3.2.2 双曲线的简单几何性质(创新拔高)课时练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质 1.已知双曲线，的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l与C的右支交于A，B两点，且，则双曲线的离心率e为( ) A. B. C. D.2 2.如图，已知双曲线，的左、右顶点分别是，，圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为M，直线交双曲线C的右支于点P，若是等腰三角形，且的内角平分线与y轴平行，则双曲线C的离心率为( ) A. B. C.2 D. 3.已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径作圆O，交C的左支于点P，连接，过作，交C的右支于点Q（P，Q在x轴同侧），直线与C的右支有两个不同的交点，若是等腰三角形，则实数k的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.已知双曲线，的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为( ) A. B. C.2 D. 5.如图，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为( ) A. B. C.2 D. 6.已知直线l过双曲线的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A，B两点，且P为线段AB的中点，设O为坐标原点，若是以FP为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为( ) A. B. C. D. 7.（多选）已知双曲线（，）的一条渐近线过点，F为C的右焦点，则下列关于双曲线C的结论正确的是( ) A.离心率为 B.两条渐近线的夹角的余弦值为 C.若直线PF与双曲线C的一条渐近线垂直，则的面积为 D.若，双曲线上一点Q到渐近线的距离为，则点Q到另一条渐近线的距离为2 8.（多选）已知O为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作垂直于直线的直线l，垂足为D，直线l与双曲线C在第一象限交于点A，则下列说法正确的是( ) A.若，，则的周长为 B.若，，则 C.若，则C的离心率为 D.若，则C的离心率为 9.已知直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且（O为坐标原点），则实数k的取值范围为______. 10.已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点P，使得的中点在C的渐近线上，则C的离心率的取值范围为______. 11.已知双曲线的右焦点为F，半焦距，点到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N，则直线MN过定点______. 12.已知双曲线，的左焦点为，一条渐近线过点. （1）求E的方程； （2）已知第一象限的点M在E上，过点M且斜率为的直线与相交于点N，求（O为坐标原点）的面积； （3）设E的另一条渐近线为，直线与E的右支交于点A，B（A在B的上方），过点A与平行的直线和过点B与平行的直线交于点P，过点P且斜率为的直线与E的右支交于点C，D（C在D的上方），过点C与平行的直线和过点D与平行的直线交于点Q，求直线的方程. 答案以及解析 1.答案：B 解析：如图，连接，，因为直线的斜率为，所以，所以，.设，则，因为，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即，整理得. 在中，由余弦定理得， 即，整理得. 由①②可得，即，所以C的离心率为.故选B. 2.答案：A 解析：由题意，知点M在双曲线C的渐近线上，则由，得. 因为，，所以，.由题意知，所以为等腰直角三角形，所以.因为的内角平分线与y轴平行，所以.又由，解得.因为，所以，解得，故选A. 3.答案：D 解析：由题知，，延长与双曲线交于点，连接，，如图所示.，，又是等腰三角形，.根据对称性可知，，，设，则，，，在中，，.在中，，即，.又，，双曲线，将代入上式，消去y整理得，解得或，故选D. 4.答案：A 解析：由，得， 所以的平分线与直线垂直. 设的平分线与直线交于点D，则，. 又，所以，所以，. 由题得，，设，，， 在中，，，则，， 由双曲线的性质可得得，则， 所以在中，. 又，，所以， 即，整理得，所以所求离心率. 故选A. 5.答案：B 解析：如图，延长，与双曲线的另一个交点分别为B，D，连接AD，BC，BD，由对称性易知四边形ABDC为平行四边形，且.由题意可知，，则，.因为直线CD的斜率不为0，所以可设直线，，，由得，则，且，可得，.由图可知，所以，则.又点到直线CD的距离，所以 ，令，，则，当且仅当时，等号成立，所以四边形的面积的最小值为. 6.答案：C 解析：如图，设，，，由A，B均在双曲线上，得两式相减得，所以，因为P为线段AB的中点，所以，，所以，所以.设直线AB的倾斜角为，则，不妨设为锐角，因为是以FP为底边的等腰三角形，所以，所以直线OP的倾斜角为，则，所以，即，解得.结合对称性知直线l的斜率为. 7.答案：BD 解析：对于A，根据题意，渐近线的斜率，则离心率，故A错误； 对于B，设渐近线的倾斜角为，则，所以，则两条渐近线的夹角为，所以，所以，故B正确； 对于C，若直线PF与双曲线C的一条渐近线垂直，则直线PF的斜率，则直线PF的方程为或，所以或，则的面积为或，故C错误； 对于D，由A选项可得，双曲线C的离心率，又，则，，所以双曲线C的方程为，设，则，即，双曲线C的两条渐近线方程为，则点Q到两渐近线的距离之积为，因为，所以，故D正确.故选BD. 8.答案：ABD 解析：选项A：设双曲线C的半焦距为c，则，于是，，若，，则，，，则的周长为，故A正确. 选项B：若，，则C的方程为，l的方程为，联立并化简得，，解得或，所以，又，，所以，，，故，故B正确.（另解：直线的斜率，故直线与直线平行，又直线与直线l垂直，故直线与直线l垂直，即） 选项C：若，则，由，知，则C的离心率，故C错误. 选项D：如图，过作于点B，则，而O为线段的中点，故，，由，得，故，，由双曲线的定义知，即，解得，所以C的离心率，故D正确. 9.答案： 解析：由得，显然，且，解得且.设，，则，，，所以，令，解得，又且，所以，解得或，所以k的取值范围为. 10.答案： 解析：双曲线的右焦点为，渐近线方程为.设为圆上一点，由的中点在双曲线C的渐近线上，可得，即，所以点P在直线上.又点P在圆M上，所以该直线与圆M有公共点，由题知圆M的圆心，半径，所以圆心到该直线的距离，可得，可得，所以，所以，所以，所以双曲线C的离心率的取值范围为. 11.答案： 解析：思路分析：根据焦点到直线的距离可求得a，进而得到双曲线方程.设出直线，与双曲线方程联立，由根与系数的关系可表示出点M坐标.先考虑特殊情况，当直线AB斜率不存在，即时，知直线MN为x轴；当直线斜率存在，即时，同理可得点N坐标，从而求解出直线MN的方程，进而确定所过定点坐标. 因为右焦点F到直线的距离为，所以，解得，所以，所以双曲线C的方程为.不妨设直线AB的方程为，，，则.由得，因为直线AB与双曲线C有两个交点，所以，则，所以.当时，点M与点F重合，此时直线MN为x轴.当时，将点M坐标中的t换成，可得.①当直线MN不垂直于x轴，即，即时，，则直线MN的方程为，化简得，所以直线MN过定点. ②当直线MN垂直于x轴，即时，直线MN的方程为，过定点.综上所述，直线MN过定点. 12.答案：（1） （2） （3） 解析：（1）因为渐近线过点，所以，即. 因为E的左焦点为，所以， 所以，得，. 故E的方程为. （2）由题意知渐近线的方程为， 设，，则过点M且斜率为的直线方程为， 与联立，得， 得，故. 所以， 点M到渐近线的距离， 又，故， 所以的面积. （3）设，，联立方程，得， 消去y，化简、整理得， 则，， 因为该方程有两个正根，所以， 又，得或（舍去）. 直线的方程为， 因为，所以直线的方程为；① 同理直线的方程为， 因为，所以直线的方程为.② 由①②得，， 所以. 因为， 所以， ， 所以，故点P在直线上. 同理可知点Q的坐标也满足，则P，Q都在直线上， 所以直线的方程是. 学科网（北京）股份有限公司 $