周练 错题巩固与压轴训练 3.1～3.2～3.3 圆的相关概念 确定圆的条件 圆的对称性 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 九年级上册数学圆单元周练，60分钟100分，涵盖选择（6）、填空（6）、解答（8）题型，聚焦外心、垂径定理等核心知识，融合真题改编与分层设计，强化推理意识与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/30|外心性质、圆心角与圆周角关系|A基础题（如第1题三角形外心辨析），结合2026辉县市二模真题| |填空题|6/30|垂径定理、弧度数计算|A基础（第8题直径与圆周角），B提升（第12题“等接圆三角形”新定义）| |解答题|8/40|圆中证明、尺规作图、综合应用|分层设计（A基础作图，B中档证明，C创新探究如第20题矩形与圆综合），强化模型意识|

初中数学同步周练　|　苏科版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 九年级上册数学周练 第3章 圆（3.1～3.2～3.3） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．【A】下列命题中，真命题的个数是（　　） ①三角形外心是三角形三个内角平分线的交点；②任意一个圆有且仅有一个内接三角形；③三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等；④外心在三角形一条边上的三角形是直角三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 2．【A】如图，⊙O是△ABC的外接圆，△ABC的两条边AB和AC不相等．BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线．交⊙O于D、E两点．且BD＝CE，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．三条边均不相等的三角形 D．直角三角形 3．（2026•辉县市二模）·【B】如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径．若∠ABC＝30°，AC＝4，则BC的长为（　　） A．5 B． C． D． 4．（2026•东城区校级开学）·【B】在半径为r的⊙O中，点M为弦AB的中点，点P是平面内一点，且r．下列说法正确的是（　　） A．若AB＝r，则PM长的取值范围是 B．若AB＝r，则PM的长可以是r C．若PM＝r，则AB长的最小值是 D．若PM＝r，则AB长的最大值是 5．（2024秋•元阳县期末）·【B】如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E．若AB＝16，CE＝4，则⊙O的半径为（　　） A．10 B．8 C．6 D． 6．（2025•长沙三模）·【B】如图，⊙O中，弦AB＝8cm，⊙O的半径长为5cm，则圆心O到AB的距离为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 二．填空题（共6小题） 7．（2025秋•南充校级期中）·【A】如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝　 　 ． 8．（2025春•新吴区校级月考）·【A】如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝　 　 ． 9．（2024秋•同步）·【A】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为 　 　 ． 10．（2025秋•梁溪区校级月考）·【B】如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，，BC＝1，则⊙O的半径为 　 　 ． 11．（2024秋•福清市期中）·【B】如图，已知AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠AOC＝70°，则∠BOD的度数为 　 　 ． 12．（2026•宝山区二模）·【B】定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”，如果等腰三角形ABC是“等接圆三角形”，那么△ABC的面积与其外接圆面积的比值是　 　 ．（保留π） 三．解答题（共8小题） 13．（2024秋•宿城区期中）·【A】如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD．求证：ED＝EB． 14．（2024秋•渭城区校级期末）·【A】尺规作图：作△ABC的外接圆（保留作图痕迹） 15．（2025•辽宁模拟）·【B】如图，以O为圆心，AB为直径的圆，且，2CB＝AB＝1． （1）证明：E为CD中点； （2）求OE的长度． 16．（2025秋•洛龙区校级期中）·【B】如图，OA，OB是⊙O的半径，且，弦CM，CN分别经过OA，OB的中点D，E． （1）求证CD＝CE； （2）求证CM＝CN． 17．（2024秋•思明区校级期中）·【B】如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．求证：AC＝BD． 18．（2026春•秦淮区期末）·【C】如图①，已知线段a，b，用直尺和圆规按下列要求作图： （1）作正方形ABCD，使其边长为a； （2）如图②，已知正方形ABCD，其边长为a．作一个正方形EFGH，满足以下条件：边长为b且4个顶点分别在正方形ABCD四条边上． （注意：保留作图痕迹，写出必要文字说明）． 19．（2026•徐州模拟）·【C】如图，已知△ABC，AB＝AC． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） ①作△ABC的高CD，垂足为D； ②在CD上求作点E，使AE⊥BE． （2）在（1）的条件下，当∠BAC＝2∠AED，CE＝2时，则AB的长为　 　 ． （如需画草图，请使用图2） 20．（2026•仙游县模拟）·【C】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠PEC＝∠DAP． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若CE＝1，试确定BP的长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C B B A A 一．选择题（共6小题） 1．【A】下列命题中，真命题的个数是（　　） ①三角形外心是三角形三个内角平分线的交点；②任意一个圆有且仅有一个内接三角形；③三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等；④外心在三角形一条边上的三角形是直角三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解答】解：①三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，本小题命题是假命题； ②任意一个圆有无数个内接三角形，本小题命题是假命题； ③三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，是真命题； ④外心在三角形一条边上的三角形是直角三角形，是真命题； 故选：C． 2．【A】如图，⊙O是△ABC的外接圆，△ABC的两条边AB和AC不相等．BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线．交⊙O于D、E两点．且BD＝CE，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．三条边均不相等的三角形 D．直角三角形 【答案】C 【解答】解：∵AB，AC，BC都不是直径， ∴△ABC不是直角三角形 ∵BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线 ∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE ∵BD＝CE ∴ ∴ ∴∠A＝∠ACE+∠ABD ∴∠ACB+∠ABC＝2∠A ∵∠ACB+∠ABC+∠A＝180 ∴∠A＝60°，且△ABC的两条边AB和AC不相等 ∴△ABC是三边均不相等的三角形 故选：C． 3．（2026•辉县市二模）·【B】如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径．若∠ABC＝30°，AC＝4，则BC的长为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：连接OA， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°， ∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴AC＝OC＝4， ∴DC＝2OC＝8， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CBD＝90°， ∵点B是的中点， ∴， ∴CB＝BD， ∴BC4， 故选：B． 4．（2026•东城区校级开学）·【B】在半径为r的⊙O中，点M为弦AB的中点，点P是平面内一点，且r．下列说法正确的是（　　） A．若AB＝r，则PM长的取值范围是 B．若AB＝r，则PM的长可以是r C．若PM＝r，则AB长的最小值是 D．若PM＝r，则AB长的最大值是 【答案】B 【解答】解：∵⊙O半径为r，点M为弦AB中点， ∴OM⊥AB，（垂径定理）， 当AB＝r 时，， 在Rt△OMA中，由勾股定理得， ∵点M在以O为圆心，为半径的圆上，且， 由三角形三边关系得OP﹣OM|≤PM≤OP+OM， 代入得，即， ∵， ∴PM的最小值不是， ∴选项A错误，不符合题意； ∵， ∴PM可以为， ∴选项B正确，符合题意； 当PM＝r时，， 由三角形三边关系得|OP﹣PM|≤OM≤OP+PM， ∴， 又∵M在⊙O内， ∴OM≤r， ∴， 由勾股定理得， OM越大，AB越小，当OM＝r时，AB＝0， ∴AB最小值不是， ∴选项C错误，不符合题意； OM越小，AB越大，当时，（⊙O直径）， ∴AB最大值不是， ∴选项D错误，不符合题意， 故选：B． 5．（2024秋•元阳县期末）·【B】如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E．若AB＝16，CE＝4，则⊙O的半径为（　　） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】A 【解答】解：∵AB⊥CD，AB＝16， ∴AEAB＝8， 设⊙O的半径为r，则OE＝OC﹣CE＝r﹣4， 在Rt△AOE中利用勾股定理，得AE2+OE2＝OA2，即82+（r﹣4）2＝r2， 解得r＝10． 故选：A． 6．（2025•长沙三模）·【B】如图，⊙O中，弦AB＝8cm，⊙O的半径长为5cm，则圆心O到AB的距离为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】A 【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB交AB于点C，连接OA． ∵OC⊥AB，AB＝8cm， ∴ACAB＝4cm， 在Rt△AOC中利用勾股定理，得OC3（cm）， ∴圆心O到AB的距离为3cm． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 7．（2025秋•南充校级期中）·【A】如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：连接OC， ∵C为弧AB的中点， ∴弧AC＝弧BC， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a， ∴OM＝ON＝a， ∴CM， ∵CM⊥OA， 即OM⊥CD， 由垂径定理得：CD＝2CM＝2， 故答案为：2， 8．（2025春•新吴区校级月考）·【A】如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝　110°　 ． 【答案】110°． 【解答】解：∵∠E＝35°， ∴∠AOD＝2∠E＝70°， ∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°． 故答案为：110°． 9．（2024秋•同步）·【A】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为 　56°　 ． 【答案】56° 【解答】解：连接CD． ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝28°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝62°． ∵CA＝CD， ∴∠CDA＝∠CAD＝62°， ∴∠ACD＝56°， ∴弧AD的度数为56°． 故答案为56°． 10．（2025秋•梁溪区校级月考）·【B】如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，，BC＝1，则⊙O的半径为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：延长CO交⊙O于R，连接AR，DR，过D作DM⊥AR，垂足为M， ∵∠DOC＝90°， ∴∠DOR＝90°， ∵OD＝OA＝OR， ∴∠ODA＝∠OAD，∠OAR＝∠ORA， ∴∠DAR＝∠ORA+∠ODA， ∵∠DAR+∠ODA+∠ORA+∠DOR＝360°， ∴， ∴∠DAM＝45°， ∵DM⊥AR，， ∴△ADM是等腰直角三角形，DM＝AM＝1； ∵∠AOR＝∠BOC， ∴， ∴AR＝BC＝1， ∴MR＝AM+AR＝2， ∴， ∵△DOR是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 11．（2024秋•福清市期中）·【B】如图，已知AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠AOC＝70°，则∠BOD的度数为 　55°　 ． 【答案】55°． 【解答】解：∵点D是的中点， ∴∠BOD＝∠COD， ∵∠AOC＝70°， ∴2∠BOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°， ∴∠BOD＝55°． 故答案为：55°． 12．（2026•宝山区二模）·【B】定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”，如果等腰三角形ABC是“等接圆三角形”，那么△ABC的面积与其外接圆面积的比值是　　 ．（保留π） 【答案】． 【解答】解：∵等腰三角形ABC是“等接圆三角形”， ∴等腰三角形的底边与圆的半径相等． 设圆的半径为r，AB＝AC，BC＝r． ①如图1，连接AO并延长交BC于点M， ∵AB＝AC，OB＝OC， ∴点A，O在线段BC的垂直平分线上， ∴AO垂直平分BC， ∴∠OMB＝90°，BM， ∴OMr， ∴AM＝rr， ∴S△ABCBC•AMr2， ∴△ABC的面积与其外接圆面积的比为； ②如图，连接OA交BC于点M，则AM＝rr， ∴S△ABCBC•AMr2， ∴△ABC的面积与其外接圆面积的比为：． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 13．（2024秋•宿城区期中）·【A】如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD．求证：ED＝EB． 【答案】证明见解答． 【解答】证明：如图，连接BD． ∵AB＝CD， ∴． ∴． ∴． ∴∠B＝∠D． ∴BE＝DE． 14．（2024秋•渭城区校级期末）·【A】尺规作图：作△ABC的外接圆（保留作图痕迹） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，⊙O即为所求； 15．（2025•辽宁模拟）·【B】如图，以O为圆心，AB为直径的圆，且，2CB＝AB＝1． （1）证明：E为CD中点； （2）求OE的长度． 【答案】（1）见解答； （2）． （2）根据等边三角形的判定与性质计算即可． 【解答】（1）证明：∵， ∴CB＝BD， ∵OC＝OD， ∴AB是CD的垂直平分线， ∴CE＝DE， ∴E为CD中点． （2）∵2CB＝AB＝1， ∴CB，OBAB， ∴OB＝OC＝CB， ∴△BOC是等边三角形， ∵CD⊥AB， ∴CE是△BOC的中线， ∴OEOB． 16．（2025秋•洛龙区校级期中）·【B】如图，OA，OB是⊙O的半径，且，弦CM，CN分别经过OA，OB的中点D，E． （1）求证CD＝CE； （2）求证CM＝CN． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）证明过程见解答． （2）根据△DOC≌△EOC证明∠OCM＝∠OCN，由等腰三角形的性质证明∠OMC＝∠ONC，再根据全等三角形的判定与性质证明CM＝CN即可． 【解答】证明：（1）∵OA，OB是⊙O的半径， ∴OA＝OB， ∵点D、E分别是OA、OB的中点， ∴ODOA，OEOB， ∴OD＝OE， ∵， ∴∠AOC＝∠BOC， 在△DOC和△EOC中， ， ∴△DOC≌△EOC（SAS）， ∴CD＝CE． （2）如图，连接OM、ON． ∵△DOC≌△EOC， ∴∠OCD＝∠OCE，即∠OCM＝∠OCN， ∵OM＝OC，ON＝OC， ∴∠OMC＝∠OCM，∠ONC＝∠OCN， ∴∠OMC＝∠ONC， 在△OMC和△ONC中， ， ∴△OMC≌△ONC（AAS）， ∴CM＝CN． 17．（2024秋•思明区校级期中）·【B】如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．求证：AC＝BD． 【答案】证明过程见解答． 【解答】证明：∵OA＝OB， ∴△OAB是等腰三角形， ∵OE⊥AB， ∴AF＝BF，CF＝DF， ∵AC＝AF﹣CF，BD＝BF﹣DF， ∴AC＝BD． 18．（2026春•秦淮区期末）·【C】如图①，已知线段a，b，用直尺和圆规按下列要求作图： （1）作正方形ABCD，使其边长为a； （2）如图②，已知正方形ABCD，其边长为a．作一个正方形EFGH，满足以下条件：边长为b且4个顶点分别在正方形ABCD四条边上． （注意：保留作图痕迹，写出必要文字说明）． 【答案】（1）①作∠B＝90°，截取BA＝a，BC＝a； ②分别以A，C为圆心，a为半径作弧交于点D． 如图所示，正方形ABCD即为所求． （2）①以b为直角边构造等腰Rt△MNP； ②作MP的垂直平分线交MP于点Q； ③连接AC，BD交于点O，以O为圆心，PQ为半径作弧交AB于点E； （或以O为圆心，PQ为半径作弧交正方形四边．） ④延长EO交CD于点G； ⑤作EG的垂直平分线交AD，BC于点H，F，连接EF，FG，GH，HE，正方形EFGH即为所求． 如图所示，正方形EFGH即为所求． ②分别以A，C为圆心，a为半径作弧交于点D． （2）①以b为直角边构造等腰Rt△MNP； ②作MP的垂直平分线交MP于点Q； ③连接AC，BD交于点O，以O为圆心，PQ为半径作弧交AB于点E； （或以O为圆心，PQ为半径作弧交正方形四边．） ④延长EO交CD于点G； ⑤作EG的垂直平分线交AD，BC于点H，F，连接EF，FG，GH，HE，正方形EFGH即为所求． 【解答】解：（1）①作∠B＝90°，截取BA＝a，BC＝a； ②分别以A，C为圆心，a为半径作弧交于点D． 如图所示，正方形ABCD即为所求． （2）①以b为直角边构造等腰Rt△MNP； ②作MP的垂直平分线交MP于点Q； ③连接AC，BD交于点O，以O为圆心，PQ为半径作弧交AB于点E； （或以O为圆心，PQ为半径作弧交正方形四边．） ④延长EO交CD于点G； ⑤作EG的垂直平分线交AD，BC于点H，F，连接EF，FG，GH，HE，正方形EFGH即为所求． 如图所示，正方形EFGH即为所求． 19．（2026•徐州模拟）·【C】如图，已知△ABC，AB＝AC． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） ①作△ABC的高CD，垂足为D； ②在CD上求作点E，使AE⊥BE． （2）在（1）的条件下，当∠BAC＝2∠AED，CE＝2时，则AB的长为　3　 ． （如需画草图，请使用图2） 【答案】（1）①作图见解答；②作图见解答． （2）3． ②先利用垂直平分线作图确定AB的中点O，然后由直径所对的圆周角为直角作⊙O与CD的交点确定点E的位置即可． （2）先根据圆周角定理得出AF为等腰△ABC的高，然后根据已知条件得出AE＝BF，推出EF∥AB，得到点E是CD的中点．再由∠DOE＝∠DAC推出，最后在Rt△ODE中，由勾股定理求出半径OA的长度，从而求得直径AB的长度． 【解答】解：（1）①如图1所示：CD即为所求； ②如图1所示：点E即为所求； （2）如图，BC与⊙O交于点F，连接OE，AF，EF． 根据题意，CD⊥AB，⊙O是△ABE的外接圆． 由圆周角定理可知，∠AEB＝∠AFB＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠BAC＝2∠BAF＝2∠AED，BF＝CF． ∴∠BAF＝∠ABE． ∵BF＝ABsin∠BAF，AE＝ABsin∠EBA， ∴BF＝AE． ∴∠ABE＝∠BEF， ∴EF∥AB． ∵EF是△BCD的中位线， ∴DE＝CE＝2． ∵∠DOE＝∠OBE+∠OEB＝2∠OBE，∠DAC＝2∠BAF＝2∠ABE． ∴∠DOE＝∠DAC， ∴tan∠DOEtan∠DAC． ∵． ∴． 在Rt△ODE中，OD2+DE2＝OE2，则（OA）2+22＝OA2， ∴OA． 故AB＝3． 故答案为：3． 20．（2026•仙游县模拟）·【C】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠PEC＝∠DAP． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若CE＝1，试确定BP的长． 【答案】（1）点P′和P″即为所求； （2）1或4． （2）根据矩形性质和∠PEC＝∠DAP，可以证明△ABP∽△PCE，对应边成比例进而可得BP的长． 【解答】解：（1）如图，连接AE，作AE的垂直平分线，以AE为直径画圆，交BC于点P′和P″， 则点P′和P″即为所求； （2）∵矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAP＝∠APB， ∵∠PEC＝∠DAP， ∴∠APB＝∠PEC， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABP∽△PCE， ∴， 设BP′＝x，AB＝4，BC＝5， ∴P′C＝5﹣x， ∴， 解得x1＝1，x2＝4， ∴BP的长为1或4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $