暑期预习讲义（第15讲）——相交线与平行线 - 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

暑期预习讲义（第15讲）——相交线与平行线（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 2 1. 自主预习填空 2 2. 课本自主预习填空 2 二.教材知识解读 3 【知识点一】同一平面内两直线的位置关系 3 【知识点二】邻补角与对顶角（相交线核心） 3 【知识点三】垂线与垂线段、点到直线的距离 3 【知识点四】同位角、内错角、同旁内角识别（三线八角） 4 【知识点五】平行公理及其推论 4 【知识点六】平行线的判定（角 → 平行） 4 【知识点七】平行线的性质（平行 → 角） 4 三.经典题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】垂线性质与距离辨析 5 【题型 2】对顶角、邻补角角度计算 6 【题型 3】三线八角识别 7 【题型 4】平行公理推论基础应用 8 四、经典题型精析（巩固提升） 8 【题型 5】平行线判定综合推理 8 【题型 6】平行线性质角度计算 10 【题型 7】平行线性质与判定综合大题与折叠综合 11 【题型 8】平行线性质与判定和拐角模型综合 13 五.同步自测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 17 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 18 预习方法：读概念→辨清图形关系→熟记性质与判定→规范几何推理→刷题巩固 一.教材知识梳理 1. 自主预习填空 （1）掌握同一平面内两条直线的两种位置关系，区分相交、平行，理解垂直是特殊的相交； （2）熟练掌握邻补角、对顶角的定义和性质，能快速进行相交线角度计算； （3）掌握垂线、垂线段的性质，精准区分垂线段与点到直线的距离； （4）熟练识别三线八角：同位角、内错角、同旁内角，突破识图难点； （5）熟记平行公理及推论，掌握平行线三大判定、三大性质； （6）能区分“判定（由角推平行）”与“性质（由平行推角）”，规范几何证明步骤； （7）重难点：三线八角识别、平行线判定与性质综合推理、角度综合计算。 2. 课本自主预习填空 （1）同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：________和________。 （2）两条直线相交，有一条公共边，另一边互为反向延长线的角叫做________，它的性质是________。 （3）两条直线相交，两边互为反向延长线的角叫做________，它的性质是________。 （4）在同一平面内，过一点________一条直线与已知直线垂直；________最短。 （5）直线外一点到这条直线的________的长度，叫做点到直线的距离。 （6）平行公理：经过直线外一点，________一条直线与已知直线平行。 （7）平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相________。 （8）平行线判定：同位角相等，两直线________；内错角相等，两直线________；同旁内角________，两直线平行。 （9）平行线性质：两直线平行，同位角________；两直线平行，内错角________；两直线平行，同旁内角________。 参考答案： （1）相交；平行 （2）邻补角；互补 （3）对顶角；相等 （4）有且只有；垂线段 （5）垂线段 （6）有且只有 （7）平行 （8）平行；平行；互补 （9）相等；相等；互补 二.教材知识解读 【知识点一】同一平面内两直线的位置关系 同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交、平行。 1. 相交：两条直线有且只有一个公共点； 2. 平行：两条直线没有公共点； 3. 特殊说明：垂直是特殊的相交（相交夹角为90°）；重合不属于两种位置关系，视为同一条直线；线段、射线平行指所在直线平行。 【知识点二】邻补角与对顶角（相交线核心） 1. 邻补角 定义：两条直线相交，有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。 性质：邻补角互补（和为180°）。 特点：相邻、互补，成对出现。 2. 对顶角 定义：两条直线相交，有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角。 性质：对顶角相等。 易错警示：相等的角不一定是对顶角；对顶角一定相等。 【知识点三】垂线与垂线段、点到直线的距离 1. 垂直定义 如果两条直线相交成90°，那么这两条直线互相垂直，其中一条是另一条的垂线，交点叫垂足。 几何语言：∵a⊥b ∴∠90°；反之∵夹角为90° ∴a⊥b 2. 垂线两大性质 ①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（点可在直线上、直线外）； ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 3. 点到直线的距离（必考易错） 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 关键区分：垂线段是图形，距离是数值，不能说“垂线段是距离”。 【知识点四】同位角、内错角、同旁内角识别（三线八角） 两条直线被第三条直线所截，形成8个角，简称“三线八角”。 1. 同位角：位置相同，在截线同侧、被截两直线同一方（形似“F”）； 2. 内错角：在截线两侧、被截两直线之间（形似“Z”）； 3. 同旁内角：在截线同侧、被截两直线之间（形似“U”）。 重要提醒：三类角只看位置，不看大小，只有两直线平行时，才有数量关系。 【知识点五】平行公理及其推论 1. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 易错点：必须是“直线外一点”，直线上的点无法作已知直线的平行线。 2. 平行推论（平行传递性） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 几何语言：若a∥b，b∥c，则a∥c。 【知识点六】平行线的判定（角 → 平行） 由角的数量关系，推出直线平行，用于证明平行。 1. 同位角相等，两直线平行； 2. 内错角相等，两直线平行； 3. 同旁内角互补，两直线平行。 补充推论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 【知识点七】平行线的性质（平行 → 角） 由直线平行，推出角的数量关系，用于角度计算。 1. 两直线平行，同位角相等； 2. 两直线平行，内错角相等； 3. 两直线平行，同旁内角互补。 核心必考区分 判定：角相等或互补 → 平行（证位置） 性质：平行 → 角相等或互补（求角度） 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】垂线性质与距离辨析 【例题1】（25-26七年级下·北京·期末）如图，直线，交于点，且于点．若，则的度数是______． 【变式1】（2026·河北邯郸·二模）如图，直线，相交于点，若与互补，则直线，的位置关系是（     ） A．互相平行 B．互相垂直 C．互相平分 D．重合 【变式2】（25-26七年级下·河北沧州·期末）过直线外的点画直线的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，，，，点是斜边上的一动点，线段长度的最小值为，最大值为，则的值为________． 【题型 2】对顶角、邻补角角度计算 【例题2】（25-26七年级下·云南·期末）如图，与相交于点O，，平分． （1）求的度数； （2）求钝角的度数． 【变式1】（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，已知直线、相交于点O，平分，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·安徽亳州·期末）如图，两条直线，相交于O点，平分，已知，则的度数为___________． 【变式3】（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图，直线，相交于点O，，垂足为O．若，求的度数． 【题型 3】三线八角识别 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）观察下图并填空： （1）与_______是同位角； （2）与_______是同旁内角； （3）与_______是内错角． 【变式1】（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，已知直线a，b被直线c所截，那么的内错角是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·山东聊城·期中）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是______；是同位角的一组是______；相等的一组是______． 【题型 4】平行公理推论基础应用 【例题4】（25-26七年级下·江西南昌·期末）已知直线，，那么b______________________c．（填“”或“”） 【变式1】（25-26七年级下·山东济宁·期末）已知同一平面内三条直线，，，则下列说法中错误的是（     ） A．如果，，那么． B．如果，，那么． C．如果，，那么． D．如果，，那么． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，直线，直线，为垂足，以下能判断点，，三点在同一条直线上的理由是（     ）．    A．对顶角相等 B．邻补角互补 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式3】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过点作的垂线，则直线与的位置关系是________． 四、经典题型精析（巩固提升） 【题型 5】平行线判定综合推理 【例题5】（25-26七年级下·北京顺义·期末）完成下面证明： 已知：如图，于点E，于点F． 求证：． 证明：， ________（________）（填推理的依据）． ， ． ________． （________）（填推理的依据）． 【变式1】（25-26七年级下·吉林四平·期末）城市交通的轨道支架框架如图，下列条件中能判定轨道横梁的有______个（     ） ①； ②； ③； ④， A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·山东潍坊·期中）如图，已知，，试说明．请补全解答过程． 解：因为， 所以根据______，得． 又因为， 所以根据______，得______． 所以根据______，得． 【变式3】（25-26七年级下·北京朝阳·期中）如图，，．试确定直线a与直线c的位置关系，并说明理由． （1）问题的结论：a_______c； （2）理由如下： 因为 所以（            ） 因为 所以_______（       ） 所以a_______c（                    ）． 【题型 6】平行线性质角度计算 【例题6】（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，直线、与直线相交于点、，平分，且． （1）求的度数； （2）若，且，则直线与直线有怎样的位置关系？请说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知直线，一块含角的三角板的两个顶点分别在和上，若，则（     ） A． B． C． D．角度无法计算 【变式2】（25-26七年级下·江西九江·期中）如图，点分别在线段上，线段交于点，找出图中所有与相等的角：_____． 【变式3】（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． （1）求的度数； （2）过点作射线，若，射线所在的直线与直线相交于点．求的度数． 【题型 7】平行线性质与判定综合大题与折叠综合 【例题7】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图1，将长方形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为点，，折叠后与交于点． (1)若，直接写出的度数． (2)如图2，设． ①若，求的度数． ②若，求的值． 【变式1】（25-26七年级下·浙江湖州·期末）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·安徽六安·期末）如图1，将长方形纸片沿折叠得到图2，点，的对应点分别为点，，折叠后与相交于点． （1）若，则_________； （2）设，，用含的式子表示，则____________． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁鞍山·阶段检测）结合图形，解答下列各题： (1)如图①，长方形纸条中，，，，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点．若，求的度数． 【类比再探】 (2)如图②，在图①的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． 【拓展延伸】 (3)如图③，在图②的基础上，过点作的平行线，请直接写出和的数量关系． 【题型 8】平行线性质与判定和拐角模型综合 【例题8】（25-26七年级下·吉林·期末）如图，，点 E 在直线 上，点 F 在直线 上，点 P 在 与 之间，连接 ．设． （1）若 ，求 的度数； （2）猜想 与 的关系，并证明你的结论； （3）若 ，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期末）年月日，全球首次人形机器人半程马拉松比赛在北京举行．此次比赛意义重大．如图，这是某款机器人跑步的姿态，图为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为________． 【变式3】（24-25七年级下·山东临沂·期中）【问题发现】 如图①，直线，点在与之间，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， ，， （______）． （______）． （辅助线作法）， ______（______）． ______（等量代换）． 即． 【拓展探究】 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是______． 【解决问题】 如图③，，，求出的度数． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线，垂足为O，直线经过点O，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东广州·期末）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东广州·期末）两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这就是“三线八角”．如图所示，以下选项中在位置上互为同位角的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，是射线上的一点，用直尺和三角尺过点画直线的平行线，下图中画法正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·重庆九龙坡·期末）如图是小明家装修时拖拉柜子的截面示意图，天花板与地面互相平行，天花板上的点与柜子上的点用绳子相连．某一时刻，测得，，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图，下列能判断的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知，分别交，于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·广东清远·期末）点为直线外一点，点、、为直线上三点，，，，则点到直线的距离（     ） A．等于 B．等于 C．等于 D．小于或等于 10．（25-26七年级下·河北唐山·期末）如图，是某校电动伸缩门的几何平面示意图，已知，，则下列说法不一定成立的是（     ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·河北唐山·期末）如图，两根木条，相交于一点，若，则的度数为________． 12．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，直线与相交于点O，在和中，是的邻补角的是________． 13．（25-26七年级下·山东滨州·期末）已知直线，嘉嘉和琪琪想画出的平行线，他们的方法如下： 则做法正确的是_____________________． 14．（21-22七年级下·江苏宿迁·周测）将一副三角尺按如图所示的方式放置在直线上，则与的位置关系是__________，其根据是___________． 15．（2026·江苏泰州·二模）如图，已知，，则__________度． 16．（25-26七年级下·广东清远·期末）用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则________． 17．（2026·宁夏银川·三模）如图，糖画是我国的一种民间传统手工艺，它以糖为墨、以勺为笔，造型精美．图2是从糖画线条中抽象出的几何图形．已知，，，则的度数是_____． 18．（25-26七年级下·陕西安康·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后（即，），折射光线、在主光轴上交于一点G．若，，则的度数是_________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）如图，直线，相交于点，且．若，求的度数． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·河北邢台·期中）如图，． （1）求证：． （2）若，求证：． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河南濮阳·期中）如图，平行直线与直线相交，交点分别为E，F． （1）∠1与∠2有什么数量关系？并说明理由； （2）过点E作直线，垂足为点M．请你补全图形，并填空： ①点F到直线的距离是线段________的长； ②________（填“”，“”或“”），理由：_____________． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知: 如图， ， 平分交于点F ， ． （1）求证：； （2）若， 求的度数． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，连接，点在直线、之间，点是直线上的点，连接、，，平分交于点． （1）与是否平行？请说明理由． （2）若，，求的度数． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·山东枣庄·期中）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． （1）问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． （2）迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第15讲）——相交线与平行线（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 2 1. 自主预习目标 2 2. 课本自主预习填空 2 二.教材知识解读 3 【知识点一】同一平面内两直线的位置关系 3 【知识点二】邻补角与对顶角（相交线核心） 3 【知识点三】垂线与垂线段、点到直线的距离 3 【知识点四】同位角、内错角、同旁内角识别（三线八角） 4 【知识点五】平行公理及其推论 4 【知识点六】平行线的判定（角 → 平行） 4 【知识点七】平行线的性质（平行 → 角） 4 三.经典题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】垂线性质与距离辨析 5 【题型 2】对顶角、邻补角角度计算 7 【题型 3】三线八角识别 9 【题型 4】平行公理推论基础应用 10 四、经典题型精析（巩固提升） 12 【题型 5】平行线判定综合推理 12 【题型 6】平行线性质角度计算 15 【题型 7】平行线性质与判定综合大题与折叠综合 18 【题型 8】平行线性质与判定和拐角模型综合 22 五.同步自测 27 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 27 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 27 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 27 预习方法：读概念→辨清图形关系→熟记性质与判定→规范几何推理→刷题巩固 一.教材知识梳理 1. 自主预习目标 （1）掌握同一平面内两条直线的两种位置关系，区分相交、平行，理解垂直是特殊的相交； （2）熟练掌握邻补角、对顶角的定义和性质，能快速进行相交线角度计算； （3）掌握垂线、垂线段的性质，精准区分垂线段与点到直线的距离； （4）熟练识别三线八角：同位角、内错角、同旁内角，突破识图难点； （5）熟记平行公理及推论，掌握平行线三大判定、三大性质； （6）能区分“判定（由角推平行）”与“性质（由平行推角）”，规范几何证明步骤； （7）重难点：三线八角识别、平行线判定与性质综合推理、角度综合计算。 2. 课本自主预习填空 （1）同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：________和________。 （2）两条直线相交，有一条公共边，另一边互为反向延长线的角叫做________，它的性质是________。 （3）两条直线相交，两边互为反向延长线的角叫做________，它的性质是________。 （4）在同一平面内，过一点________一条直线与已知直线垂直；________最短。 （5）直线外一点到这条直线的________的长度，叫做点到直线的距离。 （6）平行公理：经过直线外一点，________一条直线与已知直线平行。 （7）平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相________。 （8）平行线判定：同位角相等，两直线________；内错角相等，两直线________；同旁内角________，两直线平行。 （9）平行线性质：两直线平行，同位角________；两直线平行，内错角________；两直线平行，同旁内角________。 参考答案： （1）相交；平行 （2）邻补角；互补 （3）对顶角；相等 （4）有且只有；垂线段 （5）垂线段 （6）有且只有 （7）平行 （8）平行；平行；互补 （9）相等；相等；互补 二.教材知识解读 【知识点一】同一平面内两直线的位置关系 同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交、平行。 1. 相交：两条直线有且只有一个公共点； 2. 平行：两条直线没有公共点； 3. 特殊说明：垂直是特殊的相交（相交夹角为90°）；重合不属于两种位置关系，视为同一条直线；线段、射线平行指所在直线平行。 【知识点二】邻补角与对顶角（相交线核心） 1. 邻补角 定义：两条直线相交，有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。 性质：邻补角互补（和为180°）。 特点：相邻、互补，成对出现。 2. 对顶角 定义：两条直线相交，有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角。 性质：对顶角相等。 易错警示：相等的角不一定是对顶角；对顶角一定相等。 【知识点三】垂线与垂线段、点到直线的距离 1. 垂直定义 如果两条直线相交成90°，那么这两条直线互相垂直，其中一条是另一条的垂线，交点叫垂足。 几何语言：∵a⊥b ∴∠90°；反之∵夹角为90° ∴a⊥b 2. 垂线两大性质 ①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（点可在直线上、直线外）； ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 3. 点到直线的距离（必考易错） 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 关键区分：垂线段是图形，距离是数值，不能说“垂线段是距离”。 【知识点四】同位角、内错角、同旁内角识别（三线八角） 两条直线被第三条直线所截，形成8个角，简称“三线八角”。 1. 同位角：位置相同，在截线同侧、被截两直线同一方（形似“F”）； 2. 内错角：在截线两侧、被截两直线之间（形似“Z”）； 3. 同旁内角：在截线同侧、被截两直线之间（形似“U”）。 重要提醒：三类角只看位置，不看大小，只有两直线平行时，才有数量关系。 【知识点五】平行公理及其推论 1. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 易错点：必须是“直线外一点”，直线上的点无法作已知直线的平行线。 2. 平行推论（平行传递性） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 几何语言：若a∥b，b∥c，则a∥c。 【知识点六】平行线的判定（角 → 平行） 由角的数量关系，推出直线平行，用于证明平行。 1. 同位角相等，两直线平行； 2. 内错角相等，两直线平行； 3. 同旁内角互补，两直线平行。 补充推论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 【知识点七】平行线的性质（平行 → 角） 由直线平行，推出角的数量关系，用于角度计算。 1. 两直线平行，同位角相等； 2. 两直线平行，内错角相等； 3. 两直线平行，同旁内角互补。 核心必考区分 判定：角相等或互补 → 平行（证位置） 性质：平行 → 角相等或互补（求角度） 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】垂线性质与距离辨析 【例题1】（25-26七年级下·北京·期末）如图，直线，交于点，且于点．若，则的度数是______． 【答案】 【分析】根据垂直的定义得，再根据平角的定义即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2026·河北邯郸·二模）如图，直线，相交于点，若与互补，则直线，的位置关系是（     ） A．互相平行 B．互相垂直 C．互相平分 D．重合 【答案】B 【分析】根据对顶角相等可得，结合已知条件与互补，可求出的度数，进而判断直线，的位置关系． 解：与是对顶角 ， ， 与互补， ， ， ， ， 即直线，互相垂直． 【变式2】（25-26七年级下·河北沧州·期末）过直线外的点画直线的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：用三角尺过直线外一点画已知直线垂线的标准操作逻辑： 将三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边经过点，再沿经过点的直角边画线，即可得到直线的垂线，对各选项逐一分析： ：三角尺的另一条直角边没有经过点，无法过点画出垂线，操作错误， ：三角尺未用直角边与直线贴合对齐，无法保证画出的直线与垂直，操作错误， ：三角尺的直角边未与直线正确重合，摆放角度错误，不能保证垂直关系，操作错误， ：三角尺的一条直角边与直线重合，另一条直角边经过点P，完全符合画垂线的操作规范，操作正确． 【变式3】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，，，，点是斜边上的一动点，线段长度的最小值为，最大值为，则的值为________． 【答案】12.8 【分析】由垂线段最短可知，当时，最小，利用面积法求出此时的值，即m的值；再由求出n的值，进而可求出的值． 解：由垂线段最短可知，当时，最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点P与点B重合时，最大， ∴线段长度的最大值为8，即， ∴． 【题型 2】对顶角、邻补角角度计算 【例题2】（25-26七年级下·云南·期末）如图，与相交于点O，，平分． （1）求的度数； （2）求钝角的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据得出，即可求出的度数； （2）先根据对顶角相等求出的度数，再由角平分线的性质得到，即可求出的度数． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，已知直线、相交于点O，平分，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用角平分线的性质和对顶角相等求解即可． 解：平分，， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·安徽亳州·期末）如图，两条直线，相交于O点，平分，已知，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质可得，再根据邻补角可以求出的度数． 解：∵平分， ， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图，直线，相交于点O，，垂足为O．若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据垂直的定义，由得出，再结合已知的，通过角的差运算算出，最后利用邻补角互补的性质即可求出的度数． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型 3】三线八角识别 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）观察下图并填空： （1）与_______是同位角； （2）与_______是同旁内角； （3）与_______是内错角． 【答案】 【分析】由同位角、同旁内角、内错角定义填空即可． 解：略． 【变式1】（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：对顶角是由两条相交直线形成的，它们有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线．根据图形判断，只有D选项符合对顶角的定义． 【变式2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，已知直线a，b被直线c所截，那么的内错角是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内错角的定义判断即可． 解：直线，被直线所截，与都在直线，之间，且分别在直线的两侧， 的内错角是． 【变式3】（25-26七年级下·山东聊城·期中）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是______；是同位角的一组是______；相等的一组是______． 【答案】 和（答案不唯一） 和 和 解：是邻补角的一组是和（或和）； 是同位角的一组是和； 相等的一组是和． 【题型 4】平行公理推论基础应用 【例题4】（25-26七年级下·江西南昌·期末）已知直线，，那么b______________________c．（填“”或“”） 【答案】 解：根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行. ∵，， ∴. 【变式1】（25-26七年级下·山东济宁·期末）已知同一平面内三条直线，，，则下列说法中错误的是（     ） A．如果，，那么． B．如果，，那么． C．如果，，那么． D．如果，，那么． 【答案】B 解：A、如果，，那么，故A正确； B、如果，，那么，故B错误； C、如果，，那么，故C正确； D、如果，，那么，故D正确． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，直线，直线，为垂足，以下能判断点，，三点在同一条直线上的理由是（     ）．    A．对顶角相等 B．邻补角互补 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的定理可知，过点只有一条直线与直线垂直，所以和必须为同一条直线，即可推出点， ，三点在同一条直线上，由此可以选出答案． 解：A选项、对顶角相等，描述的是两条线相交时，相对的两个角大小相等，不能用来判断三点共线，所以A选项不符合题意． B选项、邻补角互补只能说明两个角互补，和为，不能直接判定三点共线，所以B选项不符合题意． C选项、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以过点只有一条直线与直线垂直，因此和必须为同一条直线，即可推出点， ，三点在同一条直线上，所以选项C符合题意． D选项、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，描述的是平行的情况，与垂直无关，不能用来判断三点共线，所以D选项不符合题意． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过点作的垂线，则直线与的位置关系是________． 【答案】 【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”解答即可得． 解：∵在同一平面内，，， ∴． 四、经典题型精析（巩固提升） 【题型 5】平行线判定综合推理 【例题5】（25-26七年级下·北京顺义·期末）完成下面证明： 已知：如图，于点E，于点F． 求证：． 证明：， ________（________）（填推理的依据）． ， ． ________． （________）（填推理的依据）． 【答案】；垂直的定义；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据垂直的定义得到，，计算得到两个同旁内角的和为，再利用平行线的判定定理证明结论． 解：证明： ∵， ∴（垂直的定义）， ∵， ∴， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 【变式1】（25-26七年级下·吉林四平·期末）城市交通的轨道支架框架如图，下列条件中能判定轨道横梁的有______个（     ） ①； ②； ③； ④， A． B． C． D． 【答案】B 解：对于①：同旁内角互余不能判定，故①错误； 对于②：与不是直线与直线被第三条直线所截形成的角，不能判定平行，故②错误； 对于③：根据“内错角相等，两直线平行”可判定，故③正确； 对于④：根据“同位角相等，两直线平行”可判定，故④正确； 综上，符合要求的条件有2个． 【变式2】（25-26七年级下·山东潍坊·期中）如图，已知，，试说明．请补全解答过程． 解：因为， 所以根据______，得． 又因为， 所以根据______，得______． 所以根据______，得． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；；平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】首先根据同旁内角互补判定，再根据内错角相等判定，最后利用平行于同一条直线的两条直线平行得出结论． 解：因为， 所以根据“同旁内角互补，两直线平行”，得． 又因为， 所以根据“内错角相等，两直线平行”，得． 所以根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，得． 【变式3】（25-26七年级下·北京朝阳·期中）如图，，．试确定直线a与直线c的位置关系，并说明理由． （1）问题的结论：a_______c； （2）理由如下： 因为 所以（            ） 因为 所以_______（       ） 所以a_______c（                    ）． 【答案】（1）；（2）内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；；平行于同一直线的两直线平行． （1）解：问题的结论是： （2）解：因为 所以（内错角相等，两直线平行） 因为 所以（同旁内角互补，两直线平行） 所以（平行于同一直线的两直线平行） 【题型 6】平行线性质角度计算 【例题6】（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，直线、与直线相交于点、，平分，且． （1）求的度数； （2）若，且，则直线与直线有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角平分线的定义及平角的定义进行求解即可； （2）根据平行线的性质可得，则有，然后问题可求解． 解：（1）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 【变式1】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知直线，一块含角的三角板的两个顶点分别在和上，若，则（     ） A． B． C． D．角度无法计算 【答案】A 【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）以及平角的定义，结合三角板的角度特征进行计算即可判断各选项． 解：∵， ∴， ∵ ∴，故A选项正确； ∵， ∴， 故选项C错误； ∵， ∴， 故B选项错误． 【变式2】（25-26七年级下·江西九江·期中）如图，点分别在线段上，线段交于点，找出图中所有与相等的角：_____． 【答案】，， 【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行求解即可． 解：∵，（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）， 又∵与是对顶角， ∴（对顶角相等）， ∴图中与相等的角有，，． 【变式3】（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． （1）求的度数； （2）过点作射线，若，射线所在的直线与直线相交于点．求的度数． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（）先根据垂直关系得到，结合已知计算出的度数，再利用两直线平行，内错角相等，得到的结果； （）根据射线的位置分两种情况讨论（在内部、在外部），再结合平行线的性质计算对应角度． 解：（1）解：， ， ， ， 又， ． （2）解：当在内部时， ， ， ； 当在外部时， ， ， 或． 【题型 7】平行线性质与判定综合大题与折叠综合 【例题7】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图1，将长方形纸片沿直线折叠，点，的对应点分别为点，，折叠后与交于点． (1)若，直接写出的度数． (2)如图2，设． ①若，求的度数． ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查折叠问题，利用平行线的性质，求角的度数： （1）根据垂直的定义，平行线的性质，得到，再根据折痕是角平分线，求出的度数即可； （2）①折叠的性质，得到，，平行得到，，再根据角的和差关系进行求解即可； ②根据三角形的内角和定理求解即可． （1）解：∵长方形纸片沿直线折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②由①知：， ∵，且， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·浙江湖州·期末）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠和平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，由折叠可知，， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·安徽六安·期末）如图1，将长方形纸片沿折叠得到图2，点，的对应点分别为点，，折叠后与相交于点． （1）若，则_________； （2）设，，用含的式子表示，则____________． 【答案】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，可得； （2）根据折叠的性质可得，，，，即可求解． 解：（1）由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴． （2）如图，由折叠得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁鞍山·阶段检测）结合图形，解答下列各题： (1)如图①，长方形纸条中，，，，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点．若，求的度数． 【类比再探】 (2)如图②，在图①的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． 【拓展延伸】 (3)如图③，在图②的基础上，过点作的平行线，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)，见解析 【分析】（1）根据折叠可得到，进而可求得的度数；根据两直线平行的性质可得到，即可求得答案． （2）根据轴对称图形的性质可得到，，根据两直线平行的性质可得到，进而可得到与的位置关系． （3）可过点作，根据两直线平行的性质可得到，，，根据得出，然后代入即可． （1）解：有折叠可得． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴； （2）解：折痕与的位置关系为：．理由如下： 由折叠有，． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：和的数量关系为：． 理由如下：    如图，过点作． ∵，，， ∴， ∴，，． ∵， ∴， ∴即． 【题型 8】平行线性质与判定和拐角模型综合 【例题8】（25-26七年级下·吉林·期末）如图，，点 E 在直线 上，点 F 在直线 上，点 P 在 与 之间，连接 ．设． （1）若 ，求 的度数； （2）猜想 与 的关系，并证明你的结论； （3）若 ，求的度数． 【答案】（1）；（2）猜想：． 证明：过点 作 ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ． ∵． ∴， （3） 【分析】（1）过点P作平行于的辅助线，因为，所以辅助线也平行于，可构造平行线间的内错角关系得解； （2）利用平行线的内错角相等定理，分别得到与辅助线分割得到的其中一个角相等，与另一个角相等，依据上述推导的关系计算的度数； （3）代入和的度数，根据推导的关系求解的度数． 解：（1）解：过点作， ∵， ∴． ∴ ，， ∴． （2）略 （3）解：∵ ， 由（2）的结论， ∴ ． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点分别向左作，根据两直线平行同旁内角互补求解即可． 解：过点分别向左作， ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴ 【变式2】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期末）年月日，全球首次人形机器人半程马拉松比赛在北京举行．此次比赛意义重大．如图，这是某款机器人跑步的姿态，图为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】先求出，延长至，过作，则有，所以，，，通过角度和差可得，，又，则，最后通过角度和差即可求解． 解：∵，，， ∴，， 如图，延长至，过作， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·山东临沂·期中）【问题发现】 如图①，直线，点在与之间，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， ，， （______）． （______）． （辅助线作法）， ______（______）． ______（等量代换）． 即． 【拓展探究】 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是______． 【解决问题】 如图③，，，求出的度数． 【答案】【问题发现】：见分析；【拓展探究】：；【解决问题】： 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，掌握平行线的性质是解本题的关键； 问题发现：过点作，再根据题干提示逐一完成推理依据与推理过程即可； 拓展探究：过作，而，可得，再利用平行线的性质可得结论； 解决问题：过作，可得，再进一步利用平行线的性质可得答案． 解：问题发现： 证明：过点作． ，， （平行公理推论）． （两直线平行，内错角相等）． （辅助线作法）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 即． 拓展探究： 解：如图，过作，而， ∴， ∴，， ∴， ∴． 解决问题： 解：过作． ， ． ，． ． ， ． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分） 20．（本小题满分8分） 21．（本小题满分10分） 22．（本小题满分10分） 23．（本小题满分10分） 24．（本小题满分12分） 一、单选题 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线，垂足为O，直线经过点O，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直的定义可得，利用互余关系求出的度数，再根据对顶角相等即可求解． 解：， ， ， ， 与是对顶角， ． 2．（25-26七年级下·广东广州·期末）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角． 解：A. 与的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故本选项不符合题意； B. 与没有公共顶点，不是对顶角，故本选项不符合题意； C. 与没有公共顶点，不是对顶角，故本选项不符合题意； D. 与有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角，故本选项符合题意． 3．（25-26七年级下·广东广州·期末）两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这就是“三线八角”．如图所示，以下选项中在位置上互为同位角的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 解：由图可知：互为同位角的是和，和，和，和． 4．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，是射线上的一点，用直尺和三角尺过点画直线的平行线，下图中画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：观察A，B，D选项，直线与边所在的直线都会相交， ∴图中画法正确的是C选项. 5．（25-26七年级下·重庆九龙坡·期末）如图是小明家装修时拖拉柜子的截面示意图，天花板与地面互相平行，天花板上的点与柜子上的点用绳子相连．某一时刻，测得，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点N作，得出，则，，据此即可求解． 解：如图，过点N作， ， ， ，， ∵，， ∴，， ． 6．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图，下列能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理，逐一分析选项即可 解：选项A：，不符合平行线判定的条件，无法推出，不符合题意； 选项B：，内错角的相等，，符合题意； 选项C：，根据同位角相等，两直线平行，证得，不符合题意； 选项D：，利用对顶角相等可得同旁内角互补，证得，不符合题意． 7．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知，分别交，于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两直线平行，同位角相等，因此． 解：∵， ∴． 8．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平角定义和两直线平行内错角相等结合题目条件求解即可． 解：如图，过点作， ， ， ， ， ． 9．（25-26七年级下·广东清远·期末）点为直线外一点，点、、为直线上三点，，，，则点到直线的距离（     ） A．等于 B．等于 C．等于 D．小于或等于 【答案】D 【分析】本题考查点到直线距离的定义和垂线段最短的性质，结合已知线段长度比较即可得到结论． 解：∵ 、、为直线上三点，，，，可得 ， ∴ 点到直线的垂线段长度不大于的长度，即点到直线的距离小于或等于． 10．（25-26七年级下·河北唐山·期末）如图，是某校电动伸缩门的几何平面示意图，已知，，则下列说法不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质对各个选项进行分析判断即可；假设选项D成立，推导出，结合图形可知这与实际不符，从而确定答案； 解：， ，故A选项成立； 过点分别作， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，故B选项成立； ∵，， ∴，故C选项成立； 若， ，， ，即， 如图，延长交延长线于点， ∴， ∴， 如图所示，此时是锐角，此时为钝角，它们不可能相等， ∴不定成立， 选项D不一定成立 ． 二、填空题 11．（25-26七年级下·河北唐山·期末）如图，两根木条，相交于一点，若，则的度数为________． 【答案】/40度 【分析】观察图形可知与互为对顶角，根据对顶角相等的性质即可得出的度数； 解：由图可知，与是对顶角， 则， ∵， ∴． 12．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，直线与相交于点O，在和中，是的邻补角的是________． 【答案】 【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答即可． 解：根据邻补角的定义可知，是的邻补角． 13．（25-26七年级下·山东滨州·期末）已知直线，嘉嘉和琪琪想画出的平行线，他们的方法如下： 则做法正确的是_____________________． 【答案】嘉嘉和琪琪 【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；据此分析作答即可． 解：嘉嘉的做法是通过同位角相等，两直线平行，得出； 琪琪的做法是通过内错角相等，两直线平行，得出； 故嘉嘉和琪琪的方法都正确． 14．（21-22七年级下·江苏宿迁·周测）将一副三角尺按如图所示的方式放置在直线上，则与的位置关系是__________，其根据是___________． 【答案】 平行 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 解：， 故， 故平行；理由是：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 15．（2026·江苏泰州·二模）如图，已知，，则__________度． 【答案】 解：， ， ， ． 16．（25-26七年级下·广东清远·期末）用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则________． 【答案】 【分析】首先利用对顶角相等求出，然后利用平行线的性质求解． 解：如图， ∵ ∴ ∵ ∴． 17．（2026·宁夏银川·三模）如图，糖画是我国的一种民间传统手工艺，它以糖为墨、以勺为笔，造型精美．图2是从糖画线条中抽象出的几何图形．已知，，，则的度数是_____． 【答案】/度 【分析】过点M作，则，根据平行线的性质求出，，再由角的和差即可求解． 解：过点M作， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 18．（25-26七年级下·陕西安康·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后（即，），折射光线、在主光轴上交于一点G．若，，则的度数是_________． 【答案】80 【分析】先利用平行线的性质求得，，则，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∴， ∴． 三、解答题 19．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）如图，直线，相交于点，且．若，求的度数． 【答案】 【分析】利用垂直的定义得到，从而求得，再利用对顶角相等即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（25-26七年级下·河北邢台·期中）如图，． （1）求证：． （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据对顶角相等，结合已知条件得到，即可得证； （2）证明，进而得到，即可得证. （1）略 （2）略 21．（25-26七年级下·河南濮阳·期中）如图，平行直线与直线相交，交点分别为E，F． （1）∠1与∠2有什么数量关系？并说明理由； （2）过点E作直线，垂足为点M．请你补全图形，并填空： ①点F到直线的距离是线段________的长； ②________（填“”，“”或“”），理由：_____________． 【答案】（1），见分析；（2）补全图形见分析；①；②，垂线段最短 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据对顶角相等可得，据此可得结论； （2）根据题意补全图形即可；①根据点到直线的距离的定义可得答案；②根据垂线段最短即可得到答案． 解：（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：补全图形如下所示： ∵， ∴点F到直线的距离是线段的长； ②由垂线段最短可知． 22．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知: 如图， ， 平分交于点F ， ． （1）求证：； （2）若， 求的度数． 【答案】（1）证明：， ． ． 平分， ． ． ， ． （2） 【分析】（1）先根据同旁内角互补，两直线平行证得，再根据两直线平行，内错角相等得出，结合角平分线的定义即可证得，结合已知可证得，再根据同位角相等，两直线平行即可得出结论； （2）根据平行线性质结合角平分线得出，再利用两直线平行同旁内角互补求出结果． 解：（1）略 （2）解：由（1）可知， 平分， ． ． 23．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，连接，点在直线、之间，点是直线上的点，连接、，，平分交于点． （1）与是否平行？请说明理由． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）， 理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【分析】（）先由平行得出内错角与相等，结合已知等于等量代换得到和相等，最后依据同位角相等判定平行； （）先利用角平分线求出度数，再根据两直线平行同旁内角互补算出，结合已知相等角得到，最后相加求出． 解：（1）略 （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． （1）问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． （2）迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 【答案】（1）①见分析；②，见分析；（2） 【分析】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 解：（1）证明：①， ， ， ， ， ； ②如图所示，过点F作， ， ， ， ； （2）如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $