精品解析：宁夏永宁上游高级中学2026-2027学年高一上学期月考一数学试题

永宁上游高级中学2026-2027学年第一学期月考（一） 高一数学试卷 时间: 120分钟 分值： 150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中①；②；③；④正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 7. 设p：，q：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集为，集合，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（    ） A. 当时，的最大值是 B. 当时，的最大值是 C. 当时，的最小值是 D. 当正实数满足时，最小值为 11. “关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件有（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则函数的最小值为___________. 13. 已知，，，，若，则__________ 14. 若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，或. （1）求； （2）求. 16. 如图，为了开展劳动教育，某校在操场内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为，宽为. （1）若育苗区面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小； （2）若使用的篱笆总长为，则，为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大； 17. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围． （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18. 已知不等式的解集为. （1）求的值，并求不等式的解集； （2）当实数时，解关于的不等式. 19. 高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”． （1）若，，求和． （2）若集合是有限集，将集合的元素个数记为．已知，且存在实数满足对任意恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永宁上游高级中学2026-2027学年第一学期月考（一） 高一数学试卷 时间: 120分钟 分值： 150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中①；②；③；④正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系逐项进行判断即可. 【详解】①因为是自然数，所以，故正确； ②因为不是整数，所以，故错误； ③因为是整数，所以，故错误； ④因为是无理数，所以，故正确； 故选：C. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题得，． 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定为“，”. 4. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，，故A不成立； 当时，满足，此时， 故B不成立； 当时，满足， ，故，故C不成立； ，， ， ，故成立． 5. 已知集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为抛物线的图像与直线的图像，有两个交点，所以有两个元素，故的真子集个数为，故选B. 6. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】通过判断，的真假，得到，的真假，即可解题. 【详解】对于命题一定成立，故是真命题，是假命题； 对于命题，，所以， 故是假命题，是真命题． 综上，和都是真命题． 7. 设p：，q：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由可得，解得； 由可得，解得； 因为是集合的真子集，所以命题是命题的必要不充分条件. 8. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集为，集合，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合的交并补和维恩图的关系即可得到答案. 【详解】对A，由图知，故A正确； 对B，由图知不是的子集，故B错误； 对C，由图知，故C正确； 对D，由图知，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列结论正确的是（    ） A. 当时，的最大值是 B. 当时，的最大值是 C. 当时，的最小值是 D. 当正实数满足时，最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐一判断选项即可. 【详解】A选项，当时，，当且仅当时取等号，A正确； B选项：当时，，则，， 当且仅当即时等号成立，B选项正确； C选项：，当且仅当时等号成立. C选项错误； D选项：令由可得：，由，可得， 则， 此时取等号条件是，即，故D正确. 11. “关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出“关于x的不等式对恒成立”的的范围，分别讨论和两种情况，当时，对恒成立，则有，计算得到的范围，再由题目要求选出所求的集合的真子集即可. 【详解】， 当时，转化为，不等式对恒成立， 当时，对恒成立， 则有，解得， 综上可知，不等式对恒成立，的范围的集合为， “关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件 须是集合的真子集，故选项A和C正确. 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则函数的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】因为，则，再由均值不等式代入即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以 7， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为7. 故答案为：. 13. 已知，，，，若，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等求得，进而求得. 【详解】依题意，，所以或. 由解得，与集合元素的互异性矛盾. 由解得或（与集合元素的互异性矛盾，舍去）， 则，所以. 故答案为： 14. 若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据 “乘1法”可求 的最小值，进而求解即可. 【详解】由得，且 ， 故， 当且仅当即时等号成立. 故问题转化为，即， 解得，故实数m的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，或. （1）求； （2）求. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据并集的定义，直接求出即可； （2）先求出，再根据交集的定义求出即可. 【小问1详解】 因为，或，所以或. 【小问2详解】 因为全集，集合，所以或， 又或，∴或. 16. 如图，为了开展劳动教育，某校在操场内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为，宽为. （1）若育苗区面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小； （2）若使用的篱笆总长为，则，为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大； 【答案】（1）m，m （2）m，m 【解析】 【分析】利用基本不等式研究和与积的最值，指出等号成立的条件即可. 【小问1详解】 由题意：，，. 因为，当且仅当即时取等号. 所以当m，m时，所用篱笆总长最小. 【小问2详解】 由题意：，，. 所以，当且仅当即时取等号. 所以当m，m时，篱笆所围的育苗区面积最大. 17. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围． （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【小问1详解】 ， ①当时，满足，此时，解得； ②当时，需，解得或. 综上，的取值范围是或，即. 【小问2详解】 由题意是的真子集， ①当时，满足题意，即，解得； ②当时，需同时满足：，解得：，即. 综上，的取值范围是或，即的取值范围是. 18. 已知不等式的解集为. （1）求的值，并求不等式的解集； （2）当实数时，解关于的不等式. 【答案】（1），，不等式解集为 （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集的端点值为对应方程的实数根，结合韦达定理即可求出的值，进而求出不等式的解集；（2）由（1）知，，可将不等式化为，再对1和进行大小讨论，分别求出不等式的解集即可. 【小问1详解】 由题意知，和是方程的实数根， 故由韦达定理得：，解得，则， 即的解集为. 【小问2详解】 由（1）得：，又， 当时，，则， 当时，，则不等式无解， 当时，，则， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 19. 高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”． （1）若，，求和． （2）若集合是有限集，将集合的元素个数记为．已知，且存在实数满足对任意恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件． 【答案】（1）， （2），，，． 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接运算求解； （2）设，，，，则，，，先化简，再运用基本不等式求的范围，即可求解． 【小问1详解】 由题意可得，， ． 【小问2详解】 设，，，， 则，，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围为． 若取到最大值，则，即， 可得，即，所以，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $