精品解析：宁夏银川市第三十一中学2026-2027学年高一上学期月考一数学试题

银川三十一中2026-2027高一上月考一 数学 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分． 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：空集不含任何元素，因此，A错误； 选项B：由空集的性质可知，空集是任意集合的子集，故成立，B正确； 选项C：无元素，含唯一元素0，二者元素构成不同，不相等，C错误； 选项D：集合的元素仅有0，不是该集合的元素，因此，D错误。 2. 若集合，，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】可知，则. 3. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先判断充分性，即由能否推出，再判断必要性，即由能否推出，最后根据充分性和必要性的分析结果判断选项． 【详解】若，代入方程得，即能推出，充分性成立； 若，解方程，因式分解得，解得或，不能推出，必要性不成立． “”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 4. 若，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设，，则. 5. 已知集合，且，则实数m的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 0，1，2均可 【答案】A 【解析】 【分析】分别讨论或,并根据元素的互异性检验即可 【详解】由可得或,所以或. 当时,集合,不满足集合中元素的互异性,舍去； 当时,集合,满足题意,所以. 故选A 【点睛】本题考查根据元素的互异性求参数,考查分类讨论思想 6. 某班共有女生30人，班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则三种都不喜欢的人数为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法， 同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人， 同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人， 则该班女生对唱歌、跳舞、书法至少喜欢一种的人数为， 所以三种都不喜欢的人数为. 7. 下列命题是真命题的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质，及不等式同向可加性和同向同正可乘性，以及作差法比较大小，即可求解. 【详解】当时，若，则，这是真命题，但是当时，显然，故A错误； 由可得，，利用同向不等式可加性得：，故B错误； 由， 因为，所以，即，故C正确； 若，则，这里，不妨取， 则，与相矛盾，故D错误； 故选：C. 8. 《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 计算出和，由可得出合适的选项. 【详解】由图形可知，，， 由勾股定理可得， 在中，由可得. 故选：D. 【点睛】本题考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题. 二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. B. 若，，则 C. 空集是任何集合的真子集 D. 满足方程组的点集为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，菱形不一定是正方形，故A错误； 对于B，因为集合与集合均表示奇数集，所以，故B正确； 对于C，空集是任何非空集合的真子集，故C错误； 对于D，满足方程组的点集为，故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. “”是“”的必要条件 C. 若，，则是的必要不充分条件 D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】C 【解析】 【详解】A：显然时，，错误， B：由，但，即不一定有，故“”不是“”的必要条件，错误， C：若，显然满足，故推不出，若，则必有，故可推出， 所以是的必要不充分条件，正确， D：由“，”的否定是“，”，错误. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是2 C. 当时，的最小值是5 D. 设，，且，则的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式检验各选项即可判断． 【详解】解：时，，当且仅当时取等号，正确； 当时，，没有最小值，错误； 当时，， 有最大值，没有最小值， 错误； ，，， 则， 当且仅当且即，时取等号， 故选：AD． 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共18分． 12. 已知集合，，则集合_________． 【答案】 【解析】 【详解】已知集合，， ． 13. 已知集合，，若，则实数值集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】由得到，则的子集有，，，，分别求解即可. 【详解】因为，故； 则的子集有，，，， 当时，显然有； 当时，； 当，； 当，不存在， 所以实数的集合为； 故答案为． 14. 若集合只有2个子集，则a的取值集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由子集个数判断集合只有一个元素，分和讨论即可求解. 【详解】因为集合只有两个子集，所以集合只有一个元素， 当时，方程的解为，符合题意； 当时，，解得，所以实数取值集合为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知全集，集合． （1）求； （2）若且，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出集合中的元素，再根据补集的概念，直接写出结果即可； （2）根据元素与集合的关系，列出方程，判断参数值即可. 【小问1详解】 可知，解得或，即， 可知，则. 【小问2详解】 且， 当，解得，因为，解得 当时，解得，不符合， 综上，. 16. （1）若，试比较与的大小； （2）已知，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由作差法代入计算，即可判断； （2）由待定系数法可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以； （2）设， 则，解得， 所以， 因为，则， 所以，即. 17. 已知集合，，或． （1）求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】 （1）直接根据交集的定义，求集合和的公共元素即可； （2）由必要条件的逻辑关系推出，结合集合包含关系列不等式组求解； （3）命题为假等价于，分为空集、非空两种情况分类讨论求解. 【小问1详解】 已知集合，或，由交集的定义可知. 【小问2详解】 若“”是“”的必要条件，则 ，即，  首先非空，故，解得. 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 命题“”为假命题，则其否定“”为真，即，分两种情况讨论： ① 当时，，解得，满足； ② 当时，有，要满足，需的整个区间在的左侧或右侧： 在左侧：，得； 在右侧：，得. 综合两种情况，的取值范围是​. 18. 已知某产品的总成本与年产量之间的关系为，且当年产量是100时，总成本是6000.设该产品年产量为时的平均成本为.（备注：平均成本） （1）求的值并求当年产量为50时，总成本是多少？ （2）求的解析式； （3）求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值. 【答案】（1） （2） （3）年产量为100时，平均成本最小，且最小值为60. 【解析】 【分析】（1）将代入中，可求的值，再求当时，总成本C的值； （2）由平均成本的定义，求的解析式； （3）根据函数解析式，利用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 总成本与年产量之间的关系为， 将代入中， 可得，从而， 于是，当. 【小问2详解】 由（1）知. 【小问3详解】 因为， 当且仅当，即时，等号成立. 因此，当年产量为100时，平均成本最小，且最小值为60. 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到； （2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5； （3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，. 【小问1详解】 ，故， ， 故； 【小问2详解】 是由4个正实数构成的集合， 不妨设， 因为，故中的元素个数大于等于5， 当时，此时， 故中元素个数最小值为5； 【小问3详解】 由条件可知，对于一个4元集合， 中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数， 同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数， 由此知，的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别为与， 最大与次大的两个数分别为与， 从而必有， 于是， 所以， 当时，，解得， 又为有理数，不合要求，舍去， 当，解得，满足要求， 易得或， 经检验，均满足要求，故， 集合中的所有元素之和为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川三十一中2026-2027高一上月考一 数学 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分． 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，，则（ ） A. 0 B. C. D. 3. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 若，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，且，则实数m的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 1或2 D. 0，1，2均可 6. 某班共有女生30人，班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则三种都不喜欢的人数为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 7. 下列命题是真命题的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. B. 若，，则 C. 空集是任何集合的真子集 D. 满足方程组的点集为 10. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. “”是“”的必要条件 C. 若，，则是的必要不充分条件 D. 命题“，”的否定是“，” 11. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是2 C. 当时，的最小值是5 D. 设，，且，则的最小值是 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共18分． 12. 已知集合，，则集合_________． 13. 已知集合，，若，则实数值集合为______． 14. 若集合只有2个子集，则a的取值集合是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知全集，集合． （1）求； （2）若且，求实数的值． 16. （1）若，试比较与的大小； （2）已知，，求的取值范围. 17. 已知集合，，或． （1）求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是假命题，求实数的取值范围． 18. 已知某产品的总成本与年产量之间的关系为，且当年产量是100时，总成本是6000.设该产品年产量为时的平均成本为.（备注：平均成本） （1）求的值并求当年产量为50时，总成本是多少？ （2）求的解析式； （3）求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值. 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $