专题06 点和圆、直线和圆的位置关系十大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以十大题型为载体，系统构建“判定依据-解题步骤-变式拓展”方法体系，逻辑贯穿点与圆、直线与圆位置关系及综合应用，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点和圆位置关系|2题型（含3变式）|距离比较法：求距离→比半径→定位置；多点点集取交集|从点到圆心距离与半径关系（概念）到参数取值（应用）| |直线和圆位置关系|5题型（含15变式）|d-r比较法：求距离d→比半径r→判位置/交点；方程与几何结合|从位置关系判定（原理）到参数范围/距离计算（拓展）| |平移与相切|2题型（含6变式）|平移不变性：定初始d→相切d=r→算平移距离（双向）|静态位置关系到动态平移（运动变化）| |最值问题|1题型（含4变式）|转化法：化动点最值为圆心距与半径加减|位置关系在最值问题中的综合应用|

专题06 点和圆、直线和圆的位置关系十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 判断点和圆的位置关系 题型02 根据点和圆的位置关系求半径 题型03 判断直线和圆的位置关系 题型04 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围 题型05 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型06 根据直线与圆的位置关系确定交点个数 题型07 根据直线和圆交点个数确定取值范围 题型08 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型09 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型10 利用直线与圆的位置关系求最值 ▌题型01 判断点和圆的位置关系 【典例1-1】【答案】B 【典例1-2】【答案】内 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3)外 (4)4 【分析】本题主要考查圆心的确定，垂直平分线的性质，勾股定理与网格等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆心到弧上各点距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，作线段的垂直平分线的交点即为圆心； （2）运用勾股定理与网格，结合图形求解即可； （3）运用勾股定理与网格得到，再与圆的半径比较即可； （4）根据切线的定义，作图判定即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∴； （2）解：， ∴这个圆的半径长为； （3）解：， ∵， ∴点在外， 故答案为：外； （4）解：如图所示，连接，过点作的垂线， ∴点均为图中网格点，符合题意， ∴该图中有4个， 故答案为：4． ▌题型02 根据点和圆的位置关系求半径 【典例2】【答案】B 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】 【答案】(1)点A在圆上，点B在圆外，点M在圆内 (2) 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，，在圆外，，在圆上，，在圆内判断是解题关键． （1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较与半径的大小关系即可得出答案； （2）利用分界点当A、B、M三点中至少有一点在内时，以及当至少有一点在外时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵在中，，的中点为点M， ∴，， ∵以点C为圆心，3为半径作， ∴，则点A在圆上，，则点M在圆内，，则点B在圆外； （2）解：以点C为圆心作，使A、B、M三点中至少有一点在内时，， 当至少有一点在外时，， 故的半径r的取值范围为：． ▌题型03 判断直线和圆的位置关系 【典例3】【答案】C 【变式1-1】【答案】A． 【变式1-2】【答案】相交 【变式1-3】【答案】相交或相切 ▌题型04 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围 【典例4-1】【答案】C 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】r． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据题意画出图形，过点C作于点D，由勾股定理求出的长，再求出的长，根据直线与圆的三种位置关系进行解答即可． 【详解】（1）解：过点C作于点D，    ∵中，， ∴， ∴， ∴当，和直线相离； （2）解：当时，和直线相切； （3）解：当时，和直线相交． ▌题型05 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例5】【答案】A 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】 5 ▌题型06 根据直线与圆的位置关系确定交点个数 【典例6】【答案】B 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】C ▌题型07 根据直线和圆交点个数确定取值范围 【典例7】【答案】D 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】D ▌题型08 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【典例7】【答案】4或8 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】1或5 【变式1-3】 【答案】相切;1cm＜d＜5cm 【详解】试题分析：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm， 作O′C⊥PA于C， ∵∠P=30度， ∴O′C=PO′=1cm， ∵圆的半径为1cm， ∴⊙O与直线PA的位置关系是相切； （2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交， 当移动到C″时，相切， 此时C″P=PO′=2， ∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交 考点：直线与圆的位置关系． ▌题型09 求直线平移到与圆相切时运动的距离 【典例8】【答案】D 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】A ▌题型10 利用直线与圆的位置关系求最值 【典例9】  【答案】 【变式1-1】【答案】/ 【变式1-2】【答案】/ 【变式1-3】【答案】（1）7；（2）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 点和圆、直线和圆的位置关系十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 判断点和圆的位置关系 题型02 根据点和圆的位置关系求半径 题型03 判断直线和圆的位置关系 题型04 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围 题型05 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型06 根据直线与圆的位置关系确定交点个数 题型07 根据直线和圆交点个数确定取值范围 题型08 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型09 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型10 利用直线与圆的位置关系求最值 ▌题型01 判断点和圆的位置关系 1. 核心判定依据：设圆的半径为，点到圆心的距离为 · 点在圆外 · 点在圆上 · 点在圆内 2. 求距离：给坐标用两点间距离公式计算点到圆心距离；几何题利用勾股定理求。 3. 步骤：①求点到圆心距离；②和半径比较大小；③得出位置关系。 【典例1-1】已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【典例1-2】已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 【变式1-1】已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 【变式1-2】在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，在坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） (4)E是图中某一格点，连接，若是的切线，则E点有______个． ▌题型02 根据点和圆的位置关系求半径 1. 已知点到圆心距离，结合位置关系列不等 / 等式： · 点在圆外： · 点在圆上： · 点在圆内： 2. 多个点时：分别算出每个点到圆心距离，结合每个点的位置要求，取公共解集，得到半径取值范围。 3. 注意看清题目条件：是取值范围，还是求半径具体值。 【典例2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径 为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【变式1-2】点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ ▌题型03 判断直线和圆的位置关系 1. 判定依据：圆半径，圆心到直线距离 · 直线与圆相离，无交点 · 直线与圆相切，1 个交点 · 直线与圆相交，2 个交点 2. 解题步骤： ①过圆心作直线的垂线段，求出圆心到直线距离（常勾股定理、面积法求垂线段长）； ②比较与大小； ③判断位置关系。 【典例3】（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如果的半径为，圆心到直线的距离为，且，那么和直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【变式1-1】已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【变式1-2】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）已知的半径为，圆心到直线的距离为，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则直线与的位置关系为______． 【变式1-3】已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是 ． ▌题型04 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围 1. 先求出圆心到已知直线的距离； 2. 根据位置关系转化不等式： · 相离： · 相切： · 相交： 3. 若题目有图形限制、隐含条件，要注意半径；多个限制条件取交集。 【典例4-1】在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 　 　； 【变式1-3】已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ ▌题型05 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1. 已知半径和位置关系反推： · 直线与圆相离： · 直线与圆相切： · 直线与圆相交： 2. 几何计算：利用面积法、勾股定理、垂径定理计算垂线段长度，也就是； 3. 注意区分：是垂线段长度，不是圆心到直线上某普通点的线段长。 【典例5】已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若半径为的与直线没有公共点，则圆心到直线的距离可以是（） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，的半径是3，点A在上，点P是所在平面内一点，且，过点P作直线l，使． （1）点O到直线l距离的最大值为 ； （2）若点M，N是直线l与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． ▌题型06 根据直线与圆的位置关系确定交点个数 1. ，相离，个交点； 2. ，相切，个交点； 3. ，相交，个交点； 【典例6】已知圆的半径为5cm，圆心到直线l的距离为5cm，那么直线l和这个圆的公共点有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【变式1-1】已知得半径等于，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【变式1-2】已知的半径为，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数 为（    ） A．0 B．1或0 C．0或2 D．1或2 【变式1-3】如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 ▌题型07 根据直线和圆交点个数确定取值范围 1. 本题主要考查了直线和圆的位置关系，解决此类问题的关键是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断． 2. ①两个公共点⇔d＜r；②一个公共点⇔d＝r；③没有公共点⇔d＞r． 【典例7】在中，，以点为圆心，为半径作圆．若与边只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-1】如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【变式1-2】已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． ▌题型08 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 3. 平移只改变圆心位置，半径大小不变； 2. 找到初始圆心到直线距离； 3. 圆和直线相切时，圆心到直线距离必须等于半径； 4. 直线两侧各存在一个相切位置，一般有两种情况：向直线方向移动距离；背离直线方向移动距离； 5. 圆心平移距离 = 平移前后两个圆心之间线段长度，画图区分两种相切位置，不要漏解。 【典例7】如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，开始时，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（s）为 时，⊙P与直线CD相切． 【变式1-1】如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（     ） A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm 【变式1-2】如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心O平移的距离为 cm． 【变式1-3】如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动． （Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系． （Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围 ▌题型09 求直线平移到与圆相切时运动的距离 1. 圆固定不动，半径不变；平移直线不改变直线倾斜程度； 2. 初始圆心到原直线距离；相切条件：圆心到平移后直线距离等于； 3. 一条直线向圆靠近、远离，圆两侧各有一条切线，存在两个平移距离； 4. 直线平移距离：是两条平行线之间垂线段长度，不是水平 / 斜向线段； 5. 计算：用、得到两种平移距离，注意分类讨论。 【典例8】已知：的半径为，圆心到直线l的距离为，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与相切，则平移的距离是（　　） A． B． C． D．或 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【变式1-3】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，与y轴相切于点O，将向上平移m个单位长度，当与直线AB第一次相切时，则m的值是（    ） A． B． C． D． ▌题型10 利用直线与圆的位置关系求最值 1. 常见模型：圆外一点到圆上点最大、最小距离；直线上动点到圆上点距离最值。 2. 圆外一点，圆心半径： · 圆上点到最小值： · 圆上点到最大值： 3. 直线上动点，到圆上点距离最值：先求圆心到直线距离； · 最小距离：；最大距离： 4. 解题思路：把最值转化为圆心到点 / 直线距离，结合半径加减；多结合几何画图，找临界相切位置求最值。 【典例9】如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    【变式1-1】如图，正方形的边长为8，的半径为2．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为______． 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的半径为，直线与相离，过点作于点，垂足为，且，点是上一动点，过点作于点，垂足为，则的最大值是_____． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 点和圆、直线和圆的位置关系十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 判断点和圆的位置关系 题型02 根据点和圆的位置关系求半径 题型03 判断直线和圆的位置关系 题型04 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围 题型05 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型06 根据直线与圆的位置关系确定交点个数 题型07 根据直线和圆交点个数确定取值范围 题型08 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型09 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型10 利用直线与圆的位置关系求最值 ▌题型01 判断点和圆的位置关系 1. 核心判定依据：设圆的半径为，点到圆心的距离为 · 点在圆外 · 点在圆上 · 点在圆内 2. 求距离：给坐标用两点间距离公式计算点到圆心距离；几何题利用勾股定理求。 3. 步骤：①求点到圆心距离；②和半径比较大小；③得出位置关系。 【典例1-1】已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 【典例1-2】已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 【答案】内 【分析】先确定点D到圆心A的距离d以及的半径r，再根据当d和r的关系判断点和圆的位置关系即可． 【详解】解：如图：矩形，，，以点为圆心，为半径作， ∴点D到圆心A的距离，的半径， ∴， ∴点在内． 【变式1-1】已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】比较点A到圆心的距离与半径的大小，即可判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点A在外． 【变式1-2】在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，在坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） (4)E是图中某一格点，连接，若是的切线，则E点有______个． 【答案】(1) (2) (3)外 (4)4 【分析】本题主要考查圆心的确定，垂直平分线的性质，勾股定理与网格等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆心到弧上各点距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，作线段的垂直平分线的交点即为圆心； （2）运用勾股定理与网格，结合图形求解即可； （3）运用勾股定理与网格得到，再与圆的半径比较即可； （4）根据切线的定义，作图判定即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∴； （2）解：， ∴这个圆的半径长为； （3）解：， ∵， ∴点在外， 故答案为：外； （4）解：如图所示，连接，过点作的垂线， ∴点均为图中网格点，符合题意， ∴该图中有4个， 故答案为：4． ▌题型02 根据点和圆的位置关系求半径 1. 已知点到圆心距离，结合位置关系列不等 / 等式： · 点在圆外： · 点在圆上： · 点在圆内： 2. 多个点时：分别算出每个点到圆心距离，结合每个点的位置要求，取公共解集，得到半径取值范围。 3. 注意看清题目条件：是取值范围，还是求半径具体值。 【典例2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置的关系． 根据题意，则只有B点在圆内才满足条件，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：连接， 在中，， 若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D三点，只有一点在圆内， 则只有B点在圆内才满足条件， ∴， 故选：B． 【变式1-1】平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径 为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 【变式1-2】点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 【答案】(1)点A在圆上，点B在圆外，点M在圆内 (2) 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，，在圆外，，在圆上，，在圆内判断是解题关键． （1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较与半径的大小关系即可得出答案； （2）利用分界点当A、B、M三点中至少有一点在内时，以及当至少有一点在外时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵在中，，的中点为点M， ∴，， ∵以点C为圆心，3为半径作， ∴，则点A在圆上，，则点M在圆内，，则点B在圆外； （2）解：以点C为圆心作，使A、B、M三点中至少有一点在内时，， 当至少有一点在外时，， 故的半径r的取值范围为：． ▌题型03 判断直线和圆的位置关系 1. 判定依据：圆半径，圆心到直线距离 · 直线与圆相离，无交点 · 直线与圆相切，1 个交点 · 直线与圆相交，2 个交点 2. 解题步骤： ①过圆心作直线的垂线段，求出圆心到直线距离（常勾股定理、面积法求垂线段长）； ②比较与大小； ③判断位置关系。 【典例3】（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如果的半径为，圆心到直线的距离为，且，那么和直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】比较圆的半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到位置关系，规则为：时直线与圆相交，时相切，时相离． 【详解】解：∵的半径，圆心到直线的距离， ∴， 根据判定规则可得和直线的位置关系是相交． 【变式1-1】已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】A． 【分析】运用直线与圆的三种位置关系，结合10＜13，即可解决问题． 【详解】解：∵⊙O的半径为10，圆心O到直线l的距离是13，而10＜13， ∴点O到直线l的距离大于半径， ∴直线l与⊙O相离． 故选：A． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 【变式1-2】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）已知的半径为，圆心到直线的距离为，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则直线与的位置关系为______． 【答案】相交 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直线与圆的位置关系，由一元二次方程有两个不相等的实数根，得判别式大于零，求出半径，再比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，得出直线与圆相交，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∵， ∴， ∵圆心到直线的距离为，且， ∴距离小于半径，直线与相交， 故答案为：相交． 【变式1-3】已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相交或相切 【分析】利用因式分解法求得一元二次方程的两个根，再根据直线与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：由可得 解得， 即的半径是3或4 当的半径是3时，，即，直线与圆相切， 当的半径是4时，，即，直线与圆相交， 故答案为：相交或相切 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解以及直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握一元二次方程的求解以及直线与圆的位置关系． ▌题型04 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围 1. 先求出圆心到已知直线的距离； 2. 根据位置关系转化不等式： · 相离： · 相切： · 相交： 3. 若题目有图形限制、隐含条件，要注意半径；多个限制条件取交集。 【典例4-1】在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及勾股定理．根据题意画出草图，过点作于点，利用勾股定理求出，再根据直线与圆相离得到，最后利用等面积法求解，即可解题． 【详解】解：根据题意画图如下， 过点作于点， ，，， ， 以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线相离， ， ， 解得， 故选：C． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R的取值范围． 【详解】解：， ∴， ∵原点O在圆A的外部， ∴，即， ∵圆A与x轴相交， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与圆的位置关系是解此题的关键． 【变式1-2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 　 　； 【答案】r． 【分析】如图，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH即可判断． 【详解】解：如图，作CH⊥AB于H． 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6， ∴AB10， ∵S△ABC•AC•BC•AB•CH， ∴CH， ∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离， ∴r的取值范围为r， 故答案为：r． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式1-3】已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据题意画出图形，过点C作于点D，由勾股定理求出的长，再求出的长，根据直线与圆的三种位置关系进行解答即可． 【详解】（1）解：过点C作于点D，    ∵中，， ∴， ∴， ∴当，和直线相离； （2）解：当时，和直线相切； （3）解：当时，和直线相交． ▌题型05 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1. 已知半径和位置关系反推： · 直线与圆相离： · 直线与圆相切： · 直线与圆相交： 2. 几何计算：利用面积法、勾股定理、垂径定理计算垂线段长度，也就是； 3. 注意区分：是垂线段长度，不是圆心到直线上某普通点的线段长。 【典例5】已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断直线和圆的位置关系，已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离． 直线与圆有两个公共点，说明直线与圆相交，因此圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直径为， ∴半径 ∵与直线有个公共点， ∴直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， ∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】若半径为的与直线没有公共点，则圆心到直线的距离可以是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆无公共点时，两者相离，圆心到直线的距离大于半径是解题的关键． 根据直线与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：∵与直线l无公共点， ∴直线l与相离， ∴圆心O到直线l的距离半径， 选项中只有，即选项A符合题意． 故选：A． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一个圆的圆心到直线的距离为d，圆的半径为，则当时，直线与圆的位置关系为相离；当时，直线与圆的位置关系为相切，当时，直线与圆的位置关系为相交，由题意可得圆心O到直线l的距离大于，据此可得答案． 【详解】解：∵半径为的与直线l相离， ∴圆心O到直线l的距离大于， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式1-3】如图，的半径是3，点A在上，点P是所在平面内一点，且，过点P作直线l，使． （1）点O到直线l距离的最大值为 ； （2）若点M，N是直线l与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 【答案】 5 【分析】（1）如图1，当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，于是得到结论； （2）如图2，根据已知条件得到线段是的直径，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1， ， 当点在圆外且，，三点共线时，点到直线的距离最大， 最大值为； （2）如图2，，是直线与的公共点，当线段的长度最大时， 线段是的直径， ， ， ，， ， 故答案为：5，． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． ▌题型06 根据直线与圆的位置关系确定交点个数 1. ，相离，个交点； 2. ，相切，个交点； 3. ，相交，个交点； 【典例6】已知圆的半径为5cm，圆心到直线l的距离为5cm，那么直线l和这个圆的公共点有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】B 【分析】根据圆心到直线的距离等于半径可以判断直线l和圆相切，进而可知直线l和这个圆的公共点有1个 【详解】解：∵圆的半径为5cm，圆心到直线l的距离为5cm， ∴直线l和这个圆的公共点有1个 故选B 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系；若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，d＞r时，圆和直线相离；d=r时，圆和直线相切；d＜r时，圆和直线相交． 【变式1-1】已知得半径等于，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离是3cm <圆的半径4cm，则直线和圆相交,所以公共点的个数为2个. 【详解】解：∵得半径等于，圆心到直线的距离为 又∵3<4 ∴直线与相交 ∴直线与的公共点的个数为:2个 故选：C 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的知识,若圆心到直线的距离d ,圆的半径r ,①当d> r时,直线与圆相离,此时直线与圆没有公共点;②当d=r时,直线与圆相切,此时直线与圆有一个公共点;③当d <r时,直线与圆相交,此时直线与圆有两个公共点. 【变式1-2】已知的半径为，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数 为（    ） A．0 B．1或0 C．0或2 D．1或2 【答案】D 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和相交或相切，然后根据相切与相交的定义对各选项进行判断． 【详解】∵的半径为，圆心到直线上某点的距离为， ∴圆心O到直线l的距离 即圆心O到直线l的距离圆的半径， ∴直线l和相切或相交， ∴直线l与有1个或2个有公共点． 故选：D． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和相交时，；直线l和相切，；直线l和相离，． 【变式1-3】如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【答案】C 【分析】过O作OD⊥OA于D，求出CD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可． 【详解】解：过O作OD⊥OA于D， ∵∠AOB＝30°，OC＝6， ∴OD＝OC＝3＜4， ∴以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查直线与圆的公共点个数，会判断直线与圆的位置关系是解题的关键. ▌题型07 根据直线和圆交点个数确定取值范围 1. 本题主要考查了直线和圆的位置关系，解决此类问题的关键是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断． 2. ①两个公共点⇔d＜r；②一个公共点⇔d＝r；③没有公共点⇔d＞r． 【典例7】在中，，以点为圆心，为半径作圆．若与边只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先用勾股定理计算线段的长，分两种讨论：若与斜边相切时，通过等积法计算的面积，可求得半径的长；若，圆与边也只有一个公共点，据此解题即可. 【详解】如图，过点作于点． ，． ①如果以点为圆心，为半径的圆与斜边相切，则．此时． ②当时，圆与边也只有一个公共点． 综上，或． 故选D． 【点睛】本题考查圆与直线的位置关、勾股定理、三角形的面积公式等，其中涉及分类讨论的数学思想，考点知识综合性较强，难度适中，作出适当的辅助线是解题关键. 【变式1-1】如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 【变式1-2】已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理及三角形面积公式的应用，解题的关键是求出点到的距离，并结合线段长度确定半径范围．先通过勾股定理求的长，再用面积法求点到的距离，结合直线与圆的位置关系及的长度，确定的取值范围． 【详解】解： 又 （d为C到的距离）， 即 ， ， 当 时，圆与相切，有一个公共点， 当 时，圆与相交， 为保证两个交点在线段上，需 故选：B． 【变式1-3】已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、圆的基本性质．首先根据勾股定理可求，利用三角形的面积公式可求，当圆的半径为时，开始与边有交点，当时，圆与边有交点，当时，圆与边没有交点，从而确定的取值范围． 【详解】解：如下图所示，过点作， 中，，，， ， ， ， 解得：， 当以点为圆心的圆的半径时，圆经过点， 当时，圆与边没有交点， ．      故选：D ． ▌题型08 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 3. 平移只改变圆心位置，半径大小不变； 2. 找到初始圆心到直线距离； 3. 圆和直线相切时，圆心到直线距离必须等于半径； 4. 直线两侧各存在一个相切位置，一般有两种情况：向直线方向移动距离；背离直线方向移动距离； 5. 圆心平移距离 = 平移前后两个圆心之间线段长度，画图区分两种相切位置，不要漏解。 【典例7】如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，开始时，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（s）为 时，⊙P与直线CD相切． 【答案】4或8 【分析】利用⊙P的圆心在直线AB上，分别得出⊙P在O点左边和右边两种情况，并根据直角三角形的性质即可计算出结果． 【详解】解解：当点P在射线OA上时⊙P与CD相切，如图 过P作PE⊥CD与E， ∴PE＝1cm， ∵∠AOC＝30°， ∴OP＝2PE＝2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6−2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间t＝＝4（秒）； 当点P在射线OB时⊙P与CD相切， 如图，过P作PF⊥CD与F， ∴PF＝1cm， ∵∠AOC＝∠DOB＝30°， ∴OP＝2PF＝2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6＋2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间t＝＝8（秒）． 综上所述，t＝4秒或8秒． 故答案为：4或8． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合的思想并能利用直角三角形的性质得出结论是解题的关键． 【变式1-1】如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（     ） A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm 【答案】D 【详解】试题分析：连接OA，如图： ∵OH⊥AB，AB=8cm，∴AH=4cm，∵OA=OC=5cm，∴由勾股定理可得OH=3cm，∴当直线向下平移到点H与点C重合时，直线与圆相切，∴CH=OC-OH=2cm；同理：当直线向上平移到与圆相切时，平移的距离=5+3=8cm，所以直线在原有位置移动2cm或8cm后与圆相切，故选D． 考点：垂径定理、勾股定理、直线与圆的位置关系． 【变式1-2】如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心O平移的距离为 cm． 【答案】1或5 【分析】首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm，即可求得O′P的长，继而求得答案． 【详解】解：有两种情况： （1）如图1,当O平移到O′位置时，O与PA相切时，且切点为C， 连接O′C,则O′C⊥PA，即∠O′CP=90°， ∵∠APB=30°,O′C=1cm， ∴O′P=2O′C=2cm， ∵OP=3cm， ∴OO′=OP−O′P=1(cm). （2）如图2，同理可得：O′P=2cm， ∴O′O=5cm. 故答案为1或5. 【点睛】本题主考考查圆与直线相切. 本题要应用分类讨论思想分别画出⊙O 与直线PA相切时的图形，利用切线性质即可求出答案. 【变式1-3】如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动． （Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系． （Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围 【答案】相切;1cm＜d＜5cm 【详解】试题分析：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm， 作O′C⊥PA于C， ∵∠P=30度， ∴O′C=PO′=1cm， ∵圆的半径为1cm， ∴⊙O与直线PA的位置关系是相切； （2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交， 当移动到C″时，相切， 此时C″P=PO′=2， ∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交 ▌题型09 求直线平移到与圆相切时运动的距离 1. 圆固定不动，半径不变；平移直线不改变直线倾斜程度； 2. 初始圆心到原直线距离；相切条件：圆心到平移后直线距离等于； 3. 一条直线向圆靠近、远离，圆两侧各有一条切线，存在两个平移距离； 4. 直线平移距离：是两条平行线之间垂线段长度，不是水平 / 斜向线段； 5. 计算：用、得到两种平移距离，注意分类讨论。 【典例8】已知：的半径为，圆心到直线l的距离为，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与相切，则平移的距离是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：如图，当l经过点B时，，则； 当l移动到时，则； 即平移的距离是或． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 分圆心在轴的左侧和轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为； 当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为． 故选：B． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 【变式1-3】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，与y轴相切于点O，将向上平移m个单位长度，当与直线AB第一次相切时，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出A、B的坐标，得到OA、OB的长，设平移后与直线相切与点E，与y轴相切于点F，连接，则四边形是矩形，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：当时，， 当时，； ∴，， ∴． 设平移后与直线相切与点E，与y轴相切于点F，连接，则四边形是矩形， ∴， ∴． ∵，与y轴相切于点O， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查对直线与圆的位置关系，勾股定理，面积法求线段的长，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握面积法是解此题的关键． ▌题型10 利用直线与圆的位置关系求最值 1. 常见模型：圆外一点到圆上点最大、最小距离；直线上动点到圆上点距离最值。 2. 圆外一点，圆心半径： · 圆上点到最小值： · 圆上点到最大值： 3. 直线上动点，到圆上点距离最值：先求圆心到直线距离； · 最小距离：；最大距离： 4. 解题思路：把最值转化为圆心到点 / 直线距离，结合半径加减；多结合几何画图，找临界相切位置求最值。 【典例9】如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    【答案】 【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解； （2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值． 【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半， ∴的面积为， 在中，， ∴当最大时，即最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：    由题意可得：，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键． 【变式1-1】如图，正方形的边长为8，的半径为2．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为______． 【答案】/ 【分析】由题意画出符合题意的图形，当与，相切时，点到上的点的距离取得最大值，利用勾股定理即可求得结论． 【详解】解：由题意，当与，相切时，点到上的点的距离取得最大值，如图， 由对称性可知：圆心在上． ． 与相切于点， ． 四边形是正方形， ． 为等腰直角三角形． ． ． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，连接，利用切线的性质得到是解题的关键． 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的半径为，直线与相离，过点作于点，垂足为，且，点是上一动点，过点作于点，垂足为，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次根式的非负性，勾股定理，矩形的性质；分和两种情况讨论，设，得出关于的函数关系式，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴当时，最大，最大值为； 当时，如图所示， 同理可得，则 ∴当最大时，最大 ∵ ∴当时，即时，最大 最大值为， 综上所述，的最大值为， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 【答案】（1）7；（2）． 【分析】（1）当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，由此即可得； （2）先确定线段是的直径，画出图形，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：（1）如图1，， 当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大， 此时最大值为， 故答案为：7； （2）如图2，是直线与的公共点，当线段的长度最大时，线段是的直径， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $