《第三章圆第三节圆的对称性》提优特训A·B卷 ·2026-2027学年苏科版九年级数学上册

数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第三章圆第三节圆的对称性》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.掌握圆的轴对称、中心对称、旋转不变性；熟练掌握垂径定理及其推论，掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦的等量关系；会构造直角三角形，结合勾股定理完成相关计算与简单证明 。 2.经历折叠、旋转探究圆性质的过程，学会作过圆心垂直于弦的辅助线；体会转化、分类讨论思想，提升几何识图与逻辑推理能力 。 3.感受圆对称的几何美感，规范几何推理书写，养成严谨审题习惯，能解决残破圆、弦长计算等实际情境问题。 4.发展几何直观、逻辑推理素养，构建圆性质知识框架，为本章圆周角、圆计算打好基础。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.圆的轴对称性、中心对称（旋转不变）性质。 2.垂径定理以及推论，半径、弦心距、半弦长的直角三角形模型，勾股定理计算弦长、半径、弦心距、弓形高 。 3.同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者之间 “ 知一推二 ” 的等量关系 。 4.弧的度数等于对应圆心角的度数。 （二） 难点 1.垂径定理推论条件：平分弦（不是直径），容易遗漏限制条件 。 2.圆心角 ‑ 弧 ‑ 弦关系，必须前提：在同圆或者等圆中，缺少前提命题不成立。 3.平行弦、弓形高题型的分类讨论，容易漏解。 4.综合题型：结合垂径定理、勾股定理、方程思想求解半径长度。 )三．知识梳理 （一）圆的两种对称性 1.轴对称性： 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 注意：对称轴是直线，直径是线段，不能表述为“直径是圆的对称轴”，正确表述：直径所在直线是圆的对称轴 。 2.中心对称与旋转不变性 （1）旋转不变性 观察下列图形并回答问题 从上面的图形可以看出:圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的圆重合。圆的上述性质称为旋转不变性. 圆绕圆心旋转任意角度，都能与原图形完全重合，是独有的性质。 （2）中心对称： 我们知道:把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 由此可见:圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 （二）垂径定理及其推论 1.垂径定理： （1）内容：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）。 （2）几何语言： 如图若CD是⊙O直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD， ∵ CD是直径，CD⊥AB于E， ∴ AE=BE, （3）定理证明： 已知：⊙O，直径CD，弦AB⊥CD，垂足E。 求证：AE=BE， 2.垂径定理的推论： 【想一想】：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ （1） （2） （3） （4） （1）推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. （3）推论3：平分弦所对一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 五要素知二推三：①过圆心 ②垂直弦 ③平分弦 ④平分弦劣弧 ⑤平分弦优弧；推论特殊限制：平分弦（弦不是直径）的直径，才垂直弦；若弦为直径，两条直径互相平分但不一定垂直。 （三）圆心角、弧、弦的关系 1.圆心角： （1）定义：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。 取一张圆形纸片，作圆心角∠AOB=∠COD=60°，用剪刀剪下圆心角∠AOB.把你所剪下的圆心角∠AOB拼凑到∠COD上，看看你有什么发现？ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. （2）定理：在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量全部相等（知一推二） 。 ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等 ②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等 ③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧对应相等. 注意：前提条件不能丢，不在同圆、不等圆，结论不成立。 2.弧的度数 弧的度数 = 它所对圆心角的度数。 例：60o圆心角对着60o的弧；90o的弧对应的圆心角是90o。 注意：弧的度数只看圆心角大小，和圆半径大小无关。 3.平行弦小拓展 圆中两条互相平行的弦，所夹的两段弧相等； 如图,若AB‖CD，则 注意：平行弦距离题目要分两种情况：两弦在圆心同侧；两弦在圆心异侧，需要分类计算。 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.下列关于圆的对称性说法正确的是（ ） A. 圆只有4条对称轴 B. 圆的对称中心是直径 C. 圆绕圆心旋转30°可与自身重合 D. 半圆不是轴对称图形 2.AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于E，下列结论不一定成立的是（ ） A.CE=DE B. C.OE=EB D. 3.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，OF＝cm，则OE的长度是（　　） A．2cm B．4cm C．5cm D．3cm 4.如图，在⊙O中，半径r＝5，弦AB＝8，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，直径，弦，且于点，，，则的半径是（   ） A． B．2 C． D．3 8.如图，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半径，弧AC=弧BC，∠BAO=37o ，则∠AOC的度数是（　　）度 A．74 B．106 C．117 D．127 9.在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则△ODE的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 10．如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形A′B′C′D′，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共30分） 11.⊙O半径5，圆心到弦AB距离为3，则弦AB长为________。 12.已知⊙O弦AB=10，OC⊥AB，OC=12，则⊙O的半径为________。 13.直径垂直弦，弦长12，半径10，圆心到弧中点距离为________ 14.如图，⊙O的直径CD为26，弦AB的长为24，且AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为______. 15．如图，△ABC内接于，若，，则的半径是 ． 16．如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，求水深是 ． 17．如图半径为6的中，弦，则圆心O到的距离为 ． 18．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 ． 19．把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是 　 　cm． 20．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点F，N在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是_________. 三．解答题（共60分） 21．如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 22．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求： （1）拱桥所在的圆的半径； （2）通过计算说明是否需要采取紧急措施． 23．如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为13，OP＝5， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有　　条． 24．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且点B是劣弧DF的中点． （1）求证：△EBD≌△EBF； （2）已知AE＝1，EB＝5，∠DEB＝30°，求CD的长． 25．如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E． （1）当BC＝2时，求线段OD的长和∠BOD的度数； （2）在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由． （3）在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由． 26．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣3，0），C（，0）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH＝FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． B卷·强化提优 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 2．如图，已知是的弦，直径，交于点H，连接，若，，则（    ） A．3 B． C． D． 3.如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（　　） A．4 B．4 C．4 D．4 4.⊙O的半径为5，弦AB＝8，则圆上到弦AB所在直线距离为2的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 6．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 7．东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝向右水平拉直（保持端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝端的位置最接近的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则圆柱形木材半径是（   ） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A．4 B． C． D． 二．填空题（共30分） 11．如图,是的直径,是的弦,，垂足为点，则 ． 12．如图，是的直径，弦于点E，且，则的半径为 ． 13．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是_______. 14.如图，已知水平放置的圆柱形污水排水管道的截面半径OB＝12cm，截面圆心O到污水面的距离OC＝6cm，则截面上有污水部分的面积为　 　． 15.小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 　　cm． 16. 如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为_____ 17．如图，已知AB是⊙O的直径，且AB＝10cm，弦CD⊥AB于点P，CD＝8cm，则AP＝　 　． 18．如图，半径为的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于_________. 19．如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5．现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是_________. 20．在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____． 三．解答题（共60分） 21.我们学习了“圆心角、弧、弦的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距(弦心距指从圆心到弦的距离，如图1中的OC、OC′，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度)中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：如图2，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B、C、D． （1）求证：AB＝CD； （2）若角的顶点P在圆上，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 22．诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m． （1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径； （2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由． 23．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）请证明：E是OB的中点； （2）若AB＝6，求CD的长． 24．如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）． （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度． 25．已知一根排水管的截面圆直径为． (1)如图1所示，当水面宽时，求水面的最大深度； (2)在图1的情况下，如果排水量增大，当水面上升到宽度时，求水面上升了多少厘米？ 26．几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小， 方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小． 直接应用： (1)如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为______． 变式练习： (2)如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值． 深化拓展： (3)如图4，在锐角中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值． (4)如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第三章圆第三节圆的对称性》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.掌握圆的轴对称、中心对称、旋转不变性；熟练掌握垂径定理及其推论，掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦的等量关系；会构造直角三角形，结合勾股定理完成相关计算与简单证明 。 2.经历折叠、旋转探究圆性质的过程，学会作过圆心垂直于弦的辅助线；体会转化、分类讨论思想，提升几何识图与逻辑推理能力 。 3.感受圆对称的几何美感，规范几何推理书写，养成严谨审题习惯，能解决残破圆、弦长计算等实际情境问题。 4.发展几何直观、逻辑推理素养，构建圆性质知识框架，为本章圆周角、圆计算打好基础。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.圆的轴对称性、中心对称（旋转不变）性质。 2.垂径定理以及推论，半径、弦心距、半弦长的直角三角形模型，勾股定理计算弦长、半径、弦心距、弓形高 。 3.同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者之间 “ 知一推二 ” 的等量关系 。 4.弧的度数等于对应圆心角的度数。 （二） 难点 1.垂径定理推论条件：平分弦（不是直径），容易遗漏限制条件 。 2.圆心角 ‑ 弧 ‑ 弦关系，必须前提：在同圆或者等圆中，缺少前提命题不成立。 3.平行弦、弓形高题型的分类讨论，容易漏解。 4.综合题型：结合垂径定理、勾股定理、方程思想求解半径长度。 )三．知识梳理 （一）圆的两种对称性 1.轴对称性： 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 注意：对称轴是直线，直径是线段，不能表述为“直径是圆的对称轴”，正确表述：直径所在直线是圆的对称轴 。 2.中心对称与旋转不变性 （1）旋转不变性 观察下列图形并回答问题 从上面的图形可以看出:圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的圆重合。圆的上述性质称为旋转不变性. 圆绕圆心旋转任意角度，都能与原图形完全重合，是独有的性质。 （2）中心对称： 我们知道:把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 由此可见:圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 （二）垂径定理及其推论 1.垂径定理： （1）内容：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）。 （2）几何语言： 如图若CD是⊙O直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD， ∵ CD是直径，CD⊥AB于E， ∴ AE=BE, （3）定理证明： 已知：⊙O，直径CD，弦AB⊥CD，垂足E。 求证：AE=BE， 证明：∵CD是⊙O的直径， ∴直线CD是⊙O的一条对称轴。 把圆沿着直径CD折叠； ∵AB⊥CD，∠AEC=∠BEC=90o，点A会沿着直线CD翻折，与点B完全重合。 ∴线段AE与BE重合，与重合，与重合。 ∴AE=BE， 2.垂径定理的推论： 【想一想】：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ （1） （2） （3） （4） 【解析】图(1)：具备垂径定理的条件，CD是过圆心O的直径，且CD⊥AB，满足定理的两个条件。图(2)：不具备垂径定理的条件，线段OC没有垂直于弦AB，不满足“垂直于弦”的条件。图(3)：具备垂径定理的条件，过圆心O的直线垂直于弦AB，满足定理的两个条件。图(4)：不具备垂径定理的条件，直线CD没有经过圆心O，不满足“过圆心”的条件。 （1）推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. （3）推论3：平分弦所对一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 五要素知二推三：①过圆心 ②垂直弦 ③平分弦 ④平分弦劣弧 ⑤平分弦优弧；推论特殊限制：平分弦（弦不是直径）的直径，才垂直弦；若弦为直径，两条直径互相平分但不一定垂直。 （三）圆心角、弧、弦的关系 1.圆心角： （1）定义：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。 取一张圆形纸片，作圆心角∠AOB=∠COD=60°，用剪刀剪下圆心角∠AOB.把你所剪下的圆心角∠AOB拼凑到∠COD上，看看你有什么发现？ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. （2）定理：在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量全部相等（知一推二） 。 ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等 ②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等 ③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧对应相等. 注意：前提条件不能丢，不在同圆、不等圆，结论不成立。 2.弧的度数 弧的度数 = 它所对圆心角的度数。 例：60o圆心角对着60o的弧；90o的弧对应的圆心角是90o。 注意：弧的度数只看圆心角大小，和圆半径大小无关。 3.平行弦小拓展 圆中两条互相平行的弦，所夹的两段弧相等； 如图,若AB‖CD，则 注意：平行弦距离题目要分两种情况：两弦在圆心同侧；两弦在圆心异侧，需要分类计算。 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.下列关于圆的对称性说法正确的是（ ） A. 圆只有4条对称轴 B. 圆的对称中心是直径 C. 圆绕圆心旋转30°可与自身重合 D. 半圆不是轴对称图形 【答案】：C 【解析】：圆有无数条对称轴，对称中心是圆心，半圆是轴对称图形；圆具备旋转不变性，旋转任意角度都重合，故选C。易错陷阱：混淆对称中心、对称轴概念。 2.AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于E，下列结论不一定成立的是（ ） A.CE=DE B. C.OE=EB D. 【答案】：C 【解析】：由垂径定理直接得A、B、D成立；OE是弦心距，EB是半径一段，无等量关系，不一定相等。 3.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，OF＝cm，则OE的长度是（　　） A．2cm B．4cm C．5cm D．3cm 【答案】D． 【解析】连接OB、AB，∵BD⊥AO，BD＝8cm，∴BE＝ED＝BD＝4（cm），∵OF⊥BC，∴CF＝FB，∵CO＝OA，OF＝cm，∴AB＝2OF＝2（cm），由勾股定理得：AE＝＝2（cm），在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，即OA2＝（OA﹣2）2+42，解得：OA＝5，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3（cm）， 4.如图，在⊙O中，半径r＝5，弦AB＝8，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A． 【解析】当P为AB的中点时，AP＝BP＝4，由垂径定理得：OP⊥AB，此时OP最短，在RtAOP中，OA＝5，AP＝4，由勾股定理得：OP＝＝＝3，即OP的最小值为3， 当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，∴3≤OP＜5，若线段OP的长度为正整数，∴OP＝3或OP＝4．根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个， 5．如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】是的直径，是的弦，且 ，．故选A. 6．在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：∵， ∴，∵的直径为，∴，在中，，∴，即水的最大深度为，故选：C． 7．如图，在中，直径，弦，且于点，，，则的半径是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】：连接，，，，在中，，故选：A． 8.如图，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半径，弧AC=弧BC，∠BAO=37o ，则∠AOC的度数是（　　）度 A．74 B．106 C．117 D．127 【答案】：D 【解析】：如图，连接BO，∵OA=OB，∠OAB=37°，∴∠OBA=∠OAB=37°，∴∠AOB=180°-37°-37°=106°，∴∠AOC+∠BOC=360°-106°=254°，∵ ， ∴∠AOC=∠BOC=127°.故答案为：D. 9.在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则△ODE的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D． 【解析】∵AB＝10，∴OA＝5，∵OC：OA＝4：5，∴OC＝4，在Rt△OCD中，DC＝＝＝3，∵DE⊥AB，∴DE＝2DC＝6，∴△ODE的周长＝OD+OE+DE＝5+5+6＝16， 设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，则有，解得，r＝4， 10．如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形A′B′C′D′，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：如图，取A'D'的中点E，作ME⊥A'D'，取B'的中点F，作MF⊥BC'，以M为圆心，MB长为半径作⊙M，则⊙M经过点D'、B、A'、C，⊙M为整个图形最小覆盖圆，∵矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，∴MF＝，BF＝，在Rt△BMF中， BM＝．故选：C． 二．填空题（共30分） 11.⊙O半径5，圆心到弦AB距离为3，则弦AB长为________。 【答案】：8 【解析】：半弦长=4，弦长=2×4=8。 12.已知⊙O弦AB=10，OC⊥AB，OC=12，则⊙O的半径为________。 【答案】：13 【解析】：AC=5，R==13。 13.直径垂直弦，弦长12，半径10，圆心到弧中点距离为________ 【答案】：18 【解析】：弦心距8，延长半径到弧远端，10+8=18。 14.如图，⊙O的直径CD为26，弦AB的长为24，且AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为______. 【答案】8 【解析】连接OA，∵⊙O的直径CD为26，∴OC＝OA＝13，∵CD⊥AB，CD过圆心O，∴AM＝BM，∵AB＝24，∴AM＝12，由勾股定理得：OM＝＝＝5，∴CM＝OC﹣OM＝13﹣5＝8， 15．如图，△ABC内接于，若，，则的半径是 ． 【答案】 【解析】过点作，连接∵，，∴所在的直线是的垂直平分线，∴三点共线，∴， 在中，，设的半径是，则， 在中，，∴，解得，故答案为：． 16．如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，求水深是 ． 【答案】 【解析】如图所示，连接，由题意得，，，∴，在中，由勾股定理得， ∴水深为，故答案为：． 17．如图半径为6的中，弦，则圆心O到的距离为 ． 【答案】 【解析】过点O作于点D，连接，，，， ，故答案为：． 18．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【解析】连接，如图：∵为直径，且，，∴， 在中，，根据勾股定理得：∴， ∴，∴，∴． 故答案为：． 19．把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是 　 　cm． 【答案】15 【解析】过O作OG⊥AD于G，交⊙O于H，连接OE，∴FG＝EG，∵AF＝DE＝3cm，设半径为rcm，则OG＝（r﹣6）cm，OE＝rcm，EG＝（r﹣3）cm，根据勾股定理得，（r﹣3）2+（r﹣6）2＝r2，解得：r＝15或3（舍），故答案为：15． 20．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点F，N在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是_________. 【答案】100 【解析】连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG边长为b，OD＝c，则CN＝CD＝a，DE＝EF＝b，∵四边形CDMN和DEFG都是正方形，∴∠NCD＝90°，∠FED＝90°，∵半圆O的半径为10，∴ON＝OF＝10，由勾股定理得：NC2+CO2＝ON2，OE2+EF2＝OF2，∴a2+（a+c）2＝102①，b2+（b﹣c）2＝102②，①﹣②，得a2+（a+c）2﹣b2﹣（b﹣c）2＝0，（a2﹣b2）+[（a+c）2﹣（b﹣c）2）]＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+c+b﹣c）（a+c﹣b+c）＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+b）（a﹣b+2c）＝0，（a+b）（a﹣b+a﹣b+2c）＝0， 2（a+b）（a﹣b+c）＝0，∵a+b≠0，∴a﹣b+c＝0，即b＝a+c，把b＝a+c代入①，得a2+b2＝102＝100，即正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是100， 三．解答题（共60分） 21．如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 解：（1）∵直径，∴； （2）∵，∴设，∵,∴，在中，，∴，解得，∴． 22．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求： （1）拱桥所在的圆的半径； （2）通过计算说明是否需要采取紧急措施． 解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为xm，则OA＝OA′＝OP， 由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝30m，∴AM＝AB＝15（m），在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2， 即x2＝（x﹣9）2+152，解得：x＝17，即拱桥所在的圆的半径为17m； （2）∵OP＝17m，∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝8（m），∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m， ∴不需要采取紧急措施． 23．如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为13，OP＝5， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有　　条． 解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，则弦AB即为所求； （2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，连接OA，如图2所示： ∵OP⊥AB，∴AP＝BP12，∴AB＝2AP＝24，∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26； ②∵过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，∴长度为25的弦有两条，∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，故答案为：4． 24．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且点B是劣弧DF的中点． （1）求证：△EBD≌△EBF； （2）已知AE＝1，EB＝5，∠DEB＝30°，求CD的长． 解：（1）连接OD、OF，∵B是劣弧DF的中点．∴，∴，∴BD＝BF，∠DBE＝∠EBF，在△EBD和△EBF中，∵，∴△EBD≌△EBF（SAS）； （2）∵AE＝1，EB＝5，∴AB＝6，∵AB是⊙O的直径，∴OD＝OA＝3，OE＝3﹣1＝2，过O作OG⊥CD于G，则CD＝2DG，∵∠DEB＝30°，∠EGO＝90°，∴OG＝OE＝1， 由勾股定理得：DG＝＝＝2，∴CD＝2DG＝4． 25．如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E． （1）当BC＝2时，求线段OD的长和∠BOD的度数； （2）在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由． （3）在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由． 解：（1）如图，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝，∴，∴∠BOD＝30°；由勾股定理得：OD2＝22﹣12＝3，∴OD＝；即线段OD的长和∠BOD的度数分别为、30°． （2）存在，DE＝；如图，连接AB；AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴AB2＝OB2+OA2＝8， ∴AB＝；∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴BD＝CD，AE＝EC，∴DE是△ABC的中位线， DE＝＝． （3）存在，∠DOE＝45°；∵OD⊥BC，OE⊥AC，且OA＝OB＝OC，∴∠BOD＝∠COD，∠AOE＝∠COE，∴∠DOE＝，即∠DOE＝45°． 26．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣3，0），C（，0）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH＝FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 解：（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙M的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT＝TC＝BC＝2，∴BM＝＝4； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC＝∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH＝90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF＝90°，∴∠HBC＝∠OFC＝∠AFH．在△AEH和△AFH中， ∵，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH＝FH． （3）由（1）易知，∠BMT＝∠BAC＝60°，作直径BG，连CG，则∠BGC＝∠BAC＝60°，∵⊙O的半径为4，∴CG＝4．连AG，∵∠BCG＝90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG＝90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为口，∴AF＝CG＝4． B卷·强化提优 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵是的直径与弦交于点，，根据垂径定理及其推论可得，点B为劣弧的中点，点为优弧的中点，∴， ， 但不能证明，故选项说法错误，符合题意；故选：B． 2．如图，已知是的弦，直径，交于点H，连接，若，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】∵直径，，∴，在中，， ∴，∴，故选：D． 3.如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（　　） A．4 B．4 C．4 D．4 【答案】C． 【解析】如图，连接OA，OC．∵OP⊥CD，CD∥AB，∴OP⊥AB，∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9， 4.⊙O的半径为5，弦AB＝8，则圆上到弦AB所在直线距离为2的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【解析】作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA， ∵AB＝8，∴AD＝4．∵OA＝5，∴OD＝＝3， ∴CD＝OC﹣3＝5﹣3＝2，即C到弦AB所在的直线距离为2， ∴在劣弧AB上，到弦AB所在的直线距离为2的点只有C点； ∵DE＝5+3＝8＞2，∴在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个， 即圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有3个． 5．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 【答案】C 【解析】如图作OE⊥AB于点E，交CD于F∵AB=1.2，OE⊥AB，OA=1∴OE=0.8m∵水管水面上升了0.2米，∴OF=OE-EF=0.8-0.2=0.6m∴m∴CD=1.6m故选C 6．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，0）．故选：B． 7．东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝向右水平拉直（保持端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝端的位置最接近的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】：A  【解析】：∵半圆的直径是1，∴由“径一周三”知圆的周长，∴半圆的周长为，∴拉直后铁丝端的位置最接近的是点A，故选：A． 8．如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】：A  【解析】：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．由题意AB垂直平分线段OK，∴AO＝AK，∵OA＝OK，∴OA＝OK＝AK，∴∠OAK＝∠AOK＝60°．∴AH＝6×＝3，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴AB＝2AH＝6，∵OC＋OH≥CT，∴CT≤6＋3＝9，∴CT的最大值为9，∴△ABC的面积的最大值为，故选：A． 9．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则圆柱形木材半径是（   ） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 【答案】B 【解析】由题意，得：，尺寸；∴寸，设的半径为寸，则：寸，∴寸，在中，由勾股定理，得：，∴；即：圆的半径为13寸；故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】B． 【解析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝，∴PD＝PE＝，∴a＝3+．故选：B． 二．填空题（共30分） 11．如图,是的直径,是的弦,，垂足为点，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知,垂直平分，，∴， 在中,，∴．故答案为：． 12．如图，是的直径，弦于点E，且，则的半径为 ． 【答案】 【解析】设的半径为r，则，∵是的直径，弦，， ∴，在中，，即，解得：，即的半径为．故答案为： 13．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是_______. 【答案】2 【解析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2； 14.如图，已知水平放置的圆柱形污水排水管道的截面半径OB＝12cm，截面圆心O到污水面的距离OC＝6cm，则截面上有污水部分的面积为　 　． 【答案】（48π﹣36）cm2． 【解析】∵OC⊥AB，∴AC＝BC，在Rt△OBC中，OB＝12cm，OC＝6cm， 根据勾股定理得：BC＝＝＝6（cm），则AB＝2BC＝12cm， ∵cos∠BOC＝＝，∴∠COB＝60°， ∴截面上有污水部分的面积为：﹣×12×6＝（48π﹣36）cm2． 15.小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 　　cm． 【答案】4cm． 【解析】∵C点是的中点，CD⊥AB，∴CD过圆心，AD＝BD＝AB＝×6.4＝3.2（cm）， 设圆心为O，连接OA，设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm， 在Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R＝4（cm），所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm． 16. 如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为_____ 【答案】 cm 【解析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质）， ∴，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3（cm）， 在Rt△DOE中，DE==4（cm），在Rt△ADE中，AD=（cm）． 17．如图，已知AB是⊙O的直径，且AB＝10cm，弦CD⊥AB于点P，CD＝8cm，则AP＝　 　． 【答案】2cm 【解析】连接OC．∵弦CD⊥直径AB于点P，CD＝8cm，∴PC＝PD＝CD＝×8＝4cm，在Rt△POC中，OP＝＝＝3cm，∴AP＝OA﹣OP＝5﹣3＝2cm，故答案为：2cm． 18．如图，半径为的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于_________. 【答案】：12 【解析】：作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴弧DE＝弧BF，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC， ∴CH=BH，∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=BF=3． ∴，∴BC＝2BH＝8． 19．如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5．现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是_________. 【答案】 【解析】如图，设BE＝x，在Rt△ACB中，AC＝2x，BC＝， ，解得，x＝2（负值舍去），∴EH＝4，DH＝1，设OE＝a，OD＝OB＝r， ，解得，r＝（负值舍去）. 20．在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____． 【答案】 【解析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为．如图： 以为半径作圆，过圆心作，以为圆心为半径作圆，则点在圆上， , 线段长度的最小值为: ．故答案为：． 三．解答题（共60分） 21.我们学习了“圆心角、弧、弦的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距(弦心距指从圆心到弦的距离，如图1中的OC、OC′，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度)中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：如图2，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B、C、D． （1）求证：AB＝CD； （2）若角的顶点P在圆上，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 解：（1）证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则∠OMB＝∠OND＝90°. 又∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON.∵OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，∴AB＝CD （2）上述结论成立．当点P在⊙O上时，由(1)知OM＝ON， ∵OM、ON分别是弦PB、PD的弦心距，∴PB＝PD，即AB＝CD 22．诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m． （1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径； （2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由． 解：（1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD＝AB＝8（m）， 又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝10．答：此圆弧形拱桥的半径为10m． （2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m）， 在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN＝＝＝，∴MN＝2EN＝2m＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥． 23．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）请证明：E是OB的中点； （2）若AB＝6，求CD的长． 解：（1）证明：连接AC，如图所示：∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴，∴AC＝AD，∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，∴AC＝CD， ∴AC＝AD＝CD．即△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°，在Rt△COE中，OE＝OC， ∴OE＝OB，∴点E为OB的中点； （2）解：在Rt△OCE中，AB＝6，∴OC＝AB＝3，又∵BE＝OE，∴OE＝，∴CE＝＝＝，∴CD＝2CE＝3． 24．如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）． （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度． 解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点， 则BC＝AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米； （2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米）， ∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米． 25．已知一根排水管的截面圆直径为． (1)如图1所示，当水面宽时，求水面的最大深度； (2)在图1的情况下，如果排水量增大，当水面上升到宽度时，求水面上升了多少厘米？ 解：（1）连接，过点作垂足为，交于．∵，∴，∵，∴，∴，答：水面的最大深度是． （2）①当水面在与水面平行的直径下方．过点作于点，且与交于点，∵，，∴，，在中，，∴；在中， ，上升的距离为； ②当水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点， 同理可得：，，∴上升的距离为：．答：排水管水面上升了或． 26．几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小， 方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小． 直接应用： (1)如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为______． 变式练习： (2)如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值． 深化拓展： (3)如图4，在锐角中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值． (4)如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．） 解：（1）连接BN，∵四边形ABCD为正方形，AC是对角线为对称轴，∴BN=DN，∴DN+NM=BN+NM≥BM∴当B、N、M三点共线时DN+NM最短=BM，∵DM=2，DC=BC=8，∴CM=DC-DM=8-2=6，在Rt△BCM中，BM=，∴DN+NM最小=10；故答案为10； （2）作点B关于NM的对称点B′，连接PB′，OB′，则PB=PB′，∴PA+PB=PA+PB′≥AB′，∴当A、P、B′，三点共线时PA+PB最小=AB′∵点A是半圆上（半径为1）的三等分点，∴的度数为60°，∵B是的中点，∴的度数为30°，∴的度数为60°+30°=90°，∴∠AOB′=90°，∵OA=OB′=1，∴AB′=，∴PA+PB最小=； （3）作BE⊥AC于E，作点N关于AD的对称点N′，连接MN′∵AD平分∠CAB，点N在AB上，∴点N′在AC上，MN=MN′，，∴当点M，N′在BE上时最小=BE，∵∠CAB=45°，BE⊥AC∴∠EBA=180°-90°-45°=45°=∠CAB，∴AE=BE，∴△AEB为等腰直角三角形，∴，∴，∴最小=4； （4）作点B关于AC对称点B′，作射线DB′交AC与P，连接BP，∵点B与点B′关于AC对称，∴PB=PB′，∵PE⊥BB′∴PE平分∠BPB′，∴∠APB=∠APD． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $