第25章 一元二次方程 单元测试卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程单元卷，含选择（10题30分）、填空（8题24分）、解答（8题66分），覆盖定义、解法、根的判别式、应用题等核心知识点，结合现实情境与综合探究，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、根的判别式、增长率问题|如第6题降价百分率，考查数学建模| |填空题|8/24|根与系数关系、动点几何、利润问题|如第16题文创产品利润，体现应用意识| |解答题|8/66|解方程、配方法求最值、矩形动点问题|如25题矩形动点，综合几何与方程，发展推理能力|

一元二次方程单元测试试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C． D．ax2+bx+c＝0 解：A、x2﹣5x＝1，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、3x+2y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2.将方程2（x+1）2＝7x+5化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．2，3 B．2，﹣3 C．2，7 D．2，﹣7 解：将方2（x+1）2＝7x+5化成一般形式为2x2﹣3x﹣3＝0，所以二次项系数为2，一次项系数为﹣3. 故选：B． 3.如果2是方程x2﹣cx+2＝0的一个根，那么c的值是（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 解：∵2是方程x2﹣cx+2＝0的一个根，∴22﹣2c+2＝0，解得c＝3.故选：A． 4.要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队 参加比赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 解：设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝90．故选：D． 5.已知一元二次方程x2+x+1=0，下列判断正确的是（       ） A．该方程有两个不相等的实数根 B．该方程有两个相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况无法确定 解：在方程x2+x+1=0中，a=1，b=1，c=1，∴Δ=12-4×1×1=-3＜0，∴方程x2+x+1=0没有实数根． 故选：C． 6.种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( ) A．150(1－x2)＝96 B．150(1－x)＝96 C．150(1－x)2＝96 D．150(1－2x)＝96 解：第一次降价后的价格为150(1－x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x， 为150(1－x)(1－x)，则列出的方程是150(1－x)2＝96．故选：C． 7.若一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位 于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：∵两根之和m＝x1+x2＝＝﹣2，两根之积n＝x1x2＝＝﹣3，∴点（m，n）即为（﹣2，﹣3）， ∵点的横坐标小于0，纵坐标小于0，∴该点位于第三象限．故选：C． 8.已知关于x的一元二次方程（m－1）x2－2x＋1＝0，要使该方程有实数根，则m必须满足（       ） A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1 解：∵关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根，∴m-1≠0，且Δ=22-4×(m-1)×1≥0， 解得：m≤2且m≠1．故选：D． 9.关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 解：∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0，∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0， ∵x1＞x2，∴x1＝m+2，x2＝m﹣2， ∵x1＝2x2+3，∴m+2＝2（m﹣2）+3，解得m＝3．故选：C． 10.已知m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，则（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝（　　） A．2008 B．8002 C．2009 D．2020 解：∵m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根， ∴m2+2016m+7＝0，n2+2016n+7＝0，m+n＝﹣2016，mn＝7， ∴m2+2015m+m+7＝0，n2+2017n﹣n+7＝0，∴m2+2015m＝﹣m﹣7，n2+2017n＝n﹣7， ∴（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝（﹣m﹣7+6）（n﹣7+8）＝（﹣m﹣1）（n+1） ＝﹣mn﹣m﹣n﹣1＝﹣7+2016﹣1＝2008， 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．若关于x的方程2xm﹣2+3x+5＝0是一元二次方程，则m的值为　 　． 解：∵关于x的方程2xm﹣2+3x+5＝0是一元二次方程，∴m﹣2＝2，解得m＝4． 故答案为：4． 12.已知a是方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　 　． 解：将x＝a代入原方程得：a2﹣2a﹣5＝0，∴a2﹣2a＝5，∴原式（a2﹣2a）5． 故答案为：． 13.关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝　 　． 解：由根与系数的关系得：，故答案为：﹣4． 14.已知关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2，则该一元二次方程的解为　 　． 解：原方程整理得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， ∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴（x﹣1）＝0或（x﹣2）＝0，∴x1＝1，x2＝2． 故答案为：x1＝1，x2＝2． 15.若|b﹣1|+|a﹣4|＝0，且关于x的一元二次方程kx2+ax+b＝0（k≠0）有实数根，则k的取值范围 是　 　． 解：∵|b﹣1|+|a﹣4|＝0，∴b＝1，a＝4，∴原方程为kx2+4x+1＝0， ∵该一元二次方程有实数根，∴Δ＝16﹣4k≥0，解得：k≤4， ∵方程kx2+ax+b＝0是一元二次方程，∴k≠0，k的取值范围是：k≤4且k≠0， 故答案为：k≤4且k≠0． 16.第七届山西文博会在山西潇河国际会展中心成功举办，文创产品“大眼琉璃鸱（ci）吻”扩香摆件引发 抢购热潮．已知“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件的成本为50元/个，当售价定为80元/个时，每月可售出2000 件，市场反馈显示，售价每提高2元/个，月销量就会减少50件．某企业希望通过销售“大眼琉璃鸱吻”扩 香摆件实现每月61250元的利润．设此时的售价为x元/个，则根据题意可列方程为　 　． 解：当售价定为80元/个时，每月可售出2000件，市场反馈显示，售价每提高2元/个，月销量就会减少50件．设此时售价为x元，根据题意，成本为50元/件，原售价80元时月销量2000件，售价每提高2元月销量减少50件，售价从80元提高到x元，提高了（x﹣80）元，销量减少量为件， ∴当前销量为：件， ∵利润＝（售价﹣成本）×销量，∴可列方程：． 故答案为：． 17.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速 度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过　 　s后，P，Q两点 之间相距25cm． 解：设x秒后P、Q两点相距25cm，则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm， 由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，解得，x1＝10，x2＝0（舍去）， 则10秒后P、Q两点相距25cm．故答案是：10． 18.设a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2024b＝　 　． 解：∵a为x2+x﹣2021＝0的根，∴a2+a﹣2021＝0， 即a2＝﹣a+2021，∴a3＝a（﹣a+2021）＝﹣a2+2021a＝a﹣2021+2021a＝2022a﹣2021， ∴a3+a2+3a+2024b＝2022a﹣2021﹣a+2021+3a+2024b＝2024（a+b）， ∵a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，∴a3+a2+3a+2024b＝2024×（﹣1）＝﹣2024． 故答案为：﹣2024． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程 （1）x2﹣2x﹣1＝0. （2）x（x﹣2）＝x﹣2． （3）x2﹣4x﹣2＝0. （4）（x+4）2﹣5（x+4）＝0. 解：（1）x2﹣2x﹣1＝0， x2﹣2x＝1， x2﹣2x+1＝1+1， （x﹣1）2＝2， 则， 所以，. （2）x（x﹣2）＝x﹣2， x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， 则x﹣1＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝1，x2＝2． （3）x2﹣4x﹣2＝0， x2﹣4x+4＝6， （x﹣2）2＝6， x﹣2＝， 所以x1＝+2，x2＝+2. （4）（x+4）2﹣5（x+4）＝0， （x+4）（x+4﹣5）＝0， x+4＝0或x+4﹣5＝0， 所以x1＝﹣4，x2＝1. 20．（6分）已知关于x的方程（m2﹣9）x2+（m+3）x+2＝0． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 解：（1）根据题意得m2﹣9＝0且m+3≠0， 解得m＝3， 即当m＝3时，关于x的方程（m2﹣9）x2+（m+3）x+2＝0是一元一次方程； （2）根据题意得m2﹣9≠0， 解得m≠3且m≠﹣3， 即当m≠3且m≠﹣3时，关于x的方程（m2﹣9）x2+（m+3）x+2＝0是一元二次方程． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根x1+2x2＝7，求m的值． 解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×m≥0， 解得m≤4； （2）根据题意得x1+x2＝4，x1•x2＝m， ∵x1+2x2＝7， ∴4+x2＝7， ∴x2＝3， ∴x1＝1， ∴m＝3． 22．（8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某 品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份 销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：150（1+x）2＝216，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000， 整理，得：y2﹣130y+4000＝0， 解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 23．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2+3m+5＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在第（1）问的条件下，若x1，x2是一元二次方程的两个实数根，当时，求m的值． 解：（1）根据题意得Δ＝4m2﹣4（m2+3m+5）＞0， 解得m，即m的取值范围为m； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2m，x1x2＝m2+3m+5， ∵， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝10， ∴4m2﹣2（m2+3m+5）＝10， 整理得m2﹣3m﹣10＝0，解得m1＝5，m2＝﹣2， ∵m， ∴m为﹣2． 24．（9分）在学习了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，李老师提出问题：求代数式﹣x2+2x+2 的最大值．同学们经过探索、合作交流，最后得到如下的解法： 解：﹣x2+2x+2＝﹣（x2﹣2x+12﹣12）+2＝﹣（x﹣1）2+3 ∵﹣（x﹣1）2≤0， ∴﹣（x﹣1）2+3≤3． 当﹣（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+3的值最大，最大值为3． ∴﹣x2+2x+2的最大值是3． 请你根据上述方法，解答下列问题： （1）求代数式﹣y2﹣6y+2的最大值． （2）求代数式﹣2a2+8a﹣3的最大值． （3）若x2﹣3x+y﹣10＝0，求y﹣x的最大值． 解：（1）﹣y2﹣6y+2＝﹣（y+3）2+11， ∵﹣（y+3）2≤0， ∴﹣（y+3）2+11≤11． ∴﹣y2﹣6y+2的最大值是11． （2）﹣2a2+8a﹣3＝﹣2（a2﹣4a+4﹣4）﹣3＝﹣2（a﹣2）2+5， ∵﹣2（a﹣2）2≤0， ∴﹣2（a﹣2）2+5≤5． ∴﹣2a2+8a﹣3的最大值是5． （3）∵x2﹣3x+y﹣10＝0， ∴y﹣x＝﹣x2+2x+10＝﹣（x﹣1）2+11， ∵﹣（x﹣1）2≤0， ∴﹣（x﹣1）2+11≤11． ∴y﹣x的最大值是11． 25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B 同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm，∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵B在PQ的垂直平分线上，∴PB＝BQ，∴10﹣2t＝4t，解得， ∴当时，点B在PQ的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm，∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°， 由勾股定理得PQ2＝PB2+BQ2，∴（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm； （3）由题意得，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm， ∵△PQC的面积等于32cm2，∴，∴， ∴t＝1或t＝7（舍去）， ∴当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2． 26．（10分）按要求解答下列问题． （1）我们知道，命题“若两个数a，b的和与这两个数的积均为整数，则这两个数a，b必为整数．”是假命题，请举出一个反例，如a＝　 　，b＝　 　； （2）若关于x的方程x2﹣mx+m﹣2＝0（m为整数）的两根为整数，求m的值及对应方程的根； （3）设x1，x2是方程x2﹣px+q＝0（p，q为整数）的两根，且p2＝4q，数，试探究x1，x2均为整数． 解：（1）a，b，验算：a+b＝0，ab＝﹣2均是整数，但a，b都不是整数． 故答案为：，； （2）设关于x的方程x2﹣mx+m﹣2＝0（m为整数）的两根分别为x1，、x2， 由题意得：，把m＝x1+x2代入第二个式子得：x1x2＝（x1+x2）﹣2， 移项得：x1x2﹣x1﹣x2＝﹣2， 两边同加1得：（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣1． ∵x1，x2是整数，∴（x1﹣1）、（x2﹣1）都是整数，且乘积为﹣1． 分情况讨论： 情况1：x1﹣1＝1，x2﹣1＝﹣1，解得：x1＝2，x2＝0，∴m＝x1+x2＝2； 情况2：x1﹣1＝﹣1，x2﹣1＝1，解得x1＝0，x2＝2，∴m＝2． 综上，m＝2，方程根为0和2； （3）证明：∵p2＝4q， ∴p2﹣4q＝0（p、q为整数）． ∵x1，x2是方程x2﹣px+q＝0的根，∴Δ＝p2﹣4q＝0， ∴方程x2﹣px+q＝0有两个相等实数根，∴． ∵p2＝4q，∴，又q是整数，∴是整数．即p2是4的倍数，∴p必为偶数． 设 p＝2k，k为整数，则：是整数． ∴x1，x2都是整数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次方程单元测试试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C． D．ax2+bx+c＝0 2.将方程2（x+1）2＝7x+5化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．2，3 B．2，﹣3 C．2，7 D．2，﹣7 3.如果2是方程x2﹣cx+2＝0的一个根，那么c的值是（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 4.要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队 参加比赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 5.已知一元二次方程x2+x+1=0，下列判断正确的是（       ） A．该方程有两个不相等的实数根 B．该方程有两个相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况无法确定 6.种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( ) A．150(1－x2)＝96 B．150(1－x)＝96 C．150(1－x)2＝96 D．150(1－2x)＝96 7.若一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位 于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8.已知关于x的一元二次方程（m－1）x2－2x＋1＝0，要使该方程有实数根，则m必须满足（       ） A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1 9.关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 10.已知m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，则（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝（　　） A．2008 B．8002 C．2009 D．2020 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．若关于x的方程2xm﹣2+3x+5＝0是一元二次方程，则m的值为　 　． 12.已知a是方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　 　． 13.关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝　 　． 14.已知关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2，则该一元二次方程的解为　 ． 15.若|b﹣1|+|a﹣4|＝0，且关于x的一元二次方程kx2+ax+b＝0（k≠0）有实数根，则k的取值范围 是　 　． 16.第七届山西文博会在山西潇河国际会展中心成功举办，文创产品“大眼琉璃鸱（ci）吻”扩香摆件引发 抢购热潮．已知“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件的成本为50元/个，当售价定为80元/个时，每月可售出2000 件，市场反馈显示，售价每提高2元/个，月销量就会减少50件．某企业希望通过销售“大眼琉璃鸱吻”扩 香摆件实现每月61250元的利润．设此时的售价为x元/个，则根据题意可列方程为　 　． 17.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速 度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过　 　s后，P，Q两点 之间相距25cm． 18.设a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2024b＝　 　． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解方程 （1）x2﹣2x﹣1＝0. （2）x（x﹣2）＝x﹣2． （3）x2﹣4x﹣2＝0. （4）（x+4）2﹣5（x+4）＝0. 20．（6分）已知关于x的方程（m2﹣9）x2+（m+3）x+2＝0． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根x1+2x2＝7，求m的值． 22．（8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某 品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份 销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2+3m+5＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在第（1）问的条件下，若x1，x2是一元二次方程的两个实数根，当时，求m的值． 24．（9分）在学习了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，李老师提出问题：求代数式﹣x2+2x+2 的最大值．同学们经过探索、合作交流，最后得到如下的解法： 解：﹣x2+2x+2＝﹣（x2﹣2x+12﹣12）+2＝﹣（x﹣1）2+3 ∵﹣（x﹣1）2≤0， ∴﹣（x﹣1）2+3≤3． 当﹣（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+3的值最大，最大值为3． ∴﹣x2+2x+2的最大值是3． 请你根据上述方法，解答下列问题： （1）求代数式﹣y2﹣6y+2的最大值． （2）求代数式﹣2a2+8a﹣3的最大值． （3）若x2﹣3x+y﹣10＝0，求y﹣x的最大值． 25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B 同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 26．（10分）按要求解答下列问题． （1）我们知道，命题“若两个数a，b的和与这两个数的积均为整数，则这两个数a，b必为整数．”是假命题，请举出一个反例，如a＝　 　，b＝　 　； （2）若关于x的方程x2﹣mx+m﹣2＝0（m为整数）的两根为整数，求m的值及对应方程的根； （3）设x1，x2是方程x2﹣px+q＝0（p，q为整数）的两根，且p2＝4q，数，试探究x1，x2均为整数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $