3.2.1 双曲线及其标准方程(创新拔高)课时练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1 双曲线及其标准方程 1.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作圆的切线，交双曲线C的右支于点M，若，则实数( ) A. B. C.2 D. 2.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，若，且，则的值为( ) A.3 B.2 C. D. 3.在平面直角坐标系xOy中，，，动点C和D其中一个位于y轴正半轴上另一个位于y轴负半轴上，若，则AC和BD的交点m的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 4.双曲线的光学性质：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为(，)，，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，，则该双曲线的离心率( ) A. B. C. D. 5.双曲线（，）的左、右焦点分别为，.点P在双曲线右支上，直线的斜率为2.若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为( ) A. B. C. D. 7.（多选）已知双曲线的右顶点为M，其左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的右支于A，B两点，记，内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，则下列说法正确的是( ) A.是锐角三角形 B.M，，三点共线 C. D. 8.（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线C上一点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是( ) A. B.直线的斜率为 C.的周长为 D.的外接圆半径为 9.若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是______. 10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线E的左支交于A，B两点，若，则的内切圆周长为___________. 11.已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，点O为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，其中一条渐近线与线段AB交于点P，则___________. 12.已知双曲线经过点和，若点是双曲线C上位于第一象限的任意一点，分别为C的左、右焦点，直线. （1）求双曲线C的方程； （2）若轴，求直线l的方程； （3）求证：直线l为的平分线. 答案以及解析 1.答案：D 解析：方法一：如图1，设过点的切线与圆O相切于点T，连接OT，由圆，可得.又点分别为双曲线C的左、右焦点，所以，所以，在中，由正弦定理可得，即，解得.又M在双曲线的右支上，所以，所以.在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以，因为，所以. 方法二：如图2，过点作于点G.设过点的直线与圆O切于点N，连接ON，则.又O是的中点，所以，.在中，，所以，，由双曲线定义得，所以，所以. 2.答案：A 解析：连接.由题意知，则，，则.在中，.在中，，设，则，由，得，解得.又，所以 3.答案：D 解析：方法一：设，，同为正或同为负，因为，所以.由，，可得直线AC的方程为.由，，可得直线BD的方程为.设，因为是AC和BD的交点，所以M的坐标满足AC和BD的方程.对于直线AC的方程，可得.对于直线BD的方程，可得.又，所以，即. 方法二：设，则直线，令0，得，即，且.直线，令，得，即，且.又点C和D其中一个位于y轴正半轴上另一个位于y轴负半轴上，所以与异号，则，整理得，即点M的轨迹方程为. 4.答案：B 解析：如图所示，连接，，易知，A，D共线，，B，C共线，. 设，，由题意得，所以，在中，，由双曲线的定义可得即解得，在中，，即，即，.故选B. 5.答案：A 解析：由题可知，点P必落在第四象限，，设，，，由，求得.因为，所以，求得，即，.由正弦定理可得，则由得，，由得，则，，，.由双曲线第一定义可得，，，所以双曲线的方程为.故选A. 6.答案：C 解析：由题意知，，. 如图，设的内切圆圆C与线段，，分别相切于点D，E，G，连接，，则，，，所以，所以，即的内切圆与x轴相切于双曲线的右顶点， 从而可知内切圆的圆心C在直线上.因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，因为是的平分线，所以直线的倾斜角为，则直线的方程为，将代入，得，所以，即圆C的半径为，则圆C的面积为.故选C. 7.答案：BC 解析：选项A：因为是的内心，所以，同理，因为，所以，即，故是直角三角形，A错误. 选项B：设C的焦距为2c，实轴长为2a，作轴，则根据三角形内心的性质可得，则点D就是双曲线的右顶点M，则轴，同理可证轴，因此M，，三点共线，B正确. 选项C：由题可得，又，所以，C正确. 选项D：在中，由射影定理可得，则，当且仅当，时等号成立，D错误. 8.答案：ACD 解析：由题意知，点P在双曲线C的右支上，如图，设圆I分别与的三边切于点M，N，A，则由知，且，，所以，即，A正确；由选项A得，，连接，则，所以，B错误；同理，，所以，则，解得或（舍去），所以由焦点三角形面积公式得，又（r为内切圆的半径），所以的周长为，C正确；设的外接圆半径为R，由得，所以由正弦定理得，D正确. 9.答案： 解析：由圆，可得其标准方程为，所以圆心，半径为.因为圆C上恰有三个点到直线，的距离为1，所以圆心到直线的距离为2，即，即.设，，则，，代入，可得，整理得，所以点的轨迹方程为. 10.答案： 解析：如图，设内切圆半径为R，切点分别为N，M，P，由题意得，，则，，c=2，所以.由双曲线定义有.又因为，即，所以，因此，从而的内切圆半径，所以的内切圆周长为.故答案为. 11.答案： 解析：，.又，.设，则，.平分，，，.由双曲线定义知，，，.在中，由余弦定理知，化简得.不妨设双曲线的一条渐近线与线段AB的交点P在第一象限，则，. 12.答案：（1） （2） （3）证明见解析 解析：（1）由题意可得解得所以双曲线C的方程为. （2）由（1）知，， 因为轴，且点P在第一象限，所以， 将代入双曲线方程可得， 所以直线l的方程为，整理可得. （3）因为，， 所以， . 又直线，则直线l过点P， 设直线l交x轴于点G，则，则，， 所以，所以. 在中，①， 在中，②， 且③， 联立①②③可得， 因为， 所以，所以直线l为的平分线. 学科网（北京）股份有限公司 $