3.1.1 椭圆及其标准方程(创新拔高)课时练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 1.已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，，则的最大值为( ) A.3 B.5 C. D.13 2.月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，半圆与半椭圆的交点在y轴上.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则的面积是( ) A. B. C. D. 3.已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长为其短轴长的2倍，若该椭圆经过圆的一条直径的两个端点，则该椭圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 4.已知点P在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为2，则( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 6.已知椭圆的左、右焦点分别是，，点，，点P是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是( ) A. B.直线与直线的斜率之积为 C.存在点P满足 D.若的面积为，则点P的横坐标为 7.（多选）已知椭圆，若P在椭圆M上，分别是椭圆M的左、右焦点，则下列说法正确的是( ) A.若，则 B.的最大值为120° C.的周长小于 D.满足是直角三角形的点P有4个 8.（多选）椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆C上任意一点，面积的最大值为，椭圆C在点P处的切线为l，过点P且与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，且，点，给出下列四个结论，正确的是( ) A. B.的最大值为 C.当点P横坐标为1时，的内切圆半径 D.若，则 9.已知，，，若的周长为6，则的最大值为___________. 10.设P是椭圆上一点，M，N分别是圆和上的点，则的取值范围为______. 11.已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值与最小值的和为__________. 12.已知椭圆，已知椭圆上一点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点坐标为时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知. （1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”； （2）若椭圆是“圆椭圆”，求a的取值范围. 答案以及解析 1.答案：B 解析：因为椭圆，所以，，，，设椭圆的右焦点为，易知点Q在椭圆内，连接，延长交椭圆于点，如图.由椭圆的定义得，当点P在点处时取等号，所以的最大值为5. 2.答案：B 解析：由题意知，半圆的方程为，设半椭圆的方程为（，），则，所以，故半椭圆的方程为，设，则，所以，设，则，所以，故，.故选B. 3.答案：C 解析：方法一：设椭圆的标准方程为，由题意知，圆M的圆心为，设该椭圆经过圆M的直径AB的两个端点，，，显然直线AB的斜率存在，设直线，即，与椭圆方程联立，得，则，由，得，解得.则，所以，解得，所以该椭圆的标准方程为.故选C. 方法二：设椭圆的标准方程为，由题意知，圆M的圆心为，半径为，设该椭圆经过圆M的直径AB的两个端点，，，则M为直径AB的中点，则，，由题知，由两式作差，得，即，所以，将，，代入，得，则直线AB的方程为，与椭圆方程联立，得，所以，，所以，解得，所以该椭圆的标准方程为.故选C. 方法三：设椭圆的标准方程为，由题意知，圆M的圆心为，设该椭圆经过圆M的直径AB的两个端点，，，由两式作差得，，即，所以.因为，所以.以下同方法二. 4.答案：C 解析：.如图所示，设，由题意，，两式相除得. 通解：又，，所以，，，由余弦定理有，即.由椭圆定义有，所以，解得. 秒解一：因为，所以或，又，所以，所以.由二级结论，得，所以. 秒解二：因为，，所以，.由二级结论，得，解得. 5.答案：A 解析：可化为，则圆的圆心，半径，可化为，则圆的圆心，半径，所以.设动圆圆心为点P，半径为r，因为动圆P与圆外切，所以，又动圆P与圆内切，所以， 所以，所以点P的轨迹为以为焦点的椭圆，且，，所以，，所以点P的轨迹方程为. 6.答案：D 解析：对选项A，由椭圆的方程可得，所以，所以，故A错误； 对选项B，设，则，所以，所以，故B错误； 对选项C，因为椭圆，所以，，所以，因为，所以，所以，所以以为直径的圆与椭圆无交点，故不存在点P满足，故C错误； 对选项D，设，，则，则，解得，故D正确.故选D. 7.答案：ABC 解析：因为椭圆M的方程为，所以，，从而，且.对于A，当时，，由余弦定理可得，所以，A正确. 对于B，因为 ，当且仅当时等号成立，此时最大，由A知此时，所以的最大值为，B正确.对于C，的周长为，小于4a，C正确.对于D，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点P有4个；当P为直角顶点时，设点，则，，，，所以，，此时，满足条件的点P有4个.综上所述，满足是直角三角形的点P有8个，D错误. 8.答案：ABD 解析：A（√）由题可得C的短半轴长，由面积的最大值为，可得，得C的半焦距，所以. B（√）由选项A得C的方程为，，，如图，连接，易得. 由椭圆的定义可得，所以，则，当且仅当P，Q，三点共线，且P位于的延长线上时等号成立. C（×）当点P的横坐标为1时，将代入C的方程，解得，不妨取， 则的面积为.的周长，则，即，解得. D（√）由题可得为的平分线，所以，设，则，，又，，所以，，，，所以，由及余弦定理得，整理得，解得或.当时，，此时点M与点O重合，不符合题意，所以，故.故选ABD. 9.答案：8 解析：由题意可得，，所以点P的轨迹是以点A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（除去长轴的端点），设其方程为（），则，，所以点P的轨迹方程为（）.因为，故点C在椭圆外，由椭圆的定义可得，所以，当且仅当点P为直线AC与椭圆的交点，且、方向相同时，等号成立，故答案为8. 10.答案： 解析：如图，分别是椭圆的左、右焦点，连接，，则①，当且仅当三点共线时，等号成立（M位于之间时，左边等号成立，位于P，M之间时，右边等号成立）.连接，则②，当且仅当三点共线时，等号成立（N位于之间时，左边等号成立，位于P，N之间时，右边等号成立）.由①+②得.由椭圆方程，可得，所以. 11.答案：12 解析：设椭圆的右焦点为，，则椭圆左焦点为，右焦点为.由椭圆定义，，则. 易知， 因为，所以. 则，即的最大值为，最小值为，当且仅当点P是射线与椭圆的交点时取得最大值，当且仅当点P是射线与椭圆的交点时取得最小值.从而的最大值与最小值的和为12. 12.答案：（1）是 （2） 解析：（1）由题意得椭圆方程为，所以，设， 则， 二次函数图象开口向下，对称轴为直线，所以函数在上单调递减， 所以时，函数取最大值，椭圆是“圆椭圆”. （2）因为椭圆方程为，，设， 则，， 由题意得，当且仅当时，函数值达到最大， ①当开口向上时，满足（与矛盾，舍去）； ②当开口向下时，满足. 综上可得，a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $