6.5 多边形同步讲义2026-2027学年数学七年级上册苏科版

第6章 6.5 多边形 内 容 导 航 题型1 多边形 题型2 多边形的对角线 题型3 多边形内角与外角 考 点 演 练 题型1 多边形 解｜题｜知｜识 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 【典例1】如图，某同学用剪刀沿虚线将四边形纸片剪掉一个角，发现剩余图形的周长比原四边形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线 D．经过两点，有且只有一条直线 【答案】A 【解答】解：用剪刀把四边形纸片剪掉一个角，剩余图形的周长比原四边形的周长小，能解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短， 故选：A． 【变式1】如图所示的图形中，属于多边形的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【解答】解：根据多边形定义所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体， ∴属于多边形的共有3个， 故选：A． 【变式2】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图是其中一类：1，5，12，22称为五边形数，请你根据其中数排列的规律计算第101个五边形数与第100个五边形数的差是（　　） A．199 B．201 C．290 D．301 【答案】D 【解答】解：由题意得：第二个五边形数比第一个五边形数，5﹣1＝4＝1+1×3， 第三个五边形数比第二个五边形数多12﹣5＝7＝1+2×3， 第四个五边形数比第三个五边形数多22﹣12＝10＝1+3×3， ...， 第101个五边形数比第100个五边形数多1+100×3＝301． 故选：D． 【变式3】如图，有长、宽分别为a、b的长方形一个和三边长分别为a、b、c的直角三角形两个．请你用这三个图形无缝拼成新的四边形，并直接写出形状不同的四边形的周长．（要求画出示意图形） 【答案】画图见解答过程；一共是6个图形，周长的代数式有为4b+2c，4a+2c，4a+2b，2a+4b． 【解答】解：如图所示： 一共是6个图形，①和③的周长为4b+2c，②和⑥的周长为4a+2c，④的周长为4a+2b，⑤的周长为2a+4b． 题型2 多边形的对角线 解｜题｜知｜识 （1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数） （3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． （4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 【典例1】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】C 【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形， ∴n﹣2＝5，即n＝7． 故选：C． 【变式1】一个n边形从一个顶点可引3条对角线，则n为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解答】解：设多边形有n条边， 则n﹣3＝3， 解得n＝6． 故选：A． 【变式2】从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（　　） A．11条 B．12条 C．13条 D．14条 【答案】A 【解答】解：从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线的条数为：14﹣3＝11（条）．故选：A． 【变式3】归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．小明利用“归纳”的策略对以下问题进行了探究． 【问题提出】 连接五边形的五个顶点和它内部的1000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】 为了解决上面的问题，小明运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律． 如图1，当五边形内有1个点时，可分得5个三角形． 如图2，当五边形内有2个点时，可分得7个三角形． 当五边形内有3个点时，可分得　9　 个三角形．（可借助备用图分析） 归纳得出当五边形内有n个点，可分得　（2n+3）　 个三角形． 【问题解决】 连接五边形的五个顶点和它内部的1000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得　2003　 个三角形． 【拓展延伸】 若连接m边形的m个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到m边形内所有区域都变成三角形，可分得　（m+2n﹣2）　 个三角形． 【答案】【问题探究】9，（2n+3）； 【问题解决】2003； 【拓展延伸】（m+2n﹣2）． 【解答】解：【问题探究】由所给图形可知， 当五边形内有1个点时，可分得的三角形的个数为：5＝5+1×2﹣2； 当五边形内有2个点时，可分得的三角形的个数为：7＝5+2×2﹣2； 当五边形内有3个点时，如图3，可分得的三角形的个数为：9＝5+3×2﹣2； …，所以当五边形内有n个点时，可分得的三角形的个数为（5+2n﹣2）＝（2n+3）个， 故答案为：9，（2n+3）； 【问题解决】 当n＝1000时，2n+3＝2×1000+3＝2003，即当五边形内有1000个点时，可分得三角形的个数为2003， 故答案为：2003； 【拓展延伸】 连接m边形的m个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到m边形内所有区域都变成三角形，可分得（m+2n﹣2）个三角形． 故答案为：（m+2n﹣2）． 题型3 多边形内角与外角 解｜题｜知｜识 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．各角都相等的多边形是正多边形 B．各边都相等的多边形是正多边形 C．多边形的内角与相邻的外角互为补角 D．五边形一共有两条对角线 【答案】C 【解答】解：A．∵各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； B．∵各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； C．∵多边形的内角与它相邻的外角是互为邻补角，也是互为补角，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意； D．∵五边形对角线的条数为：，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】多边形的内角和与它的边数有关，多一条边，内角和就增加（　　） A．45° B．90° C．180° D．360° 【答案】C 【解答】解：根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°， 可知每增加一条边内角和增加180°， 所以多一条边，内角和就增加180°， 故选：C． 【变式2】下列关于正多边形的说法中，正确的是（　　） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有（n﹣2）条 D．正多边形的各边相等 【答案】D 【解答】解：A．∵各边都相等，各个内角也相等的多边形是正多边形，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； B．∵各边都相等，各个内角也相等的多边形是正多边形，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； C．过正n边形一个顶点的对角线有（n﹣3）条，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； D．∵正多边形的各边相等，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式3】图中x等于　60　 °． 【答案】60． 【解答】解：由图可知： 150°+90°+2x°＝360°． x＝60°． 故答案为：60． 过 关 验 收 1. 下列说法中，错误的有（　　） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．n边形有n条边、n个顶点、n个内角、2n个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条 【答案】B 【解答】解：A．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； B．长方形不是正多边形，该选项说法错误； C．n边形有n条边、n个顶点、n个内角、2n个外角，选项说法确； D．六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条，该选项说法正确； 故选：B． 2. 如图，在一个密闭的圆柱体玻璃容器中装一半的水，水平放置时，水平面的形状是（　　） A．圆 B．五边形 C．矩形 D．三角形 【答案】C 【解答】解：由水平面与圆柱的底面垂直，得水面的形状是矩形． 故选：C． 3. 一个棱柱有10个面，则这个棱柱的底面是 　八　 边形． 【答案】八 【解答】解：一个棱柱有10个面，那么这个棱柱是八棱柱， 故这个棱柱的底面是八边形． 故答案为：八． 4. 如图，将七边形ABCDEFG沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDQP，则该六边形的周长一定比原七边形的周长　小　 （填：“大”或“小”），其判断依据是　两点之间线段最短　 ． 【答案】小；两点之间线段最短． 【解答】解：设七边形ABCDEFG的周长为x，则x＝AB+BC+CD+DQ+QE+EF+FG+GP+PA， 设六边形ABCDQP的周长为y， 则y＝AB+BC+CD+DQ+QP+PA， ∴x﹣y＝QE+EF+FG+GP﹣QP， 根据“两点之间线段最短”得：QE+EF+FG+GP＞QP， ∴QE+EF+FG+GP﹣QP＞0， ∴x﹣y＞0， ∴x＞y， ∴七边形ABCDEFG的周长＞六边形ABCDQP的周长， 即六边形的周长一定比原七边形的周长小，依据是：两点之间线段最短， 故答案为：小；两点之间线段最短． 5. 用含有字母的式子表示如图组合图形的周长L＝　2（a+b+c）　 ，面积S＝b（a+c）　 ． 【答案】2（a+b+c）；b（a+c）． 【解答】解：如图， 用平移法：把凹进去的线段向外平移，图形周长等价于长为a、宽为b+c的长方形周长， 长方形周长公式：（长+宽）×2， ∴L＝（a+b+c）×2＝2（a+b+c）． 组合图形的面积为： S＝ab+bc＝b（a+c）． 6. 【问题提出】 连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】 为了解决上面的问题，我们将运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律． 探究一： 如图①当五边形内有1个点时，可分得 　5　 个三角形． 探究二： 当五边形内有2个点时，可分得多少个三角形？ 在探究一的基础上，我们在图①五边形ABCDE的内部再添加1个点，这个点的位置会有两种情况：可能在图①分割成的某个三角形的内部，如图②所示；也可能在三角形的某条公共边上，如图③所示．显然，不管哪种情况，都可分得 　7　 个三角形． 探究三： 当五边形内有3个点时，可分得 　9　 个三角形．请在图④中画出一种分割示意图． 【问题解决】 连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得 　（2n+3）　 个三角形． 【拓展延伸】 （1）若连接五边形的五个顶点和它内部若干个点，可把五边形区域分割成2027个三角形．求该五边形内部有多少个点？ （2）若连接六边形的六个顶点和它内部的m个点，可把六边形区域分割成 　（2m+4）　 个互不重叠的三角形． 【答案】探究一：5； 探究二：7；9，画图见解析； 问题解决：（2n+3）； 拓展延伸：（1）1012个； （2）（2m+4）． 【解答】解：探究一：如图①，当五边形内有1个点时，可分得5+2×1﹣2＝5（个）三角形； 故答案为：5； 探究二：由图②和图③，当五边形内有2个点时，可分得5+2×2﹣2＝7（个）三角形； 故答案为：7； 探究三：画出图形如下，当五边形内有3个点时，可分得5+2×3﹣2＝9（个）三角形； 故答案为：9； 问题解决：由探究一可知：当五边形内有1个点时，可分得5+2×1﹣2＝5（个）三角形； 由探究二可知：当五边形内有2个点时，可分得5+2×2﹣2＝7（个）三角形； 由探究三可知：当五边形内有3个点时，可分得5+2×3﹣2＝9（个）三角形； …， 以此类推，当五边形内有n个点时，可分得5+2n﹣2＝（2n+3）个三角形； 故答案为：（2n+3）； 拓展延伸：（1）由问题解决可知2n+3＝2017， ∴n＝1012， ∴该五边形内有1012个点； （2）如图所示，当六边形内有1个点时，可以分6+2×1﹣2＝6个三角形， 当六边形内有2个点时，可以分6+2×2﹣2＝8个三角形， 当六边形内有3个点时，可以分6+2×3﹣2＝10个三角形， 以此类推，可知当六边形内有m个点时，可分得6+2m﹣2＝（2m+4）个三角形， 故答案为：（2m+4）． 7. 学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线…按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 【答案】C 【解答】解：四边形从一个顶点出发，可以画1条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画2条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画3条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画9条对角线， 故选：C． 8. 如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解答】解：9﹣3＝6（条）． 故选：A． 9. 从多边形的一个顶点出发可引出7条对角线，则它是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】D 【解答】解：任意n边形的一个顶点可引出的对角线的条数为（n﹣3）条． ∴n﹣3＝7． ∴n＝10． ∴这个多边形是十边形． 故选：D． 10. 从七边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将七边形分成n个三角形，则m+n＝　9　 ． 【答案】9． 【解答】解：m＝7﹣3＝4， n＝7﹣2＝5， 则m+n＝4+5＝9． 故答案为：9． 11. 如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2026个三角形，那么这个多边形的边数是　2028　 ． 【答案】2028． 【解答】解：设多边形的边数为n， 由题意可得，n﹣2＝2026， 解得：n＝2028． 故答案为：2028． 12. 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），AC、AD是五边形ABCDE的对角线．思考下列问题： （1）如图（2），n边形A1A2A3A4…An中，过顶点A 1可以画　（n﹣3）　 条对角线，它们分别是A1An﹣1（n＞3）　 ； 过顶点A2可以画　（n﹣3）　 条对角线，过顶点A 3可以画　（n﹣3）　 条对角线． （2）过顶点A1的对角线与过顶点A2的对角线有相同的吗？过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线有相同的吗？ （3）在此基础上，你能发现n边形的对角线条数的规律吗？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）过顶点A1可以画（n﹣3）条对角线，它们分别是A1An﹣1（n＞3）；过顶点A2可以画（n﹣3）条对角线，过顶点A3可以画（n﹣3）条对角线； （2）过点A1的和过点A2的没有重复的，但和过点A3的有重复的（A1A3和A3A1重复）； （3）n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条， 共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． 即n边形的对角线条数的为． 故答案为：（n﹣3），A1An﹣1（n＞3），（n﹣3），（n﹣3）． 13. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中∠1+∠2＝160°，则∠C+∠D+∠E＝　340°　 ． 【答案】340°． 【解答】解：由条件可知∠ABC+∠BAE＝360°﹣（∠1+∠2）＝200°， ∵（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠C+∠D+∠E＝540°﹣200°＝340°； 故答案为：340°． 14. 如图，∠1、∠2、∠3是四边形ABCD的3个外角，若∠1+∠2+∠3＝280°，则∠A＝　100　 °． 【答案】100． 【解答】解：如图， 根据多边形外角和定理得∠1+∠2+∠3+∠4＝360°， ∵∠1+∠2+∠3＝280°， ∴∠4＝360°﹣280°＝80°， ∴∠BAD＝180°﹣∠4＝180°﹣80°＝100°， 故答案为：100． 15. 若一个多边形的外角的度数正好是相邻的内角的两倍，则这个外角的度数为　120　 °． 【答案】120． 【解答】解：设多边形的内角度数为x， 根据题意得这个内角相邻的外角度数是2x， 所以x+2x＝180°， 解得x＝60°， 所以外角度数是120°， 故答案为：120． 16. 在教材第88页，我们遇到过如图的五角星，得出了∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°这个结论．英才班的同学对这个题目产生兴趣，画出了正六边形、正八边形，并延长每条边使其相交，形成如图的“六角星”、“八角星”图，并计算出六角星6个角的和以及八角星8个角的和，请根据以上信息推导延长正n边形每条边相交形成的“n角星”图的n个角的和是 　（n﹣4）×180°　 ． 【答案】（n﹣4）×180°． 【解答】解：正五边形，如图， ∠1＝∠2＝360°÷5＝72°， ∴∠A＝180°﹣2∠1＝36°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝5×36°＝180°＝（5﹣4）×180°； 正六边形，如图， ∠1＝∠2＝360°÷6＝60°， ∴∠A＝180°﹣2∠1＝60°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝6×60°＝360°＝（6﹣4）×180°； 正八边形，如图， ∠1＝∠2＝360°÷8＝45°， ∴∠A＝180°﹣2∠1＝90°， ∴∠A+∠B+∠C+⋯∠H＝8×45°＝720°＝（8﹣4）×180°； ⋯； ∴正n边形的n个角的和是（n﹣4）×180°． 故答案为：（n﹣4）×180°． 17. 六边形的内角和是　720　 °． 【答案】720 【解答】解：（6﹣2）•180°＝720°． 故答案为：720． 18. 若一个多边形的每一个外角都为45°，则该多边形为 　八　 边形． 【答案】八 【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于45°， ∴多边形的边数为360°÷45°＝8． 0 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 6.5 多边形 内 容 导 航 题型1 多边形 题型2 多边形的对角线 题型3 多边形内角与外角 考 点 演 练 题型1 多边形 解｜题｜知｜识 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 【典例1】如图，某同学用剪刀沿虚线将四边形纸片剪掉一个角，发现剩余图形的周长比原四边形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线 D．经过两点，有且只有一条直线 【变式1】如图所示的图形中，属于多边形的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图是其中一类：1，5，12，22称为五边形数，请你根据其中数排列的规律计算第101个五边形数与第100个五边形数的差是（　　） A．199 B．201 C．290 D．301 【变式3】如图，有长、宽分别为a、b的长方形一个和三边长分别为a、b、c的直角三角形两个．请你用这三个图形无缝拼成新的四边形，并直接写出形状不同的四边形的周长．（要求画出示意图形） 题型2 多边形的对角线 解｜题｜知｜识 （1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数） （3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． （4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 【典例1】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【变式1】一个n边形从一个顶点可引3条对角线，则n为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2】从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（　　） A．11条 B．12条 C．13条 D．14条 【变式3】归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．小明利用“归纳”的策略对以下问题进行了探究． 【问题提出】 连接五边形的五个顶点和它内部的1000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】 为了解决上面的问题，小明运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律． 如图1，当五边形内有1个点时，可分得5个三角形． 如图2，当五边形内有2个点时，可分得7个三角形． 当五边形内有3个点时，可分得　 个三角形．（可借助备用图分析） 归纳得出当五边形内有n个点，可分得　 　 个三角形． 【问题解决】 连接五边形的五个顶点和它内部的1000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得　 　 个三角形． 【拓展延伸】 若连接m边形的m个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到m边形内所有区域都变成三角形，可分得　 　 个三角形． 题型3 多边形内角与外角 解｜题｜知｜识 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．各角都相等的多边形是正多边形 B．各边都相等的多边形是正多边形 C．多边形的内角与相邻的外角互为补角 D．五边形一共有两条对角线 【变式1】多边形的内角和与它的边数有关，多一条边，内角和就增加（　　） A．45° B．90° C．180° D．360° 【变式2】下列关于正多边形的说法中，正确的是（　　） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有（n﹣2）条 D．正多边形的各边相等 【变式3】图中x等于　 　 °． 过 关 验 收 1. 下列说法中，错误的有（　　） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．n边形有n条边、n个顶点、n个内角、2n个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条 2. 如图，在一个密闭的圆柱体玻璃容器中装一半的水，水平放置时，水平面的形状是（　　） A．圆 B．五边形 C．矩形 D．三角形 3. 一个棱柱有10个面，则这个棱柱的底面是 　 　 边形． 4. 如图，将七边形ABCDEFG沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDQP，则该六边形的周长一定比原七边形的周长　 　 （填：“大”或“小”），其判断依据是　 　 ． 5. 用含有字母的式子表示如图组合图形的周长L＝　 　 ，面积S＝ 　 ． 6. 【问题提出】 连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】 为了解决上面的问题，我们将运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律． 探究一： 如图①当五边形内有1个点时，可分得 　 　 个三角形． 探究二： 当五边形内有2个点时，可分得多少个三角形？ 在探究一的基础上，我们在图①五边形ABCDE的内部再添加1个点，这个点的位置会有两种情况：可能在图①分割成的某个三角形的内部，如图②所示；也可能在三角形的某条公共边上，如图③所示．显然，不管哪种情况，都可分得 　 　 个三角形． 探究三： 当五边形内有3个点时，可分得 　 　 个三角形．请在图④中画出一种分割示意图． 【问题解决】 连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得 　 　 个三角形． 【拓展延伸】 （1）若连接五边形的五个顶点和它内部若干个点，可把五边形区域分割成2027个三角形．求该五边形内部有多少个点？ （2）若连接六边形的六个顶点和它内部的m个点，可把六边形区域分割成 　 　 个互不重叠的三角形． 7. 学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线…按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 8. 如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 9. 从多边形的一个顶点出发可引出7条对角线，则它是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 10. 从七边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将七边形分成n个三角形，则m+n＝　 　 ． 11. 如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2026个三角形，那么这个多边形的边数是　 　 ． 12. 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），AC、AD是五边形ABCDE的对角线．思考下列问题： （1）如图（2），n边形A1A2A3A4…An中，过顶点A 1可以画　 　 条对角线，它们分别是 　 ； 过顶点A2可以画　 　 条对角线，过顶点A 3可以画　 　 条对角线． （2）过顶点A1的对角线与过顶点A2的对角线有相同的吗？过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线有相同的吗？ （3）在此基础上，你能发现n边形的对角线条数的规律吗？ 13. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中∠1+∠2＝160°，则∠C+∠D+∠E＝　 　 ． 14. 如图，∠1、∠2、∠3是四边形ABCD的3个外角，若∠1+∠2+∠3＝280°，则∠A＝　 　 °． 15. 若一个多边形的外角的度数正好是相邻的内角的两倍，则这个外角的度数为　120　 °． 16. 在教材第88页，我们遇到过如图的五角星，得出了∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°这个结论．英才班的同学对这个题目产生兴趣，画出了正六边形、正八边形，并延长每条边使其相交，形成如图的“六角星”、“八角星”图，并计算出六角星6个角的和以及八角星8个角的和，请根据以上信息推导延长正n边形每条边相交形成的“n角星”图的n个角的和是 　 　 ． 17. 六边形的内角和是　 　 °． 18. 若一个多边形的每一个外角都为45°，则该多边形为 　 　 边形． 学科网（北京）股份有限公司 $