专题1 动力学中的连接体和临界、极值问题 讲义- 2027届高三物理一轮复习

专题1 动力学中的连接体和临界、极值问题 【基础回顾】 一、动力学中的连接体问题 多个相互关联的物体连接（叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等联系）在一起构成的物体系统称为连接体。系统稳定时连接体一般具有相同的速度、加速度（或速度、加速度大小相等）。 1．共速连接体 两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和相同的加速度。 (1)绳的拉力（或物体间的弹力）相关类连接体 (2)叠加类连接体（一般与摩擦力相关） 二、动力学中的临界极值问题 1．临界、极值条件的标志 (1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点。 (2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。 2．四种典型的临界条件 (1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力 。 (2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。 (3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳子张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是 。 (4)最终速度（收尾速度）的临界条件：物体所受合外力为零。 3．动力学临界极值问题的三种解法 极限法 把物理问题（或过程）推向极端，从而使临界现象（或状态）暴露出来，以达到正确解决问题的目的 假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题 数学法 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件 三、 牛顿第二定律的瞬时性问题 1．两种模型的特点 (1)刚性绳（或接触面）模型：这种不发生明显形变就能产生弹力的物体，剪断（或脱离）后，形变恢复几乎不需要时间，故认为弹力可以立即改变或消失。 (2)弹簧（或橡皮绳）模型：此种物体的特点是形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时问题中，在弹簧（或橡皮绳）的自由端连接有物体时其弹力的大小不能突变，往往可以看成是瞬间不变的。 2．解决此类问题的基本思路 (1)分析原状态（给定状态）下物体的受力情况，明确各力大小。 (2)分析当状态变化时（烧断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等），哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失（被剪断的绳中的弹力、发生在被撤去物体接触面上的弹力都立即消失）。 (3)求物体在状态变化后所受的合外力，利用牛顿第二定律，求出瞬时加速度。 【题型精讲练】 题型一 动力学中的连接体问题 1．整体法与隔离法在分析共速连接体问题中的应用 (1)整体法：若连接体内的物体具有共同加速度，可以把它们看成一个整体，分析整体受到的外力，应用牛顿第二定律求出加速度。 (2)隔离法：求系统内两物体之间的作用力时，就需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿第二定律列方程求解。 (3)整体法和隔离法交替使用：一般情况下，若连接体内各物体具有相同的加速度，且求物体之间的作用力时，可以先用整体法求出加速度，然后再隔离某一物体，应用牛顿第二定律求相互作用力；若求某一外力，可以先隔离某一物体求出加速度，再用整体法求合外力或某一个力。 2．共速连接体对合力的“分配协议” 一起做加速运动的物体组成的系统，若外力 作用于 上，则 和 之间的相互作用力 ；若作用于 上，则 。此“协议”与有无摩擦无关（若有摩擦，两物体与接触面间的动摩擦因数必须相同），与两物体间有无连接物、是何种连接物（轻绳、轻杆、轻弹簧）无关，而且无论物体组成的系统处于平面、斜面还是竖直方向，此“协议”都成立。 【例题精讲】 【例1】（2026秋·湖北月考）如图甲所示，将两相同的物块P、Q用轻质细线连接放在水平面上，在水平恒力F作用下P、Q一起向右加速运动。图示位置P的右侧水平面与物块间的动摩擦因数μ随P的距离变化图像如图乙所示，则物块的加速度a和细线的拉力T的大小变化情况是（　　） A．a增大 B．a不变 C．T减小 D．T不变 【例2】（2026秋·福州校级月考）（多选）如图所示，光滑水平桌面上放置木块A，其右侧壁上紧贴着木块B，已知木块A、B质量分别为2kg、1kg，两木块间的动摩擦因数为0.4，现对木块B施加水平力F，使两者一起向左做加速运动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．两者之间的最小弹力为15N B．两者运动的最小加速度为12.5m/s2 C．施加外力F的最小值为37.5N D．随外力F的增大，A、B间的摩擦力增大 【变式训练1】（2026秋·黑龙江月考）如图所示，质量均为m的2026节小车用轻绳拴接在一起，静止在粗糙水平面上，某时刻将力F作用于最右端的车头m，使得2026节小车沿水平面做匀加速直线运动，已知小车与地面之间动摩擦因数均为μ，则左侧最后一节车厢与倒数第二节车厢之间的轻绳拉力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026秋·惠安县月考）在一光滑的水平面上放有一列已经组装好的火车玩具。当玩具以大小为a的加速度向右行驶时，连接某两节车厢的挂钩上的拉力大小为F；当玩具以大小为4a的加速度向左行驶时，该挂钩的拉力大小仍为F。已知每节车厢的质量相同，则这列玩具火车的车厢节数可能为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式训练3】（2026·成都校级开学）（多选）如图所示，倾角为30°的斜面固定在水平地面上。一轻绳绕过两个轻质滑轮连接着固定点P和物体B，两滑轮之间的轻绳始终与斜面平行，物体A、B的质量分别为m、2m，重力加速度大小为g，所有接触面均光滑。将A、B由静止释放，在B下降的过程中（物体A未碰到滑轮）。下列说法正确的是（　　） A．物体A的加速度大小为 B．物体A的加速度大小为 C．轻绳对P点的拉力大小为 D．轻绳对P点的拉力大小为 题型二 临界极值问题 一、高频临界条件汇总 临界现象 核心临界条件 两物体恰好接触/脱离 接触面间弹力Fₙ=0，且分离瞬间两者加速度、速度仍相等 两物体恰好相对滑动 接触面间静摩擦力达到最大静摩擦力 轻绳刚好伸直/松弛 绳的张力Fₜ=0 轻绳刚好断裂 绳的实际张力等于其能承受的最大张力 物体速度达到最大值 合外力为0，加速度a=0 物体加速度达到最大值 合外力达到最大值 自锁现象（无论F多大都拉不动） 动力的有效分力≤最大静摩擦力，且动力的一次项系数为0 斜面上物体刚好不滑动 静摩擦力达到最大值 转盘上物体刚好不甩出 静摩擦力达到最大静摩擦力，提供全部向心力 二、典型模型与应用 1.板-块叠放模型 核心临界：两物体刚好发生相对滑动，此时板与块之间的静摩擦力达到最大值。 解题逻辑：先隔离下方木板，由最大静摩擦力求出木板能达到的最大临界加速度；再对整体分析，得到刚好发生相对滑动时的临界拉力，超过该拉力两者就会发生相对滑动。 2.斜面-小球脱离模型 核心临界：小球刚好离开斜面，此时斜面对小球的支持力为0。 解题逻辑：先求出小球刚脱离斜面时的临界加速度，当系统实际加速度大于该临界值时，小球完全飞离斜面，不再受斜面弹力。 3.连接体分离模型 核心临界：两个并排/叠放的连接体恰好分离，此时两者间弹力为0，且瞬间加速度、速度仍相等。 解题逻辑：先整体用牛顿第二定律求共同加速度，再隔离其中一个物体，由弹力为0的条件求出分离的临界时刻/临界外力。 4.最小力优化模型 核心极值：通过调整力的方向，让拉力/推力的数值最小。 解题逻辑：将力沿运动方向和垂直运动方向分解，联立牛顿第二定律方程，利用三角函数极值条件，求出力的最小取值和对应的最优方向。 【例题精讲】 【例1】（2026春·甘井子区校级期末）一轻弹簧的一端固定在倾角为θ的固定光滑斜面的底部，另一端和质量为m的小物块A相连。如图所示，质量为m的小物块B紧靠A静止在斜面上，此时弹簧的压缩量为x。从t＝0开始，对B施加沿斜面向上的外力，使B始终做匀加速直线运动，经过一段时间后物块A、B分离，再经过同样长的时间，B距离出发点也为x，弹簧形变始终在弹性限度内，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．弹簧的劲度系数 B．A、B分离时弹簧弹力为 C．物块B的加速度为 D．经过时间，A、B分离 【例2】（2026春·甘井子区校级期末）（多选）如图（a），足够长的竖直板C固定不动，C内部有电磁铁，B为长木板，铁块A始终受到电磁铁的水平方向的吸引力，吸引力随时间变化的图像如图（b）所示。已知A、B的质量均为m，重力加速度g取10m/s2，A、B之间的动摩擦因数μ1＝0.25，B、C之间的动摩擦因数μ2＝0.75。初始时A位于B板上端，t＝0时刻，A、B由静止释放，A不离开长木板B。下列说法正确的是（　　） A．0～0.2s内，A的加速度为2.5m/s2 B．0～0.2s内，B的加速度为5m/s2 C．0.2s时，A相对B滑动的距离为0.05m D．长木板B的最小长度为 【变式训练1】（2026春·沙坪坝区校级期末）如图所示，一质量为m的物体以某一初速度冲上质量为m的斜劈，若斜劈倾角为θ，斜劈与物体间的接触面光滑，斜劈与水平地面间的接触面粗糙，为保证在物体上滑的过程中斜劈静止不动，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，则斜劈与水平地面间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D．tanθ 【变式训练2】（2026·海淀区校级模拟）如图所示，在水平光滑桌面上放有m1和m2两个小物块，它们中间有细线连接。已知m1＝3kg，m2＝2kg，连接它们的细线最大能承受6N的拉力。现用水平外力F向左拉m1，为保持细线不断，则F的最大值为（　　） A．10N B．12N C．15N D．6N 【变式训练3】（2026春·北碚区校级期末）（多选）如图1所示，平板A与小物块B叠放在固定斜面上，A的质量为m，B的质量为5m，A与斜面间的动摩擦因数为μA，B与A间的动摩擦因数为μB。将A、B同时由静止释放，释放后瞬间A与斜面间的摩擦力f随斜面倾角θ的变化关系如图2所示，图像在和时有转折（临界）。重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则由图像可以推断（　　） A．释放后瞬间A和B之间的摩擦力在时达到最大 B． C．时，A与斜面间的摩擦力 D． 题型三 瞬时加速度 1．瞬时加速度问题：牛顿第二定律是力的瞬时作用规律，加速度和力同时产生、同时变化、同时消失。分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析该时刻前后物体的受力情况及其变化。 2．四类模型 类别 弹力表现形式 弹力方向 能否突变 轻绳 拉力 沿绳收缩方向 能 橡皮条 拉力 沿橡皮条收缩方向 不能 轻弹簧 拉力、支持力 沿弹簧轴线方向 不能 轻杆 拉力、支持力 不确定 能 (1)轻绳、轻杆模型不发生明显形变就能产生弹力，剪断（或脱离）后，形变恢复几乎不需要时间，故认为弹力可以立即改变或消失。 (2)轻弹簧、橡皮条模型的形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时性问题中，它们的自由端连接有物体时其弹力的大小不能突变，往往可以看成是不变的。 【拓展延伸】 1．抓住“两关键”、遵循“四步骤” (1)分析瞬时加速度的“两个关键” ①明确轻绳、轻杆、轻弹簧或橡皮条类模型的特点。 ②分析突变前、后的受力情况和运动状态。 (2)分析瞬时加速度的“四个步骤” 第一步：分析原来物体的受力情况。 第二步：分析物体在突变时的受力情况。 第三步：由牛顿第二定律列方程。 第四步：求出瞬时加速度，并讨论其合理性。 【例题精讲】 【例1】（2026春·曲阳县校级期末）如图所示，质量相等的两滑块P、Q置于水平桌面上，二者用一轻弹簧水平连接，两滑块与桌面间的动摩擦因数均为μ。重力加速度大小为g。用水平向右的拉力F拉动P，使两滑块均做匀加速运动；某时刻突然撤去该拉力，则从此刻开始到弹簧第一次恢复原长之前（　　） A．P的加速度大小的最大值为2μg B．Q的加速度大小的最大值为2μg C．P的加速度大小等于Q的加速度大小 D．P的速度大小均不大于同一时刻Q的速度大小 【例2】（2026秋·开福区校级月考）（多选）两个质量均为m的小球，用轻杆连接后通过细绳悬挂在天花板上，如图所示。现突然迅速剪断细绳OA，让小球下落，在剪断细绳的瞬间，设小球A、B的加速度分别用a1和a2表示，重力加速度为g，则（　　） A．a1＝g B．a1＝2g C．a2＝0 D．a2＝g 【变式训练1】（2026·西安校级四模）如图，物块A、B通过轻弹簧连接，B通过细线悬挂在天花板上，系统处于静止状态。某时刻剪断细线并开始计时，直到弹簧第一次恢复原长的过程中，A，B的速度v随时间t变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026春·洛阳期末）如图所示，在光滑水平面上质量均为m的物块A和B通过轻弹簧连接。现用水平力F推A，使A、B一起做匀加速直线运动。则（　　） A．弹簧弹力产生原因是物块发生了形变 B．弹簧对A和B的弹力是一对平衡力 C．若突然撤去F，撤去瞬间A的加速度大小为 D．若突然撤去F，撤去瞬间B的加速度大小为零 【变式训练3】（2026·碑林区校级模拟）（多选）用两轻绳a、c和轻弹簧b将两个相同的小球1和2连接并悬挂，如图所示。两小球质量均为m，处于静止状态，轻绳a与竖直方向的夹角为30°，轻绳c水平。下列分析正确的是（　　） A．此时轻绳a的拉力大小为 B．此时轻绳c的拉力大小为2mg C．剪断轻绳c瞬间，小球2的加速度大小为 D．剪断轻绳c瞬间，小球2的加速度方向斜向左下方 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 动力学中的连接体和临界、极值问题 【基础回顾】 一、动力学中的连接体问题 多个相互关联的物体连接（叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等联系）在一起构成的物体系统称为连接体。系统稳定时连接体一般具有相同的速度、加速度（或速度、加速度大小相等）。 1．共速连接体 两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和相同的加速度。 (1)绳的拉力（或物体间的弹力）相关类连接体 (2)叠加类连接体（一般与摩擦力相关） 二、动力学中的临界极值问题 1．临界、极值条件的标志 (1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点。 (2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。 2．四种典型的临界条件 (1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力 。 (2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。 (3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳子张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是 。 (4)最终速度（收尾速度）的临界条件：物体所受合外力为零。 3．动力学临界极值问题的三种解法 极限法 把物理问题（或过程）推向极端，从而使临界现象（或状态）暴露出来，以达到正确解决问题的目的 假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题 数学法 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件 三、 牛顿第二定律的瞬时性问题 1．两种模型的特点 (1)刚性绳（或接触面）模型：这种不发生明显形变就能产生弹力的物体，剪断（或脱离）后，形变恢复几乎不需要时间，故认为弹力可以立即改变或消失。 (2)弹簧（或橡皮绳）模型：此种物体的特点是形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时问题中，在弹簧（或橡皮绳）的自由端连接有物体时其弹力的大小不能突变，往往可以看成是瞬间不变的。 2．解决此类问题的基本思路 (1)分析原状态（给定状态）下物体的受力情况，明确各力大小。 (2)分析当状态变化时（烧断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等），哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失（被剪断的绳中的弹力、发生在被撤去物体接触面上的弹力都立即消失）。 (3)求物体在状态变化后所受的合外力，利用牛顿第二定律，求出瞬时加速度。 【题型精讲练】 题型一 动力学中的连接体问题 1．整体法与隔离法在分析共速连接体问题中的应用 (1)整体法：若连接体内的物体具有共同加速度，可以把它们看成一个整体，分析整体受到的外力，应用牛顿第二定律求出加速度。 (2)隔离法：求系统内两物体之间的作用力时，就需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿第二定律列方程求解。 (3)整体法和隔离法交替使用：一般情况下，若连接体内各物体具有相同的加速度，且求物体之间的作用力时，可以先用整体法求出加速度，然后再隔离某一物体，应用牛顿第二定律求相互作用力；若求某一外力，可以先隔离某一物体求出加速度，再用整体法求合外力或某一个力。 2．共速连接体对合力的“分配协议” 一起做加速运动的物体组成的系统，若外力 作用于 上，则 和 之间的相互作用力 ；若作用于 上，则 。此“协议”与有无摩擦无关（若有摩擦，两物体与接触面间的动摩擦因数必须相同），与两物体间有无连接物、是何种连接物（轻绳、轻杆、轻弹簧）无关，而且无论物体组成的系统处于平面、斜面还是竖直方向，此“协议”都成立。 【例题精讲】 【例1】（2026秋·湖北月考）如图甲所示，将两相同的物块P、Q用轻质细线连接放在水平面上，在水平恒力F作用下P、Q一起向右加速运动。图示位置P的右侧水平面与物块间的动摩擦因数μ随P的距离变化图像如图乙所示，则物块的加速度a和细线的拉力T的大小变化情况是（　　） A．a增大 B．a不变 C．T减小 D．T不变 【答案】D 【详解】AB．设物块的质量为m，细线的长度为l，根据图像可得P、Q与平面间的动摩擦因数分别为μP、μP+kl（由图像可知k为常数）。 以两物块为整体分析，由牛顿第二定律可得：F﹣μPmg﹣（μP+kl）mg＝2ma 解得运动过程中加速度大小为： 物块向右运动过程中，μP逐渐增大，a减小，故AB错误； CD．对P由牛顿第二定律有：T﹣μPmg＝ma 联立解得细线的拉力的大小为： 则物块向右运动过程中，绳子的拉力不变，故C错误，D正确。 故选D。 【例2】（2026秋·福州校级月考）（多选）如图所示，光滑水平桌面上放置木块A，其右侧壁上紧贴着木块B，已知木块A、B质量分别为2kg、1kg，两木块间的动摩擦因数为0.4，现对木块B施加水平力F，使两者一起向左做加速运动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．两者之间的最小弹力为15N B．两者运动的最小加速度为12.5m/s2 C．施加外力F的最小值为37.5N D．随外力F的增大，A、B间的摩擦力增大 【答案】BC 【详解】A、在竖直方向，B仅受向下的重力mBg和A对B向上的静摩擦力f。木块B竖直受力平衡，若静摩擦力不足，B将相对A下滑，因此B的平衡条件为f＝mBg≤μN，其中N为A、B 间的水平弹力，由此可得N≥25N，则两者之间的最小弹力为25N，故A错误； B、两者加速度相同，对A，水平方向由牛顿第二定律得N＝mAa，当N＝25N时，加速度最小，且为，故B正确； C、对整体，外力F提供系统加速度，则有F＝（mA+mB）a，当加速度最小时，F最小Fmin＝37.5N，故C正确； D、A、B间的摩擦力为静摩擦力，竖直方向始终与B的重力平衡，则f＝mBg保持不变，故D错误。 故选BC。 【变式训练1】（2026秋·黑龙江月考）如图所示，质量均为m的2026节小车用轻绳拴接在一起，静止在粗糙水平面上，某时刻将力F作用于最右端的车头m，使得2026节小车沿水平面做匀加速直线运动，已知小车与地面之间动摩擦因数均为μ，则左侧最后一节车厢与倒数第二节车厢之间的轻绳拉力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选取2026节小车为研究对象，小车受竖直向下的重力2026mg，竖直向上的支持力FN，水平向右的作用力F，水平向左的摩擦力Ff。 水平方向有：F﹣Ff＝2026ma Ff＝μFN 竖直方向有：FN＝2026mg 选取左侧最后一节小车为研究对象，小车受竖直向下的重力mg，竖直向上的支持力FN1，水平向右的拉力T，水平向左的摩擦力Ff1。 水平方向有：T﹣Ff1＝ma Ff1＝μFN1 竖直方向有：FN1＝mg 联立上面各式解得： 则选项A正确，BCD错误。 故选A。 【变式训练2】（2026秋·惠安县月考）在一光滑的水平面上放有一列已经组装好的火车玩具。当玩具以大小为a的加速度向右行驶时，连接某两节车厢的挂钩上的拉力大小为F；当玩具以大小为4a的加速度向左行驶时，该挂钩的拉力大小仍为F。已知每节车厢的质量相同，则这列玩具火车的车厢节数可能为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【详解】设每节车厢质量为m，挂钩左、右两侧的车厢节数分别为x、y。 当加速度向右大小为a时，对挂钩左侧的车厢，由牛顿第二定律得： F＝xma； 当加速度向左大小为4a时，对挂钩右侧的车厢，由牛顿第二定律得： F＝ym4a； 车厢的总节数： N＝x+y 联立三式可得： N＝5y 因y为正整数，则总节数必为5的整数倍。 A．8不是5的整数倍，故A错误； B．10是5的2倍，故B正确； C．12不是5的整数倍，故C错误； D．14不是5的整数倍，故D错误。 故选B。 【变式训练3】（2026·成都校级开学）（多选）如图所示，倾角为30°的斜面固定在水平地面上。一轻绳绕过两个轻质滑轮连接着固定点P和物体B，两滑轮之间的轻绳始终与斜面平行，物体A、B的质量分别为m、2m，重力加速度大小为g，所有接触面均光滑。将A、B由静止释放，在B下降的过程中（物体A未碰到滑轮）。下列说法正确的是（　　） A．物体A的加速度大小为 B．物体A的加速度大小为 C．轻绳对P点的拉力大小为 D．轻绳对P点的拉力大小为 【答案】AD 【详解】设物体A的加速度大小为a，轻绳对P点的拉力大小为T，则B的加速度大小为2a。分别对物体A和B，根据牛顿第二定律可得 2T﹣mgsin30°＝ma，2mg﹣T＝2m·2a 联立解得，，故AD正确，BC错误。 故选AD。 题型二 临界极值问题 一、高频临界条件汇总 临界现象 核心临界条件 两物体恰好接触/脱离 接触面间弹力Fₙ=0，且分离瞬间两者加速度、速度仍相等 两物体恰好相对滑动 接触面间静摩擦力达到最大静摩擦力 轻绳刚好伸直/松弛 绳的张力Fₜ=0 轻绳刚好断裂 绳的实际张力等于其能承受的最大张力 物体速度达到最大值 合外力为0，加速度a=0 物体加速度达到最大值 合外力达到最大值 自锁现象（无论F多大都拉不动） 动力的有效分力≤最大静摩擦力，且动力的一次项系数为0 斜面上物体刚好不滑动 静摩擦力达到最大值 转盘上物体刚好不甩出 静摩擦力达到最大静摩擦力，提供全部向心力 二、典型模型与应用 1.板-块叠放模型 核心临界：两物体刚好发生相对滑动，此时板与块之间的静摩擦力达到最大值。 解题逻辑：先隔离下方木板，由最大静摩擦力求出木板能达到的最大临界加速度；再对整体分析，得到刚好发生相对滑动时的临界拉力，超过该拉力两者就会发生相对滑动。 2.斜面-小球脱离模型 核心临界：小球刚好离开斜面，此时斜面对小球的支持力为0。 解题逻辑：先求出小球刚脱离斜面时的临界加速度，当系统实际加速度大于该临界值时，小球完全飞离斜面，不再受斜面弹力。 3.连接体分离模型 核心临界：两个并排/叠放的连接体恰好分离，此时两者间弹力为0，且瞬间加速度、速度仍相等。 解题逻辑：先整体用牛顿第二定律求共同加速度，再隔离其中一个物体，由弹力为0的条件求出分离的临界时刻/临界外力。 4.最小力优化模型 核心极值：通过调整力的方向，让拉力/推力的数值最小。 解题逻辑：将力沿运动方向和垂直运动方向分解，联立牛顿第二定律方程，利用三角函数极值条件，求出力的最小取值和对应的最优方向。 【例题精讲】 【例1】（2026春·甘井子区校级期末）一轻弹簧的一端固定在倾角为θ的固定光滑斜面的底部，另一端和质量为m的小物块A相连。如图所示，质量为m的小物块B紧靠A静止在斜面上，此时弹簧的压缩量为x。从t＝0开始，对B施加沿斜面向上的外力，使B始终做匀加速直线运动，经过一段时间后物块A、B分离，再经过同样长的时间，B距离出发点也为x，弹簧形变始终在弹性限度内，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．弹簧的劲度系数 B．A、B分离时弹簧弹力为 C．物块B的加速度为 D．经过时间，A、B分离 【答案】C 【详解】A、初始状态下物块A、B静止在光滑斜面上，将A、B视为一个整体，沿斜面方向弹簧弹力与整体重力的分力平衡，有kx＝（m+m）gsinθ，解得弹簧的劲度系数为：，故A错误； B、设A、B两物块经过时间t分离，这段时间内物块B做匀加速直线运动，位移为，根据题意可知再经过同样长的时间t，即总时间为2t时，B距离出发点的位移为x，有，可得分离时B的位移为：，此时弹簧的压缩量为初始压缩量减去B的位移，即为：，由胡克定律可得弹簧的弹力为：，故B错误；C、A、B两物块分离的临界条件是两者间的弹力为零，此时它们的加速度仍相同，对物块A，沿斜面方向有：F弹﹣mgsinθ＝ma，解得加速度为：，故C正确； D、将分离时B的位移为：和加速度为，代入匀加速直线运动的位移公式，可得：，故D错误。 故选C。 【例2】（2026春·甘井子区校级期末）（多选）如图（a），足够长的竖直板C固定不动，C内部有电磁铁，B为长木板，铁块A始终受到电磁铁的水平方向的吸引力，吸引力随时间变化的图像如图（b）所示。已知A、B的质量均为m，重力加速度g取10m/s2，A、B之间的动摩擦因数μ1＝0.25，B、C之间的动摩擦因数μ2＝0.75。初始时A位于B板上端，t＝0时刻，A、B由静止释放，A不离开长木板B。下列说法正确的是（　　） A．0～0.2s内，A的加速度为2.5m/s2 B．0～0.2s内，B的加速度为5m/s2 C．0.2s时，A相对B滑动的距离为0.05m D．长木板B的最小长度为 【答案】BC 【详解】AB、在0～0.2s内，假设A、B均发生滑动，A、B之间也发生相对滑动，对A，根据牛顿第二定律可得：mg﹣μ1F＝maA1，代入数据可得：，对B，根据牛顿第二定律可得：mg+μ1F﹣μ2F＝maB1，代入数据可得：，故A错误，B正确； CD、在0～0.2s内，A运动的位移为：，B运动的位移为：，A相对于B滑动的距离为：Δx＝xA1﹣xB1＝0.15m﹣0.1m＝0.05m，当 t＝0.2s时，A的速度为：vA1＝aA1t＝7.5×0.2m/s＝1.5m/s，B的速度为：vB1＝aB1t＝5×0.2m/s＝1m/s，0.2s后，F＝5mg，对A根据牛顿第二定律可得：mg﹣μ1F＝maA2，代入数据解得：，对B、根据牛顿第二定律可得：mg+μ1F﹣μ2F＝maB2，代入数据可得：A运动的位移的大小为：， B运动的位移的大小为：，长木板B的最小长度为：L＝xA1+xA2﹣xB1﹣xB2，代入数据可得：，故C正确，D错误。 故选BC。 【变式训练1】（2026春·沙坪坝区校级期末）如图所示，一质量为m的物体以某一初速度冲上质量为m的斜劈，若斜劈倾角为θ，斜劈与物体间的接触面光滑，斜劈与水平地面间的接触面粗糙，为保证在物体上滑的过程中斜劈静止不动，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，则斜劈与水平地面间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D．tanθ 【答案】A 【详解】对光滑斜面上的物体受力分析，可得斜面对物体的支持力N1＝mgcosθ；根据牛顿第三定律，物体对斜劈的压力大小也为mgcosθ。将该压力分解，水平分力Fx＝mgsinθcosθ，竖直向下分力。 对斜劈，竖直方向根据平衡条件可得地面支持力N＝mg+mgcos2θ，借助三角恒等变换1+cos2θ＝2﹣sin2θ，化简得到N＝mg（2﹣sin2θ）；斜劈保持静止，水平方向静摩擦力与压力水平分力相等，即f＝mgsinθcosθ；斜劈刚好不滑动时静摩擦力等于最大静摩擦力f＝μN，解得动摩擦因数最小值，故A正确，BCD错误。 故选A。 【变式训练2】（2026·海淀区校级模拟）如图所示，在水平光滑桌面上放有m1和m2两个小物块，它们中间有细线连接。已知m1＝3kg，m2＝2kg，连接它们的细线最大能承受6N的拉力。现用水平外力F向左拉m1，为保持细线不断，则F的最大值为（　　） A．10N B．12N C．15N D．6N 【答案】C 【详解】当细线拉力达到自身最大承受拉力时，系统能够获得最大加速度，此时对应的水平外力F也达到最大值。 以m2为研究对象，根据牛顿第二定律有Tm＝m2am，可得最大加速度；以m1、m2整体为研究对象，根据牛顿第二定律有Fm＝（m1+m2）am，解得Fm＝15N，即为保持细线不断外力F的最大值为15N，故ABD错误，C正确。 故选C。 【变式训练3】（2026春·北碚区校级期末）（多选）如图1所示，平板A与小物块B叠放在固定斜面上，A的质量为m，B的质量为5m，A与斜面间的动摩擦因数为μA，B与A间的动摩擦因数为μB。将A、B同时由静止释放，释放后瞬间A与斜面间的摩擦力f随斜面倾角θ的变化关系如图2所示，图像在和时有转折（临界）。重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则由图像可以推断（　　） A．释放后瞬间A和B之间的摩擦力在时达到最大 B． C．时，A与斜面间的摩擦力 D． 【答案】BC 【详解】A．若第一次临界状态为平板A相对斜面滑动、两物体依旧保持相对静止，则两物体间所需静摩擦力大小为5μAmgcosθ，该摩擦力与两物体间最大静摩擦力5μBmgcosθ的比值为定值，不会随倾角θ发生改变，因此不会在处再次出现临界状态。由此可判断，第一次临界状态实际为物块B开始相对平板A发生滑动。当倾角满足时，两物体间静摩擦力大小为5mgsinθ，该摩擦力数值随θ增大而单调递增；当倾角满足时，两物体间滑动摩擦力大小为5μBmgcosθ，该摩擦力数值随θ增大而单调递减。可知两物体间摩擦力在时达到最大，故A错误。 B．由第一次临界状态物块B恰好相对平板A发生滑动，沿斜面方向有，解得。第二次临界时平板A仍静止，物块B相对A向下滑动，对平板A施加沿斜面向下的滑动摩擦力。对平板A沿斜面方向有，解得。同时斜面最大静摩擦力满足，解得，故B正确。 C．当倾角时，物块B相对平板A发生滑动，平板A仍然保持静止。对平板A沿斜面方向有f＝mgsinθ+5μBmgcosθ，解得，故C正确。 D．由第二次临界处的平衡关系有，解得，故D错误。 故选BC。 题型三 瞬时加速度 1．瞬时加速度问题：牛顿第二定律是力的瞬时作用规律，加速度和力同时产生、同时变化、同时消失。分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析该时刻前后物体的受力情况及其变化。 2．四类模型 类别 弹力表现形式 弹力方向 能否突变 轻绳 拉力 沿绳收缩方向 能 橡皮条 拉力 沿橡皮条收缩方向 不能 轻弹簧 拉力、支持力 沿弹簧轴线方向 不能 轻杆 拉力、支持力 不确定 能 (1)轻绳、轻杆模型不发生明显形变就能产生弹力，剪断（或脱离）后，形变恢复几乎不需要时间，故认为弹力可以立即改变或消失。 (2)轻弹簧、橡皮条模型的形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时性问题中，它们的自由端连接有物体时其弹力的大小不能突变，往往可以看成是不变的。 【拓展延伸】 1．抓住“两关键”、遵循“四步骤” (1)分析瞬时加速度的“两个关键” ①明确轻绳、轻杆、轻弹簧或橡皮条类模型的特点。 ②分析突变前、后的受力情况和运动状态。 (2)分析瞬时加速度的“四个步骤” 第一步：分析原来物体的受力情况。 第二步：分析物体在突变时的受力情况。 第三步：由牛顿第二定律列方程。 第四步：求出瞬时加速度，并讨论其合理性。 【例题精讲】 【例1】（2026春·曲阳县校级期末）如图所示，质量相等的两滑块P、Q置于水平桌面上，二者用一轻弹簧水平连接，两滑块与桌面间的动摩擦因数均为μ。重力加速度大小为g。用水平向右的拉力F拉动P，使两滑块均做匀加速运动；某时刻突然撤去该拉力，则从此刻开始到弹簧第一次恢复原长之前（　　） A．P的加速度大小的最大值为2μg B．Q的加速度大小的最大值为2μg C．P的加速度大小等于Q的加速度大小 D．P的速度大小均不大于同一时刻Q的速度大小 【答案】D 【详解】A．用水平向右的拉力F拉动P，两滑块一起做匀加速运动，设加速度大小为a，滑块的质量为m。以Q为研究对象，根据牛顿第二定律可得F弹﹣μmg＝ma，解得弹簧弹力大小F弹＝μmg+ma。某时刻突然撤去该拉力，该瞬间弹簧弹力保持不变，撤去拉力瞬间P的加速度达到最大值，有，故A错误。 B．Q受向右的弹簧弹力F弹和向左的滑动摩擦力，加速度大小，可知随着弹簧伸长量减小，弹簧弹力F弹不断减小，Q的加速度先减小后增大。撤去拉力瞬间； 当弹簧第一次恢复原长时，弹簧弹力等于0，。故B错误。 C．由以上分析可知，撤去拉力瞬间，P的加速度大小为aPmax＝2μg+a，Q的加速度大小为aQ＝a，可知P的加速度大小不等于Q的加速度大小，故C错误。 D．滑块P在弹簧恢复到原长时加速度的大小为a′＝μg，可见滑块P减速的最小加速度为滑块Q减速的最大加速度，撤去拉力时，P、Q的初速度相等，滑块P由开始的加速度大小为2μg+a做加速度减小的减速运动，最后弹簧原长时加速度大小为μg；滑块Q由开始的加速度为0做加速度增大的减速运动，最后弹簧原长时加速度大小也为μg，则滑块P的速度大小均不大于同一时刻Q的速度大小，故D正确。 故选D。 【例2】（2026秋·开福区校级月考）（多选）两个质量均为m的小球，用轻杆连接后通过细绳悬挂在天花板上，如图所示。现突然迅速剪断细绳OA，让小球下落，在剪断细绳的瞬间，设小球A、B的加速度分别用a1和a2表示，重力加速度为g，则（　　） A．a1＝g B．a1＝2g C．a2＝0 D．a2＝g 【答案】AD 【详解】剪断OA细绳瞬间，把A、B看作整体，总质量为2m，整体只受重力2mg，由牛顿第二定律得2mg＝2ma，解得a＝g，两球加速度都等于重力加速度。故AD正确，BC错误。 故选AD。 【变式训练1】（2026·西安校级四模）如图，物块A、B通过轻弹簧连接，B通过细线悬挂在天花板上，系统处于静止状态。某时刻剪断细线并开始计时，直到弹簧第一次恢复原长的过程中，A，B的速度v随时间t变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A，由平衡条件可知，剪断细线前弹簧弹力大小与A的重力等大，且弹簧处于拉伸状态，剪断细线后，对B，由牛顿第二定律可得：mBg+kx＝mBaB，解得：，方向竖直向下； 对A，由牛顿第二定律可得：mAg﹣kx＝mAaA，解得：，方向竖直向下，由此可知在剪断瞬间B的加速度比A的大，可知B比A运动的快，故AB向下运动过程中，弹簧形变量在减小，B做加速度减小的加速运动，A做加速度增大的加速运动，当弹簧形变量为0时（即恢复原长时），AB加速度相等，由于v﹣t斜率表示加速度，综合以上分析可知C选项符合题意，故C正确，ABD错误。 故选C。 【变式训练2】（2026春·洛阳期末）如图所示，在光滑水平面上质量均为m的物块A和B通过轻弹簧连接。现用水平力F推A，使A、B一起做匀加速直线运动。则（　　） A．弹簧弹力产生原因是物块发生了形变 B．弹簧对A和B的弹力是一对平衡力 C．若突然撤去F，撤去瞬间A的加速度大小为 D．若突然撤去F，撤去瞬间B的加速度大小为零 【答案】C 【详解】A、弹力的产生原因是施力物体发生弹性形变，弹簧弹力是弹簧自身形变产生，不是物块形变，故A错误； B、弹簧对A的弹力、弹簧对B的弹力，受力物体分别是A、B，两个力作用在不同物体上，既不是一对相互作用力，也不是一对平衡力，故B错误； C、对A、B组成的整体，由牛顿第二定律可得：F＝2ma，解得：，对B，设弹簧的弹力为T，则有：T＝ma，所以：，撤去F瞬间，弹簧形变未改变，弹簧的弹力T不变，A仅受弹簧向左的弹力T，由牛顿第二定律可得：T＝maA，解得：，故C正确；D、撤去F瞬间，弹簧弹力不变，B仍受弹簧的弹力作用，大小仍为：，加速度为：，故D错误。 故选C。 【变式训练3】（2026·碑林区校级模拟）（多选）用两轻绳a、c和轻弹簧b将两个相同的小球1和2连接并悬挂，如图所示。两小球质量均为m，处于静止状态，轻绳a与竖直方向的夹角为30°，轻绳c水平。下列分析正确的是（　　） A．此时轻绳a的拉力大小为 B．此时轻绳c的拉力大小为2mg C．剪断轻绳c瞬间，小球2的加速度大小为 D．剪断轻绳c瞬间，小球2的加速度方向斜向左下方 【答案】AC 【详解】AB、小球1和2保持静止，以小球1和2组成的整体为研究对象，受力分析如图所示： 根据平衡条件可得：，，故A正确，B错误； CD、剪断轻绳c瞬间，弹簧弹力不发生突变，此时小球2合外力与Tc等大反向，小球2的加速度大小为：，方向水平向左，故C正确，D错误。 故选AC。 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $