专题17 弦、弧、圆心角之间的关系专项训练（7大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题17 弦、弧、圆心角之间的关系 题型01 弧的度数 题型02 弧与弦的关系 题型03 弧与圆心角的关系 题型04 弦与圆心角的关系 题型05 由弧、弦、圆心角之间的关系判断正误 题型06 由弧、弦、圆心角之间的关系求面积 题型07 由弧、弦、圆心角之间的关系证明 ▌题型01 弧的度数 【典例1】如图，为的弦，，则的度数等于（     ）． A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． ▌题型02 弧与弦的关系 【典例1】如图所示，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，OC∥BD，求证：AC＝CD． 【变式1-1】如图，在⊙O中，，求证：AB＝CD． 【变式1-2】如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AE＝CE． 【变式1-3】如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD． （1）求证：AC＝BD； （2）连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC． ▌题型03 弧与圆心角的关系 【典例1】如图，点A、B、C、D在⊙O上，且，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【变式1-1】如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，的度数为70°，则的度数为　 　 °． 【变式1-2】已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行． 求证：． 【变式1-3】如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8． （1）求证：； （2）若E为AC的中点，求BE的长． ▌题型04 弦与圆心角 【典例1】如图，AB是半圆O的直径，AC＝CD＝DE，∠COD＝40°，∠BOE的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 【变式1-1】如图，已知AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，如果∠BOD＝84°，则∠ACO的度数是（　　） A．48° B．42° C．44° D．46° 【变式1-2】已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2．求证：AC＝BD． 【变式1-3】如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，AB＝CD，求证：AE＝CE． ▌题型05 由弦、弧、圆心角之间的关系判断正误 【典例1】如图，已知锐角∠AOB，在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD，分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N，连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20° C．MN∥CD D．MN＝3CD 【变式1-1】如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于H，连接OB、OC，则下列结论中错误的是（　　） A．BH＝CH B．OH＝AH C．AB＝AC D．∠AOB＝∠AOC 【变式1-2】如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠AOB＝∠COD，下列说法一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，点A为射线OM上一点，将射线OM绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到射线ON，以O为圆心，OA长为半径画圆，交射线ON于点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交⊙O于点C（A，C不重合），连接AC交OB于点D，连接OC．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（　　） A．AC⊥OB B．AD＝CD C．∠AOB＝∠BOC D．OD＞BD ▌题型06 由弦、弧、圆心角之间的关系求面积 【典例1】如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（　　） A．25 B．25 C． D． 【变式1-1】如图，在⊙O中，C为的中点，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．若∠AOB＝120°，OA＝6，则四边形DOEC的面积为 　 ． 【变式1-2】如图，半径为5的⊙O中，弦AB，CD所对的圆心角和为180°，AB+CD＝14，则△AOB的面积为　　 ． 【变式1-3】如图，A、B是在⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是AB的中点． （1）求证：四边形AOBC为菱形； （2）如图，点D为优弧AB上一点，AD＝5，DB＝4，求四边形ACBD的面积． ▌题型07 由弧、弦、圆心角之间的关系证明 【典例1】小明在完成作业“如图1，∠AOB＝90°，C、D是以点O为圆心的的三等分点，弦AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE＝BF＝CD”的基础上，做了如下尝试如图2，“把∠AOB＝90°改为∠AOB＝120°，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，∠AOB＝n°，C、D是以点O为圆心的的三等分点，弦AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE＝BF＝CD”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 【变式1-1】如图所示，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，OC∥BD，求证：AC＝CD． 【变式1-2】如图，在⊙O中，M为半径OA上一点．过M作弦BC⊥OA，交⊙O于B，C两点．连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AD交BC于点E．已知EB＝ED． （1）求证：60°； （2）探究线段CE，EM长度之间的数量关系，并证明． 【变式1-3】问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程． 证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA＝MC … 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； 实践应用： （1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 ． （2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为AB上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD于点E，△BDC的周长为42，BC＝2，请求出AC的长． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 弦、弧、圆心角之间的关系 题型01 弧的度数 题型02 弧与弦的关系 题型03 弧与圆心角的关系 题型04 弦与圆心角的关系 题型05 由弧、弦、圆心角之间的关系判断正误 题型06 由弧、弦、圆心角之间的关系求面积 题型07 由弧、弦、圆心角之间的关系证明 ▌题型01 弧的度数 【典例1】如图，为的弦，，则的度数等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于． 【变式1-1】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 【变式1-2】如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【变式1-3】如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，连接，由三角形内角和求，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：C． ▌题型02 弧与弦的关系 【典例1】如图所示，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，OC∥BD，求证：AC＝CD． 【分析】连接OD，如图，根据平行线的性质得∠1＝∠3，∠2＝∠B，加上∠B＝∠3，则∠1＝∠2，于是根据圆心角、弧、弦的关系得到，则AC＝CD． 【解答】证明：连接OD，如图， ∵OC∥BD， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠B， ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴， ∴AC＝CD． 【变式1-1】如图，在⊙O中，，求证：AB＝CD． 【分析】根据证得即可证得结论． 【解答】证明：∵， ∴， ∴， ∴AB＝CD． 【变式1-2】如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AE＝CE． 【分析】解法一：由AB＝CD知，得AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠A＝∠C可证△ADE≌△CBE，从而得出答案． 解法二：证明△ABC≌△CDA（SSS），得∠BAC＝∠ACD，根据等角对等边得AE＝CE． 【解答】证明：解法一：∵AB＝CD， ∴，即， ∴， ∴AD＝BC， 又∵∠ADE＝∠CBE，∠A＝∠C， ∴△ADE≌△CBE（ASA）， ∴AE＝CE． 解法二：连接AC， ∵AB＝CD， ∴，即， ∴， ∴AD＝BC， 又∵AB＝CD，AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA（SSS）， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴AE＝CE． 【变式1-3】如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD． （1）求证：AC＝BD； （2）连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC． 【分析】（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得AC＝BD； （2）因为AB＝CD，所以，即∠ACB＝∠DBC．结合OB＝OC，得出E、O都在BC的垂直平分线上，即可作答． 【解答】证明：（1）∵AB＝CD， ∴， ∴， 即， ∴AC＝BD； （2）连接OB、OC、BC， ∵AB＝CD， ∴， ∴∠ACB＝∠DBC， ∴EB＝EC， ∵OB＝OC， ∴E、O都在BC的垂直平分线上， ∴EO⊥BC． ▌题型03 弧与圆心角的关系 【典例1】如图，点A、B、C、D在⊙O上，且，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【分析】连接OA，根据圆心角、弧、弦的关系求得∠AOC的度数，再由三角形内角和定理及等腰三角形的性质计算∠ACO的度数即可． 【解答】解：如图，连接OA． ∵，∠BOD＝84°， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∴∠ACO+∠CAO＝180°﹣∠AOC＝96°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO， ∴∠ACO96°＝48°． 故选：D． 【变式1-1】如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，的度数为70°，则的度数为　55　 °． 【分析】接OE，根据的度数为70°求出∠COE的度数，再由等腰三角形的性质求出∠C的度数，根据平行线和对顶角的性质即可得出结论． 【解答】解：如图，连接OE， ∵70°， ∴∠COE＝70°， ∵OC＝OE， ∴∠C＝55°， ∵CE∥AB， ∴∠AOC＝∠C＝55°， ∴∠BOD＝∠AOC＝55°， ∴的度数为55°． 故答案为：55． 【变式1-2】已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行． 求证：． 【分析】连接OC，由等腰三角形的性质推出∠A＝∠C，由平行线的性质推出∠COD＝∠C，∠BOD＝∠A，因此∠COD＝∠BOD，由圆心角、弧、弦的关系推出． 【解答】证明：连接OC， ∵OC＝OA， ∴∠A＝∠C， ∵AC∥OD， ∴∠COD＝∠C，∠BOD＝∠A， ∴∠COD＝∠BOD， ∴． 【变式1-3】如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8． （1）求证：； （2）若E为AC的中点，求BE的长． 【分析】（1）根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等证明； （2）根据垂径定理的推论得到OB⊥AC，再根据勾股定理计算即可． 【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD， ∴； （2）解：∵BD＝8， ∴AC＝8， ∵E为AC的中点， ∴OB⊥AC，AEAC＝4， ∴OE3， ∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2． ▌题型04 弦与圆心角 【典例1】如图，AB是半圆O的直径，AC＝CD＝DE，∠COD＝40°，∠BOE的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理推出∠AOC＝∠DOE＝∠COD＝40°，由平角定义即可求出∠BOE的度数． 【解答】解：∵AC＝CD＝DE， ∴∠AOC＝∠DOE＝∠COD＝40°， ∴∠BOE＝180°﹣40°﹣40°﹣40°＝60°． 故选：B． 【变式1-1】如图，已知AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，如果∠BOD＝84°，则∠ACO的度数是（　　） A．48° B．42° C．44° D．46° 【分析】连接OA，根据圆心角、弧、弦的关系证明∠AOC＝∠BOD，再由等腰三角形的性质计算∠ACO的度数即可． 【解答】解：如图，连接OA． ∵AB＝CD， ∴∠AOB＝∠COD，即∠BOD+∠AOD＝∠AOC+∠AOD， ∵∠BOD＝84°， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°． 故选：A． 【变式1-2】已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2．求证：AC＝BD． 【分析】先证明∠AOC＝∠BOD，再根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出结论． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴AC＝BD． 【变式1-3】如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，AB＝CD，求证：AE＝CE． 【分析】连接AC，AD，BC，根据AB＝CD，得，所以，得∠BAC＝∠ACD，根据等角对等边得AE＝CE． 【解答】证明：如图，连接AC，AD，BC， ∵AB＝CD， ∴， ∴， 即， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴AE＝CE． ▌题型05 由弦、弧、圆心角之间的关系判断正误 【典例1】如图，已知锐角∠AOB，在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD，分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N，连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20° C．MN∥CD D．MN＝3CD 【分析】连接ON，MD，由作法得CM＝CD＝DN，则根据圆周角、弧、弦的关系可对A进行判断；当OM＝MN时，△OMN为等边三角形，则∠MON＝60°，于是根据圆周角、弧、弦的关系可对B进行判断；根据圆周角定理直接对C进行判断；根据两点之间线段最短可对D进行判断． 【解答】解：连接ON，MD， 由作法得CM＝CD＝DN， ∴∠COM＝∠COD，所以A正确； ∵OM＝ON， ∴当OM＝MN时，△OMN为等边三角形， ∴∠MON＝60°， ∵∠AOB＝∠MOA＝∠NOB20°，所以B正确； ∵， ∴∠MDC＝∠DMN， ∴MN∥CD，所以C正确； ∵CM+CD+DN＞MN， ∴3CD＞MN，所以D错误． 故选：D． 【变式1-1】如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于H，连接OB、OC，则下列结论中错误的是（　　） A．BH＝CH B．OH＝AH C．AB＝AC D．∠AOB＝∠AOC 【分析】根据垂径定理和圆心角、弧、弦的关系判断即可． 【解答】解：∵BC是⊙O的弦，OA⊥BC于H， ∴BH＝CH，， ∴AB＝AC，∠AOB＝∠AOC， 得不出OH＝AH，故选项B符合题意． 故选：B． 【变式1-2】如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠AOB＝∠COD，下列说法一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆心角，弧，弦的关系判断即可． 【解答】解：∵点A，B，C，D都在⊙O上，∠AOB＝∠COD， ∴，，，，故A、B、D错误，C正确． 故选：C． 【变式1-3】如图，点A为射线OM上一点，将射线OM绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到射线ON，以O为圆心，OA长为半径画圆，交射线ON于点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交⊙O于点C（A，C不重合），连接AC交OB于点D，连接OC．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（　　） A．AC⊥OB B．AD＝CD C．∠AOB＝∠BOC D．OD＞BD 【分析】根据线段垂直平分线的性质，圆周角定理以及圆心角、弦、弧之间的关系逐项进行判定即可． 【解答】解：由题意可知，OA＝OC，BC＝BA， ∴OB是AC的垂直平分线， ∴OB⊥AC，AD＝CD， 因此选项A不符合题意，选项B不符合题意； ∵OA＝OC，OD⊥AC， ∴∠AOB＝∠BOC， 因此选项C不符合题意； 当α为钝角时，如图， 此时OD＜BD， 因此选项D符合题意， 故选：D． ▌题型06 由弦、弧、圆心角之间的关系求面积 【典例1】如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（　　） A．25 B．25 C． D． 【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题． 【解答】解：连OC，如图， ∵C是的中点，∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°， 又∵OA＝OC＝OB， ∴△OAC和△OBC都是等边三角形， ∴S四边形AOBC＝2． 故选：D． 【变式1-1】如图，在⊙O中，C为的中点，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．若∠AOB＝120°，OA＝6，则四边形DOEC的面积为 　9　 ． 【分析】连接OC，根据弧、圆心角的关系得OC平分∠AOB．进而利用角平分线的性质定理得CD＝CE，即可得证．由∠AOB＝120°，得∠AOC＝60°．进而得∠OCD＝30°．利用30度直角三角形的性质得，进而根据勾股定理得CD的长，最后由三角形面积公式即可解答． 【解答】解：连接OC， ∵C为的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠BOC， ∴OC平分∠AOB． 又∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴CD＝CE； ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝60°． ∵CD⊥OA， ∴∠CDO＝90°， ∴∠OCD＝90°﹣∠AOC＝30°． ∵OC＝OA＝6， 在Rt△ODC中， ∵ODOC＝3， ∴CD3， ∴S△OCD•OD•CD3×3， 同理，可得S△OCE， ∴四边形DOEC的面积＝S△OCD+S△OCE＝9． 故答案为：9． 【变式1-2】如图，半径为5的⊙O中，弦AB，CD所对的圆心角和为180°，AB+CD＝14，则△AOB的面积为　12　 ． 【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，则AE是⊙O的直径，故∠AOB+∠BOE＝180°，∠ABE＝90°，再由∠AOB+∠COD＝180°可知∠COD＝∠BOE，故CD＝BE，根据AB+CD＝14可知AB+BE＝14，再利用勾股定理即可得出结论． 【解答】解：延长AO交⊙O于点E，连接BE，则AE是⊙O的直径， ∴∠AOB+∠BOE＝180°，∠ABE＝90°， ∵弦AB，CD所对的圆心角和为180°， ∴∠AOB+∠COD＝180°， ∴∠COD＝∠BOE， ∴CD＝BE， ∵AB+CD＝14， ∴AB+BE＝14①， ∵⊙O的半径为5， ∴AE＝2OA＝10， ∵∠ABE＝90°， ∴AB2+BE2＝AE2，即AB2+BE2＝100②， 由①得，（AB+BE）2＝142，即AB2+BE2+2AB•BE＝196③， 把②代入③得，100+2AB•BE＝196，即AB•BE＝48， ∵AE是⊙O的直径， ∴O是AE的中点， ∴S△AOBS△ABEAB•BE48＝12． 故答案为：12． 【变式1-3】如图，A、B是在⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是AB的中点． （1）求证：四边形AOBC为菱形； （2）如图，点D为优弧AB上一点，AD＝5，DB＝4，求四边形ACBD的面积． 【分析】（1）连接OC，则OA＝OB＝OC，由已知可得可得∠AOC＝∠BOC＝60°，AC＝BC，可得△AOC，△BOC是等边三角形，可得AO＝AC＝BO＝BC，即可证得结论； （2）连接AB，交OC于点E，作BH⊥AD于点H，则∠BHA＝∠BHD＝90°，由圆周角定理可得∠ADB＝60°，由30°角所对的直角边与斜边的关系，可得DH，根据勾股定理可得BH，AB，由菱形的性质，结合30°角所对的直角边与斜边的关系，可得BC＝2CE，根据勾股定理可得CE，由四边形的面积S＝S△ABC+S△ABD，即可得四边形ACBD的面积． 【解答】（1）证明：连接OC，则OA＝OB＝OC， ∵C是AB的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠BOC，AC＝BC， ∵∠AOB＝120°， ∴， ∴△AOC，△BOC是等边三角形， ∴BO＝BC，AO＝AC， ∴AO＝AC＝BO＝BC， ∴四边形AOBC为菱形． （2）解：连接AB，交OC于点E，作BH⊥AD于点H，则∠BHA＝∠BHD＝90°， ∵△AOC，△BOC是等边三角形， ∴∠OBC＝60°，∠OAC＝60°， ∵∠AOB＝120°， ∴， ∴∠DBH＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∵AD＝5，DB＝4， ∴， ∴AH＝5﹣2＝3，， ∴， ∵四边形AOBC为菱形， ∴AB⊥OC，，， ∴BC＝2CE， ∴， ∴， ∴． ∴四边形ACBD的面积为 ▌题型07 由弧、弦、圆心角之间的关系证明 【典例1】小明在完成作业“如图1，∠AOB＝90°，C、D是以点O为圆心的的三等分点，弦AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE＝BF＝CD”的基础上，做了如下尝试如图2，“把∠AOB＝90°改为∠AOB＝120°，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，∠AOB＝n°，C、D是以点O为圆心的的三等分点，弦AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE＝BF＝CD”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 【分析】连接AC，BD，根据∠AOB＝120°得出∠AOC的度数，由OA＝OB知∠OAE度数，继而得∠AEC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠ACO的度数，根据等角对等边可得出AC＝AE，同理可得BF＝BD，再根据AC＝CD＝BD，由此可得出结论． 【解答】证明：尝试：连接AC，BD， ∵在⊙O中，∠AOB＝120°，C、D为以O为圆心的弧AB的三等分点， ∴∠AOC， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°， ∵∠AOC＝∠BOD＝40°， ∴∠AEC＝∠OAB+∠AOC＝30°+40°＝70°， ∵OA＝OC，∠AOC＝40°， ∴∠ACE＝70°， ∴∠ACE＝∠AEC， ∴AC＝AE，同理BF＝BD， ∵C，D是的三等分点， ∴AC＝CD＝BD， ∴AE＝BF＝CD． 猜想：连接AC，BD， ∵在⊙O中，∠AOB＝n°，C、D为以O为圆心的弧AB的三等分点， ∴∠AOC， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AEC＝∠OAB+∠AOC， ∵OA＝OC，∠AOC， ∴∠ACE， ∴∠ACE＝∠AEC， ∴AC＝AE，同理BF＝BD， ∵C，D是的三等分点， ∴AC＝CD＝BD， ∴AE＝BF＝CD． 【变式1-1】如图所示，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，OC∥BD，求证：AC＝CD． 【分析】连接OD，如图，根据平行线的性质得∠1＝∠3，∠2＝∠B，加上∠B＝∠3，则∠1＝∠2，于是根据圆心角、弧、弦的关系得到，则AC＝CD． 【解答】证明：连接OD，如图， ∵OC∥BD， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠B， ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴， ∴AC＝CD． 【变式1-2】如图，在⊙O中，M为半径OA上一点．过M作弦BC⊥OA，交⊙O于B，C两点．连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AD交BC于点E．已知EB＝ED． （1）求证：60°； （2）探究线段CE，EM长度之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）连接OC，根据垂径定理得，再根据EB＝ED，得∠B＝∠D，，所以，∠COD＝60°，即可得出结论； （2）连接AC，根据圆周角定理得∠B＝∠D∠COD＝30°，所以∠EAC＝∠ECA＝∠B＝30°，所以AE＝CE，∠OAD＝∠D＝30°，根据直角三角形30°的性质得AE＝2EM，所以CE＝2EM． 【解答】证明：（1）如图，连接OC， ∵BC⊥OA， ∴， ∵EB＝ED， ∴∠B＝∠D， ∴， ∴， ∴∠COD＝60°， ∴60°； （2）CE＝2EM， 证明：连接AC， ∵∠COD＝60°， ∴∠B＝∠D∠COD＝30°， ∴∠EAC＝∠ECA＝∠B＝30°， ∴AE＝CE， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠D＝30°， ∴AE＝2EM， ∴CE＝2EM． 【变式1-3】问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程． 证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA＝MC … 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； 实践应用： （1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 BE＝CE+AC ． （2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为AB上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD于点E，△BDC的周长为42，BC＝2，请求出AC的长． 【分析】首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB＝MG，再利用等腰三角形的性质得出BD＝GD，即可得出答案； （1）直接根据阿基米德折弦定理得出结论； （2）根据阿基米德折弦定理得出CE＝BD+DE，进而求出CE，最后用勾股定理即可得出结论． 【解答】证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG， ∵M是的中点， ∴MA＝MC． 在△MBA和△MGC中， ， ∴△MBA≌△MGC（SAS）， ∴MB＝MG， 又∵MD⊥BC， ∴BD＝GD， ∴DC＝GC+GD＝AB+BD； 实践应用 （1）如图3，依据阿基米德折弦定理可得：BE＝CE+AC； 故答案为：BE＝CE+AC； （2）∵AB＝AC， ∴A是的中点， ∵AE⊥CD， 根据阿基米德折弦定理得，CE＝BD+DE， ∵△BCD的周长为42， ∴BD+CD+BC＝42， ∴BD+DE+CE+BC＝2CE+BC＝42， ∵BC＝2， ∴CE＝2， 在Rt△ACE中，∠ACD＝45°， ∴AE＝CE＝2， ∴AC＝4． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $