6.4平行线 讲义 2026--2027学年苏科版七年级数学上册

第6章 6.4 平行线 内 容 导 航 题型1 同位角、内错角、同旁内角 题型2 平行线 题型3 平行公理及推论 题型4 平行线的判定 题型5 平行线的性质 题型6 平行线的判定与性质 考 点 演 练 题型1 同位角、内错角、同旁内角 解｜题｜知｜识 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【典例1】如图，直线b，c被直线a所截，下列说法不正确的是（　　） A．∠1与∠5是内错角 B．∠3与∠5是对顶角 C．∠1与∠4是同位角 D．∠1与∠2是同旁内角 【变式1】下列说法中错误的是（　　） A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．同位角相等 D．对顶角相等 【变式2】对于下列四个说法： ①过两点有且只有一条直线； ②两点之间线段的长度叫作这两点之间的距离； ③两个相等的角是对顶角； ④如果AC＝BC，则点C是线段AB的中点； ⑤同位角相等． 其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】如图，直线BD上有一点C，∠1和∠ABC是直线AB，CE被直线DB 所截形成的　 　 角；∠2和∠BAC是直线CE和AB被直线AC 所截形成的　 　 角；∠3和∠ABC是直线 和 被直线 所截形成的　 　 角． 题型2 平行线 解｜题｜知｜识 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 【典例1】在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式1】下列说法中正确的是（　　） A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B．在同一平面内，不相交的两条线段必平行 C．两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等 D．两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行 【变式2】如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，下列各棱与棱AB平行的是（　　） A．BC B．CG C．EH D．HG 【变式3】如图，在6×4的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都在格点上．连接点A、B得线段AB． （1）连接C、D、E、F中的任意两点，共可得　 　 条线段，在图中画出来； （2）在（1）中所连得的线段中，与AB平行的线段是 ； （3）用三角尺或量角器度量、检验，AB及（1）中所连得的线段中，互相垂直的线段有几对？（请用“⊥”表示出来） ． 题型3 平行公理及推论 解｜题｜知｜识 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 【典例1】如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，做法如下：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【变式1】下列说法中，正确的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式2】如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【变式3】已知三条不同的直线a、b和c，a∥b，c∥b，则a和c位置关系是 　 ． 题型4 平行线的判定 解｜题｜知｜识 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【典例1】在如图中，如果∠1与∠2、∠3与∠4、∠2与∠5分别互补，那么（　　） A．a∥b B．c∥d C．d∥e D．c∥e 【变式1】已知∠1＝∠2，下列图形中，能确定AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在下列给出的条件中，可以判定AB∥CD的有（　　） ①∠1＝∠2； ②∠1＝∠3； ③∠2＝∠4； ④∠DAB+∠ABC＝180°； ⑤∠BAD+∠ADC＝180°． A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．②③⑤ 【变式3】AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．BE与DF平行吗？为什么？ 解：BE∥DF．理由如下： ∵AB⊥BC，（ 　 　 ） ∴∠ABC＝ 　 　 °， 即∠3+∠4＝ 　 °， 又∵∠1+∠2＝90°，（ 　 ） 且∠2＝∠3， ∴　 　 ＝ 　 　 ，（ 　 　 ） ∴BE∥DF．（ 　 　 ） 题型5 平行线的性质 解｜题｜知｜识 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 【典例1】如图1，高铁车顶上的“受电弓”能保持稳定和高效的电能传输，其示意图如图2所示，已知AB∥CD，∠2＝30°，∠E＝85°，则∠1的度数为（　　） A．115° B．125° C．135° D．145° 【变式1】如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，若∠1＝55°，则∠2的度数为（　　） A．55° B．115° C．125° D．135° 【变式2】如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，且CD∥BE．若∠1＝α，则∠2的度数为（　　） A．3α B．180°﹣3α C．4α D．180°﹣4α 【变式3】已知，如图，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O．点P为射线OC上一点，从点P引两条射线分别交直线AB于点D，E（点D在点O左侧，点E在点O右侧），过点O作OF∥PD交PE于点F，G为线段PD上一点，过G作GM⊥AB于点M． （1）①依题意补全图形； ②若∠DPO＝62°，求∠EOF的度数； （2）写出表示∠EOF与∠PGM的数量关系的等式，并说明理由． 题型6 平行线的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 【典例1】嘉淇将2块含30°角的直角三角板按照如图所示的方式放置，使其中一块的长直角边BC与另一块的短直角边CD重合，AC与ED交于点O，有下列结论：①AB∥DE；②AC⊥ED；③AC平分∠BCE．其中错误的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG+∠PMN＝∠GPM．其中正确的是（　　） A．①② B．①③④ C．①②④ D．③④ 【变式2】下列说法中，正确的是（　　） A．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式3】如图，∠1＝50°，∠2＝130°，∠C＝∠D． （1）BD与CE平行吗？请说明理由？ （2）探索∠A与∠F的数量关系，并说明理由． 过 关 验 收 1. 下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①② 2. 下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 3. 如果两条平行线与第三条直线相交，那么一组同旁内角的平分线互相（　　） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 4. 下列各式中，错误的个数是（　　） （1）若两个角互为补角，则这两个角中至少有一个钝角 （2）两条不平行的直线被第三条直线所截，同旁内角相等 （3）两个锐角的和还是锐角 （4）绝对值等于本身的数是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 5. 有下列说法：①两条不相交的直线叫平行线；②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线相交所成的四个角中，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直；④有公共顶点的两个角是对顶角．其中说法正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6. 观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7. 在同一平面内，两条不相重合的直线位置关系有两种：　 　 和　 　 ． 8. （1）画线段AC＝30mm（点A在左侧）； （2）以C为顶点，CA为一边，画∠ACM＝90°； （3）以A为顶点，AC为一边，在∠ACM的同侧画∠CAN＝60°，AN与CM相交于点B；量得AB＝　 　 mm； （4）画出AB中点D，连接DC，此时量得DC＝　 mm；请你猜想AB与DC的数量关系是：AB＝　 　 DC （5）作点D到直线BC的距离DE，且量得DE＝　 　 mm，请你猜想DE与AC的数量关系是：DE＝　 AC，位置关系是　 　 ． 9. 给出下列说法： ①对顶角相等；②等角的补角相等；③两点之间所有连线中，线段最短；④过任意一点P，都能画一条直线与已知直线平行．其中正确说法的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 11. 下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短；②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是2；③相等的角是对顶角；④过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；⑤若AC＝BC，则点C是线段AB的中点，其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12. 下列说法正确的有（　　）个 ①非负整数包括0和正整数；②射线AO和射线OA是同一条射线；③两点之间线段最短；④0是单项式； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑥若（x﹣3）2+|y+1|＝0，则x+y＝4． A．4 B．5 C．6 D．3 13. 如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A 14. 如图，下列条件能判断AD∥BC的是（　　） A．∠2＝∠4 B．∠3＝∠4 C．∠1+∠3＝180° D．∠1+∠4＝180° 15. 如图，给出下列条件，其中不能判定a∥b的是（　　） A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3 C．∠1+∠5＝180° D．∠2+∠4＝180° 16. 如图，∠EAD＝130°，∠B＝50°，试说明EF∥BC． 17. 在两千多年前我们祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，如图，这是在称物时的状态，已知∠2＝70°，则∠1的度数是（　　） A．130° B．110° C．70° D．20° 18. 如图，AB∥CD，射线CE平分∠BCD，点F为CE的反向延长线上的一点，连接BF，且满足，若∠BFC＝α，∠ABF＝β，则α与β满足的关系式为（　　） A．α+β＝90° B．α+2β＝180° C． D．β＝4α 19. 如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM至点C，AB平分∠DAC，点N在直线DB上，且BN平分∠FBC，若∠ACB＝110°．则下列结论： ①∠MAB＝∠BAD； ②∠ABM＝∠BAM； ③∠NBC＝∠BDH； ④设∠CBM＝α，则； ⑤∠DBA＝55°． 其中，正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 20. 小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知MN∥PQ． （1）如图1，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线PQ上，若∠BAQ＝25°，则∠BDN的度数为 　 ； （2）如图2，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D，F分别落在直线MN，PQ上，若FE平分∠DFP，则DE是否平分∠MDF？请说明理由； （3）小明将三角板ABC与三角板DEF按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且FE＞FA，若三角板ABC绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段FE上时停止，在旋转的过程中，当三角板的AB边与三角板DEF的某条边平行时，请直接写出满足条件的∠DFA的度数． 21. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为 　 ． 22. 抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为 　 　 ． 23. 下列说法：①a∥b，b∥c，则a∥c；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④对顶角相等．正确的是 　 （填序号）． 24. 完成下面的证明：如图，△ABC中，点E在AC上，EF⊥AB于点F，点D在AB上，EB与CD相交于点H，且∠BHC+∠FEB＝180°．求证：CD⊥AB． 证明：∵∠BHC+∠FEB＝180°（已知）， 又∠BHC+∠CHE＝180°（平角的定义）， ∴∠ ＝∠ （　 　 ）， ∴EF∥CD（　 　 ）， ∴∠AFE＝∠ （　 　 ）， 又∵EF⊥AB（已知）， ∴∠AFE＝90°（　 　 ）， ∴∠ADC＝　 　 （等式的基本事实）， ∴CD⊥AB（　 　 ）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 6.4 平行线 内 容 导 航 题型1 同位角、内错角、同旁内角 题型2 平行线 题型3 平行公理及推论 题型4 平行线的判定 题型5 平行线的性质 题型6 平行线的判定与性质 考 点 演 练 题型1 同位角、内错角、同旁内角 解｜题｜知｜识 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【典例1】如图，直线b，c被直线a所截，下列说法不正确的是（　　） A．∠1与∠5是内错角 B．∠3与∠5是对顶角 C．∠1与∠4是同位角 D．∠1与∠2是同旁内角 【答案】C 【解答】解：A、∠1与∠5是内错角，故此选项不符合题意； B、∠3与∠5是对顶角，故此选项不符合题意； C、∠1与∠4不是同位角，故此选项符合题意； D、∠1与∠2是同旁内角，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列说法中错误的是（　　） A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．同位角相等 D．对顶角相等 【答案】C 【解答】解：A．两点确定一条直线，因此选项A不符合题意； B．同角的补角相等，因此选项B不符合题意； C．两直线平行，同位角相等，若两条直线不平行，同位角也不相等，因此选项C符合题意； D．对顶角相等，因此选项D不符合题意． 故选：C． 【变式2】对于下列四个说法： ①过两点有且只有一条直线； ②两点之间线段的长度叫作这两点之间的距离； ③两个相等的角是对顶角； ④如果AC＝BC，则点C是线段AB的中点； ⑤同位角相等． 其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①过两点有且只有一条直线，是直线公理，正确； ②两点之间线段的长度叫作这两点之间的距离，是距离的定义，正确； ③两个相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形底角），错误； ④如果AC＝BC，点C可能不在线段AB上（如在AB的垂直平分线上），不一定是中点，错误； ⑤同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，错误； 综上所述，正确的有①和②，共2个，所以只有选项B正确，符合题意． 故选：B． 【变式3】如图，直线BD上有一点C，∠1和∠ABC是直线AB，CE被直线DB 所截形成的　同位　 角；∠2和∠BAC是直线CE和AB被直线AC 所截形成的　内错　 角；∠3和∠ABC是直线AB 和AC 被直线CB 所截形成的　同旁内　 角． 【答案】DB，同位；AC，内错；AB，AC，CB，同旁内． 【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的定义解答如下： 直线BD上有一点C，∠1和∠ABC是直线AB，CE被直线DB所截形成的同位角；∠2和∠BAC是直线CE和AB被直线AC所截形成的内错角；∠3和∠ABC是直线AB和AC被直线CB所截形成的同旁内角． 故答案为：DB，同位；AC，内错；AB，AC，CB，同旁内． 题型2 平行线 解｜题｜知｜识 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 【典例1】在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解答】解：由题意知，在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有3条， 故选：C． 【变式1】下列说法中正确的是（　　） A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B．在同一平面内，不相交的两条线段必平行 C．两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等 D．两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行 【答案】D 【解答】解：（1）∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，故A选项错误； （2）两条不相交的直线必平行，但是线段的长是有限的，故不相交的两条线段不一定平行，故B选项错误； （3）只有两条平行的直线被第三条直线所截，所得的同位角才相等，故C选项错误； （4）如图： ∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CFE． ∵EN平分∠BEF，FM平分∠CFE， ∴∠NEF∠BEF，∠MFE∠CFE， ∴∠NEF＝∠MFE，∴EN∥FM．故D选项正确； 故选：D． 【变式2】如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，下列各棱与棱AB平行的是（　　） A．BC B．CG C．EH D．HG 【答案】D 【解答】解：结合图形可知，与棱AB平行的棱有CD，EF，GH． 故选：D． 【变式3】如图，在6×4的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都在格点上．连接点A、B得线段AB． （1）连接C、D、E、F中的任意两点，共可得　6　 条线段，在图中画出来； （2）在（1）中所连得的线段中，与AB平行的线段是FD ； （3）用三角尺或量角器度量、检验，AB及（1）中所连得的线段中，互相垂直的线段有几对？（请用“⊥”表示出来）CD⊥CE，DF⊥DE，AB⊥DE ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1所示，连接C、D、E、F中的任意两点，共可得6条线段； 故答案为：6； （2）与线段AB平行的线段是FD； 故答案为：FD； （3）互相垂直的线段有：CD⊥CE，DF⊥DE，AB⊥DE； 故互相垂直的线段有3对， 故答案为：CD⊥CE，DF⊥DE，AB⊥DE． 题型3 平行公理及推论 解｜题｜知｜识 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 【典例1】如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，做法如下：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【解答】解：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是：垂线段最短． 故选：C． 【变式1】下列说法中，正确的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，原说法错误； B、在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交两种，原说法错误； C、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确； 故选：D． 【变式2】如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】C 【解答】解：由题意得， 这样做的理由是：两点之间线段最短， 故选：C． 【变式3】已知三条不同的直线a、b和c，a∥b，c∥b，则a和c位置关系是　平行　 ． 【答案】平行 【解答】解：∵a∥b，c∥b， ∴a∥c， 故答案为：平行． 题型4 平行线的判定 解｜题｜知｜识 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【典例1】在如图中，如果∠1与∠2、∠3与∠4、∠2与∠5分别互补，那么（　　） A．a∥b B．c∥d C．d∥e D．c∥e 【答案】D 【解答】解：∵∠1与∠2、∠2与∠（5分）别互补， ∴∠1＝∠5， ∴e∥c， 故选：D． 【变式1】已知∠1＝∠2，下列图形中，能确定AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都可以判定两条被截直线平行判断如下： A选项：∠1和∠2是直线AE、DF被直线DA所截形成的同位角，当∠1＝∠2时，根据同位角相等，两直线平行可证AE∥DF，不能证明AB∥CD，故A选项不符合题意； B选项：∠1和∠2是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，当∠1＝∠2时，根据内错角相等，两直线平行可证AB∥CD，故B选项符合题意； C选项：∠1和∠2不是直线AB、CD被第三条直线所截形成的角，当∠1＝∠2时，不能判断AB∥CD，故C选项不符合题意； D选项：∠1和∠2不是直线AB、CD被第三条直线所截形成的角，当∠1＝∠2时，不能判断AB∥CD，故D选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】如图，在下列给出的条件中，可以判定AB∥CD的有（　　） ①∠1＝∠2； ②∠1＝∠3； ③∠2＝∠4； ④∠DAB+∠ABC＝180°； ⑤∠BAD+∠ADC＝180°． A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．②③⑤ 【答案】D 【解答】解：①∠1＝∠2不能判定AB∥CD，不符合题意； ②∵∠1＝∠3，∴AB∥CD，符合题意； ③∵∠2＝∠4，∴AB∥CD，符合题意； ④∠DAB+∠ABC＝180°；不能判定AB∥CD，不符合题意； ⑤∵∠BAD+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，符合题意． 故选：D． 【变式3】AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．BE与DF平行吗？为什么？ 解：BE∥DF．理由如下： ∵AB⊥BC，（ 　已知　 ） ∴∠ABC＝ 　90　 °， 即∠3+∠4＝ 　90　 °， 又∵∠1+∠2＝90°，（ 　已知　 ） 且∠2＝∠3， ∴　∠1　 ＝ 　∠4　 ，（ 　等角的余角相等　 ） ∴BE∥DF．（ 　同位角相等，两直线平行　 ） 【答案】已知；90；90；已知；∠1；∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 【解答】解：BE∥DF．理由如下： ∵AB⊥BC（已知）， ∴∠ABC＝90°， 即∠3+∠4＝90°， 又∵∠1+∠2＝90°（已知）， 且∠2＝∠3， ∴∠1＝∠4（等角的余角相等）， ∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；90；90；已知；∠1；∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 题型5 平行线的性质 解｜题｜知｜识 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 【典例1】如图1，高铁车顶上的“受电弓”能保持稳定和高效的电能传输，其示意图如图2所示，已知AB∥CD，∠2＝30°，∠E＝85°，则∠1的度数为（　　） A．115° B．125° C．135° D．145° 【答案】B 【解答】解：如图，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠2＝∠AEF＝30°，∠1+∠CEF＝180°， ∴∠CEF＝∠AEC﹣∠AEF＝85°﹣30°＝55°， ∴∠1＝180°﹣∠CEF＝180°﹣55°＝125°， 故选：B． 【变式1】如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，若∠1＝55°，则∠2的度数为（　　） A．55° B．115° C．125° D．135° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠EFC， ∵∠1＝55°， ∴∠EFC＝55°， ∴∠2＝180°﹣∠EFC＝125°． 故选：C． 【变式2】如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，且CD∥BE．若∠1＝α，则∠2的度数为（　　） A．3α B．180°﹣3α C．4α D．180°﹣4α 【答案】D 【解答】解：设AC交BE于点M，延长DB到点P，延长QD到点L， ∵AC∥BD， ∴∠BMC+∠MBD＝180°， ∵CD∥BE， ∴∠CDB+∠MBD＝180°， ∴∠CDB＝∠BMC， 由折叠得∠ABM＝∠ABP，∠CDB＝∠CDL， ∵∠1＝∠ABP， ∴∠ABM＝∠1＝α， ∴∠CDB＝∠BMC＝∠ABM+∠1＝2α， ∴∠LDB＝2∠CDB＝4α， ∵∠2+∠LDB＝180°， ∴∠2+4α＝180°， ∴∠2＝180°﹣4α， 故选：D． 【变式3】已知，如图，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O．点P为射线OC上一点，从点P引两条射线分别交直线AB于点D，E（点D在点O左侧，点E在点O右侧），过点O作OF∥PD交PE于点F，G为线段PD上一点，过G作GM⊥AB于点M． （1）①依题意补全图形； ②若∠DPO＝62°，求∠EOF的度数； （2）写出表示∠EOF与∠PGM的数量关系的等式，并说明理由． 【答案】（1）①；②28°； （2）∠PGM﹣∠EOF＝90°，理由如下： ∵OC⊥AB， ∴∠POF＝90°﹣∠EOF． ∵OF∥PD， ∴∠GPO＝∠POF＝90°﹣∠EOF． ∵GM⊥AB， ∴∠GMD＝∠POD＝90°， ∴GM∥PO， ∴∠PGM+∠GPO＝180°， 则∠PGM+90°﹣∠EOF＝180°， ∴∠PGM﹣∠EOF＝90°． 【解答】解：（1）①图形如图所示， ； ②∵OF∥PD，∠DPO＝62°， ∴∠POF＝∠DPO＝62°． ∵OC⊥AB， ∴∠POE＝90°， ∴∠EOF＝∠POE﹣∠POF＝90°﹣62°＝28°； （2）∠PGM﹣∠EOF＝90°，理由如下： ∵OC⊥AB， ∴∠POF＝90°﹣∠EOF． ∵OF∥PD， ∴∠GPO＝∠POF＝90°﹣∠EOF． ∵GM⊥AB， ∴∠GMD＝∠POD＝90°， ∴GM∥PO， ∴∠PGM+∠GPO＝180°， 则∠PGM+90°﹣∠EOF＝180°， ∴∠PGM﹣∠EOF＝90°． 题型6 平行线的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 【典例1】嘉淇将2块含30°角的直角三角板按照如图所示的方式放置，使其中一块的长直角边BC与另一块的短直角边CD重合，AC与ED交于点O，有下列结论：①AB∥DE；②AC⊥ED；③AC平分∠BCE．其中错误的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解答】解：由题意得，∠B＝∠EDC＝90°， ∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行），①正确，不符合题意； ∵AB∥DE，∠A＝60°， ∴∠DOC＝∠A＝60°， ∴AC与ED不垂直，故②错误，符合题意； ∵∠ACB＝30°，∠ECD＝60°， ∴， ∴AC平分∠BCE，故③正确，不符合题意， 则只有②错误， 故选：B． 【变式1】如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG+∠PMN＝∠GPM．其中正确的是（　　） A．①② B．①③④ C．①②④ D．③④ 【答案】C 【解答】解：∵△EGF，△MPN是直角三角形， ∴∠EGF＝∠MPN＝90°， ∵∠GPM＝180°﹣∠MPN＝180°﹣90°＝90°， ∴∠GPM＝∠EGF， ∴GE∥MP， ∴①正确； ∵∠GEF＝60°，∠EGF＝90°， ∴∠EFG＝30°， ∵∠EFG+∠EFN＝180°， ∴∠EFN＝150°； ∴②正确； 过点G作AB∥JK， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥JK， ∴∠KGN＝∠MNP＝45°，∠AEG＝∠EGK， ∵∠EGF＝90°＝∠EGK+∠KGN， ∴∠EGK＝45°， ∴∠AEG＝45°， ∵∠GEF＝60°， ∴∠BEF＝180°﹣∠AEG﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣60°＝75°； ∴③错误； ∵∠MNP＝45°，∠MPN＝90°， ∴∠PMN＝180°﹣∠MNP﹣∠MPN＝180°﹣90°﹣45°＝45°； ∵∠AEG＝45°， ∴∠AEG+∠PMN＝45°+45°＝90°＝∠GPM； ∴④正确； 综上所述，正确的为：①②④； 故选：C． 【变式2】下列说法中，正确的是（　　） A．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【解答】解：A．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交两种，故该选项错误，不符合题意； B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项错误，不符合题意； C．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故该选项错误，不符合题意； D．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项正确，符合题意， 故选：D 【变式3】如图，∠1＝50°，∠2＝130°，∠C＝∠D． （1）BD与CE平行吗？请说明理由？ （2）探索∠A与∠F的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）BD∥CE，理由如下： ∵∠1＝50°，∠2＝130°， ∴∠1+∠2＝180°， ∴BD∥CE； （2）∠A＝∠F，理由如下： ∵BD∥CE， ∴∠C＝∠ABD， ∵∠C＝∠D， ∴∠ABD＝∠D， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠F． 【解答】解：（1）BD∥CE，理由如下： ∵∠1＝50°，∠2＝130°， ∴∠1+∠2＝180°， ∴BD∥CE； （2）∠A＝∠F，理由如下： ∵BD∥CE， ∴∠C＝∠ABD， ∵∠C＝∠D， ∴∠ABD＝∠D， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠F． 过 关 验 收 1. 下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①② 【答案】A 【解答】解：图①②④中，∠1和∠2是同位角， 故选：A． 2. 下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意； B、∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，符合题意； C、∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意； D、∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意． 故选：B． 3. 如果两条平行线与第三条直线相交，那么一组同旁内角的平分线互相（　　） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【解答】解：如图所示， ∵AB∥CD， ∴∠BGH+∠DHG＝180°． 又MG、MH分别平分∠BGH和∠DHG， ∴∠1∠BGH，∠2∠DHG， ∴∠1+∠2＝90°． 故选：A． 4. 下列各式中，错误的个数是（　　） （1）若两个角互为补角，则这两个角中至少有一个钝角 （2）两条不平行的直线被第三条直线所截，同旁内角相等 （3）两个锐角的和还是锐角 （4）绝对值等于本身的数是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：（1）若两个角互为补角，则这两个角也可能均为直角，故本项说法错误，符合题意； （2）两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本项说法错误，符合题意； （3）两个锐角的和有可能为直角或钝角，故本项说法错误，符合题意； （4）绝对值等于本身的数除了是正数外，还有零，故本项说法错误，符合题意． ∴错误的个数是4． 故选：D． 5. 有下列说法：①两条不相交的直线叫平行线；②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线相交所成的四个角中，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直；④有公共顶点的两个角是对顶角．其中说法正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：①同一平面内，两条不相交的直线叫平行线；故不符合题意； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故符合题意； ③两条直线相交所成的四个角中，如果有两个角相等，那么这两条直线不一定互相垂直；故不符合题意； ④有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角是对顶角；故不符合题意； 故其中说法正确的个数是1， 故选：A． 6. 观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：图中与AB平行的棱有：EF、CD、GH．共有3条． 故选：B． 7. 在同一平面内，两条不相重合的直线位置关系有两种：　相交　 和　平行　 ． 【答案】相交；平行 【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系． 故答案为：相交，平行． 8. （1）画线段AC＝30mm（点A在左侧）； （2）以C为顶点，CA为一边，画∠ACM＝90°； （3）以A为顶点，AC为一边，在∠ACM的同侧画∠CAN＝60°，AN与CM相交于点B；量得AB＝　60　 mm； （4）画出AB中点D，连接DC，此时量得DC＝　30　 mm；请你猜想AB与DC的数量关系是：AB＝　2　 DC （5）作点D到直线BC的距离DE，且量得DE＝　15　 mm，请你猜想DE与AC的数量关系是：DE＝　　 AC，位置关系是　平行　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）作法：①作射线AO； ②在射线AO上截取线段AC＝30mm； （2）作法：以C为顶点，利用量角器测得∠ACM＝90°； （3）作法：以A为顶点，利用量角器测得∠CAN＝60°； 在直角三角形ABC中，∠CAB＝60°，AC＝30mm， ∴AB＝AC÷cos∠CAB＝60mm； （4）作法：利用直尺，以A点为起点，量得AD＝30mm，点D即为所求； 在直角三角形ABC中，CD为斜边AB上的中线， ∴CDAB＝30mm； ∴AB＝2DC； （5）作法：过点D作DE∥AC交CM于点E，DE即为所求； ∵DE⊥BC，AC⊥BC， ∵DE∥AC， ∴DE：AC＝BD：AC＝1：2， ∴DEAC＝15mm． 故答案为：（3）60；（4）30、2；（5）15、、平行． 9. 给出下列说法： ①对顶角相等；②等角的补角相等；③两点之间所有连线中，线段最短；④过任意一点P，都能画一条直线与已知直线平行．其中正确说法的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：①对顶角相等，正确； ②等角的补角相等，正确； ③两点之间所有连线中，线段最短，正确； ④应为过直线外任意一点P，都能画一条直线与已知直线平行， 综上所述，说法正确的有①②③共3个． 故选：C． 10. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解答】解：A、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故A符合题意； B、两点确定一条直线，是直线的性质，故B不符合题意； C、连接两点的所有线中，线段最短，故C不符合题意； D、平行线的一条性质，故D不符合题意． 故选：A． 11. 下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短；②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是2；③相等的角是对顶角；④过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；⑤若AC＝BC，则点C是线段AB的中点，其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：①中所述两点之间的所有连线中，直线段最短，故本说法正确； ②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是2和﹣4，所以本说法错误； ③中相等的角不一定是对顶角，但对顶角相等，故本说法错误； ④中应为过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故本说法错误； ⑤中AC＝BC，则点C是线段AB的中点，本说法错误． 故题中②③④⑤四个说法错误． 故选：D． 12. 下列说法正确的有（　　）个 ①非负整数包括0和正整数；②射线AO和射线OA是同一条射线；③两点之间线段最短；④0是单项式； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑥若（x﹣3）2+|y+1|＝0，则x+y＝4． A．4 B．5 C．6 D．3 【答案】A 【解答】解：①非负整数包括0和正整数，说法正确； ②射线AO和射线OA不是同一条射线，说法错误； ③两点之间线段最短，说法正确； ④0是单项式，说法正确； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，说法正确； ⑥若（x﹣3）2+|y+1|＝0，则x＝3，y＝﹣1，x+y＝2，说法错误． 故选：A． 13. 如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A 【答案】D 【解答】解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意． B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意． C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意． D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意． 故选：D． 14. 如图，下列条件能判断AD∥BC的是（　　） A．∠2＝∠4 B．∠3＝∠4 C．∠1+∠3＝180° D．∠1+∠4＝180° 【答案】C 【解答】解：A、两个角不是同位角，也不是内错角，不能判定AD∥BC，故A不符合题意； B、由内错角相等，两直线平行判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故B不符合题意； C、由∠1+∠2+∠3+∠ABC＝360°，∠1+∠3＝180°，得到∠2+∠ABC＝180°，推出AD∥BC，故C符合题意； D、两个角不是同旁内角，不能判定AD∥BC，故D不符合题意． 故选：C． 15. 如图，给出下列条件，其中不能判定a∥b的是（　　） A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3 C．∠1+∠5＝180° D．∠2+∠4＝180° 【答案】B 【解答】解：∵∠1＝∠4， ∴a∥b， 故A不符合题意； 由∠2＝∠3，不能判定a∥b， 故B符合题意； ∵∠1+∠5＝180°，∠4+∠5＝180°， ∴∠1＝∠4， ∴a∥b， 故C不符合题意； ∵∠2+∠4＝180°， ∴a∥b， 故D不符合题意； 故选：B． 16. 如图，∠EAD＝130°，∠B＝50°，试说明EF∥BC． 【答案】证明见解答过程． 【解答】证明：∵∠EAD＝∠FAB，∠EAD＝130°， ∴∠FAB＝130°， ∵∠B＝50°， ∴∠B+∠FAB＝180°， ∴EF∥BC（同旁内角互补，两直线平行）． 17. 在两千多年前我们祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，如图，这是在称物时的状态，已知∠2＝70°，则∠1的度数是（　　） A．130° B．110° C．70° D．20° 【答案】B 【解答】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）， ∴∠1＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°， 则∠1的度数是110°， 故选：B． 18. 如图，AB∥CD，射线CE平分∠BCD，点F为CE的反向延长线上的一点，连接BF，且满足，若∠BFC＝α，∠ABF＝β，则α与β满足的关系式为（　　） A．α+β＝90° B．α+2β＝180° C． D．β＝4α 【答案】D 【解答】解：由题知， ∵∠ABF＝β，， ∴∠CBFβ． ∵∠BFC＝α， ∴∠BCE＝∠CBF+∠BFC． ∵射线CE平分∠BCD， ∴∠BCD＝2∠BCE＝2α+β． ∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD， 则， 整理得，β＝4α． 故选：D． 19. 如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM至点C，AB平分∠DAC，点N在直线DB上，且BN平分∠FBC，若∠ACB＝110°．则下列结论： ①∠MAB＝∠BAD； ②∠ABM＝∠BAM； ③∠NBC＝∠BDH； ④设∠CBM＝α，则； ⑤∠DBA＝55°． 其中，正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【解答】解：∵AB平分∠DAC， ∴∠MAB＝∠BAD；故①正确； ∵EF∥GH， ∴∠ABM＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABM＝∠BAM；故②正确； ∵EF∥GH， ∴∠NBF＝∠BDH， ∵BN平分∠FBC， ∴∠NBC＝∠NBF， ∴∠NBC＝∠BDH；故③正确； ∵∠ACB＝110°，∠CBM＝α， ∴∠CMB＝180﹣110°﹣α＝70°﹣α， ∵EF∥GH， ∴∠CAD＝∠CMB＝70°﹣α（两直线平行，同位角相等）， ∵AB平分∠DAC， ∴；故④错误； 设∠CBM＝α，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴∠DBA＝180°﹣∠ABN＝55°；故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤．所以只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 20. 小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知MN∥PQ． （1）如图1，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线PQ上，若∠BAQ＝25°，则∠BDN的度数为　25°　 ； （2）如图2，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D，F分别落在直线MN，PQ上，若FE平分∠DFP，则DE是否平分∠MDF？请说明理由； （3）小明将三角板ABC与三角板DEF按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且FE＞FA，若三角板ABC绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段FE上时停止，在旋转的过程中，当三角板的AB边与三角板DEF的某条边平行时，请直接写出满足条件的∠DFA的度数． 【答案】（1）25°； （2）DE平分∠MDF． 理由：∵FE平分∠DFP，∠DFE＝60°， ∴∠DFP＝2∠DFE＝120°， ∵MN∥PQ， ∴∠NDF＝∠DFP＝120°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠EDF＝30°， ∴∠MDE＝180°﹣∠EDF﹣∠NDF， ∴∠MDE＝180°﹣30°﹣120°＝30°， ∴∠MDE＝∠EDF， 即DE平分∠MDF； （3）∠DFA的度数为60°或90°或120°或150°． 【解答】解：（1）∵MN∥PQ，∠BAQ＝25°， ∴∠BDN＝∠BAQ＝25°（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：25°； （2）DE平分∠MDF，理由如下： ∵FE平分∠DFP，∠DFE＝60°， ∴∠DFP＝2∠DFE＝120°， ∵MN∥PQ， ∴∠NDF＝∠DFP＝120°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠EDF＝30°， ∴∠MDE＝180°﹣∠EDF﹣∠NDF， ∴∠MDE＝180°﹣30°﹣120°＝30°， ∴∠MDE＝∠EDF， 即DE平分∠MDF． （3）根据题意，分四种情况： ①如图1，当AB∥DF时， ∠DFA＝180°﹣∠A＝90°； ②如图2，当AB∥DE时， ∠DFA＝180°﹣∠DFE＝120°； ③如图3，当AB∥FE时， ∠DFA＝∠DFE+∠EFA＝150°； ④如图4，当AB∥DE时， ∠DFA＝60°． 综上所述，∠DFA的度数为60°或90°或120°或150°． 21. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为 　144°　 ． 【答案】144° 【解答】解：过点C作CF∥AB， ∴∠ABC+∠BCF＝180°， ∵DE∥AB， ∴DE∥CF， ∴∠CDE+∠DCF＝180°， ∴∠ABC+∠BCF+∠CDE+∠DCF＝360°， 即∠ABC+∠DCB+∠CDE＝360°， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∵∠EDC＝126°， ∴∠DCB＝360°﹣∠ABC﹣∠CDE＝144°， 故答案为：144°． 22. 抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为 　122°　 ． 【答案】122°． 【解答】解：如图，延长DC交AE于点F， ∵CD∥AB， ∴∠EFD＝∠BAE＝94°， ∴∠DCE+∠E+∠EFD＝94°+28°＝122°， ∴∠DCE的度数为122°． 故答案为：122°． 23. 下列说法：①a∥b，b∥c，则a∥c；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④对顶角相等．正确的是 　①④　 （填序号）． 【答案】①④ 【解答】解：①若a∥b，b∥c，则a∥c，故①说法正确； ②两直线平行，同位角相等，故②说法错误； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误； ④对顶角相等，故④说法正确， 故说法正确的个数是2个． 故答案为：①④． 24. 完成下面的证明：如图，△ABC中，点E在AC上，EF⊥AB于点F，点D在AB上，EB与CD相交于点H，且∠BHC+∠FEB＝180°．求证：CD⊥AB． 证明：∵∠BHC+∠FEB＝180°（已知）， 又∠BHC+∠CHE＝180°（平角的定义）， ∴∠CHE ＝∠FEB （　同角的补角相等　 ）， ∴EF∥CD（　内错角相等，两直线平行　 ）， ∴∠AFE＝∠ADC （　两直线平行，同位角相等　 ）， 又∵EF⊥AB（已知）， ∴∠AFE＝90°（　垂直的定义　 ）， ∴∠ADC＝　90°　 （等式的基本事实）， ∴CD⊥AB（　垂直的定义　 ）． 【答案】CHE；FEB；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；ADC；两直线平行，同位角相等；垂直的定义；90°；垂直的定义． 【解答】证明：∵∠BHC+∠FEB＝180°（已知）， 又∠BHC+∠CHE＝180°（平角的定义）， ∴∠CHE＝∠FEB（同角的补角相等）， ∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）， ∴∠AFE＝∠ADC（两直线平行，同位角相等）， 又∵EF⊥AB（已知）， ∴∠AFE＝90°（垂直的定义）， ∴∠ADC＝90°（等式的基本事实）， ∴CD⊥AB（垂直的定义）． 故答案为：CHE；FEB；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；ADC；两直线平行，同位角相等；垂直的定义；90°；垂直的定义． 学科网（北京）股份有限公司 $