专题18 垂径定理专项训练（13大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题18 垂径定理 题型01 利用垂径定理判断正误 题型02 利用垂径定理求角度 题型03 利用垂径定理求半径 题型04 利用垂径定理求线段长度 题型05 利用垂径定理求面积 题型06 利用垂径定理求弦的取值范围 题型07 利用垂径定理求坐标 题型08 利用垂径定理求平行弦之间的距离 题型09 利用垂径定理求同心圆问题 题型10 轮船过桥问题 题型11 汽车过隧道问题 题型12 最值问题 题型13 利用垂径定理进行证明 ▌题型01 利用垂径定理判断正误 【典例1】如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AE＝BE B．OE＝DE C．AO＝CO D．AD＝BD 【变式1-1】如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE＝2，则下列结论正确的是（　　） A．OE＝2 B．EC＝2 C．AB垂直平分OC D．OC垂直平分AB 【变式1-2】已知：如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD垂直平分半径OA，CD交AB于点E，连接AC、CB．有下面三个推断：①BE＝3AE；②CE＝DE；③BC＝2CE．其中正确的推断的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-3】如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB于点E，下列结论：①CE=ED；②OE=EB；③AC=AD；④AC=CD．其中正确结论的序号是 . ▌题型02 利用垂径定理求角度 【典例1】已知⊙O的半径为2，弦AB、AC长分别为2和2，则∠BAC的度数为（　　） A．30° B．45° C．15°或75° D．30°取45° 【变式1-1】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE＝DE，∠COB＝52°，则∠DCO的度数为（　　） A．52° B．50° C．48° D．38° 【变式1-2】如图，点A，B，C在⊙O上，点A是中点，若∠ABC＝35°，则∠BCO的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【变式1-3】如图，已知点C为⊙O上一点，OC平分弦AB，连接OA，OB，BC．若∠A＝40°，则∠C的度数是（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° ▌题型03 利用垂径定理求半径 【典例1】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出 ，求圆形工件的半径为多少？ 【变式1-1】如图，秦岭终南山公路隧道是亚洲最长的公路隧道，位于陕西秦岭山脉之中，其建设技术和规模都处于世界领先水平，是沟通中国南北交通的重要枢纽高速公路．已知隧道的最大高度为，隧道入口宽为，该隧道的截面近似看作一段圆弧，该圆弧所在圆的圆心为，则这个圆的半径是_________． 【变式1-2】在河北省赵县境内，有一座始建于隋代的石拱桥——赵州桥，距今已有多年的历史．赵州桥开创了中国桥梁建造的崭新局面，是我国古代劳动人民智慧的结晶．赵州桥的桥拱是圆弧形的，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为，跨度（弧所对弦的长）为，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到） 【变式1-3】我国古代数学著作《九章算术》中有“圆材埋壁”问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问径几何？”用数学语言表述：如图，弦与直径垂直，垂足为E，寸，寸，则的直径是多少？（注：“尺”和“寸”都是旧制长度单位．1尺寸，1米尺） ▌题型04 利用垂径定理求线段长度 【典例1】如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为C．若，，则的长是多少？ 【变式1-1】如图是一条隧道的横截面，它是以点O为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，的半径长为，则隧道的高为________． 【变式1-2】如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式1-3】如图，在中，弦与直径相交于点E，，且，，求的长． ▌题型05 利用垂径定理求面积 【典例1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若AB＝50，CD＝48，则△OCE的面积为 　　 ． 【变式1-1】如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC，OB，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OBC的面积是（　　） A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．5cm2 【变式1-2】如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且BD＝5，BC＝4，则△ABD的面积为（　　） A．24 B．6 C．12 D．4.5 【变式1-3】如图，半径为1的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，分别以AE、BE，EC，ED为边作正方形AEHI，BEPQ，CEFG，EDNM，若记这四个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（　　） A．2 B． C． D．4 ▌题型06 利用垂径定理求弦的取值范围 【典例1】如图，P是⊙O内一点．若圆的半径为5，OP＝3，则经过点P的弦的长度不可能为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1-1】已知的半径为，为内一点，若，则经过点的弦长可能是（   ） A． B．9 C． D． 【变式1-2】如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【变式1-3】如图，⊙O的半径为15，弦AB＝18，点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌题型07 利用垂径定理求坐标 【典例1】如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为（6，3），点B的坐标为（9，0），则点A的坐标为（　　） A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0） 【变式1-1】如图，点M（0，﹣2），N（0，﹣8），半径为5的⊙A经过点M，N，则点A的坐标为（　　） A．（﹣5，﹣4） B．（﹣4，﹣6） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣5） 【变式1-2】如图半径为5的⊙A与y轴交于B（0，2），C（0，10），则点A的坐标为（　　） A．（3，6） B．（3，5） C．（2，4） D．（2，3） 【变式1-3】如图，⊙A经过原点O（0，0），交y轴于点B，若A（﹣3，﹣4），则点B的纵坐标是　 　 ． ▌题型08 利用垂径定理求平行弦之间的距离 【典例1】如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式1-1】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-2】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 【变式1-3】如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． ▌题型09 利用垂径定理求同心圆问题 【典例1】如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【变式1-2】如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【变式1-3】如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． ▌题型10 轮船过桥问题 【典例1】如图是某桨轮船的轮子的示意图，桨轮船的轮子被水面截得的弦长．设圆心为O，，交水面于点D，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子半径． 【变式1-1】石拱桥在黔西南州处处可见，小明要帮一船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，其示意图如图所示．现测得桥下水面宽度为，此时拱顶高出水面（），点O为该圆弧所在圆的圆心．已知货船宽，船舱顶部为矩形且高出水面，此货船能顺利通过这座拱桥吗？并说明理由． 【变式1-2】有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【变式1-3】某地有一座抛物线形拱桥（如图①），桥下水面宽度AB为48m，拱顶高出水面18m（即CD＝18m，CD⊥AB）． （1）现有一艘宽14m，船舱顶部高出水面16.5m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ （2）若此桥为圆弧形拱桥（如图②，其中点O为圆心，CD⊥AB） ①求出该圆弧形拱桥所在圆的半径的长度； ②那么宽14m，船舱顶部高出水面16.5m的货船能否通过这座桥？ ▌题型11 汽车过隧道问题 【典例1】图1是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图2的是其示意图．某学习小组用一根长为的笔直竹竿去辅助测量，点在圆弧上，点在地面上，且，测得，． (1)若于点，求的长． (2)求公路隧道轮廓的最大高度． 【变式1-1】如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？说明理由． 【变式1-2】一辆装满货物的卡车，高2.6m，宽1.6m，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长为2.3m． （1）这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． （2）为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为1.2m、高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 【变式1-3】如图所示，在设计修建桥洞时，为使车辆顺利通过，一般设计为上边为半圆形，下边为长方形的桥洞，设计一桥洞下面长方形的一边长是2.3m． （1）如果设计半圆的直径为2m单行道的桥洞，一辆装满货物的卡车，高2.5m，宽1.6m．那么，此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由． （2）为了适应车流量的增加，设计把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能刚好安全通过，那么此桥洞半圆的直径应设计成多少米？ ▌题型12 最值问题 【典例1】如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，相交于点E，且AB⊥CD，AE＝DE，点H为劣弧AD上一动点，G为HE中点，若CE＝1，DE＝7，连结AG，则AG最小值为 　 ． 【变式1-1】如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ，当点P在BC上移动时，则PQ长的最大值为　 ． 【变式1-2】如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 　 ；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 　 ． 【变式1-3】如图，⊙O的直径CD⊥AB，垂足为N，CD＝8，ON＝2，点P是⊙O上的动点（不与A，C两点重合），CM⊥AP，垂足为M，点P在运动过程中线段OM的最小值为　 ． ▌题型13 利用垂径定理进行证明 【典例1】已知：如图，线段与相交于点，且．求证：． 【变式1-1】如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB＝CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE＝OF． 【变式1-2】如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）证明：E是OB的中点； （2）若AB＝6，求CD的长． 【变式1-3】如图，已知在⊙O中弦AB＝CD，且AB⊥CD，垂足为H，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F． （1）证明：四边形OEHF为正方形； （2）若CH＝2，DH＝10，则⊙O半径等于 　 ． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 垂径定理 题型01 利用垂径定理判断正误 题型02 利用垂径定理求角度 题型03 利用垂径定理求半径 题型04 利用垂径定理求线段长度 题型05 利用垂径定理求面积 题型06 利用垂径定理求弦的取值范围 题型07 利用垂径定理求坐标 题型08 利用垂径定理求平行弦之间的距离 题型09 利用垂径定理求同心圆问题 题型10 轮船过桥问题 题型11 汽车过隧道问题 题型12 最值问题 题型13 利用垂径定理进行证明 ▌题型01 利用垂径定理判断正误 【典例1】如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AE＝BE B．OE＝DE C．AO＝CO D．AD＝BD 【分析】由CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，根据垂径定理得AE＝BE，可判断A不符合题意；连接AD、BD，因为OD垂直平分AB，而AB⊥OD但不一定平分OD，所以AD＝BD，而OE与DE不一定相等，可判断B符合题意，D不符合题意；由AO、CO都是⊙O的半径，得AO＝CO，可判断C不符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB， ∴AE＝BE， 故A不符合题意； 连接AD、BD， ∵OD垂直平分AB，而AB⊥OD但不一定平分OD， ∴AD＝BD，而OE与DE不一定相等， 故B符合题意，D不符合题意； ∵AO、CO都是⊙O的半径， ∴AO＝CO， 故C不符合题意， 故选：B． 【变式1-1】如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE＝2，则下列结论正确的是（　　） A．OE＝2 B．EC＝2 C．AB垂直平分OC D．OC垂直平分AB 【分析】利用垂径定理判定即可． 【解答】解：∵OC⊥AB，OC是半径， ∴OC垂直平分线段AB， 故选项D正确． 故选：D． 【变式1-2】已知：如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD垂直平分半径OA，CD交AB于点E，连接AC、CB．有下面三个推断：①BE＝3AE；②CE＝DE；③BC＝2CE．其中正确的推断的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】①连接OC，根据作图过程可证得△AOC为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；②根据弦CD垂直平分半径OA可得，根据垂径定理可判断；③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断． 【解答】解：连接OC， 在⊙O中，AB是直径，弦CD垂直平分半径OA， ∴OC＝AC， ∵AC＝OA＝OC， ∴△AOC为等边三角形， ∵弦CD垂直平分半径OA， ∴， ∴AB⊥CE， ∴AE＝OE， ∴BE＝BO+OE＝3AE，①正确； ∵弦CD垂直平分半径OA， ∴， ∴AB⊥CE，CE＝DE，②正确； ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴BC＝2CE，③正确； 故选：D． 【变式1-3】如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB于点E，下列结论：①CE=ED；②OE=EB；③AC=AD；④AC=CD．其中正确结论的序号是 . 【分析】由直径AB与弦CD垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，进而确定出AB垂直平分CD，利用线段垂直平分线定理得到AC=AD，即可得到正确结论的序号． 【解答】解：∵AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB于点E， ∴E为CD的中点，即AB垂直平分CD， ∴CE=DE，AC=AD， 则正确结论的序号是①③． 故答案为：①③ ▌题型02 利用垂径定理求角度 【典例1】已知⊙O的半径为2，弦AB、AC长分别为2和2，则∠BAC的度数为（　　） A．30° B．45° C．15°或75° D．30°取45° 【分析】分两种情况，由垂径定理，锐角的余弦求出∠OAM＝45°，∠OAN＝30°，即可解决问题． 【解答】解：如图， 作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N， ∴AMAB，AN， ∴cos∠OAM，cos∠OAN， ∴∠OAM＝45°，∠OAN＝30°， ∴∠BAC＝∠OAM﹣∠OAN＝15°． 如图， 作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N， ∴AMAB，AN， ∴cos∠OAM，cos∠OAN， ∴∠OAM＝45°，∠OAN＝30°， ∴∠BAC＝∠OAM+∠OAN＝75°， ∴∠BAC＝15°或75°． 故选：C． 【变式1-1】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE＝DE，∠COB＝52°，则∠DCO的度数为（　　） A．52° B．50° C．48° D．38° 【分析】证明∠CEO＝90°，利用三角形内角和定理求解． 【解答】解：∵AB是直径，CE＝ED， ∴AB⊥CD， ∴∠CEO＝90°， ∴∠DCO＝90°﹣52°＝38°， 故选：D． 【变式1-2】如图，点A，B，C在⊙O上，点A是中点，若∠ABC＝35°，则∠BCO的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】由点A是中点，可得AO⊥BC，进而可得∠BAO＝55°，根据OA＝OB，即可得出∠OBA＝∠OAB＝55°，根据∠BCO＝∠OBC＝∠ABO﹣∠ABC，即可求解． 【解答】解：∵点A，B，C在⊙O上，点A是中点，∠ABC＝35°， ∴AO⊥BC， ∴∠BAO＝90°﹣35°＝55°， ∵OA＝OB，OB＝OC， ∴∠OBA＝∠OAB＝55°， ∴∠BCO＝∠OBC＝∠ABO﹣∠ABC＝55°﹣35°＝20°． 故选：C． 【变式1-3】如图，已知点C为⊙O上一点，OC平分弦AB，连接OA，OB，BC．若∠A＝40°，则∠C的度数是（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【分析】根据OC平分弦AB，得到OC⊥AB，结合OA＝OB，得到∠AOC＝∠BOC＝50°，结合等腰三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵OC平分弦AB， ∴OC⊥AB， ∵OA＝OB， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°﹣∠A＝50°， ∵OC＝OB， ∴， 故选：A． ▌题型03 利用垂径定理求半径 【典例1】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出 ，求圆形工件的半径为多少？ 【答案】圆形工件的半径为 【分析】假设圆心为点，连接，由题意得出，设半径为，在中，根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】解：假设圆心为点，连接， ∵作的垂直平分线交于点， ∴点在直线上， ∴， 设半径为， 则在中， ， 即， 解得：． ∴圆形工件的半径为． 【变式1-1】如图，秦岭终南山公路隧道是亚洲最长的公路隧道，位于陕西秦岭山脉之中，其建设技术和规模都处于世界领先水平，是沟通中国南北交通的重要枢纽高速公路．已知隧道的最大高度为，隧道入口宽为，该隧道的截面近似看作一段圆弧，该圆弧所在圆的圆心为，则这个圆的半径是_________． 【答案】 【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理，可求出，根据勾股定理，则，即可． 【详解】解：连接，设圆的半径为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴圆的半径为：． 故答案为：． 【变式1-2】在河北省赵县境内，有一座始建于隋代的石拱桥——赵州桥，距今已有多年的历史．赵州桥开创了中国桥梁建造的崭新局面，是我国古代劳动人民智慧的结晶．赵州桥的桥拱是圆弧形的，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为，跨度（弧所对弦的长）为，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据题意构建拱形图形，利用勾股定理、垂径定理列方程解题． 【详解】解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为，半径为，经过圆心作弦的垂线，为垂足，与相交于点，连接，根据垂径定理，是的中点，是的中点，就是拱高， 根据题意可知，，， 则，， 在中， ，即， 解得， 故桥拱所在圆的半径为． 【变式1-3】我国古代数学著作《九章算术》中有“圆材埋壁”问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问径几何？”用数学语言表述：如图，弦与直径垂直，垂足为E，寸，寸，则的直径是多少？（注：“尺”和“寸”都是旧制长度单位．1尺寸，1米尺） 【答案】26寸 【分析】连接，设的半径是寸，根据题意，得寸，寸，根据勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：连接， ，寸， 寸， 设的半径是寸， 根据题意，得寸，寸， 根据勾股定理，得， ， ， ， 故的直径是26寸． ▌题型04 利用垂径定理求线段长度 【典例1】如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为C．若，，则的长是多少？ 【答案】 【分析】根据垂径定理，结合已知条件即可得，在中，根据勾股定理求出，进而求出，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵为直径，为弦，且， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 【变式1-1】如图是一条隧道的横截面，它是以点O为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，的半径长为，则隧道的高为________． 【答案】6 【分析】连接，先根据垂径定理可得的长和，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是中弦的中点，经过圆心，且， ∴，， ∵的半径长为， ∴， ∴在中，， ∴． 【变式1-2】如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】连接OD，过点O作OH⊥DE，垂足为H，在Rt△DHO中，有勾股定理即可求出结果． 【解答】解：连接OD，过点O作OH⊥DE，垂足为H， ∴， 在Rt△DHO中，OH3， ∴直尺的宽度为3cm． 故选：A． 【变式1-3】如图，在中，弦与直径相交于点E，，且，，求的长． 【答案】 【分析】先求解，过作于F，连接，进一步结合含的直角三角形的性质与勾股定理求解即可. 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 过作于F，连接，如图所示： ∴， ∵， ， ，， ∵， ， . ▌题型05 利用垂径定理求面积 【典例1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若AB＝50，CD＝48，则△OCE的面积为 　84　 ． 【分析】先根据垂径定理得到CE＝DECD＝24，再利用勾股定理计算出OE＝7，然后根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径， ∴CE＝DECD＝24， ∵AB＝50， ∴OC＝25， 在Rt△OCE中，∵OC＝25，CE＝24， ∴OE7， ∴△OCE的面积7×24＝84． 故答案为：84． 【变式1-1】如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC，OB，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OBC的面积是（　　） A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．5cm2 【分析】设⊙O的半径为rcm，则OE＝（r﹣2）cm，先根据垂径定理得到BE＝DE＝4cm，再利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，解方程求出r得到OC＝5cm，然后根据三角形面积公式求解． 【解答】解：设⊙O的半径为rcm，则OE＝（r﹣2）cm， ∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E， ∴BE＝DEBD＝4cm， 在Rt△BOE中，（r﹣2）2+42＝r2， 解得r＝5， ∴OC＝5cm， ∴△OBC的面积5×4＝10（cm2）． 故选：A． 【变式1-2】如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且BD＝5，BC＝4，则△ABD的面积为（　　） A．24 B．6 C．12 D．4.5 【分析】先利用勾股定理求出CD，再根据垂径定理得出AD＝CD，即可解答． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△BCD中，由勾股定理可得： ， ∵OD⊥AC ∴AD＝CD＝3 ∴， 故选：B． 【变式1-3】如图，半径为1的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，分别以AE、BE，EC，ED为边作正方形AEHI，BEPQ，CEFG，EDNM，若记这四个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（　　） A．2 B． C． D．4 【分析】取CD的中点M，AB的中点N，连接OA、OC、OM、ON，则CM＝DM，AN＝BN，由垂径定理可得，OM⊥CD，ON⊥AB，可证明四边形OMEN是矩形，利用线段之间的和差关系表示出CE2+ED2、AE2+EB2，利用完全平方公式进行化简，以及勾股定理进行等量代换，即可得解． 【解答】解：如图，取CD的中点M，AB的中点N，连接OA、OC、OM、ON，则CM＝DM，AN＝BN， 由垂径定理可得，OM⊥CD，ON⊥AB， ∴四边形OMEN是矩形， ∴OM＝EN，ON＝EM， ∵CE2+ED2＝（CM﹣EM）2+（CM+EM）2 ＝CM2﹣2CM•EM+EM2+CM2+2CM•EM+EM2 ＝2（OC2﹣OM2）+2EM2， AE2+EB2＝（AN﹣EN）2+（AN+EN）2 ＝AN2﹣2AN•EN+EN2+AN2+2AN•EN+EN2 ＝2（OA2﹣ON2）+2EN2， ∴S1+S2+S3+S4 ＝AE2+EB2+CE2+ED2 ＝2（OA2﹣ON2）+2EN2+2（OC2﹣OM2）+2EM2 ＝2OA2﹣2ON2+2EN2+2OC2﹣2EN2+2ON2 ＝2OA2+2OC2 ＝4OA2 ＝4． 故选：D． ▌题型06 利用垂径定理求弦的取值范围 【典例1】如图，P是⊙O内一点．若圆的半径为5，OP＝3，则经过点P的弦的长度不可能为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】连接OP，过P作弦AB⊥OP，此时AB是过P的最短的弦，由垂径定理得到AB＝2AP，由勾股定理求出AP4，得到AB＝8，过P的最长的弦是圆的直径是10，于是得到经过点P的弦长的取值范围，即可得到答案． 【解答】解：连接OP，过P作弦AB⊥OP，此时AB是过P的最短的弦， ∴AB＝2AP， ∵圆的半径为5，OP＝3， ∴AP4， ∴AB＝8， ∵过P的最长的弦是圆的直径是10， ∴8≤经过点P的弦的长≤10， ∴经过点P的弦的长度不可能是7． 故选：A． 【变式1-1】已知的半径为，为内一点，若，则经过点的弦长可能是（   ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质和勾股定理．熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键． 根据圆的弦长性质，求出经过圆内一点的弦长的取值范围，再据此判断即可． 【详解】解：的半径，， ∴最小弦长， 最大弦长， ∴弦长的取值范围为． 选项A中.，不符合要求． 选项B中.，不符合要求． 选项C中.在弦长的取值范围内，符合要求． 选项D中.，不符合要求． 故选C． 【变式1-2】如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【答案】3 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 【变式1-3】如图，⊙O的半径为15，弦AB＝18，点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】过点O作OP⊥AB于点P，连接OA，根据垂径定理及勾股定理求出OP＝12，根据两点间的距离推出OM可取12，13，14，据此即可得解． 【解答】解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，连接OA， ∵弦AB＝18， ∴APAB＝9， ∵OA＝15， ∴OP12， ∴OM的最短距离为OP，最长距离为OA， ∵点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合， ∴12≤OM＜15， ∵OM的长为整数， ∴OM可取12，13，14， 即这样的点M有5个， 故选：C． ▌题型07 利用垂径定理求坐标 【典例1】如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为（6，3），点B的坐标为（9，0），则点A的坐标为（　　） A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0） 【分析】作PE⊥x轴于点E，由垂径定理得AE＝BE，因为点P的坐标为（6，3），所以点E的坐标为（6，0），而点B的坐标为（9，0），所以AE＝BE＝3，求得点A的坐标为（3，0），于是得到问题的答案． 【解答】解：作PE⊥x轴于点E， ∵以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点， ∴AE＝BE， ∵点P的坐标为（6，3）， ∴点E的坐标为（6，0）， ∵点B的坐标为（9，0）， ∴AE＝BE＝9﹣6＝3， ∴点A的横坐标为6﹣3＝3， ∵点A在x轴上， ∴点A的坐标为（3，0） 故选：C． 【变式1-1】如图，点M（0，﹣2），N（0，﹣8），半径为5的⊙A经过点M，N，则点A的坐标为（　　） A．（﹣5，﹣4） B．（﹣4，﹣6） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣5） 【分析】连接AM，过点A作AE⊥MN于点E，AF⊥x轴于点F，可得四边形AFOE是矩形，得出AE＝OF，AF＝OE，利用M（0，﹣2），N（0，﹣8），可得OM＝2，ON＝8，MN＝ON﹣OM＝6，利用垂径定理可得ME，则可得OE，利用勾股定理可得AE，即可得． 【解答】解：如图，连接AM，过点A作AE⊥MN于点E，AF⊥x轴于点F， 由条件可知四边形AFOE是矩形， ∴AE＝OF，AF＝OE， 由点的坐标可知OM＝2，ON＝8， ∴MN＝ON﹣OM＝6， ∵AE⊥MN， ∴， ∴AF＝OE＝OM+EM＝5， ∵⊙A的半径为5， ∴AM＝5， ∴， ∴OF＝4， ∴A（﹣4，﹣5）， 故选：D． 【变式1-2】如图半径为5的⊙A与y轴交于B（0，2），C（0，10），则点A的坐标为（　　） A．（3，6） B．（3，5） C．（2，4） D．（2，3） 【分析】过点A作AD⊥BC于D，连接AB，根据点B和点C的坐标求出BC，再根据垂径定理求出BD＝CD＝4，根据勾股定理求出AD即可，继而即可求解坐标 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，连接AB， ∵⊙A的半径为5，B（0，2）、C（0，10）， ∴AB＝5，BC＝10﹣2＝8，OB＝2， ∵AD⊥BC，AD过圆心A， ∴CD＝BD＝4， ∴OD＝2+4＝6， ∴， ∴A（3，6） 故选：A． 【变式1-3】如图，⊙A经过原点O（0，0），交y轴于点B，若A（﹣3，﹣4），则点B的纵坐标是　﹣8　 ． 【分析】连接OA，作AC⊥y轴交y轴于点C，由A（﹣3，﹣4）和垂径定理，可得BC＝OC＝4，再由图可知点B在y轴的负半轴上，即可解答． 【解答】解：连接OA，作AC⊥y轴交y轴于点C，如图， ∵⊙A经过原点O（0，0），交y轴于点B，A（﹣3，﹣4），AC⊥y轴， ∴AC＝3，BC＝OC＝4， ∴OB＝BC+OC＝8， ∵点B在y轴的负半轴上， ∴点B的纵坐标是﹣8． 故答案为：﹣8． ▌题型08 利用垂径定理求平行弦之间的距离 【典例1】如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 【变式1-1】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 【变式1-2】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 【答案】或 【分析】分圆心在弦与的同侧和异侧两种情况，结合垂径定理和勾股定理分别求出圆心到两条弦的距离，再根据线段的和差计算弦之间的距离即可. 【详解】解：的直径为， 的半径为， 当圆心在弦和的同侧时， 连接，，过点作于点，延长交于点， ， ， 由垂径定理得，，， 在中，由勾股定理得：； 在中，由勾股定理得：； ； 当圆心在弦和的异侧时， 同理可得，， . 综上：与之间的距离为或. 【变式1-3】如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． 【答案】1 【分析】过点O作于点F，交于点E，根据垂径定理，勾股定理，求得，根据距离的意义，求解即可． 【详解】解：过点O作于点F，交于点E， ， ， ， ，， ， 连接， ， ， ， 故这两条平行弦之间的距离为1． ▌题型09 利用垂径定理求同心圆问题 【典例1】如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、扇形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由大圆的弦与小圆相切可得，再根据垂径定理得，进而推出是等腰直角三角形，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：大圆的弦与小圆相切， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 扇形的面积． 故选：C． 【变式1-1】如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 【变式1-2】如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 即； (2) 【分析】（）过点作于点，由垂径定理得，，进而即可求证； （）连接、，可得，，即得，设，则，，利用勾股定理求出的值进而即可求解； 本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 即小圆半径的值为． 【变式1-3】如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． ▌题型10 轮船过桥问题 【典例1】如图是某桨轮船的轮子的示意图，桨轮船的轮子被水面截得的弦长．设圆心为O，，交水面于点D，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子半径． 【答案】 【分析】利用垂径定理和勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：设轮子的半径为，则， ∵， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得． 【变式1-1】石拱桥在黔西南州处处可见，小明要帮一船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，其示意图如图所示．现测得桥下水面宽度为，此时拱顶高出水面（），点O为该圆弧所在圆的圆心．已知货船宽，船舱顶部为矩形且高出水面，此货船能顺利通过这座拱桥吗？并说明理由． 【答案】不能，理由见解析 【分析】设货船最大限度通过拱桥时，船舱顶部与拱桥的交点为M，N，连接，．根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理，得，解得．在中，，根据垂径定理得出，然后判断与12的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：如图，设货船最大限度通过拱桥时，船舱顶部与拱桥的交点为M，N，连接，． ∵，， ∴． 又∵， ∴设，则． 在中，根据勾股定理，得，解得． ∵船舱顶部为矩形且高出水面， ∴， ∴． 在中，， ∴． ∴此货船不能顺利通过这座拱桥． 【变式1-2】有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 【变式1-3】某地有一座抛物线形拱桥（如图①），桥下水面宽度AB为48m，拱顶高出水面18m（即CD＝18m，CD⊥AB）． （1）现有一艘宽14m，船舱顶部高出水面16.5m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ （2）若此桥为圆弧形拱桥（如图②，其中点O为圆心，CD⊥AB） ①求出该圆弧形拱桥所在圆的半径的长度； ②那么宽14m，船舱顶部高出水面16.5m的货船能否通过这座桥？ 【分析】（1）以D为坐标原点建立坐标系如图，利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后把x＝﹣7代入，求得函数值，比较16.5m，即可得到此时货船能否顺利通过这座桥； （2）①首先连接OA，设这座拱桥所在圆的半径为x米，由垂径定理，易得方程：x2＝（x﹣18）2+242，解此方程即可求得半径；②连接OM，设MN＝9米，可求得此时OH的高，即可求得OH﹣OD的长，比较16.5m，即可得到此时货船能否顺利通过这座拱桥． 【解答】解：（1）货船不能顺利通过这座桥，理由： 以D为坐标原点建立坐标系如图， 根据题意得：CD＝18m，AD＝BD＝24m， ∴A（﹣24，0），B（24，0），C（0，18）， 设抛物线为y＝ax2+18， 代入A的坐标得，576a+18＝0， 解得a， ∴抛物线为yx2+18， 设MN＝14m， ∵MN⊥y轴， ∴MHMN＝7m， ∴M点横坐标为﹣7， 把x＝﹣7代入yx2+18，得y， ∴DHm＜16.5m， ∴货船不能顺利通过这座桥； （2）①连接OA， 根据题意得：CD＝18m，AB＝48m， 则ADAB＝24m， 设这座拱桥所在圆的半径为xm， 则OA＝OC＝xm，OD＝OC﹣CD＝（x﹣18）m， 在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2， 则x2＝（x﹣18）2+242， 解得：x＝25， ∴该圆弧形拱桥所在圆的半径为25m； ②货船能顺利通过这座拱桥．理由： 连接OM， 设MN＝14m， ∵OC⊥MN， ∴MHMN＝7m， 在Rt△OMH中，OH24（m）， ∵OD＝OC﹣CD＝25﹣18＝7（m）， ∵OH﹣OD＝24﹣7＝17（m）＞16.5m， ∴货船能顺利通过这座拱桥． ▌题型11 汽车过隧道问题 【典例1】图1是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图2的是其示意图．某学习小组用一根长为的笔直竹竿去辅助测量，点在圆弧上，点在地面上，且，测得，． (1)若于点，求的长． (2)求公路隧道轮廓的最大高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的实际应用，关键是通过作辅助线构造矩形和直角三角形，利用“同圆半径相等”的性质设未知数列方程，将实际问题转化为几何线段计算． （1）利用垂径定理确定的中点，结合已知的长度，通过线段的差计算的长； （2）先作构造矩形转化线段，再用勾股定理分别表示两个直角三角形中的半径，根据半径相等列方程求，最后结合半径求出隧道最大高度． 【详解】（1）解：，， ， 又， ； （2）解：如图，过点作于点，连接、，延长交弧于点，． ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，． 由（1）知，故； 设，则． ∴． 在中，根据勾股定理，； 在中，同理得． ∵， ∴， 解得，即． 在中，， 即的半径． ∴； 答：公路隧道轮廓的最大高度为． 【变式1-1】如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？说明理由． 【答案】这辆卡车能通过隧道 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理以及矩形性质的实际应用，灵活运用所学知识是解题关键． 作弦，且，过圆心O作于H，交于G，连接，在直角三角形中，由勾股定理求出，再求出隧道高，就可以判断． 【详解】解：如图，作弦，且，过圆心O作于H，交于G，连接， ，, ∴， 四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ， ∵， ， ， 这辆卡车能通过隧道． 【变式1-2】一辆装满货物的卡车，高2.6m，宽1.6m，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长为2.3m． （1）这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． （2）为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为1.2m、高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 【分析】（1）通过计算卡车在桥洞中间位置时顶部到桥洞顶部半圆的垂直距离，与卡车高度比较来判断能否通过； （2）根据给定卡车的尺寸，利用勾股定理求出桥洞半圆部分所需的半径，进而得到桥洞的宽度． 【解答】解：（1）这辆卡车能安全通过桥洞．理由如下： 如图，一辆装满货物的卡车，高2.6m，宽1.6m，MN为卡车的宽度． 过点M，N分别作AB的垂线交半圆于C，D两点， 连接CD，OC，OD，过点O作OE⊥CD于点E， 则CD＝MN＝1.6m，OC＝OD， 所以CE＝DE＝0.8m． 因为OC＝OA＝1m， 由勾股定理，得OE2＝OC2﹣CE2＝12﹣0.82＝0.36＝0.62， 所以OE＝0.6m， 所以CM＝2.3+0.6＝2.9（m）． 因为2.9＞2.6，所以这辆卡车能安全通过桥洞； （2）如图，CE为卡车的宽度，C为道路的中点． 过点E作EB⊥AO于点F，交半圆于点B， 连接CO，BO，过点B作BG⊥CO，交CO的延长线于点G． 根据题意可知，CG＝BE＝2.8m，BG＝OF＝1.2m，EF＝AD＝2.3m， 所以BF＝0.5m． 由勾股定理可得：OB2＝BF2+OF2＝0.52+1.22＝1.32， 所以OA＝OB＝1.3m，1.3×2＝2.6（m）． 故此桥洞的宽至少应增加到2.6m． 【变式1-3】如图所示，在设计修建桥洞时，为使车辆顺利通过，一般设计为上边为半圆形，下边为长方形的桥洞，设计一桥洞下面长方形的一边长是2.3m． （1）如果设计半圆的直径为2m单行道的桥洞，一辆装满货物的卡车，高2.5m，宽1.6m．那么，此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由． （2）为了适应车流量的增加，设计把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能刚好安全通过，那么此桥洞半圆的直径应设计成多少米？ 【分析】（1）过M，N作AB的垂线交半圆于点C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出OE的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案； （2）根据已知条件求出BF的长，再根据勾股定理求出OA的长，从而得出答案． 【解答】（1）解：这辆卡车能通过，理由如下： 如图，M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于点C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，连接CD， 由题意得CD＝MN＝1.6m，AB＝2m， ∵OE⊥CD， ∴CE＝DE＝0.8m， 又∵OC＝OA＝1m， 在Rt△OCE中，， ∴CM＝2.3+0.6＝2.9（m）＞2.5（m）． ∴这辆卡车能通过； （2）解：如图：由题意得CG＝BE＝2.8m，BG＝OF＝1.2m，EF＝AD＝2.3m， ∴BF＝0.5m， ∴在Rt△OBF中，根据勾股定理有：OB1.3（m）， ∴此桥洞半圆的直径应设计成2.6m． ▌题型12 最值问题 【典例1】如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，相交于点E，且AB⊥CD，AE＝DE，点H为劣弧AD上一动点，G为HE中点，若CE＝1，DE＝7，连结AG，则AG最小值为 　　 ． 【分析】连接AO，DO，过点O作OK⊥AE，交AE于点K，OF⊥CD，交DE于点F，构造正方形，计算圆的半径，然后作OE的中点M，连接MG，连接OH，推导出点G的运动轨迹是以M为圆心的圆，连接AM与圆M的交点就是AG的最小值． 【解答】解：如图所示，连接AO，DO，过点O作OK⊥AE，交AE于点K，OF⊥CD，交DE于点F， ∵CE＝1，DE＝7，∴CD＝CE+DE＝1+7＝8， ∵OF⊥CD， ∴， ∴EF＝CF﹣CE＝4﹣1＝3， ∵AE＝DE，OA＝OD，OE＝OE， ∴△AOE≌△DOE（SSS）， ∴， ∵OK⊥AE，OF⊥CD， ∴OK＝OF， ∵∠AED＝90°， ∴四边形OKEF是正方形， ∴OK＝KE＝EF＝OF＝3， ∴，， 如图所示，作OE的中点M，连接MG，连接OH， ∵点M是OE的中点，G为HE中点， ∴， ∴点G在以点M为圆心，以 为半径的圆上运动， 连接AM交⊙M于点G’，过点M作MN⊥AE， ∴当点A，G，M三点共线时，即点G和点G'重合时，AG的值最小， ∵点M是OE的中点，， ∵MN⊥AE，∠NEM＝45°， ∴∠NME＝45°， ∴△NME是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴ACG的最小值为 ， 故答案为：． 【变式1-1】如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ，当点P在BC上移动时，则PQ长的最大值为　　 ． 【分析】如图2连接OQ，当OP⊥BC时，求PQ长的最大，根据勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图2中连接OQ，∵PQ，OQ为定值， ∴当OP⊥BC时，OP的值最小，此时PQ长的最大． 此时OPOB， 在Rt△OPQ中，PQ． 故答案为． 【变式1-2】如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 　2　 ；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 　1　 ． 【分析】作GM⊥AC于M，连接AG．因为∠AFC＝90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题； 【解答】解：作GM⊥AC于M，连接AG． ∵GO⊥AB， ∴OA＝OB， 在Rt△AGO中，∵AG＝2，OG＝1， ∴AG＝2OG，OA， ∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2， ∴∠AGO＝60°， ∵GC＝GA， ∴∠GCA＝∠GAC， ∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC， ∴∠GCA＝∠GAC＝30°， ∴AC＝2OA＝2，MGCG＝1， ∵∠AFC＝90°， ∴点F在以AC为直径的⊙M上， 当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM1． 故答案为2，1． 【变式1-3】如图，⊙O的直径CD⊥AB，垂足为N，CD＝8，ON＝2，点P是⊙O上的动点（不与A，C两点重合），CM⊥AP，垂足为M，点P在运动过程中线段OM的最小值为　　 ． 【分析】由CM⊥AP可判断点M的轨迹是以AC为直径的圆弧，则当G、O、M三点共线时，OM最短．根据垂径定理和勾股定理计算出GM和GO，作差即可． 【解答】解：如图，连接AO，AC，以AC为直径作⊙G， ∵CM⊥AP， ∴∠AMC＝90°， ∴点M在⊙G上， ∴当G、O、M三点共线时，OM最短． ∵CD＝8， ∴OC＝AO＝4， ∵CD⊥AB， ∴∠ANC＝90°， 在Rt△OAN中，， ∵ON＝2， ∴CN＝OC+ON＝6， 在Rt△ACN中，， ∵点G为AC中点， ∴OG⊥AC，， 在Rt△CGO中，， ∴点P在运动过程中线段OM的最小值为． 故答案为：． ▌题型13 利用垂径定理进行证明 【典例1】已知：如图，线段与相交于点，且．求证：． 【答案】 证明：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式1-1】如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB＝CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE＝OF． 【分析】根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧得到OE⊥AB，AE＝BE，OF⊥CD，CF＝DF，由于AB＝CD，则AE＝CF，然后根据“HL”可判断Rt△AEO≌Rt△COF，于是得到OE＝OF． 【解答】证明：连接OA、OC，如图， ∵E、F分别为弦AB、CD的中点， ∴OE⊥AB，AE＝BE，OF⊥CD，CF＝DF， ∵AB＝CD， ∴AE＝CF， 在Rt△AEO和Rt△COF中， ， ∴Rt△AEO≌Rt△COF（HL）， ∴OE＝OF． 【变式1-2】如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）证明：E是OB的中点； （2）若AB＝6，求CD的长． 【分析】（1）连接BC，证明CO＝CB，可得结论； （2）利用勾股定理求出CE，再利用垂径定理证明CD＝2CE，可得结论． 【解答】（1）证明：连接BC．∵AB⊥CD，CF⊥AD， ∴∠CEO＝∠AFO＝90°， ∵∠COE＝∠AOF， ∴∠ECO＝∠OAF， ∵∠OAF＝∠ECB， ∴∠ECO＝∠BCE， ∵∠ECO+∠COE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠COE＝∠CBE， ∴CO＝CB， ∵CE⊥OB， ∴OE＝BE，即E是OB的中点； （2）解：∵AB＝6， ∴OC＝OB＝OA＝3， 由（1）可知OE＝EB， ∵∠CEO＝90°， ∴CE， ∵AB⊥CD，AB是直径， ∴CE＝ED， ∴CD＝2CE＝3． 【变式1-3】如图，已知在⊙O中弦AB＝CD，且AB⊥CD，垂足为H，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F． （1）证明：四边形OEHF为正方形； （2）若CH＝2，DH＝10，则⊙O半径等于 　2　 ． 【分析】（1）首先证明四边形是矩形，再证明OE＝OF，可得结论； （2）利用垂径定理，勾股定理，可得结论． 【解答】（1）证明：连接AO，OD． ∵AB⊥CD，垂足为点HOE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F， ∴∠EHF＝∠OEH＝∠OFH＝90°，AE＝EB，CF＝FD， ∴四边形OWHF是矩形， ∵AB＝CD， ∴AE＝DF 在Rt△AEO和Rt△DFO中， ， ∴Rt△OEA≌△OFD（HL）， ∴OE＝OF， ∴四边形OEHF是正方形； （2）解：∵CH＝2，DH＝10， ∴CD＝12， ∵OF⊥CD， ∴CF＝DF＝6， ∴OF＝FH＝CF﹣CH＝4， ∴OD2， ∴⊙O的半径为2． 故答案为：2． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $