精品解析：云南昆明市第八中学2026-2027学年第一学期9月学情自测九年级数学试题

初三年级9月数学 一、单选题（每小题2分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的一个根，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 5. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 点在这个函数图象上 B. 这个函数的图象位于第一、三象限 C. 函数的图象是轴对称图形 D. y随x的增大而减小 6. 已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法判断 7. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 综合实践小组的同学们自制了一个可以改变体积的密闭容器，容器内装有一定质量的二氧化碳气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，气体的密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示，当时，该二氧化碳气体的密度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（ ） A. B. C. D. 10. 某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，一次函数与二次函数的图象交于和两点，当时，x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 13. 如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（ ） A. B. 8 C. D. 9 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. （m为实数） 二、填空题（每小题4分，共16分） 16. 若点和点关于原点对称，________． 17. 函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是________． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 19. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）.若直线与新函数的图象有4个公共点，则的取值范围是________. 三、解答题（20题8分，21-26每小题9分，27题12分） 20. 解方程： （1） （2） （3） （4） 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 22. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． （1）求年到年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 23. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 24. 如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求点的坐标； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 25. 2023年，某乡镇企业计划在一个月内（按30天计）生产一批产品，某网络销售平台以每台800元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，由于生产技术不断改进，该产品第天的生产成本（元/台）与（天）之间的关系如图所示． 第天该产品的生产量（台）与（天）满足关系式． （1）求第30天该乡镇企业生产该产品的利润； （2）问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元？ 26. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点是抛物线上的点，且，求证：点，，三点共线； （3）点，是抛物线上的两点，其中，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上任意两点纵坐标之差的最大值是6，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级9月数学 一、单选题（每小题2分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项、它是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项、它既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C选项、它不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D选项、它是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数一般式，求出系数k即可得到函数表达式． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 4. 若是方程的一个根，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】解：将代入方程， 得， 整理得， 解得． 5. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 点在这个函数图象上 B. 这个函数的图象位于第一、三象限 C. 函数的图象是轴对称图形 D. y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】A.∵，∴点在这个函数图象上，正确，故不符合题意； B.∵4>0，∴这个函数的图象位于第一、三象限，正确，故不符合题意； C. 函数的图象是轴对称图形，正确，故不符合题意； D. ∵4>0，∴在每个象限内， y随x的增大而减小，错误符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，k≠0)的图象是双曲线，当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．反比例函数既是中心对称图形，也是轴对称图形． 6. 已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 7. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的旋转性质可得，,，因为等边对等角，所以；又因为的外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，所以即可求解． 【详解】解：在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、， ∴，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 综合实践小组的同学们自制了一个可以改变体积的密闭容器，容器内装有一定质量的二氧化碳气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，气体的密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示，当时，该二氧化碳气体的密度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设反比例函数解析式为 ，根据图象经过点  求出  的值，确定函数解析式，再将  代入计算即可求解． 【详解】解：设  与  的函数解析式为  由图象可知，函数图象经过点   ， 解得 ，   函数解析式为  ， 当  时， ． 9. 如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 10. 某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：每个站点到其余个站点各有1种去程车票，往返车票不同， 总车票数为，结合共56种往返车票， 得方程. 11. 已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点，，在二次函数的图象上， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 12. 如图，一次函数与二次函数的图象交于和两点，当时，x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，由图象中抛物线在直线上方时x的取值范围求解．解题关键是掌握二次函数与不等式的关系． 【详解】解：由图象可得在点D，B之间时，二次函数图象在一次函数的上方， ∵， ∴当时，则， 故选：C 13. 如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆心为O,半径为，则，，由垂径定理得，再由勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心为O,半径为，则，，由题意得， ， 在中，由勾股定理得，即：， 解得， 拱桥的半径为． 14. 如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（ ） A. B. 8 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. （m为实数） 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数图象开口向上，，与y轴交于负半轴，，对称轴在y轴左侧，，可以判断A选项是否正确；根据对称轴，可以判断B选项是否正确；根据二次函数图象的对称性和当时，可以判断C选项是否正确；根据时y有最小值，可以判断D选项是否正确． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ∴， ，故A选项不符合题意； ， ， ，故B选项不符合题意； 当时，，根据二次函数图象的对称性可知，当时，， ，故C选项不符合题意； 当时，函数有最小值， （m为实数），D选项符合题意． 二、填空题（每小题4分，共16分） 16. 若点和点关于原点对称，________． 【答案】 【解析】 【分析】两个点关于原点对称时，横纵坐标均互为相反数，据此列方程求出和，再计算的值． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴根据关于原点对称的点的坐标规律，可得， 解第一个方程得，即， 解第二个方程得，即， ∴． 17. 函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得：． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可． 【详解】解：是一元二次方程， ，即， 有两个不相等的实数根， ， 即， 整理得， 解得， 又， 且． 19. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）.若直线与新函数的图象有4个公共点，则的取值范围是________. 【答案】## 【解析】 【分析】由图可知，当与新函数有4个交点时，在新函数的顶点D和折线之间，求出点D的坐标，即为求解． 【详解】解：原二次函数， ∴顶点， 翻折后点C对应的点为，如图， ∴当直线与新函数的图象有4个公共点，则的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，翻折的性质，确定翻折后的顶点坐标；利用数形结合的方法是解本题的关键． 三、解答题（20题8分，21-26每小题9分，27题12分） 20. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得， 【小问2详解】 解：， ∴， 解得，； 【小问3详解】 解：， ， ∴， ∴，即，， 解得，； 【小问4详解】 解：， ∵，，， ∴判别式， ∴， ，． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求，点． （2） 如图，即为所求，点． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形—旋转变换以及中心对称变换． （1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点、、的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点、、的对应点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． （1）求年到年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【答案】（1） 年到年这种药剂价格的年平均下降率为 （2） 该药剂在年的价格为元 【解析】 【分析】（1）设年到年这种药剂价格的年平均下降率为，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【小问1详解】 解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． 【小问2详解】 解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 23. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）把点和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可得解； （3）根据三角形的面积公式求出点到的距离，然后分点在轴的上方与下方两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：将点，代入得， ，解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， 抛物线的顶点坐标为； 【小问3详解】 解：， ， 设点到轴的距离为，则， 解得， 当点在轴上方时，， 解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时，， 解得，， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标是或或． 24. 如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求点的坐标； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1） ，  ． （2） ． （3） 或． 【解析】 【分析】（1）求反比例函数解析式：因为点A在反比例函数图象上，所以将点A坐标代入​即可求出的值，得到反比例函数解析式．因为点A、C都在一次函数图象上，所以将两点坐标代入，得到关于、的二元一次方程组，解方程组得到、的值，即可得到一次函数解析式． （2）因为点B是一次函数与反比例函数的交点，所以联立两个函数的解析式，得到方程组，求解后结合的条件舍去不符合的解，得到点B坐标． （3）因为不等式的解集对应一次函数图象在反比例函数图象下方的x的取值范围，所以结合A、B两点的横坐标，以及x的取值范围观察图象即可得到解集． 【小问1详解】 解： ∵双曲线​过点， ∴​， 解得， 因此反比例函数解析式为  ． ∵一次函数过和两点， ∴ ，​  解得， 因此一次函数解析式为  ． 【小问2详解】 解：点是直线和双曲线的交点， 联立两个函数的解析式 ， ， 两边乘整理为一元二次方程 ， 因式分解得， 解得，． 因此点的横坐标为， 代入，得， 即点坐标为  ． 【小问3详解】 解：不等式的几何意义是：直线在双曲线下方部分对应的的取值范围， 结合的限制和两个交点、的位置， 可得解集为 或． 25. 2023年，某乡镇企业计划在一个月内（按30天计）生产一批产品，某网络销售平台以每台800元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，由于生产技术不断改进，该产品第天的生产成本（元/台）与（天）之间的关系如图所示． 第天该产品的生产量（台）与（天）满足关系式． （1）求第30天该乡镇企业生产该产品的利润； （2）问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）6000元 （2）第15天该网络销售平台的利润最大，最大利润是12500元 【解析】 【分析】（1）根据图象得第30天的成本，求出此时的产量，然后求出该天的利润； （2）首先表示出，设第天该网络销售平台的利润为元，分类讨论，结合一次函数和二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，第30天时的成本为500元， 此时的产量为（台）， ∴第30天的利润为：（元）； 【小问2详解】 解：设线段的表达式为， 把，代入得，， 解得， 线段的解析式为， ，其中为整数， 设第天该网络销售平台的利润为元， ①当时， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，； ②当时， ， 随的增大而减小， 当时，， 答：第15天的利润最大，最大利润为12500元． 26. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1）证明：方程中，，，， ∴． ∵无论取何值，， ∴， 即无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）先得到一元二次方程的判别式，再由平方非负性判定即可得证； （2）由一元二次方程根与系数关系得到，，整体代入已知等式解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：关于的一元二次方程， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点是抛物线上的点，且，求证：点，，三点共线； （3）点，是抛物线上的两点，其中，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上任意两点纵坐标之差的最大值是6，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）知， ∴， 在中，当时，， ∴ 对称轴与x轴交于点B， ∴， 设经过点A和点B的直线的解析式为， 将点A，B的坐标代入，得，解得， 直线的解析式为， 点在抛物线上，且， ， 解得（舍）或， ∴， 在中，当时，， 点在直线上，即点A，B，C三点共线； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，包括开口方向、对称轴、单调性及最值的判断，熟练掌握以上知识点，并结合不等式的相关知识点进行推理是解题的关键． （1）由二次函数的对称轴为直线，据此求解即可； （2）根据题意可得，，利用待定系数法求得直线的解析式为，由点在抛物线上，且，求出，可证明在直线上，即可证明点A，B，C三点共线； （3）由点、在抛物线上，得、，因为抛物线的开口向下，对称轴为直线，分以下两种情况进行讨论：当时，可以判定点P，Q在对称轴两侧，点P与对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离，此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为8，此时点P的纵坐标最小，通过图象G 上任意两点纵坐标之差的最大值是6，即，求出值并判断其是否在的取值范围内；当时，则，点P，Q在对称轴左侧，y随x的增大而增大，此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大，即，求出值并判断其是否在的取值范围内． 【小问1详解】 解：抛物线（b为常数）的对称轴为直线， ∴， 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点、在抛物线的图象上， ，， ∴、， ∵，即抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴当时，则， ∴此时点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧， ∴此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为8， ∵， ∴， ，， 点P到对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离，即此时点P的纵坐标最小， ∴， ， 解得（不符合题意，舍去）或； 当时，则，此时点P，Q在对称轴左侧， ∵在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大， ∴， ， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $