4×1×(-3)＝4＋12＝16＞0， 所以该方程有两个不相等的实数根．故选 A． 2．抛物线 y＝2(x-1)²＋3 的顶点坐标是（　　） A．(1，3)　　B．(-1，3)　　C．(1，-3)　　D．(-1，-3) 【答案】 A 【解析】 形如 y＝a(x-h)²＋k 的抛物线的顶点坐标是 (h，k)， 这里 h＝1，k＝3，所以顶点坐标为 (1，3)．故选 A． 3．下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝ax²＋bx＋c　　B．y＝(x-1)²-x²　　C．y＝x²＋　　D．y＝3x²-2x＋1 【答案】 D 【解析】 A 中当 a＝0 时 y 不是二次函数，A 错误； B 化简得 y＝x²-2x＋1-x²＝-2x＋1，是一次函数，B 错误； C 中 不是整式，C 错误； D 符合二次函数 y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的形式，一定是二次函数．故选 D． 4．若 y 与 x-1 成反比例，且当 x＝3 时 y＝4，则 y 与 x 之间的函数关系式是（　　） A．y＝　　B．y＝　　C．y＝　　D．y＝ 【答案】 B 【解析】 因为 y 与 x-1 成反比例，所以可设 y＝（k≠0）． 把 x＝3，y＝4 代入，得 4＝，解得 k＝8． 所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝．故选 B． 5．对于二次函数 y＝-2x²＋4x＋1，下列结论正确的是（　　） A．图象的开口向上　　B．图象的对称轴是直线 x＝-1 C．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小　　D．函数的最大值是 1 【答案】 C 【解析】 因为 a＝-2＜0，所以图象的开口向下，A 错误； 对称轴为直线 x＝＝＝1，B 错误； 因为开口向下，所以当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小，C 正确； 当 x＝1 时 y 取最大值 y＝-2＋4＋1＝3，D 错误．故选 C． 6．如图是二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象，它与 x 轴的一个交点是 A(3，0)，对称轴是直线 x＝1，则方程 ax²＋bx＋c＝0 的另一个解是（　　） A．-5　　B．-1　　C．1　　D．5 【答案】 B 【解析】 抛物线与 x 轴的两个交点关于对称轴对称． 设另一个交点为 (x，0)，则 (x＋3)÷2＝1，解得 x＝-1， 所以方程 ax²＋bx＋c＝0 的另一个解是 x＝-1．故选 B． 7．某超市销售一种商品，每件进价为 40 元，当售价为每件 60 元时，每月可卖出 300 件．市场调查反映：售价每上涨 1 元，每月销售量就减少 10 件．设该商品的售价为每件 x 元（x≥60），每月销售这种商品所获利润为 y 元，则 y 与 x 之间的函数关系式是（　　） A．y＝-10x²＋1300x-36000　　B．y＝-10x²＋700x-24000 C．y＝10x²-1300x＋36000　　D．y＝-10x²＋1300x-24000 【答案】 A 【解析】 每件商品的利润为 (x-40) 元； 售价上涨了 (x-60) 元，每月销售量减少 10(x-60) 件， 所以每月销售量为 300-10(x-60)＝(900-10x) 件． 所以 y＝(x-40)(900-10x)＝-10x²＋1300x-36000．故选 A． 8．设 x₁、x₂ 是一元二次方程 x²-4x-2＝0 的两个实数根，则 x₁²＋x₂² 的值是（　　） A．16　　B．18　　C．20　　D．24 【答案】 C 【解析】 由根与系数的关系得 x₁＋x₂＝4，x₁x₂＝-2． 所以 x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²-2x₁x₂＝4²-2×(-2)＝16＋4＝20．故选 C． 9．如图，二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象与 x 轴交于点 A(-2，0) 和点 B，且对称轴是直线 x＝1．下列结论：① abc＞0；② 2a＋b＝0；③ a＋b＋c＞0；④ 方程 ax²＋bx＋c＝0 的两个根之和为 2．其中正确的个数是（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】 C 【解析】 由图象开口向下得 a＜0；由对称轴 x＝＝1 得 b＝-2a＞0； 图象与 y 轴的交点在 y 轴正半轴，故 c＞0． ① a＜0，b＞0，c＞0，所以 abc＜0，① 错误； ② 由 b＝-2a 得 2a＋b＝0，② 正确； ③ 当 x＝1 时函数取最大值，且顶点在 x 轴上方，所以 a＋b＋c＞0，③ 正确； ④ 由对称性得另一个交点为 (4，0)，两根之和为 -2＋4＝2，④ 正确． 所以正确的有 3 个．故选 C． 10．如图，点 A、B 是反比例函数 y＝（x＞0）的图象上的两点，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D，且 OC＝CD．若 △OAB 的面积为 6，则 k 的值是（　　） A．4　　B．6　　C．8　　D．12 【答案】 C 【解析】 设 OC＝CD＝d，则点 A 的横坐标为 d，点 B 的横坐标为 2d， 所以 AC＝，BD＝． 因为 S△AOC＝·d·＝，S△OBD＝·2d·＝， 又四边形 ACDB 中 AC、BD 都垂直于 CD， 所以 S四边形ACDB＝·(AC＋BD)·CD＝·(＋)·d＝． 因为 S△OAB＝S△AOC＋S四边形ACDB-S△OBD＝＋-＝， 所以 ＝6，解得 k＝8．故选 C． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．已知 x＝2 是关于 x 的一元二次方程 x²-mx＋6＝0 的一个根， 则方程的另一个根是＿＿＿＿，m＝＿＿＿＿． 【答案】 3；5 【解析】 由根与系数的关系得两个根之积为 6，所以另一个根为 6÷2＝3． 两个根之和为 m，所以 m＝2＋3＝5． 12．已知点 A(-2，y₁)、B(1，y₂) 都在反比例函数 y＝ 的图象上， 则 y₁＿＿＿＿y₂（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】 ＜ 【解析】 把 x＝-2 代入得 y₁＝6÷(-2)＝-3；把 x＝1 代入得 y₂＝6÷1＝6． 因为 -3＜6，所以 y₁＜y₂． 13．已知近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）成反比例， 若 200 度的镜片焦距为 0.5 米，则 y＝＿＿＿＿，焦距为 0.25 米时度数为＿＿＿＿度． 【答案】 ；400 【解析】 设 y＝（k≠0），把 x＝0.5，y＝200 代入，得 k＝0.5×200＝100， 所以 y 关于 x 的函数关系式是 y＝． 当 x＝0.25 时，y＝100÷0.25＝400，即眼镜的度数是 400 度． 14．二次函数 y＝-2x²＋8x-5 的图象的对称轴是直线＿＿＿＿，函数的最大值是＿＿＿＿． 【答案】 x＝2；3 【解析】 配方得 y＝-2(x²-4x)-5＝-2(x-2)²＋8-5＝-2(x-2)²＋3， 所以图象的对称轴是直线 x＝2； 因为 a＝-2＜0，所以当 x＝2 时函数取最大值，最大值为 3． 15．将抛物线 y＝x²-2x-3 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度． 所得抛物线的解析式为＿＿＿＿；若它与 x 轴交于 A、B 两点，则 AB＝＿＿＿＿． 【答案】 y＝x²-3；2√3 【解析】 因为 y＝x²-2x-3＝(x-1)²-4， 把它向左平移 1 个单位长度，得 y＝(x-1＋1)²-4＝x²-4， 再向上平移 1 个单位长度，得 y＝x²-4＋1＝x²-3， 所以所得抛物线的解析式为 y＝x²-3． 令 y＝0，得 x²-3＝0，解得 x₁＝√3，x₂＝-√3， 即 A、B 两点的横坐标分别为 √3 和 -√3，所以 AB＝√3-(-√3)＝2√3． 16．若关于 x 的一元二次方程 x²-6x＋m＝0 的两个实数根都是正整数，则 m 的值为＿＿＿＿． 【答案】 5，8 或 9 【解析】 设两个正整数根为 x₁、x₂，则 x₁＋x₂＝6，x₁x₂＝m． 满足条件的正整数根只有 (1，5)、(2，4)、(3，3) 三种情况， 对应的 m 分别为 5、8、9，此时 Δ＝36-4m 分别为 16、4、0，均不小于 0． 所以 m 的值为 5，8 或 9． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（6分）解下列方程： (1) x²-4x＝5； (2) 3x(x-1)＝2(x-1)． 【答案】 (1) x₁＝5，x₂＝-1；(2) x₁＝1，x₂＝ 【解析】 (1) 移项得 x²-4x-5＝0，因式分解得 (x-5)(x＋1)＝0， 所以 x-5＝0 或 x＋1＝0，即 x₁＝5，x₂＝-1． (2) 移项得 3x(x-1)-2(x-1)＝0，提公因式得 (x-1)(3x-2)＝0， 所以 x-1＝0 或 3x-2＝0，即 x₁＝1，x₂＝． （注意：不能把方程两边同时除以 (x-1)，否则会漏掉根 x＝1．） 18．（6分）某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 28 场比赛，应邀请多少个代表队参加比赛？ 【答案】 8 个 【解析】 设应邀请 x 个代表队参加比赛． 因为每两队之间只赛一场，所以总的比赛场数为 x(x-1)． 根据题意得 x(x-1)＝28，整理得 x²-x-56＝0， 因式分解得 (x-8)(x＋7)＝0，解得 x₁＝8，x₂＝-7． 因为代表队的个数不能为负数，所以 x＝8． 答：应邀请 8 个代表队参加比赛． 19．（8分）已知二次函数 y＝x²-4x＋3． (1) 用配方法把它化成 y＝(x-h)²＋k 的形式； (2) 在给定的平面直角坐标系中，用描点法画出这个函数的图象； (3) 观察所画的图象，直接写出下列结果： 　　① 方程 x²-4x＋3＝0 的解；② 不等式 x²-4x＋3＞0 的解集； 　　③ 当 -1≤x≤4 时，函数值 y 的取值范围． 【答案】 (1) y＝(x-2)²-1；(2) 见图； (3) ① x₁＝1，x₂＝3；② x＜1 或 x＞3；③ -1≤y≤8 【解析】 (1) y＝x²-4x＋3＝(x²-4x＋4)-4＋3＝(x-2)²-1． (2) 列表如下，然后在坐标系中描点、用平滑曲线顺次连接： x：0　1　2　3　4；对应 y：3　0　-1　0　3． 图象是以点 (2，-1) 为顶点、开口向上的抛物线． (3) ① 由图象与 x 轴的交点得方程的解为 x₁＝1，x₂＝3； ② 图象在 x 轴上方对应的 x 的取值范围是 x＜1 或 x＞3； ③ 当 x＝2 时 y 取最小值 -1；当 x＝-1 时 y＝8，当 x＝4 时 y＝3， 所以当 -1≤x≤4 时，-1≤y≤8． 20．（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售、增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．设每件衬衫降价 x 元，商场平均每天盈利 y 元． (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 【答案】 (1) y＝-2x²＋60x＋800（0≤x≤40）；(2) 每件降价 15 元，最大盈利是 1250 元 【解析】 (1) 每件衬衫降价 x 元后，每件盈利 (40-x) 元， 平均每天可售出 (20＋2x) 件， 所以 y＝(40-x)(20＋2x)＝-2x²＋60x＋800（0≤x≤40）． (2) y＝-2x²＋60x＋800＝-2(x-15)²＋1250． 因为 a＝-2＜0，且 15 在 0≤x≤40 内， 所以当 x＝15 时，y 取最大值 1250． 答：每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天盈利最大，最大盈利是 1250 元． 21．（10分）如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 y＝ 的图象交于点 A(1，4)，与 x 轴交于点 B(-3，0)． (1) 求反比例函数和一次函数的解析式； (2) 求 △AOB 的面积； (3) 直接写出不等式 kx＋b＞ 的解集． 【答案】 (1) y＝，y＝x＋3；(2) 6；(3) -4＜x＜0 或 x＞1 【解析】 (1) 因为点 A(1，4) 在反比例函数 y＝ 的图象上， 所以 m＝1×4＝4，反比例函数的解析式为 y＝． 把 A(1，4)、B(-3，0) 代入 y＝kx＋b，得 k＋b＝4，-3k＋b＝0， 解得 k＝1，b＝3，所以一次函数的解析式为 y＝x＋3． (2) 因为 B(-3，0)，所以 OB＝3； 点 A 到 x 轴的距离为 4，即 △AOB 中 OB 边上的高为 4， 所以 S△AOB＝×3×4＝6． (3) 由 x＋3＝ 得 x²＋3x-4＝0，解得 x₁＝1，x₂＝-4， 即两个图象交点的横坐标分别为 1 和 -4． 观察图象可知，当 -4＜x＜0 或 x＞1 时，直线在双曲线的上方， 所以不等式 kx＋b＞ 的解集为 -4＜x＜0 或 x＞1． 22．（10分）已知关于 x 的一元二次方程 x²-(2k＋1)x＋k²＋k＝0． (1) 求证：无论 k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 若该方程的两个实数根 x₁、x₂ 满足 x₁²＋x₂²＝5，求 k 的值． 【答案】 (1) 见解析；(2) k＝1 或 k＝-2 【解析】 (1) 证明：Δ＝[-(2k＋1)]²-4×1×(k²＋k) ＝4k²＋4k＋1-4k²-4k＝1． 因为 1＞0，所以无论 k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根． (2) 由根与系数的关系得 x₁＋x₂＝2k＋1，x₁x₂＝k²＋k． 所以 x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²-2x₁x₂＝(2k＋1)²-2(k²＋k) ＝4k²＋4k＋1-2k²-2k＝2k²＋2k＋1． 由 2k²＋2k＋1＝5 得 k²＋k-2＝0，解得 k₁＝1，k₂＝-2． 23．（12分）如图，抛物线 y＝-x²-2x＋3 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D． (1) 求点 A、B、C、D 的坐标； (2) 求 △ABC 的面积； (3) 设点 P 是抛物线对称轴上的一动点，当 PA＋PC 最小时，求点 P 的坐标及 PA＋PC 的最小值． 【答案】 (1) A(-3，0)、B(1，0)、C(0，3)、D(-1，4)；(2) 6； (3) P(-1，2)，PA＋PC 的最小值为 3√2 【解析】 (1) 当 y＝0 时，-x²-2x＋3＝0，即 x²＋2x-3＝0， 解得 x₁＝-3，x₂＝1，所以 A(-3，0)、B(1，0)； 当 x＝0 时，y＝3，所以 C(0，3)； 因为 x＝＝-1，此时 y＝-1＋2＋3＝4，所以 D(-1，4)． (2) AB＝1-(-3)＝4，点 C 到 x 轴的距离为 3， 所以 S△ABC＝×4×3＝6． (3) 抛物线的对称轴是直线 x＝-1，点 P 在该直线上． 由 (1) 知 A(-3，0)、C(0，3)，设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋b， 把 A、C 两点坐标代入得 y＝x＋3． 因为 PA＋PC≥AC（当且仅当点 P 在线段 AC 上时取等号）， 所以当 P 是对称轴与直线 AC 的交点时，PA＋PC 的值最小． 当 x＝-1 时，y＝-1＋3＝2，所以 P(-1，2)． 此时 PA＋PC＝AC＝√[(-3-0)²＋(0-3)²]＝√18＝3√2． 24．（12分）如图，抛物线 y＝x²-2x-8 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C． (1) 求点 A、B、C 的坐标及直线 BC 的解析式； (2) 点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 BC 于点 Q．求线段 PQ 长的最大值； (3) 求 △PBC 面积的最大值． 【答案】 (1) A(-2，0)、B(4，0)、C(0，-8)，直线 BC：y＝2x-8； (2) 4；(3) 8 【解析】 (1) 当 y＝0 时，x²-2x-8＝0，解得 x₁＝-2，x₂＝4， 所以 A(-2，0)、B(4，0)；当 x＝0 时，y＝-8，所以 C(0，-8)． 设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋b， 把 B(4，0)、C(0，-8) 代入得 4k＋b＝0，b＝-8，解得 k＝2， 所以直线 BC 的解析式为 y＝2x-8． (2) 设点 P 的横坐标为 t（0＜t＜4）， 则 P(t，t²-2t-8)，Q(t，2t-8)， 所以 PQ＝(2t-8)-(t²-2t-8)＝-t²＋4t＝-(t-2)²＋4． 因为 0＜t＜4，所以当 t＝2 时，PQ 取最大值 4． (3) 因为 PQ∥y 轴，所以 △PBC 被 PQ 分成 △PBQ 与 △PQC， S△PBC＝S△PBQ＋S△PQC＝·PQ·(4-t)＋·PQ·t＝·PQ·4＝2PQ． 所以当 PQ 最大时，S△PBC 也最大， S△PBC 的最大值为 2×4＝8． 学科网（北京）股份有限公司 $