第二十五章 一元二次方程 单元检测 2026-2027学年人教版九年级数学上册

2026秋人教九上原创情景题单元检测 第二十五章检测卷 时间：100分钟　满分：120分 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是(　　) A． x2＋=4　 　B． ax2＋bx＋c=0 C． (x＋5)(x－2)=1　 　D． x2＋y=2 2. 关于x的一元二次方程2x2＋x=5的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　　) A． 2，1，5　　 B． 2，1，－5　　 C． 2，0，－5　　 D． 2，0，5 3. 下列一元二次方程中，无实数根的是(　　) A． x2－4x＋4=0　　 B． x2＋3x=0 C． 2x2－x－3=0　　 D． －x2＋4x=6 4. 已知x2－6x＋11=(x■)2＋2，则被覆盖的部分是(　　) A． －9　　B． －3　　C． ＋3　　D． ＋9 5.(趋势情境　数学文化) 《九章算术》“勾股”章有一题，其大意是：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，问门的高和宽各是多少(1丈=10尺，1尺=10寸)？设门的宽为x尺，则可列方程为(　　) A． x2＋(x＋6.8)2=100　　 B． x＋100=(x＋6.8)2 C． 100＋(x＋6.8)2=x2　　 D． (x＋6.8)2－x2=100 6. 关于x的一元二次方程x2－x－c=0有实数根，则c可取的最小整数是(　　) A． 2　　 B． 1　　 C． 0　　 D． －1 7. 定义一种新的运算法则：a⊗b=(a＋b)•b，如2⊗3=(2＋3)×3=15，若关于x的方程2⊗x=k的一个根为2，则另一个根为(　　) A． 4　　 B． －4　　 C． 8　　 D． －8 8. 有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1 855，则原两位数是(　　) A． 35　　 B． 53　　 C． 62　　 D． 35或53 9. 若x=a是方程x2＋x－1=0的根，则代数式2 025＋a2＋的值是(　　) A． 2 025　　 B． 2 026　　 C． 2 027　　 D． 2 028 10. 如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE=AB=3，AD=4，则方程x2＋6x－16=0的正数解是(　　) A． 线段AE的长　　 B． 线段BE的长 C． 线段CE的长　　 D． 线段AC的长 二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分) 11. 若关于x的一元二次方程的根为x=，则该一元二次方程是　　　　　　　　． 12. 已知(m＋1)xm2＋1＋3x＋2=0是关于x的一元二次方程，则方程中m的值为　　　　． 13. (趋势情境 传统文化)屏风历史悠久，是中国古代居室内的重要家具和装饰品．如图是一个屏芯长80 cm，宽60 cm的矩形小座黄花木屏风示意图，屏芯周围被边框宽度相同的屏框包围，且整个屏风的面积为6 300 cm2(不包括底座)，则屏框的宽度为　　　　cm． 14. 张林和李冬在解一道关于x的一元二次方程时，张林在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，李冬在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为－2和－5，则原来的方程二次项系数化为1后是　　　　． 15. 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1=0的两根之差为4，则代数式12a－b2的最大值为　　　　． 三、解答题(共8小题，共75分) 16. (10分)用合适的方法解下列方程： (1)9(2－7x)2=81； (2)3x2－18x＋10=－2. 17. (8分)在数学活动课上，老师出了一道一元二次方程的试题“(x－1)2=(3x＋1)2”，让同学们解答并进行小组讨论，甲、乙两位同学的做法如下： 甲同学： 解：两边同时开方，得x－1=3x＋1， 移项、合并同类项，得－2x=2， 系数化为1，得x=－1， ∴原方程的解为x=－1. 乙同学： 解：整理，得x2－2x＋1=9x2＋6x＋1， 移项、合并同类项，得8x2＋8x=0， 除以8x，得x＋1=0， ∴原方程的解为x=－1. 任务1：试判断两位同学的解法：甲：　　　　，乙：　　　　；(填“√”或“✕”) 任务2：请用正确的方法解以上方程． 18. (8分)(趋势情境 跨学科)在化学老师的讲解下，小明作为课代表第一个学会电解水实验，接下来在分组自由讨论课中，第一节课他教会了若干名同学，第二节课已经会做实验的同学每个人也教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都会做这个实验了．则每个人一节课教会了多少名同学？ 19. (8分)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋2m－2=0(m为常数)． (1)求证：不论m取何值，此方程总有两个实数根； (2)若等腰△ABC的一边长为4，另外两边长恰好是这个方程的两个实数根，求此时m的值． 20. (9分)忻州被称为“中国杂粮之都”，某村民在第一年承包种植红芸豆100亩，由于收成不错，于是每年都增加种植面积，到第三年共种植144亩． (1)求该村民种植红芸豆亩数的年平均增长率； (2)某特产店销售该品种红芸豆，市场调查发现，当红芸豆售价为10元/千克时，每周能售出2 000千克，售价每降低1元，每周可多售出100千克，为了尽量减少库存，该特产店决定降价促销，已知该红芸豆的平均成本价为5元/千克，若使销售该种红芸豆每周获利4 600元，则售价应降低多少元？ 21. (10分)(中考新考法•阅读理解题)阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4－5x2＋4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y＋4=0①， 解得y1=1，y2=4. 当y=1时，x2=1，∴x=±1； 当y=4时，x2=4，∴x=±2； ∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2. (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用　　　　法达到　　　　的目的，体现了数学的转化思想； (2)解方程(x2＋x)2－7(x2＋x)＋12=0. 22. (10分)(教材新增练习改编)如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A开始以1 cm/s的速度沿AB边向B移动，点Q从点B开始以2 cm/s的速度沿BC边向点C移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为x秒． (1)是否存在某一时刻使得△PQD的面积等于8 cm2？若存在，求出运动的时间；若不存在，请说明理由； (2)几秒后，△PQD是以DP为斜边的直角三角形？ 23. (12分)(中考新考法•项目式学习)某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于x的二次三项式ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，利用根的判别式Δ=b2－4ac可以求该多项式的最值．比如：求x2＋2x＋3的最小值，令y=x2＋2x＋3，则x2＋2x＋3－y=0，则Δ=4－4(3－y)=－8＋4y≥0，可解得y≥2，从而确定x2＋2x＋3的最小值为2.这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求3x2＋4x－2的最小值； 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式x2－ax＋3(a为常数)的最小值为－1，求a的值； 任务3 应用新知：利用已有知识经验，求证：周长为a的矩形中，正方形的面积最大． 答案解析 1. C　【解析】x2＋=4是分式方程，不是整式方程，故选项A不符合题意；ax2＋bx＋c=0中，当a=0时，原式不是一元二次方程，故选项B不符合题意；(x＋5)(x－2)=1中含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且为整式方程，是一元二次方程，故选项C符合题意；x2＋y=2中含有2个未知数，不是一元二次方程，故选项D不符合题意． 2. B　【解析】∵关于x的一元二次方程2x2＋x=5的一般形式为2x2＋x－5=0，∴二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是－5. 3. D　【解析】Δ=b2－4ac=(－4)2－4×1×4=0，有两个相等的实数根，故选项A不符合题意；Δ=b2－4ac=32－4×1×0=9＞0，有两个不相等的实数根，故选项B不符合题意；Δ=b2－4ac=(－1)2－4×2×(－3)=25＞0，有两个不相等的实数根，故选项C不符合题意；Δ=b2－4ac=42－4×(－1)×(－6)=－8＜0，无实数根，故选项D符合题意． 4. B　【解析】x2－6x＋11=x2－6x＋9＋2=(x－3)2＋2，所以被覆盖部分为－3. 5. A　【解析】∵门的宽为x尺，则门的高为(x＋6.8)尺，门的对角线长10尺，∴由勾股定理得x2＋(x＋6.8)2=100. 6. C　【解析】根据题意得Δ=(－1)2－4×(－c)≥0，解得c≥－，所以c的最小整数值是0. 7. B　【解析】根据题意，得2⊗x=k可写为(2＋x)x=k，即x2＋2x－k=0，∵该方程的一个根为2.∴22＋2×2－k=0，∴k=8，∴x2＋2x－8=0，解得x1=2，x2=－4，∴另一个根为－4. 8. D　【解析】设十位数字为x，则个位数字为(8－x)，根据题意，得(10x＋8－x)［10(8－x)＋x］=1 855，解得x1=3或x2=5，∴这个两位数为35或53. 9. D　【解析】由题意可得a2=1－a，∴2 025＋a2＋=2 025＋(1－a)＋=2025＋=2 025＋=2 025＋=2 025＋3=2 028. 10. C　【解析】x2＋6x－16=0，(x－2)(x＋8)=0，x－2=0或x＋8=0，解得x=2或－8；∵四边形ABCD是矩形，AE=AB=3，∴BC=AD=4，∠ABC=90°，∴AC==5，∴CE=AC－AE=5－3=2.∴方程x2＋6x－16=0的正数解是线段CE的长． 11. 5x2＋3x－2=0　【解析】根据题意，得a=5，b=3，c=－2，则该一元二次方程是5x2＋3x－2=0. 12. 1　【解析】由题意得m2＋1=2且m＋1≠0，解得m=1. 13. 5　【解析】设屏框的宽度为x cm，根据题意可列方程为(80＋2x)(60＋2x)=6 300，解得x1=－75(舍去)，x2=5，∴屏框的宽度为5 cm． 14. x2－7x＋10=0　【解析】设原来的方程为ax2＋bx＋c=0(a≠0)，由题知，－=6＋1=7，=(－2)×(－5)=10，∴b=－7a，c=10a，所以原来的方程为ax2－7ax＋10a=0，则x2－7x＋10=0. 15. 1　【解析】设方程的两个根为x1和x2，根据题意，得x1=，x2=，∴=4，整理得=4，∴b2－4a=16a2，∴b2=16a2＋4a，∴12a－b2=12a－(16a2＋4a)=－16a2＋8a=－16(a－)2＋1.∵－16(a－)2≤0，∴当a=时，－16(a－)2＋1取得最大值且最大值为1，即12a－b2的最大值为1. 16. 解：(1)两边同除以9，得(2－7x)2=9， 由此可得2－7x=±3， ∴x1=，x2=－；(5分) (2)二次项系数化为1，得x2－6x＋=－， 移项、合并同类项，得x2－6x=－4， 配方，得x2－2×3x＋32=－4＋32，即(x－3)2=5， 由此可得x－3=±， ∴x1=3＋，x2=3－．(10分) 17. 解：任务1：✕，✕；(3分) 任务2：整理，得x2－2x＋1=9x2＋6x＋1， 移项、合并同类项，得8x2＋8x=0， 因式分解，得8x(x＋1)=0， 于是得8x=0或x＋1=0， 解得x1=0，x2=－1.(8分) 18. 解：设每个人一节课教会x名同学，则第一节课教会x名同学，第二节课教会x(1＋x)名同学， 根据题意，得1＋x＋x(1＋x)=49， 即(1＋x)2=49， 解得x1=6，x2=－8(不符合题意，舍去)． 答：每个人一节课教会6名同学．(8分) 19. (1)证明：∵Δ=b2－4ac=［－(m＋1)］2－4×1×(2m－2)=(m－3)2≥0， ∴不论m取何值，此方程总有两个实数根；(4分) (2)解：由(1)可得，Δ=(m－3)2， ∴根据求根公式可得x==， ∴x1=m－1，x2=2， ∴等腰△ABC的三边长分别为4，m－1，2， 当腰长为2时，边长2，2，4无法构成三角形，故排除； 当腰长为4时，m－1=4，解得m=5，(8分) 20. 解：(1)设该村民种植红芸豆亩数的年平均增长率为x， 根据题意得：100(1＋x)2=144， 解得x1=0.2=20%，x2=－2.2(不符合题意，舍去)． 答：该村民种植红芸豆亩数的年平均增长率为20%；(4分) (2)设售价应降低m元，则每千克的销售利润为(10－m－5)元，每周能售出(2 000＋100m)千克， 根据题意，得(10－m－5)(2 000＋100m)=4 600， 整理得m2＋15m－54=0， 解得m1=3，m2=－18， 又∵要尽量减少库存且让顾客得到实惠， ∴m=3. 答：售价应降低3元．(9分) 21. 解：(1)换元；降次；(4分) (2)设x2＋x=y，于是原方程可变为y2－7y＋12=(y－3)(y－4)=0， 解得y1=3，y2=4. 当y=3时，x2＋x=3， 解得x1=，x2=； 当y=4时，x2＋x=4， 解得x3=，x4=； ∴原方程有四个根：x1=，x2=，x3=，x4=．(10分) 22. 解：(1)不存在．理由如下 设出发x秒时△DPQ的面积等于8 cm2. ∵S矩形ABCD－S△APD－S△BPQ－S△CDQ=S△DPQ， ∴6×12－×12×x－×(6－x)•2x－(12－2x)×6=8， ∴x2－6x＋28=0， ∵Δ=b2－4ac=36－4×28=－76＜0， ∴原方程无实数根， 即不存在某一时刻使得△PQD的面积等于8 cm2；(5分) (2)∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴PD2=x2＋122，PQ2=(6－x)2＋(2x)2，QD2=(12－2x)2＋62， ∵△PQD是以DP为斜边的直角三角形， ∴PD2=PQ2＋QD2，即x2＋122=(6－x)2＋(2x)2＋(12－2x)2＋62， 整理得2x2－15x＋18=0， 解得x1=6，x2=， 即当秒或6秒后，△PQD是以PD为斜边的直角三角形．(10分) 23. 任务1：解：由题意，令y=3x2＋4x－2， ∴3x2＋4x－2－y=0. ∴Δ=16－4×3×(－2－y)≥0. ∴y≥－． ∴3x2＋4x－2的最小值为－；(3分) 任务2：解：由题意，令y=x2－ax＋3， ∴x2－ax＋3－y=0. ∴Δ=a2－4×(3－y)≥0. ∴y≥－． 又∵y的最小值为－1， ∴－=－1. ∴a=±4；(7分) 任务3：证明：设矩形的长为x，则宽为－x，面积为S， ∴S=x•(－x)=－x2＋x． ∴x2－x＋S=0. ∴Δ=－4×S≥0. ∴S≤． ∴当x=时，S最大=，此时－x=，即四边形为正方形时，面积最大．(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $