3.3.1 抛物线及其标准方程（分层作业） 数学人教A版 选择性必修第一册

**基本信息** 以“抛物线及其标准方程”为核心，通过8类题型构建“概念理解-基础运算-综合应用”的分层训练体系，适配新授课知识巩固需求，培养数学抽象与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|抛物线定义、焦点准线关系|结合高二期末真题（如重庆、安徽卷），强化定义理解与基础计算| |进阶层|焦半径公式、参数求解|融入高三模拟题（如北京丰台三模），训练公式应用与符号运算| |综合层|轨迹问题、距离最值|联系卫星接收天线等实际情境，提升数学建模与逻辑推理能力|

分层作业 3.3.1 抛物线及其标准方程 目 录 2 题型01 根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解 2 题型02根据抛物线方程求焦点或准线 3 题型03根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 5 题型04抛物线的焦半径公式 6 题型05根据抛物线上的点求标准方程 8 题型06根据抛物线的方程求参数 9 题型07利用抛物线定义求动点轨迹 10 题型08抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 11 12 12 12 题型01 根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解题型01 1.（25-26高二下·重庆·期末）点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】焦点，准线方程为， 分别过作轴的垂线，垂足为， 则， 等号成立时三点共线， 故到轴的最短距离为 2.（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知点P在抛物线上，过点P作圆的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．4 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为，即为圆心. 设切点为Q，则， 则. 由抛物线的定义知，点P到M的准线的距离为4. 3.（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 题型02根据抛物线方程求焦点或准线题型02 4.（2026·北京丰台·三模）若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】∵ 点 在抛物线 上， ∴ ，，即 ， 由得：，即 ， ∴ 焦点，准线方程， ∵抛物线上任一点到焦点的距离 = 该点到准线的距离， ∴点到准线 的距离为， 即点到焦点的距离为 . 5.（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离等于点到点的距离，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】设，作垂直于抛物线的准线，垂足为， 由抛物线的定义可知，又因为. 所以，即为等腰三角形，所以在的垂直平分线上.，所以. 6.（26-27高三上·云南·阶段检测）已知抛物线：的准线为，为上的一点，为的焦点，直线与圆：相切于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 圆：的圆心为，半径， 设，则，， 由抛物线定义可得， 其中 ， 由得，解得， 故点到的距离为. 题型03根据焦点或准线写出抛物线的标准方程题型03 7.（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 8.（2026·北京朝阳·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，故抛物线方程为， 设，因为，所以，可得， 代入抛物线方程可得，解得， 因为点在第一象限，所以， 所以直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 9.（2026·辽宁·模拟预测）已知抛物线：（），若圆与的准线相切，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线的准线方程为，圆的圆心为，半径为3， 由C的准线与该圆相切，得圆心到准线的距离为，解得， 所以C的焦点坐标为. 题型04抛物线的焦半径公式题型04 10.（2026·湖北武汉·模拟预测）已知F是抛物线的焦点，l为C的准线，A是l上一点，线段与C交于点B，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】如图所示，过点作，交于，与轴的交点为， 根据抛物线定义得， 因,则与相似， 则， 因，， 代入得,解得. 11.（2026·山东聊城·一模）设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由抛物线，可得，准线方程， 则，所以． 根据抛物线的定义可得，则， 解得． 即点的横坐标为. 12.（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线的焦点为，点为上一点，当时，点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记点的纵坐标为，由题意知， 借助焦半径公式可得，故， 所以点的纵坐标为. 题型05根据抛物线上的点求标准方程题型05 13.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】由抛物线过点，得，解得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为2. 14.（2026·北京·二模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点在抛物线上， 所以，即抛物线方程， 所以抛物线C的准线方程为． 15.（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【详解】设该抛物线的方程为，点的坐标为，则，解得， 因此该抛物线的方程为，其焦点，所以. 故选：A 题型06根据抛物线的方程求参数题型06 16.（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）已知是抛物线的准线，点为上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为直线是抛物线的准线，所以，即，所以的方程为， 又在上，代入可得，解得， 故选：D. 17.（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点坐标代入抛物线的方程得，解得. 故选：A 18.（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，得， ∴抛物线的方程为， 再将点的坐标代入，得． 故选：A． 题型07利用抛物线定义求动点轨迹题型07 19.（25-26高三上·山西运城·期末）以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设为抛物线上任意一点，根据抛物线的定义可得， 即，化简得． 所以，以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为 故选：C 20.（24-25高二上·福建福州·阶段检测）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D 21.（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 题型08抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值题型08 22.（25-26高三上·陕西商洛·期末）若抛物线：的焦点为，是上的一个动点，点，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】抛物线：的焦点，准线方程为， 过点作准线，垂足为，则， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号. 故选：B 23.（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知为抛物线上的动点，点，到的准线的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的焦点为，则，则， 又，则，所以的最小值为， 故选：A. 24.（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】抛物线的准线方程为． 设到准线的距离为到准线的距离为， 则， 则的最小值为6． 故选：C 1.（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】利用抛物线的定义，结合已知列方程求的横坐标. 【详解】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 2.（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）塔式光热电站的定日镜反射面为旋转抛物面，其轴截面是一条开口向上的抛物线．若该抛物面的顶点到焦点的距离为 2 米，以顶点为原点、对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则对应抛物线标准方程中p的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】抛物线定义的理解 【详解】由抛物线的定义知： . 3.（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解 【分析】根据抛物线标准方程以及定义，结合两点之间线段最短，即可求得结果. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 4.（25-26高二下·四川成都·期末）抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】由题意得，解得，故焦点坐标为，焦点的纵坐标为. 5.（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为.若直线与抛物线只有一个公共点，则点到该直线的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求点到直线的距离、直线与抛物线交点相关问题 【分析】先求出抛物线：的焦点，将与联立并消去，由题意可知判别式为0，可求出的值得到直线的方程，然后利用点到直线的距离公式可求得结果 【详解】抛物线的焦点为. 直线与抛物线只有一个公共点，说明该直线为抛物线的切线. 将代入，得. 整理得. 只有一个公共点，故判别式为0，即. 化简得， 所以. 此时直线为，即. 点到该直线的距离为. 6．（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【知识点】求平面两点间的距离、根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数，再结合抛物线焦点坐标公式得到两个焦点坐标，最后代入距离公式计算即可. 【详解】∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. ∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. 根据两点间距离公式，与之间的距离为： . 1.（2026·重庆·模拟预测）若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线的焦点，则（ ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由椭圆与抛物线的基本概念及性质求解即可. 【详解】椭圆的长轴长是短轴长的倍， 所以，即，所以， 抛物线的焦点为，该焦点为椭圆的右焦点， 所以，所以，即. 2.（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、已知切线求参数 【分析】抛物线准线方程为：，然后由准线到圆心距离为半径可得答案. 【详解】的准线方程为：，因准线与圆相切，则到圆心距离为1， 则，结合，可得. 3.（25-26高三下·辽宁·阶段检测）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】由抛物线性质得是一个抛物线开口向左的抛物线， 且，所以，所以焦点坐标为. 4.（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求双曲线的焦点坐标、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标后，列方程组求得得椭圆方程. 【详解】抛物线的焦点为， 双曲线的焦点为， 所以，又，则， 所以椭圆方程为. 1.（2026·山西大同·三模）若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【详解】因为点为抛物线上一点， 所以，解得. 因为抛物线的准线为， 所以点P到其焦点的距离为． 2.（2026·湖南邵阳·三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解 【详解】点到抛物线焦点的距离为4，，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.3.1 抛物线及其标准方程 目录 ● A组 巩固过关 .2 题型01根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解 2 题型02根据抛物线方程求焦点或准线.…。 .3 题型03根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 .5 题型04抛物线的焦半径公式… …6 题型05根据抛物线上的点求标准方程.…。 .8 题型06根据抛物线的方程求参数… .9 题型07利用抛物线定义求动点轨迹.。 10 题型08抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值.11 B组 能力进阶 .12 C组 思维拔高 .12 拓展 链接高考 ….12 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 题型01 题型01根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解 1.(2526高二下重庆期末)点A、B在抛物线=4y上，且 AB=1 ，记线段AB的中点为M,则M到 x轴的最短距离为() A.5 B.6 c.7 D.8 2(25-26高二下安徽阜阳期末)已知点P在抛物线M:广=8x上，过点P作圆C:(-2少+广=4 的切线， 2W5 若切线长为 ,则点P到M的准线的距离为() A.4 B.6 C.5 0.4② 2=4y上的一点 (xo:yo) 3.(2026·北京三模)已知抛物线 到其焦点F的距离为3，则”的值为() 23 47 A.1 B.2 C.8 D.16 颗型02 题型02根据抛物线方程求焦点或准线 P(xo,2). 4.(2026北京丰台三模)若点 为抛物线”=4r上一点，则点P到其焦点的距离为《) A.2 B.4 C.6 D.8 5.(26-27高三上北京朝阳开学考试)已知点 P(xo,Yo 在抛物线C:少=4r上，且点P到抛物线C准线的 距离等于点P到点 （7,0) 的距离，则。=（) A.2 B.3 C.4 D.5 219 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6(26-27高三上云南阶段检测)已知抛物线E:广=4 的准线为，P为E上的一点，F为E的焦点， 直线PB与圆C:(x-4)+2= 相切于点，者PF=P ,则点P到的距离为(） 7 7 10 A.2 B.3 C.3 D.3 题型03 题型03根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 7.(25-26高二下河南许昌期末)若抛物线C的焦点F关于准线的对称点为 30),则C的标准方程为 () A.=4x 8.y=2x C.x=4y D.x=2y 8(2026北京朝阳模拟预测)已知抛物线C：广=2pm(D>0 为F,0),点4在抛物线C上且在第 的焦点 AF= 一象限，若 ,则直线AF的倾斜角为() A π B.3 c.3 . 死 9(2026辽宁模拟预测)已知抛物线C:广=2pr(P>0),若圆x-2+广=9与C的准线相切，则 C的焦点坐标为() A.(2,0) 8.(0) c.(0,2) D.(0) 题型04 题型04抛物线的焦半径公式 C:y2=6x 10.(2026湖北武汉·模拟预测)已知F是抛物线 的焦点，1为C的准线，A是I上一点，线段 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F与c交于点B,若M=7,则Br() 21 A.5 B.2 C.10 D.1 C:y2=4x 11.(2026山东聊城·一模)设为坐标原点，抛物线 的焦点为F,点P在抛物线上，若 D PF=3OF 则点P 的横坐标为() A.1 B.2 C.3 D.4 C:x2=-4y .PF =5 12.(2026陕西咸阳三模)己知抛物线 的焦点为F,点P为C上一点，当 时，点P的纵 坐标为() A.-1 B.-3 C.-4 D.-5 颗型05 题型05根据抛物线上的点求标准方程 13.(2026·黑龙江哈尔滨二模)已知抛物线 y2=2px 上一点 A(2,2V2) 则焦点到准线的距离为() A.1 B.2 C.2 D.3 (-2,-1 14.(2026北京二模)已知点 在抛物 C:x=my上，则抛物线C的准线方程为（） A.x=2 B.x=1 C.y=2 D.y=1 15.(25-26高二上江西南昌·期末)图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一 4B8V2 MO=2 F 部分，已知该卫星接收天线的口径 ，深度 ,信号处理中心位于抛物线的焦点处，则 IOF () 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MF末 图1 图2 A.4 B.8 c23 D.4V2 题型06 题型06根据抛物线的方程求参数 16.(25-26高三上河北沧州阶段检测)已知'=-4是抛物线 :x2=2py(p>0 的准线，点4乃)为C上 点，则=（) A.4 B.3 C.2 D.1 C:x2=4y 17.(24-25高二上·江苏连云港期中)已知抛物线 上一点 ,则m=（) P(m,1) A.m=2 B.m=22 C.m=2 D.m= 2 18.(25-26高二上陕西榆林·期中)已知抛物线 :x2=2py(p>0 的焦点是F,点M(,2)在抛物线C上。 者aM例=4 则=() A.4 B+2 D.2V2 题型07 题型07利用抛物线定义求动点轨迹 19.(25-26高三上山西运城期末)以F(0,1)为焦点，直线y=-2为准线的抛物线的方程为() 5/9 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.r=6y+3 8.r=-6y-3 x2=6y+3 C. D.x=6y-3 20.(24-25高二上·福建福州阶段检测)己知动点P到点 (2,0) 的距离比它到直线=一1的距离大1，则动 点P的轨迹方程为() A.=4r B.y=-4x C.=-8x D.=8x 21.(2425高二上安微豫州期中)在平面直角坐标系0中，动点P,刀到直线=-的距离比它到定 3,0) 点 的距离小2，则点P的轨迹方程为() A.=6x 8y=12x c.y2=-6x D.y=-12x 颗型08 题型O8抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 22.(25-26高三上陕西商洛期末)若抛物线C:广=8 的焦点为F,P是C上的一个动点，点 (7,1) 则P+P 的最小值为() A.8 B.9 C.10 D.11 23.(25-26高三上江西南昌阶段检测)已知P为抛物线C:y=4r上的动点，点 (5,8).P到C的准线 d+PA 的距离为，则“ 的最小值为() A10 8.3vf0 D.2V26 ,C:y2=-8x 24.(25-26高二上·辽宁葫芦岛阶段检测)己知为抛物线 上的动点，F为C的焦点，点 (-4,2),则PF+PA 的最小值为() 619 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.5 C.6 D.7 B组 能力进阶 1(2526高二下广东深圳期末)已知抛物线广=4r的焦点为F,点P在抛物线上，且 PF =5 5,则P的 横坐标为() A.2 B.4 C.5 D.6 2.(26-27高三上·河南驻马店开学考试)塔式光热电站的定日镜反射面为旋转抛物面，其轴截面是一条开 口向上的抛物线.若该抛物面的顶点到焦点的距离为2米，以顶点为原点、对称轴为y轴建立平面直角坐 标系，则对应抛物线标准方程中卫的值为() A.1 B.2 C.4 D.8 3(2526高二下重庆沙坪坝阶段检测)已知F为抛物线C：广=r的焦点，点1(2，-)，若P为抛物线 C上的动点，则 AP+PF 的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 4(25-26高二下四川成都期末)抛物线2-光 4a(a≠0)的焦点的纵坐标为() 1 1 A.16a B.a C.a D.2a 5（2026山西析州模拟预测)已知抛物线C,广=4红。 的焦点为厂若直线”x+m与抛物线C只有一个公 共点，则点F到该直线的距离为() A号 B.1 C.2 D.2 6.（2026全国一专高考真题)已知批物线9：少=2r(A>0)和C:r=2p》>0)均经过点 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C (4,8),则C的焦点与C的焦点之间的距离为《） √65 A.12 B.4V5 C.6 D.2 C组 思维拔高 x2,y2 1(2026-重庆模拟预测)若椭圆口+厅-1儿a>6>0 的长轴长是短轴长的√2倍，右焦点是抛物线 a y=2px的焦点，则p（) B.√2 C.2 D.2√2 2=2py(p>0) 2.(2026·安徽芜湖模拟预测)已知抛物线 的准线与圆+严=相切，则P的值为() 1 A.4 B.2 C.2 D.4 y2=-2x 3.(25-26高三下辽宁阶段检测)抛物线 的焦点坐标为() a (a-2) c 。g x2,y2 4(25-26高三下湖北武汉阶段检测)若椭圆。+6尸=1过抛物线y=8x的焦点，且与双曲线x2-y=1 有相同的焦点，则该椭圆的方程是() x2 =1 B.y-1 y=1 c.24 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接高考 1.(2026山西大同三模)若点P(,5)为抛物线=8x上一点，则点P到其焦点的距离为《) A.2 B.4 c.6 D.8 2.(2026浙南那阳三模)已知抛物线9广=2(>0，C上一点M(2m)到准点的距离为4.则P () A.1 B.2 C.4 D.8 919