第六章 平面图形的初步认识全章复习讲义（知识回顾+6重难点题型）-2025-2026学年苏科版七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列

该初中数学讲义通过知识清单系统梳理第六章“平面图形的初步认识”，涵盖角、线段、平行线等13个知识点，并用表格归纳直线性质、角的计算等六种核心题型，以几何直观呈现知识脉络，突出空间观念与概念内在联系。 讲义亮点在于“题型示例+举一反三”设计，如用“弯曲公路改直道”实例讲解线段性质，培养抽象能力与推理意识。分层练习覆盖选择、解答题，基础生掌握方法，优秀生深化探究，助力教师实施精准教学。

第六章 平面图形的初步认识 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 直线、线段的基本事实 题型二 线段的计算 题型三 余角、补角、对顶角 题型四 角的计算 题型五 垂线 题型六 平行线的性质与判定 知识清单 知识点01角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 知识点02钟面角 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°． 知识点03方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 知识点04度分秒的换算 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 知识点05角平分线的定义 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 知识点06角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 知识点07余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 知识点08相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 知识点09对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 知识点10垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 知识点11平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 知识点12平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 知识点13多边形 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形 题型方法 【题型一】直线、线段的基本事实 【例1】（22-23七年级上·江苏南通·期末）一条弯曲的公路改为直道，可以缩短路程，其数学道理是（   ） A．线段可以比较大小 B．两点确定一条直线 C．线段有两个端点 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】一条弯曲的公路改为直道，使两点之间接近线段，因为两点之间线段最短，所以可以缩短路程． 【详解】解：由题意把弯曲的公路改为直道，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短． 故选：D． 【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，甲、乙均从处去往处．甲选择图中的路线①，即依次途径，，，最终到达；乙选择图中的路线②，即途径，最终到达．图中的，，，，，均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走，则两条路线中较长的是（    ） A．① B．② C．一样长 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短， 连接，再利用两点之间线段最短即可求解， 【详解】解：连接 有图可知： 在中， 即， 在中，， 即， ， 则路线①的距离路线②的距离， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明 ． 【答案】经过一点可以画无数条直线 【分析】此题考查了直线的性质．根据经过一点可以画无数条直线进行解答即可． 【详解】解：用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明经过一点可以画无数条直线． 故答案为：经过一点可以画无数条直线． 【变式3】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）从甲地到乙地修建公路时尽可能沿着笔直的路线修建，这个现象可以用基本事实 解释． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，根据从甲地到乙地修建公路时尽可能沿着笔直的路线修建，得出两点之间线段最短，即可作答． 【详解】解：∵从甲地到乙地修建公路时尽可能沿着笔直的路线修建， ∴这个现象可以用基本事实两点之间线段最短解释， 故答案为：两点之间线段最短． 【题型二】线段的计算 【例2】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，那么把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点C是折线的“折中点”．若折线的长度为9，点D为的中点，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的和差，设，由点D为的中点可知，再由点C是折线的“折中点”可知，由折线的长度为9得出x的值即可． 【详解】解：设， ∵点D为的中点， ∴， ∵点C是折线的“折中点”， ∴， ∵折线的长度为9， ∴，即， 解得， ∴． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是线段上一点，为的中点，且，，若点在直线上，且，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差关系，根据题意，点E的位置关系有两种情况：①点E在点A左侧；②点E在点A右侧；在不同情况下，作出图形，数形结合，表示出线段之间的和差关系，代值求解即可得到答案，读懂题意，准确分类，作出图形，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：∵点在直线上， ∴点E的位置关系有两种情况：①点E在点A左侧；②点E在点A右侧； 当点E在点A左侧时，如图， ∵，， ∴； 当点E在点A右侧时， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点E在C右侧，则， ∴； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【变式2】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，C为线段上一点，点B为的中点，且，． (1)求的长； (2)若点E在直线上，且，求的长． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键． （1）先利用线段的中点定义可得，然后再根据线段的和差进行计算，即可得出答案； （2）分两种情况：①当点E在线段的延长线上时；②当点E在线段上时；然后分别根据线段的和差进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点B为的中点，， ， ， ； （2）解：分两种情况： ①如图所示，当点E在线段的延长线上时， ，，， ②如图所示，当点E在线段AC上时， ，， ， ， ， 综上所述，的长为或． 【变式3】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知线段，点是线段延长线上一个动点，是线段的中点． (1)如图，若，求线段的长； (2)若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是____________； ①变小；②变大；③先变大，后变小；④先变小，后变大． (3)若，画出所有符合条件的图形并求线段的长． 【答案】(1)线段的长为 (2)④ (3)画图见解析，的长为或 【分析】本题主要考查了线段之间的和差关系，线段中点的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意进行分类讨论． （1）先根据题意求出的长度，再根据中点的定义求解即可； （2）根据题意将的长度表示出来，即可进行解答； （3）分两种情况画出图形，讨论即可：当点D在上时，当点D在延长线上时． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴ ∴ ∴线段的长为； （2）解：∵随着的变长，越来越靠近点，当是点与重合，然后点离点越来越远， 故选：④； （3）解：当点在上时， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； 当点在延长线上时， ∵，， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴． 综上所述：的长为或． 【题型三】余角、补角、对顶角 【例3】（2023七年级上·江苏·专题练习）若与互余，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了余角的定义，解题要根据若两个角互余，则两个角的和等于列出式子是本题的关键． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（22-23七年级上·江苏无锡·期末）如果一个角的余角是，那么这个角的补角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余角、补角的定义计算即可． 【详解】解：设这个角为，由题意得： ， 解得：， ∴这个角的补角为， 故选D． 【点睛】此题考查了余角、补角的定义，难度不大，掌握余角补角的定义是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，那么的补角等于 ． 【答案】 【分析】本题考查补角定义，正确进行角度的减法运算是求解本题的关键．根据补角定义可求． 【详解】解：∵， ∴的补角为：． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，直线相交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据对顶角相等，得，变形计算即可． 本题考查了对等角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 又， 故， 故答案为：42． 【题型四】角的计算 【例4】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角板中角度的计算，根据三角板中角的度数以及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：如图， ， ， ． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，点A、O、B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为 度 【答案】80 【分析】先求出，再根据平角的定义求出，即可利用角平分线的定义，求出，即可作答．本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，求出是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴， 故答案为：80 【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，，．当，平分时，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先由角平分的定义得到的度数，再由角的和差关系可得的度数． 【详解】解：∵，平分， ∴ ∵，， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中． （1） 填空： ； （2）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）如图③，在（2）的条件下，若平分，平分．请问在三角板旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【答案】（1）75；（2）①；②；（3）不变， 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）把，，代入计算即得；（2）①把代入计算即得答案；②由，得，解方程即得； （3）根据角平分线定义得，，代入计算即得 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：75； （2）①当时，， 故答案为：69； ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）的度数不会发生变化，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ， ∴的度数不会发生变化，它的度数为． 【题型五】垂线 【例5】（21-22七年级下·江苏·阶段练习）如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．已知直线的垂线只有一条 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 【举一反三】【变式1】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，点D在直线上，，则图中的和的关系是（　　） A．互为补角 B．对顶角 C．同位角 D．互为余角 【答案】D 【分析】本题考查余角和补角，关键是掌握余角的定义：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．由垂直的定义得到，由平角定义求出，即可得到和互为余角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴和的关系是互为余角． 故选：D． 【变式2】（20-21七年级上·江苏镇江·期末）下列三个日常现象：其中可以用“垂线段最短”来解释的是 ．（填序号） 【答案】① 【分析】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键． 根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论． 【详解】解：可以用“垂线段最短”来解释①， 可以“两点之间线段最短” 来解释②， 可以用“两点确定一条直线” 来解释③， 故答案为：①． 【变式3】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）利用网格仅用无刻度直尺按照要求完成作图并回答问题． (1)过点A作射线的垂线，垂足为点C； (2)过点A作射线的垂线，交射线于点D； (3)比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由解析 【分析】（1）直接利用垂线的作法得出答案； （2）取格点E，连接交于点D即可； （3）利用垂线的性质得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求； （3）解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型六】平行线的性质与判定 【例6】（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，下列条件中一定能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理，对每一个选项进行分析判断即可． 【详解】解：∵由，不能判断直线， ∴选项不符合题意， ∵， ∴， ∴选项符合题意， ∵由，不能判断直线， ∴选项不符合题意， ∵由，不能判断直线， ∴选项不符合题意， 故选：． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）一款长臂折叠护眼灯的示意图如图所示，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂线的定义．解题的关键是过拐点构造平行线．过点作，过点作，则，根据平行线的性质和垂线的定义分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：过点作，过点作，则    ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）光线从空气中射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，，光线从空气中射入水中时发生了折射，沿射到水底C处，射线是光线的延长线，已知，．求的大小． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等．利用数形结合的思想是解题关键．由平行线的性质可知，再根据对顶角相等得出，最后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵, ∴． 【变式3】（24-25七年级上·江苏·期末）如图，和的平分线交于点P，延长交于点Q，且． (1)试说明； (2)探究与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，，因此，根据平行线的判定定理即可证明； （2）由角平分线的定义得到，再根据平行线的性质即可得到． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）下列生活现象，其中能用“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设 B．利用圆规可以比较两条线段的大小 C．建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙 D．把弯曲的河道改直，能够缩短航行的路程 【答案】C 【分析】此题主要考查了线段以及直线的性质，正确把握相关性质是解题关键．利用线段和直线的性质分析得出答案． 【详解】解：A、从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，根据两点之间线段最短，故此选项不符合题意； B、利用圆规可以比较两条线段的大小，根据线段的比较，故此选项不符合题意； C、植建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，根据两点确定一条直线，故此选项符合题意； D、把弯曲的河道改直，能够缩短航行的路程，根据两点之间线段最短，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行等内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，故A选项符合题意； ∵， ∴，故B选项不符合题意； ∵， 无法证明或，故C选项不符合题意； ∵， ∴，故D选项不符合题意； 故选：A 3．（23-24七年级上·江苏南通·期末）定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ）    A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 【答案】B 【分析】本题考查了新型定义及角的和差关系，掌握角的和差是解题的关键．根据互为“优角”的定义进行解答即可． 【详解】解：∵，射线平分， ∴； ∵ ∴互为“优角”； ∵， ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； 故共有7对角互为“优角” 故选∶B． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）已知线段，C、D是线段上的两个动点，则下列结论：①若C是的中点，点D在线段上，，则；②若，则；③若， 且，则；④若是的中点，，  则．其中正确的为（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差运算以及与线段的中点有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别作图以及运用线段的和差关系进行逐个情况分析列式，要注意分类讨论的运用，即可作答． 【详解】解：∵线段，C、D是线段上的两个动点，C是的中点， ∴， ∵点D在线段上，， ∴． 故①是正确的； ∵，线段，C、D是线段上的两个动点，且， ∴， 即， ∴． 故②是正确的； ∵，线段，C、D是线段上的两个动点， ∴当点在线段上时，如图所示： 此时， ∵， ∴； ∴当点在线段上时，如图所示： 此时， ∵， ∴； 综上：或， 故③是错误的； ∵，且线段，C、D是线段上的两个动点， ∴， ∵是的中点， ∴， 则． ∵， ∴， 即， ∴， 故④是正确的 故选：D． 二、填空题 5．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如果一个角是，那么这个角的补角是 ． 【答案】/150度 【分析】根据补角的定义来求解．补角的定义为：若两个角的和为，则这两个角互为补角．本题主要考查了补角的定义，熟练掌握补角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 补角的定义为两个角的和为 ∴ 这个角的补角为 故答案为：． 6．（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的和差计算，正确运用角平分线推理论证进行角度的和差计算是解题的关键．根据角平分线的定义求出的度数，根据可求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵，平分，且， ∴，， ∴， 故答案为：20． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，点M、点C在线段上，点M是线段的中点，，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了线段和差计算，线段中点的意义，熟练掌握知识点是解题的关键．由，可求出，继而求出，由中点得到，再由线段和差计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：1． 8．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图， ，，，为垂足，则图中与互余的角有 个． 【答案】3 【分析】本题考查的是平行线的性质，余角的概念，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 先根据，可得出，，再由平行线的性质可知，故，由此可得出结论． 【详解】解：，， ，． ， ， ． 即与互余的角有，共3个， 故答案为：3． 三、解答题 9．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，村庄A和村庄B位于一条笔直的公路l的两侧． (1)现要在公路l上设立一个公交站台C，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．请在图中画出公交站C的位置，并说明理由． (2)一位A庄的居民有急事出门，打算打车前往目的地．请在图中画出公路l上最近上车点H的位置，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析，理由：两点之间，线段最短； (2)作图见解析，理由：垂线段最短； 【分析】本题考查作图应用与设计作图，两点之间线段最短，垂线段最短，树立了掌握它们的性质是解题的关键； （1）连接与直线l的交于点C即为所求； （2）过点A作交于点H，即为所求． 【详解】（1）解：（1）如图所示：连接与直线l的交点即为所求的点C， ， 理由：两点之间，线段最短， （2） 如图所示：点H即为所求；， 理由：垂线段最短． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，、为两条线段，E为线段上方一点，连结交AB于F，过点E作直线交，于G，H，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）根据题意，得到，即可证明； （2）由平行线的性质可知，利用，求得的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 11．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）研究数学问题常常是从特殊走向一般．如图，点A、D、C、E、B在同一直线上，D是的中点，E是的中点．如果，那么是多少呢？ (1)若，点C是的中点，求的长；（请用几何符号语言规范地表达） (2)若点C是线段上任意一点，那么如何用含a的代数式表示？（请用几何符号语言规范地表达） 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了线段中点、线段的和差，掌握线段中点的定义以及线段和差关系是解题的关键． （1）根据线段中点的定义依次求出，，，的长度，然后根据线段的和差关系求解即可； （2）类似（1）求解即可． 【详解】（1）解：是的中点，， ， 是的中点， ， 是的中点， ， ； （2）解：是的中点， ， 是的中点， ， ． 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，直线， 直线与， 分别交于点， ， 将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点，分别在直线， 上， 且在直线的右侧，， ． (1)填空；______（填“”“ ”或“” ）； (2)若的平分线交直线于点，如图②． ①当， 都与平行， 求的度数； ②若将三角板 沿直线 向左移动，保持，点，分别在直线 和直线上移动，请直接写出的度数(用含的式子表示) 【答案】(1) (2)60°②的度数为 或 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理，角平分线的定义，直角三角形的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可知，再根据直角三角形的性质即可解答； （2）①根据平行公理及平行线的性质可知，再利用角平分线的定义及平行线的性质即可解答；②根据平行线的性质可知，再利用角平分线的定义及平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为； （2）解：①，， ， ， ∵， ， ， 平分， ， ， ， ； ②点在的右侧时，如图②， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ； 点在的左侧时，如图， ，， ， ， ， ，， 平分， ， ， 综上所述，的度数为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面图形的初步认识 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 直线、线段的基本事实 题型二 线段的计算 题型三 余角、补角、对顶角 题型四 角的计算 题型五 垂线 题型六 平行线的性质与判定 知识清单 知识点01角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 知识点02钟面角 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°． 知识点03方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 知识点04度分秒的换算 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 知识点05角平分线的定义 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 知识点06角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 知识点07余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 知识点08相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 知识点09对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 知识点10垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 知识点11平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 知识点12平行公理及推论 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 知识点13多边形 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形 题型方法 【题型一】直线、线段的基本事实 【例1】（22-23七年级上·江苏南通·期末）一条弯曲的公路改为直道，可以缩短路程，其数学道理是（   ） A．线段可以比较大小 B．两点确定一条直线 C．线段有两个端点 D．两点之间，线段最短 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，甲、乙均从处去往处．甲选择图中的路线①，即依次途径，，，最终到达；乙选择图中的路线②，即途径，最终到达．图中的，，，，，均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走，则两条路线中较长的是（    ） A．① B．② C．一样长 D．无法确定 【变式2】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明 ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）从甲地到乙地修建公路时尽可能沿着笔直的路线修建，这个现象可以用基本事实 解释． 【题型二】线段的计算 【例2】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，那么把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点C是折线的“折中点”．若折线的长度为9，点D为的中点，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4.5 D．5 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是线段上一点，为的中点，且，，若点在直线上，且，则的长为 ． 【变式2】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，C为线段上一点，点B为的中点，且，． (1)求的长； (2)若点E在直线上，且，求的长． 【变式3】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知线段，点是线段延长线上一个动点，是线段的中点． (1)如图，若，求线段的长； (2)若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是____________； ①变小；②变大；③先变大，后变小；④先变小，后变大． (3)若，画出所有符合条件的图形并求线段的长． 【题型三】余角、补角、对顶角 【例3】（2023七年级上·江苏·专题练习）若与互余，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23七年级上·江苏无锡·期末）如果一个角的余角是，那么这个角的补角是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，那么的补角等于 ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，直线相交于点，则的度数为 ． 【题型四】角的计算 【例4】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，点A、O、B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为 度 【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，，．当，平分时，求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中． （1） 填空： ； （2）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）如图③，在（2）的条件下，若平分，平分．请问在三角板旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【题型五】垂线 【例5】（21-22七年级下·江苏·阶段练习）如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．已知直线的垂线只有一条 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【举一反三】【变式1】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，点D在直线上，，则图中的和的关系是（　　） A．互为补角 B．对顶角 C．同位角 D．互为余角 【变式2】（20-21七年级上·江苏镇江·期末）下列三个日常现象：其中可以用“垂线段最短”来解释的是 ．（填序号） 【变式3】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）利用网格仅用无刻度直尺按照要求完成作图并回答问题． (1)过点A作射线的垂线，垂足为点C； (2)过点A作射线的垂线，交射线于点D； (3)比较和的大小，并说明理由． 【题型六】平行线的性质与判定 【例6】（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，下列条件中一定能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）一款长臂折叠护眼灯的示意图如图所示，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ． 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）光线从空气中射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，，光线从空气中射入水中时发生了折射，沿射到水底C处，射线是光线的延长线，已知，．求的大小． 【变式3】（24-25七年级上·江苏·期末）如图，和的平分线交于点P，延长交于点Q，且． (1)试说明； (2)探究与的数量关系． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）下列生活现象，其中能用“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设 B．利用圆规可以比较两条线段的大小 C．建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙 D．把弯曲的河道改直，能够缩短航行的路程 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏南通·期末）定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ）    A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）已知线段，C、D是线段上的两个动点，则下列结论：①若C是的中点，点D在线段上，，则；②若，则；③若， 且，则；④若是的中点，，  则．其中正确的为（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 二、填空题 5．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如果一个角是，那么这个角的补角是 ． 6．（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，点M、点C在线段上，点M是线段的中点，，若，则的长为 ． 8．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图， ，，，为垂足，则图中与互余的角有 个． 三、解答题 9．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，村庄A和村庄B位于一条笔直的公路l的两侧． (1)现要在公路l上设立一个公交站台C，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．请在图中画出公交站C的位置，并说明理由． (2)一位A庄的居民有急事出门，打算打车前往目的地．请在图中画出公路l上最近上车点H的位置，并说明理由． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，、为两条线段，E为线段上方一点，连结交AB于F，过点E作直线交，于G，H，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 11．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）研究数学问题常常是从特殊走向一般．如图，点A、D、C、E、B在同一直线上，D是的中点，E是的中点．如果，那么是多少呢？ (1)若，点C是的中点，求的长；（请用几何符号语言规范地表达） (2)若点C是线段上任意一点，那么如何用含a的代数式表示？（请用几何符号语言规范地表达） 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，直线， 直线与， 分别交于点， ， 将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点，分别在直线， 上， 且在直线的右侧，， ． (1)填空；______（填“”“ ”或“” ）； (2)若的平分线交直线于点，如图②． ①当， 都与平行， 求的度数； ②若将三角板 沿直线 向左移动，保持，点，分别在直线 和直线上移动，请直接写出的度数(用含的式子表示) 1 学科网（北京）股份有限公司 $