3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦双曲线几何性质，分基础巩固（10题）和能力进阶（5题）两层，通过概念理解到综合应用的梯度设计，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|双曲线渐近线、离心率、标准方程等核心概念与基本运算|选择、填空、解答题结合，从单一知识点（如渐近线方程）到简单综合（如求标准方程），强化概念理解与运算能力| |能力进阶|双曲线与圆、直线等知识的综合应用|跨知识点综合题（如圆的切线与双曲线焦点），需逻辑推理与空间想象，提升数学思维与创新意识|

3.2.2第1课时　双曲线的简单几何性质 【基础巩固】 1．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是(　　) A．y＝±3x　　　　　　 B．y＝±x C．y＝±x D．±x 解析：C　双曲线方程可化为标准方程＝1，∴a＝1，b＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. 2．已知双曲线＝1(a>0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于(　　) A．　 　 B．　 　 C．　 D． 解析：C　由双曲线的几何性质知，a2＋5＝9，解得a＝2，所以e＝. 3．(2025·河南信阳高二月考)已知双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析：C　因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，由题意得>2，所以双曲线的离心率e＝>. 4．若双曲线的渐近线方程是y＝±x，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1或＝1 D．＝1或＝1 解析：C　当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程可设为＝1(a>0，b>0)，由解得此时双曲线的标准方程为＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程可设为＝1(a>0，b>0)，由解得此时双曲线的标准方程为＝1.故选C. 5．(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　) A．C的方程为＝1 B．C的离心率为 C．焦点到渐近线的距离为3 D．|PF|的最小值为2 解析：AD　双曲线C的一个焦点F(5，0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5， 焦点坐标在x轴上，， 因为c＝5，所以b＝4，a＝3， 所以C的方程为＝1，A正确； 离心率为e＝，B不正确； 焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确；|PF|的最小值为c－a＝2，D正确． 6．已知双曲线C：＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________． 解析：在双曲线C：＝1中， c2＝6＋3＝9. ∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3，0)，C的渐近线方程为y＝±x， 即y＝±x，即x±y＝0， 则C的焦点到其渐近线的距离d＝. 答案：(3，0)　 7．已知双曲线＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为________． 解析：由题意，得a2＝m，b2＝m＋6，则实轴长为2，虚轴长为2，由题意有2，解得m＝2，代入＝1，得双曲线的标准方程为＝1. 答案：＝1 8．(2026·辽宁沈阳三模)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与C交于另一点P，若|FP|＝2a，则C的离心率为________． 解析：如图所示，设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左焦点为F′， 由题意得tan ∠F′FP＝， 则sin ∠F′FP＝· cos ∠F′FP， 又sin2∠F′FP＋cos2∠F′FP＝1， 且∠F′FP∈， 解得cos∠F′FP＝， 由双曲线的定义得|PF′|＝|PF|＋2a＝4a， 在△F′FP中，由余弦定理得|PF′|2＝|PF|2＋|F′F|2－2|PF|·|F′F|·cos ∠F′FP， 即(4a)2＝(2a)2＋(2c)2－2(2a)·(2c)·，化简得c2＝5a2，即c＝a， 所以e＝. 答案： 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5，3)； (3)过点(2，－2)且与－y2＝1有相同的渐近线． 解：(1)设双曲线的标准方程为＝1或＝1(a>0，b>0)．由题意知2b＝12，且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴双曲线的标准方程为＝1或＝1. (2)∵e＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝a2. 又∵焦点在x轴上， ∴设双曲线的标准方程为＝1(a>0)． 把点(－5，3)代入方程，解得a2＝16. ∴双曲线的标准方程为＝1. (3)当焦点在x轴上时，由于. 故可设方程为＝1， 代入点(2，－2)得b2＝－2(舍去)； 当焦点在y轴上时，可知， 故可设方程为＝1， 代入点(2，－2)得a2＝2， ∴所求双曲线方程为＝1. 10．已知F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围． 解：因为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋≥8a，当且仅当＝|PF2|，即|PF2|＝2a时等号成立， 所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a， |PF1|＋|PF2|＝6a≥2c，所以e＝≤3，所以e∈(1，3]. 【能力进阶】 11．过点(2，1)作圆x2＋y2＝3的切线，切点分别为A，B，且直线AB过双曲线＝1(a>0)的右焦点，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 解析：B　过点(2，1)作圆x2＋y2＝3的切线，切点分别为A，B，则A，B两点在以点(2，1)，(0，0)连接成的线段为直径的圆上，该圆圆心坐标为，半径r＝，所以该圆的方程为(x－1)2＋2＝，从而直线AB为此两圆公共弦所在直线，则直线AB的方程为x2－2x＋1＋y2－y＋－x2－y2＋3＝0，即2x＋y－3＝0.显然该直线交x轴于点，所以双曲线的右焦点坐标为，则a2＝2－2＝，即a＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±2x. 12．(多选)已知双曲线M：＝1(a>b>0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是(　　) A．M的离心率为 B．M的标准方程为x2－＝1 C．M的渐近线方程为y＝±x D．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点 解析：ACD　根据题意，双曲线M：＝1(a>b>0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，有a2＋b2＝c2＝4，　① 双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则过一、三象限的渐近线的斜率为或，即或.　② 联立①②可得a2＝1，b2＝3，c2＝4或a2＝3，b2＝1，c2＝4.因为a>b，所以a2＝3，b2＝1，c2＝4.故双曲线的方程为－y2＝1.对于A，离心率为，故A正确．对于B，双曲线的方程为－y2＝1，故B错误．对于C，渐近线方程为y＝±x，故C正确．对于D，直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点(2，0)，故D正确． 13．已知e1，e2分别是具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率，点P是两曲线的一个公共点，O是F1F2的中点，且|PO|＝＝________． 解析：如图所示，连接PF1，PF2.设|PF1|＝x，|PF2|＝y， ∵在△F1PF2中，|PO|＝|F2O|＝|F1O|， ∴F1P⊥F2P.记椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，焦距为2c， 则 ∴＝2， ∴2＝， ∴. 答案： 14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2. (1)求圆心P的轨迹方程； (2)若点P到直线y＝x的距离为，求圆P的方程． 解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r. 由题意及勾股定理得 从而y2－x2＝1. 故圆心P的轨迹方程为y2－x2＝1. (2)设P(x0，y0)，由已知得， 即|x0－y0|＝1. 又P点在双曲线y2－x2＝1上， 从而得 由得 此时圆P的半径r＝； 由得 此时圆P的半径r＝.故圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3. 15．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过点F的直线与圆x2＋y2＝a2相切于点Q，与双曲线的右支交于点P.若|PQ|＝2|QF|，则双曲线C的离心率为(　　) A． B． C． D．2 解析：A　由题知，记双曲线的右焦点为F1，连接PF1，OQ，过F1作F1M∥OQ，如图所示． ∵QF与圆x2＋y2＝a2相切， ∴OQ⊥PF，|OQ|＝a. ∵|OF|＝c，∴|FQ|＝b. ∵O为FF1的中点，F1M∥OQ， 故△FQO∽△FMF1，且相似比为1∶2，即|F1M|＝2a，|QM|＝b. ∵|PQ|＝2|QF|＝2b，∴|PM|＝b，|PF|＝3b.在双曲线＝1中，有|PF|－|PF1|＝2a，∴|PF1|＝3b－2a.∵F1M∥OQ，OQ⊥PF，∴△F1PM为直角三角形，∴|F1M|2＋|PM|2＝|PF1|2，即(2a)2＋b2＝(3b－2a)2，化简可得2b＝3a，两边同时平方，将b2＝c2－a2代入可得4c2＝13a2，∴离心率e＝.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2第1课时　双曲线的简单几何性质 【基础巩固】 1．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是(　　) A．y＝±3x　　　　　　 B．y＝±x C．y＝±x D．±x 2．已知双曲线＝1(a>0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于(　　) A．　 　 B．　 　 C．　 D． 3．(2025·河南信阳高二月考)已知双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　) A． B． C． D． 4．若双曲线的渐近线方程是y＝±x，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1或＝1 D．＝1或＝1 5．(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　) A．C的方程为＝1 B．C的离心率为 C．焦点到渐近线的距离为3 D．|PF|的最小值为2 6．已知双曲线C：＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________． 7．已知双曲线＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为________． 8．(2026·辽宁沈阳三模)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与C交于另一点P，若|FP|＝2a，则C的离心率为________． 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5，3)； (3)过点(2，－2)且与－y2＝1有相同的渐近线． 10．已知F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围． 【能力进阶】 11．过点(2，1)作圆x2＋y2＝3的切线，切点分别为A，B，且直线AB过双曲线＝1(a>0)的右焦点，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 12．(多选)已知双曲线M：＝1(a>b>0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是(　　) A．M的离心率为 B．M的标准方程为x2－＝1 C．M的渐近线方程为y＝±x D．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点 13．已知e1，e2分别是具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率，点P是两曲线的一个公共点，O是F1F2的中点，且|PO|＝＝________． 14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2. (1)求圆心P的轨迹方程； (2)若点P到直线y＝x的距离为，求圆P的方程． 15．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过点F的直线与圆x2＋y2＝a2相切于点Q，与双曲线的右支交于点P.若|PQ|＝2|QF|，则双曲线C的离心率为(　　) A． B． C． D．2 学科网（北京）股份有限公司 $