专题02 相似三角形的判定（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以判定方法为核心，构建“方法-模型-易错”三维体系，覆盖6类题型，实现从基础到综合的逻辑递进，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行相似|1典例+3变式|A/X字型模型，对应顶点顺序|从平行线性质到相似判定| |AA证明|1典例+3变式|等角来源（公共角/平行线等）|两角相等推导相似的推理过程| |SAS证明|1典例+3变式|夹角识别，SSA不成立|两边成比例且夹角相等的应用| |SSS证明|1典例+4变式|网格边长计算，对应边排序|三边比例关系的验证逻辑| |综合判定|1典例+7变式|方法选择策略，尺规作图分析|多判定方法的灵活应用递进| |条件补充|1典例+6变式|已有条件分析，判定定理匹配|开放性问题的推理思维培养|

专题02 相似三角形的判定 （题型突破·举一反三） 题型01 平行相似 题型02 利用AA证明相似 题型03 利用SAS证明相似 题型04 利用SSS证明相似 题型05 相似三角形判定的综合 题型06 选择或补充条件证明三角形相似 ▌题型01 平行相似 1．平行判定：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2．基本模型：A字型（平行线在三角形内部）和X字型（平行线在三角形外部，对顶角相等）。 3．易错提醒：平行线必须与三角形的两边（或延长线）相交，注意对应顶点的顺序。 【典例1】已知如图1，2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图1，2中的两个三角形，下列说法正确的是（     ） A．都相似 B．都不相似 C．只有图1相似 D．只有图2相似 【变式1-1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上． (1)在图1中，，相交于点P，则的值为 ； (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法； ①如图2，在线段AB上找一点P，使AP＝4； ②如图3，在线段BC上找一点P，使． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江温州·期末）在一节数学实践课里，老师布置了如下任务：在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺，在图中的线段上找一点，连结，使平分的周长； 如图1为小瑞的作法，其作法是否正确______（填正确或错误），并说明理由． 【变式1-3】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小智同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应任务． 任务： (1)材料中的“依据1”是指________，“依据2”是指________． (2)补全【基本模型拓展】的证明过程． (3)在图3中，若已知物体的高度为，小孔O到桌面的距离为，则实像的高度为________． ▌题型02 利用AA证明相似 1．AA判定：两角分别相等的两个三角形相似（最常用的判定方法）。 2．常见等角来源：对顶角相等、公共角、平行线的同位角/内错角、等边三角形的60°角。 3．易错提醒：只需两组角相等即可，第三组角自动相等（三角形内角和180°）。 【典例2】（2026·上海宝山·二模）如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式2-1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在一条直线上，量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点D是的中点，在上取点E，使． (1)求证：． (2)若，，求的长． ▌题型03 利用SAS证明相似 1．SAS判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 2．关键：必须是"夹角"相等，即成比例的两边所夹的角，不是任意角。 3．易错提醒：两边成比例且其中一边的对角相等不能判定相似（SSA不成立）。 【典例3】（2026·浙江金华·二模）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，与交于点E，且，，． (1)求的长． (2)求证：． 【变式3-2】（24-25九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 【变式3-3】如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． ▌题型04 利用SSS证明相似 1．SSS判定：三边对应成比例的两个三角形相似。 2．网格题技巧：用勾股定理求出各边长，排序后验证对应边比值是否相等。 3．易错提醒：对应边要按大小顺序匹配，最小边对最小边，最大边对最大边。 【典例4】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【变式4-1】（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·福建漳州·期中）若和满足下列条件，其中能使的是（   ） A．，，，，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，，， 【变式4-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，已知．求证：． 【变式4-4】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） ▌题型05 相似三角形判定的综合 1．综合判定：根据题目条件灵活选择AA、SAS、SSS中最合适的判定方法。 2．尺规作图题：通过作图痕迹识别等角或等边关系，再结合判定定理证明相似。 3．易错提醒：多种判定方法都可能适用时，优先选择条件最直接的判定方法。 【典例5】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的、边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（   ） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 【变式5-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是（   ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【变式5-2】（2025·浙江嘉兴·二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，是的延长线上一点，分别与交于点，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在等边三角形中，点E、F分别在上，且，那么下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-5】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-6】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，点在上，，且，． (1)求证：； (2)求的长． 【变式5-7】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”． (1)在中，． ①如图1，若，请过顶点C画出的“形似线段”，并标注必要度数； ②如图2，若，则的“形似线段”的长是______． (2)如图3，在中，，，，若是的“形似线段”，求的长． ▌题型06 选择或补充条件证明三角形相似 1．开放性问题：给定部分条件，选择或补充一个条件使两个三角形相似。 2．分析思路：先看已有条件（公共角、对顶角等），再根据判定定理补充缺失条件。 3．易错提醒：补充条件要满足判定定理的完整要求，注意SSA不能判定相似。 【典例6】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接DE．有以下四个条件： ；；； (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． (2)在（）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【变式6-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，能使成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【变式6-5】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A． B． C． D． 【变式6-6】（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形的判定 （题型突破·举一反三） 题型01 平行相似 题型02 利用AA证明相似 题型03 利用SAS证明相似 题型04 利用SSS证明相似 题型05 相似三角形判定的综合 题型06 选择或补充条件证明三角形相似 ▌题型01 平行相似 1．平行判定：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2．基本模型：A字型（平行线在三角形内部）和X字型（平行线在三角形外部，对顶角相等）。 3．易错提醒：平行线必须与三角形的两边（或延长线）相交，注意对应顶点的顺序。 【典例1】已知如图1，2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图1，2中的两个三角形，下列说法正确的是（     ） A．都相似 B．都不相似 C．只有图1相似 D．只有图2相似 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：在图1中，三角形内角和为， ∴左三角形的第三个角：， ∴三个角为； 右三角形的第三个角：， ∴三个角为； 两个三角形只有一个角相等，三个角不对应相等， ∴图1的两个三角形不相似； 图2中和，和是对顶角， ∴； 夹对应角的边满足：，， 即， ∴图2的两个三角形相似． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上． (1)在图1中，，相交于点P，则的值为 ； (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法； ①如图2，在线段AB上找一点P，使AP＝4； ②如图3，在线段BC上找一点P，使． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了网格中的作图题，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，通过作图构造相似三角形是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定与性质求解即可； （2）①格点C，D满足：，，，连接，交于点P，根据相似三角形的判定与性质求解即可； ②格点D，E满足：，，，连接，交于点P，根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图， 格点C，D满足：，，，连接，交于点P， 则，理由如下： ， ， ， ， ； ②如图， 格点D，E满足：，，，连接，交于点P，则，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 5， ． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江温州·期末）在一节数学实践课里，老师布置了如下任务：在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺，在图中的线段上找一点，连结，使平分的周长； 如图1为小瑞的作法，其作法是否正确______（填正确或错误），并说明理由． 【答案】正确，理由见解析 【分析】利用网络，结合勾股定理，分别求出相关线段的长，再证明，列出比例式分别求得、，再说明平分的周长． 【详解】解：正确 ，理由如下： 如图，          由题意得：， ， ， ，， ， ∴， ∴， ∴ ∴， 即平分的周长， ∴小瑞的作法正确， 故答案为：正确． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，无刻度直尺作图，利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式1-3】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小智同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应任务． “A”字相似模型的拓展探究与应用相似三角形是几何学习的核心内容之一，在学习过程中，通过对各类经典模型进行系统归纳、能够帮助我们快速识别图形特征，灵活应用相似三角形的相关知识解决问题．“A”字形是其中最基本的模型． 【基本模型积累】 如图1，在中，， ．（依据1） ．（依据2） 【基本模型拓展】 在图1的基础上，连接，过点A作的平行线，交的延长线于点F，如图2，通过探究发现，线段之间的关系满足 证明：， ∴… … ． 将式子两边同时除以，得．即． 【拓展模型应用】 据《墨经》记载，在两千多年前，墨子及其学生进行了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理、如图3是小孔成像原理示意图，物体，光屏竖直放置在桌面上，物体经小孔O在光屏上形成倒立的实像（点与点Q重合）．若已知物体的高度和小孔O到桌面的距离，可求出实像的高度． 任务： (1)材料中的“依据1”是指________，“依据2”是指________． (2)补全【基本模型拓展】的证明过程． (3)在图3中，若已知物体的高度为，小孔O到桌面的距离为，则实像的高度为________． 【答案】(1)依据1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 依据2：相似三角形的对应边成比例． (2)见解析 (3)10 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质回答； （2）可得，得，可得，得，得，即得； （3）先证明，得；再证明，得．得，得，将代入解得． 【详解】（1）解：材料中的“依据1”是指平行于三角形一边的直线与三角形的其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； “依据2”是相似三角形的对应边成比例． 故答案为：平行于三角形一边的直线与三角形的其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例． （2）证明：， ①， ， ②， ∴，得． 将式子两边同时除以， 得． 即． （3）解：∵， ∴， ∴①； ∵， ∴， ∴②． ①+②，得， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． ▌题型02 利用AA证明相似 1．AA判定：两角分别相等的两个三角形相似（最常用的判定方法）。 2．常见等角来源：对顶角相等、公共角、平行线的同位角/内错角、等边三角形的60°角。 3．易错提醒：只需两组角相等即可，第三组角自动相等（三角形内角和180°）。 【典例2】（2026·上海宝山·二模）如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 【变式2-1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够找到两角相等是证得的关键． 由，证明，可证得． 【详解】证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在一条直线上，量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)河宽为60米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用． （1）由，可得结论． （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解： ，， ． （2）解：∵， ， 由题意知，，，， 即， ， 答：河宽为60米． 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点D是的中点，在上取点E，使． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴． (2)7 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、线段的中点、线段的和差等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接根据两组对应角相等的三角形相似即可证明结论； （2）由线段的中点可得，由（1）得，再利用相似三角形的性质可得，最后利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵点D是的中点， ∴， 由（1）得， ∴，即，解得：， ∴． ▌题型03 利用SAS证明相似 1．SAS判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 2．关键：必须是"夹角"相等，即成比例的两边所夹的角，不是任意角。 3．易错提醒：两边成比例且其中一边的对角相等不能判定相似（SSA不成立）。 【典例3】（2026·浙江金华·二模）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，与交于点E，且，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明； （1）根据相似三角形的判定和性质解答即可； （2）证出，利用相似三角形的判定解答即可． 【详解】（1）解：， △△； ， ； （2）证明：，， ， ， ． 【变式3-2】（24-25九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，D为边上一点，，求证：．． 【答案】 证明：在中，为边上一点，， ， ， ， ． 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】略 【变式3-3】如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了勾股定理及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，进而求出的长； （2）根据，，得，又，可得，根据相似三角形的判定即可得到． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）略 ▌题型04 利用SSS证明相似 1．SSS判定：三边对应成比例的两个三角形相似。 2．网格题技巧：用勾股定理求出各边长，排序后验证对应边比值是否相等。 3．易错提醒：对应边要按大小顺序匹配，最小边对最小边，最大边对最大边。 【典例4】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：第一个三角形的边长分别为：，2，； 第二个三角形的边长分别为：，，； 第三个三角形的边长分别为：2，，； 第四个三角形的边长分别为：，3，； ∵，对应边成比例的是①和③． 故选：A． 【变式4-1】（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握相似三角形的判定定理，抓住三角形三边的比值相同来判断相似是解题关键． 利用相似三角形对应边成比例，先求出的三边长，求出三边的比为，再分别求出各选项中三角形的三边长从小到大排序，求出三边的比值，判断即可． 【详解】解：的三条边长度为，三边的比例为； 选项A：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项B：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项C：三角形的三边长为，三边的比例为，与相似，符合题意要求； 选项D：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 故选C． 【变式4-2】（25-26九年级上·福建漳州·期中）若和满足下列条件，其中能使的是（   ） A．，，，，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，，， 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定——三组对应边成比例，则两个三角形相似． 分别计算对应边的比例，判断是否相等，即可得出两个三角形是否相似． 【详解】解：A、∵，，，∴，∴．故此选项符合题意； B、∵，，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式4-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，已知．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先根据相似三角形的判定证明，再根据相似三角形的对应角相等得到即可求解． 【详解】证明：， ， ． ． 即． 【变式4-4】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定： （1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可； （2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． ▌题型05 相似三角形判定的综合 1．综合判定：根据题目条件灵活选择AA、SAS、SSS中最合适的判定方法。 2．尺规作图题：通过作图痕迹识别等角或等边关系，再结合判定定理证明相似。 3．易错提醒：多种判定方法都可能适用时，优先选择条件最直接的判定方法。 【典例5】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的、边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（   ） A．0种 B．1种 C．2种 D．3种 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，作一个角等于已知角，作已知角的平分线，圆内接四边形性质，相似三角形的判定等知识，综合性强﹒①由尺规作图可得四边形是圆内接四边形，证明，结合，即可证明；②由尺规作图可得，结合，即可证明；③由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线，证明，得到，即可证明﹒ 【详解】解：①由尺规作图可得四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②由尺规作图可得， 又∵， ∴； ③由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 即正确的有3种． 故选：D． 【变式5-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是（   ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【答案】B 【分析】由得到，结合，根据三角形相似的判定解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：由得到， 又， 故， 故选：B． 【变式5-2】（2025·浙江嘉兴·二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，圆内接四边形的性质，三角形中位线定理．分别根据作图痕迹，依据相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：B、由作图知，， ∴，故本选项不符合题意； C、由作图知，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，点和点分别是和的中点， ∴， ∴，故本选项不符合题意； A、由作图知，和分别是的角平分线，不能说明和相似，故本选项符合题意； 故选：A． 【变式5-3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，是的延长线上一点，分别与交于点，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．根据平行四边形性质得到平行是关键．根据平行四边形性质得，，可得，，． 【详解】解：A、四边形是平行四边形， ， ，不符合题意； B、四边形是平行四边形， ， ，不符合题意； C、四边形是平行四边形， ， ，不符合题意； D、无法证明，符合题意； 故选：D． 【变式5-4】（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在等边三角形中，点E、F分别在上，且，那么下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，先根据“两边对应成比例且夹角相等”得，再根据相似三角形的对应角相等得，然后根据“两角相等的两个三角形相似”得，，比较和各角之间的关系得出答案． 【详解】∵，是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 所以A，C，D正确； 在和中，， 可知这两个三角形不相似． 所以B不正确． 故选：B． 【变式5-5】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断A； 利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断B； 由2对角分别相等，可以证明，由此判断C； 由已知条件判定不成立，由此判断D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又是的中点， ∴， ∴， ∴， 又是上一点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A成立； 又 ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴， 故B成立； ∵， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 故C成立； ，但， ∴不成立， 故D不成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据正方形的性质证明，利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式5-6】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，点在上，，且，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定、解直角三角形的相关计算、勾股定理等知识． （1）由，，即可证明； （2）在中，由三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由三角函数求得的长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵在中，， ， ， ， ， ， ∴的长度为． 【变式5-7】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”． (1)在中，． ①如图1，若，请过顶点C画出的“形似线段”，并标注必要度数； ②如图2，若，则的“形似线段”的长是______． (2)如图3，在中，，，，若是的“形似线段”，求的长． 【答案】(1)①见解析；②或 (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，勾股定理，解题的关键是掌握三角形相似的判定及性质，及利用分论讨论的思想进行求解． （1）①使即可，②分情况讨论，当时，当时，结合勾股定理求解； （2）进行分类讨论，分和，结合，，进行求解． 【详解】（1）解：①如图所示，线段即为所求，； ②当时，如下图： ， ， ， ， 当时，如下图： 设，则， ， 解得：， ， 则的“形似线段”的长是或， 综上分析可知，的“形似线段”的长为或． （2）解：①若， 则． ，，， ． ②若， 则． ，，， ． 综上所述，． ▌题型06 选择或补充条件证明三角形相似 1．开放性问题：给定部分条件，选择或补充一个条件使两个三角形相似。 2．分析思路：先看已有条件（公共角、对顶角等），再根据判定定理补充缺失条件。 3．易错提醒：补充条件要满足判定定理的完整要求，注意SSA不能判定相似。 【典例6】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接DE．有以下四个条件： ；；； (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． (2)在（）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【答案】(1)选择，理由见解析； (2)的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （）根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得证； （）由题意可得，由相似三角形的性质可得，再代入计算即可得解． 【详解】（1）解：选：， 理由：∵，， ∴； 选：， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴； 选： 理由：∵， ∴， ∵， ∴； 选：：， 因为夹角不一定相等， 所以与不一定相似； （2）解：∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为． 【变式6-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，能使成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定．根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】解：由题意得，， 若添加，利用两边及其夹角法可判断， 故选项C符合题意； 、、均不能判定，故不符合题意． 故选：C． 【变式6-2】如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． 【详解】解：A．能判定，符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； B．不能判定，不符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； C．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似； D．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似． 故选B． 【变式6-3】（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 【变式6-4】（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 【变式6-5】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，平行线的性质与判定，对于A，可证明得到，再由得到，据此可证明；对于B，所加条件和现有条件无法证明；对于C、可证明，则同A可证明；对于D，根据平行线的性质得到，则可证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， 再结合条件不能证明，故此选项符合题意； C、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式6-6】（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)③ (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使； （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ， 即菱形的边长为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $