九年级数学上学期期中学情自测·培优卷（新教材湘教版，举一反三，测试范围：第1章 图形的相似～第3章 一元二次方程）

九年级数学上学期期中学情自测·培优卷 【新教材湘教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 图形的相似~第3章 一元二次方程 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．0或4 B．－4 C．4 D．0 2．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）在线段上取C、D两点，已知，，且四条线段、、、是成比例线段，则线段的长为（    ）． A．4 B．3 C．2或3 D．4或3 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在矩形中，连接，点F为下方一点，连接交边于点N，过点F作于点E，交边于点M．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邯郸·三模）关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，，将沿向右平移得到，的对应边恰好经过的中点，连接，若，，则的长为（     ） A．3 B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 7．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 8．（2025·江苏扬州·二模）如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·山东济南·期末）计算：__________． 12．（2026九年级上·全国·专题练习）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则______． 13．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，，若，，，则________． 14．（2026·陕西安康·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两根分别为，．若满足，则的值为________． 15．（2026·广西·中考真题）如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 16．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为_______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2026九年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 18．（6分）（26-27九年级上·北京·课后作业）已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． (1)求线段的长； (2)计算的值． 19．（8分）（2026·安徽芜湖·三模）在边长为1的小正方形网格坐标系中，顶点均为格点，点，对应位似点． (1)描出AC中点D，写出点D坐标； (2)以原点O为位似中心，将放大得到，画出图形． 20．（8分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． (1)求证：； (2)若，，求与的相似比． 21．（10分）（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 22．（10分）（2025·江苏扬州·三模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． (1)猪肉粽每盒的进价为__________元； (2)若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ (3)若满足，求商家每天的最大利润． 23．（12分）（26-27九年级上·全国·课后作业）一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 24．（12分）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中学情自测·培优卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．0或4 B．－4 C．4 D．0 【答案】A 【分析】利用方程的根的定义，将代入原方程得到关于的方程，求解后结合一元二次方程二次项系数不为的要求，确定的取值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入原方程得：， 整理化简得， 解得或． ∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数，即 ∵和都满足条件， ∴的值为或． 2．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）在线段上取C、D两点，已知，，且四条线段、、、是成比例线段，则线段的长为（    ）． A．4 B．3 C．2或3 D．4或3 【答案】C 【详解】此题考查了成比例线段，解分式方程，解一元二次方程，设长为，则，根据四条线段、、、成比例，列出比例方程，转化为一元二次方程求解． 【分析】设长为， ∵，， ∴， ∵四条线段、、、是成比例线段， ∴，即 解得或3， ∴的长为2或． 故选：C． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在矩形中，连接，点F为下方一点，连接交边于点N，过点F作于点E，交边于点M．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质得到，，，利用同角的余角相等证明，最后在中利用正切定义求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， （对顶角相等）， ， ． 4．（2026·河北邯郸·三模）关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】分为和两类讨论，结合根的判别式求出的取值范围． 【详解】解：①当时，该方程为关于的一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且； ②当时，该方程为关于的一元一次方程， 原方程为，有实数根，符合题意； 综上所述，的取值范围为． 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，，将沿向右平移得到，的对应边恰好经过的中点，连接，若，，则的长为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的性质得出，利用三角函数求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：将沿向右平移得到， ， ，， ， ，是的中点， ． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据方程有两个实数根，利用判别式求出参数的取值范围；再通过韦达定理得到两根之和与两根之积，将所求式子展开并转化为关于的代数式并配方，最后在的取值范围内求出最小值． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 且． ∴． ∵，， ∴， ∴的最小值是，故选D． 7．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据相似三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ． 8．（2025·江苏扬州·二模）如图，在等腰直角中，，，D为的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题的核心在于利用折叠的性质（全等）和等腰直角三角形的角度特征，通过角度转换证明，从而将求转化为求．接着，通过设未知数，在中利用勾股定理建立方程求出线段的长度，最后代入三角函数定义求解． 【详解】∵是等腰直角三角形，， ∴，． ∵D为的中点， ∴． 根据折叠的性质可知，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴． 在中，，即， 解得， ∴． ∴． 9．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意，设，，则：，三线合一，得到，进而得到，证明，得到，进而求出的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴设，，则：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得或（不合题意，舍去）； 在中，； 故选A． 10．（2025·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由与都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，，且四个锐角为，利用等式的性质得到，故结论①正确；由，，若，则或与重合，当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故结论②不一定正确；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到，故结论③正确；利用相似三角形对应角相等得，结合得到，利用内错角相等两直线平行得到，故结论④正确；先依托面积为定值，将梯形面积最值转化为面积最值，结合确定的高固定，得最长时面积最大，再借助相似三角形对应边比例将最长转化为最长，由题意得当、重合时最长，即可求出最大值，最后代入梯形面积公式算出最大面积，故结论⑤正确． 【详解】解：∵、都是等腰直角三角形， ∴，， ， ①∵， ∴， 即，故①正确； ②∵， ∴， 若，则或与重合， 当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故②不完全正确； ③∵，， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵为等腰直角三角形且， ∴的面积为定值， ∵， ∴当的面积最大时，梯形的面积最大， 如图，过点作于点，则为等腰直角斜边上的中线， ∴， ∵， ∴中边上的高为定值（即为）， 当的面积最大时最长， ∵， ∴， ∴当最长时，也最长， ∵为线段上任意一动点， ∴当、重合时最长， 此时，则， ， 即四边形的面积最大值为，故⑤正确； 综上，正确的结论是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·山东济南·期末）计算：__________． 【答案】 【详解】解： 12．（2026九年级上·全国·专题练习）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则______． 【答案】 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ∴，， 则． 13．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，，若，，，则________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 14．（2026·陕西安康·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两根分别为，．若满足，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，结合根与系数的关系得到，将其代入已知等式变形求解，即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ，， ， ， ， 整理得：， ，解得． 15．（2026·广西·中考真题）如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，根据可求得，进而可求得，根据勾股定理即可求得． 【详解】解：在正方形中，， ，， ，即， ， ， 中，． 16．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为_______． 【答案】3或 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理．分情况求解是解题的关键． 由题意知，当与相似时，分，，，三种情况求解作答即可． 【详解】解：∵，点为边中点， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠的性质可知，，， 当时，如图1， 当与相似时，， ∴，此时不成立，舍去； 当时，如图2，三点重合，此时，为的中点， ∴； 当时，如图： 此时点与点重合，点与点重合， 此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，线段的长为3或， 故答案为：3或． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2026九年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， 整理得， 由题意得，，，， ， ， 即，． 18．（6分）（26-27九年级上·北京·课后作业）已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． (1)求线段的长； (2)计算的值． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可得，从而求出的正切值即求出了的值． 【详解】（1）解：是边上的高， 和是直角三角形， 在中，，， ， ． 又， ； （2）解：在中，为斜边的中点， ， ， ． 19．（8分）（2026·安徽芜湖·三模）在边长为1的小正方形网格坐标系中，顶点均为格点，点，对应位似点． (1)描出AC中点D，写出点D坐标； (2)以原点O为位似中心，将放大得到，画出图形． 【答案】(1)如图，AC中点； (2) 【详解】解：（1）略 （2）由对应，得位似比为2，将各顶点坐标放大2倍，再取相反数，顺次连接即可得到．图略. 20．（8分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． (1)求证：； (2)若，，求与的相似比． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∴， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）因为是等边三角形，所以三个内角均为；又因为折叠前后对应角相等，所以，利用平角定义和三角形内角和定理，推导，结合，用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似． （2）首先由和的长度计算出的长度，即等边三角形的边长；根据折叠的性质得到，由，，得，得的周长为16，的周长11．进而得出相似比． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∴，， ∴， ， ∴的周长为16，的周长为11． ∵， ∴． 21．（10分）（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) 即恒成立 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）通过根的判别式的恒正性证明方程有两个不相等的实数根； （2）由根与系数关系得到的含的代数式，代入求解的值． 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系： ，， ， ， ， 解得． 22．（10分）（2025·江苏扬州·三模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． (1)猪肉粽每盒的进价为__________元； (2)若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ (3)若满足，求商家每天的最大利润． 【答案】(1)40 (2)55元 (3)1750元 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； （2）根据利润率得到x的取值范围，再根据每盒利润销乘以销售量列出方程，解方程即可； （3）列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值． 【详解】（1）解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， ，解得， 检验：当时，分式方程分母， ，所以是方程的解， 答猪肉粽每盒的进价为40元． （2）解：每盒利润率不超过，即， 解得， 由题意，得 ， 解得：（舍去），， 答：猪肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元． （3）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润， 则：， 配方得：， ∴当时， 随着的增大而增大， ∴当时， （元）， 答：商家每天的最大利润是1750元． 23．（12分）（26-27九年级上·全国·课后作业）一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二、三， 选方案一，灯柱高12米 根据题意可得，， ， ， ． 根据题意可得，， ∴， ， ， ， 解得， 米． 即灯柱高12米． 【分析】由相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行；方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行；选方案一，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可． 【详解】略 24．（12分）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【答案】(1) 证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； (2) 【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又 ， 即， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $