3.1.2 椭圆的简单几何性质课后同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习分层均衡，通过基础辨析、综合运算到应用探究的三阶设计，覆盖椭圆几何性质核心考点，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|椭圆基本量（长轴、短轴等）|单选形式辨析性质，如第1题直接考查长轴等概念，夯实基础认知| |中档|离心率、焦点三角形、直线与椭圆位置关系|融合多性质计算，如第5题焦点三角形最值，提升推理能力| |拔高|弦长、范围问题、综合证明|解答题含多问设计，如第15题面积最值与定点证明，发展应用意识|

3.1.2 椭圆的简单几何性质课后同步练习 1．（25-26高二下·贵州毕节·期中）焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 【答案】D 【详解】设椭圆的方程为， 因为椭圆过点，，代入得，解得，， 所以椭圆的长轴长为，椭圆的短轴长为，故A和B错误； 因为，所以，所以椭圆的焦距为，故C错误； 椭圆的离心率，故D正确. 2．（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【答案】C 【分析】判断点与椭圆的位置关系是点在椭圆上，则可判断出过点 的直线与椭圆交点个数. 【详解】，在椭圆上， 过点 的直线与椭圆交点个数有1 个或 2 个. 故选：C. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由条件知，所以，，则， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 4．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的斜率之积为，得出，再由直线的斜率为4，结合椭圆的定义，得，从而，再由，建立关于的等式求解. 【详解】因为直线的斜率之积为， 所以， 由直线的斜率为4，可知，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，所以. 5．（25-26高二上·天津·期中），是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意表示出点的坐标，利用向量数量积的坐标表示，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由椭圆，则，即，所以， 设，则，，， 由在椭圆上，则，即， 易知，所以的最大值为. 故选：C. 6．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设，进而得到，，，再根据余弦定理建立方程求解即可. 【详解】由题意，，即， 由于，，则， 设，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 则， 解得，即.    7．（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 8．（25-26高二下·云南昭通·期末）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为 C．当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】由题设列式求出、、根据椭圆的离心率公式计算可判断A；结合椭圆的定义求出的周长即可判断B；设由可判断C；利用余弦定理以及椭圆的定义，结合基本不等式可判断D. 【详解】由题可知，得；因为的最大值为，所以，得，故 对于A选项,离心率，A选项正确； 对于B选项,由椭圆的定义可得的周长，B选项错误； 对于C选项,设，因为，所以当P为椭圆短轴端点时，的面积最大，故C选项正确； 对于D选项，设，由余弦定理可得 ，当且仅当时，即当点P位于短轴端点时，等号成立， 又因为余弦函数在上为减函数，且，故， 即当P为椭圆短轴端点时，取得最大值，故D选项正确． 9．（2026·山西忻州·模拟预测）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，．点在椭圆的第一象限部分，且．过点作椭圆的切线，该切线与轴、轴正半轴分别交于，，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．的面积为 D．该切线的斜率为 【答案】ABC 【分析】利用椭圆的性质求出点到焦点的距离，从而结合两点间距离公式求出点的坐标，设出切线方程与椭圆方程联立，利用根的判别式等于零求出切线的斜率，从而求出切线和坐标轴的交点，并计算出三角形的面积. 【详解】 选项A、B：椭圆，则椭圆的焦点，， 点在椭圆的第一象限部分，设， 因为，且根据椭圆的性质可知， 所以，即，故选项B正确； ，化简可得， 因为，所以代入可得，解得， 所以，即点的坐标为，故选项A正确； 选项C、D：设过点与椭圆相切的直线为，的斜率为， 则的直线方程为，即， 直线方程与椭圆方程联立可得， 化简可得， 则， 化简可得，即， 解得，故选项D错误； 因此的直线方程为， 令，则，即， 令，则，即， 所以，故选项C正确. 10．（2026·河北·模拟预测）（多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，短轴的两个顶点分别为，，椭圆：的两个焦点分别为，，短轴的两个顶点分别为，，则（   ） A．两椭圆有相同的顶点 B．两椭圆的离心率相等 C．若为上的点，为上的点，则的周长与的周长相等 D．四边形的面积与四边形的面积相等 【答案】BCD 【详解】椭圆中，顶点为， 焦点，不妨设短轴顶点为， 椭圆中，顶点为， 焦点，不妨设短轴顶点， 椭圆的顶点，椭圆的顶点，故A错误； 离心率，则，故B正确； 由椭圆的定义可知，椭圆上一点与两焦点围成的三角形周长为， 则的周长为， 的周长为， 故的周长与的周长相等，C正确； ，则； ，则， 则四边形的面积与四边形的面积相等，故D正确． 11．（26-27高三·全国·一轮复习）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 【答案】/ 【分析】依题意，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得. 【详解】由题意知，椭圆的右焦点的坐标为，直线的方程为． 联立方程，消去y整理得． 设，由根与系数的关系，得． 则. 12．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，，以为焦点的椭圆经过点，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】不妨设，， 该椭圆的离心率为，解得或， 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 13．（2026高三下·全国·专题练习）已知圆，椭圆，过原点O的射线l与椭圆在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，则的最大值是______． 【答案】 【分析】联立直线与椭圆的方程求出交点坐标，由向量的线性运算求出，最后利用换元法和二次函数的性质进行求解． 【详解】依题意射线的斜率存在，设，设， 得：，∴． 因为，M为OP的中点，所以， 则 =． 设，则． 当且仅当即时，． 14．（25-26高二上·天津宁河·期中）设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且. (1)求椭圆的长轴长､短轴长､焦点坐标､顶点坐标､离心率； (2)求的面积； 【答案】(1) 椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点为，； 顶点为，，，；离心率. (2) 【分析】（1）由椭圆方程求得，由此可依次求得结果； （2）利用椭圆的定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积. 【详解】（1）由椭圆方程得，，，， 所以椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点为，；顶点为，，，；离心率. （2）由椭圆的定义知：，， 因为，所以， 即，解得， 所以. 15．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程与离心率； (2)已知点，过定点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线与轴交于点，直线与轴交于点． （i）求面积的最大值； （ii）求证：的中点为定点． 【答案】(1)椭圆方程为：，离心率：. (2)（i）面积最大值. （ii）设 直线：，令得：；同理可得： 带入得：，，带入韦达定理化简得： 所以中点坐标.即的中点为定点. 【分析】 (1) 利用椭圆定义和可求椭圆的标准方程，再利用离心率公式可求离心率. (2) （i）联立直线和椭圆方程利用韦达定理构建三角形的面积函数，再利用换元法和基本不等式可求面积最大值. （ii）通过代数式表示直线，再求出两点坐标，化简可得中点坐标. 【详解】（1） 由题可知，，结合椭圆中可得，所以椭圆方程为：，离心率：. （2）（i）设直线：，联立得. 化简得：. 设，由韦达定理得：. 化简得：，令，则， （当且仅当时取等）. （ii）略 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 椭圆的简单几何性质课后同步练习 1．（25-26高二下·贵州毕节·期中）焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 2．（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 4．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津·期中），是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 6．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·云南昭通·期末）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为 C．当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D．的最大值为 9．（2026·山西忻州·模拟预测）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，．点在椭圆的第一象限部分，且．过点作椭圆的切线，该切线与轴、轴正半轴分别交于，，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．的面积为 D．该切线的斜率为 10．（2026·河北·模拟预测）（多选）已知椭圆：的两个焦点分别为，，短轴的两个顶点分别为，，椭圆：的两个焦点分别为，，短轴的两个顶点分别为，，则（   ） A．两椭圆有相同的顶点 B．两椭圆的离心率相等 C．若为上的点，为上的点，则的周长与的周长相等 D．四边形的面积与四边形的面积相等 11．（26-27高三·全国·一轮复习）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 12．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，，以为焦点的椭圆经过点，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是______. 13．（2026高三下·全国·专题练习）已知圆，椭圆，过原点O的射线l与椭圆在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，则的最大值是______． 14．（25-26高二上·天津宁河·期中）设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且. (1)求椭圆的长轴长､短轴长､焦点坐标､顶点坐标､离心率； (2)求的面积； 15．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点坐标分别为，，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程与离心率； (2)已知点，过定点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线与轴交于点，直线与轴交于点． （i）求面积的最大值； （ii）求证：的中点为定点． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $