1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时1（能力提升）练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时1 1.在棱长为1的正方体中，若点P在正方体内部且满足，则点P到直线AB的距离为( ) A. B. C. D. 2.在棱长为1的正方体中，平面与平面之间的距离为( ) A. B. C. D. 3.在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则( ) A.3 B. C. D. 4.如图，在三棱锥中，平面ABC，，点D，E，N分别为PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，，则直线MN到平面BDE的距离为( ) A. B. C. D. 5.在三棱锥中，，，AC，AD两两垂直，E为AB的中点，F为AD上靠近点D的三等分点，O为的重心，则O到直线EF的距离为( ) A.2 B.1 C. D. 6.如图，在直三棱柱中，，，，，点D是棱AC的中点，点E在棱上运动，则点D到直线的距离的最小值为( ) A. B. C. D. 7.如图，在正四棱柱中，，点E，F分别是线段和BD上的动点，则点E，F间的最小距离为( ) A. B.1 C. D. 8.在正四棱锥中，，与平面ABCD所成角为，则点D到平面PBC的距离为( ) A. B. C. D. 9.（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论正确的是( ) A.点F到点E的距离为 B.点F到直线的距离为 C.点F到平面的距离为 D.平面到平面的距离为 10.（多选）如图，在直三棱柱中，，，D是AC的中点，则下列结论正确的是( ) A.平面 B.平面平面 C.直线到平面的距离是 D.点到直线BC的距离是 11.（多选）如图，正四棱柱中，，，点E，F，G分别为棱，，的中点，则下列结论正确的有( ) A. B.平面AEF C. D.点D到平面AEF的距离为 12.如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D是AC的中点.若在线段（含端点）上存在点M，使点M到平面的距离为，则______. 13.已知正方体的棱长为4，设M，N，E，F分别是，，，的中点，则平面AMN与平面EFBD间的距离为___________. 14.在棱长为2的正方体中，点E，F分别是底面ABCD、侧面的中心，点P，Q分别是棱，所在直线上的动点，且，当PQ取得最小值时，点P到平面EFQ的距离为___________. 15.已知三棱柱的所有棱长都为2，，且平面平面ABC，点P，Q分别是AB，的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 答案以及解析 1.答案：C 解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，因为，所以，所以，，所以点P到直线AB的距离为. 2.答案：B 解析：以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，所以，，. 设平面的一个法向量为，则 令，则，，故. 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离为. 3.答案：D 解析：在正三棱锥中，，又，，所以，所以，同理可得，，即PA，PB，PC两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面ABC的一个法向量为，则令，则，所以，则点O到平面ABC的距离，所以.故选D. 4.答案：D 解析：由题意知BA，BC，PA两两垂直，则以B为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，所以，.设为平面BDE的法向量，则令，得是平面BDE的一个法向量.又，所以，又平面BDE，所以平面BDE，所以直线MN到平面BDE的距离为点M到平面BDE的距离，设为d，因为，所以. 5.答案：C 解析：以A为原点，AB，AC，AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，得，. 方法一：，则，所以点O到直线EF的距离为. 方法二：过点O作于点G，设，则，，由，解得，所以，，所以点O到直线EF的距离为. 6.答案：A 解析：因为平面ABC，CA，平面ABC，所以，.又，所以，，两两垂直，以C为原点，CA，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接， 则，，设，其中， 所以，，则点D到直线的距离，设，因为，所以，则，所以点D到直线的距离的最小值为，故选A. 7.答案：C 解析：因为点E，F分别是线段和BD上的动点，所以E，F间最小距离即为异面直线与BD间的距离. 建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，则，，.设与异面直线，BD都垂直的向量为，则解得取，则，，所以，则异面直线与BD间的距离为，即点E，F间的最小距离为.故选C. 8.答案：B 解析：设，连接PO，则平面ABCD，所以为PA与平面ABCD所成角，即，以O点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则，，，， 所以，，， 设平面PBC的法向量为，则 令，得，故， 所以点D到平面PBC的距离为. 故选B. 9.答案：ABC 解析：以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，，，，，，，设平面的法向量为，所以则可得平面的一个法向量为.点F到点E的距离，故A正确；点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面，平面到平面的距离即为点F到平面的距离.故D错误.故选ABC. 10.答案：ABD 解析：对于选项A，如图1所示，连接，交于点E，连接DE，因为D是AC的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于选项B，因为，D是AC的中点，所以，又平面平面ABC，平面平面，平面ABC，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确； 对于选项C，因为平面，所以到平面的距离d等于点到平面的距离，以D为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图2所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量，则即得，令，则，得，则，故C错误； 对于选项D，由C选项的分析知，，，，则点到直线BC的距离为，故D正确.故选ABD. 11.答案：ABD 解析：以D为原点，分别以DA，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，. 对于A，，，所以，即，所以，故A正确； 对于B，，，，设为平面AEF的法向量，所以即令，则，所以， 所以，即，又平面AEF，所以平面AEF，故B正确； 对于C，，，所以，所以AE与不平行，故C错误； 对于D，平面AEF的一个法向量为，，所以点D到平面AEF的距离，故D正确.故选ABD. 12.答案： 解析：取的中点O，连接，分析得两两垂直.如图，以O为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，.设为平面的法向量，由得取，则是平面的一个法向量.设，则，则，解得（舍去）或，所以. 13.答案： 解析：以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，所以，，.设是平面EFBD的一个法向量，则即解得所以.因为，，所以，，从而，，所以平面AMN，所以平面平面EFBD，所以平面AMN与平面EFBD间的距离即点A到平面BDEF的距离，为. 14.答案： 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则，，设，，则，. 因为，所以，即，所以.又，则，当时，取得最小值，此时，即，，所以，，，设平面EFQ的一个法向量为，则即令，解得，，所以，则点P到平面EFQ的距离为.故答案为. 15.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：如图，取的中点M，连接MQ，MP. 在中，，，， 在四边形中，且， 四边形是平行四边形，. ，平面，平面， 又，平面MQP，平面MQP， 平面平面. 又平面MQP，平面. （2）如图，取AC的中点O，连接，BO，为等边三角形， . 平面平面ABC，平面平面， 平面，， 在中，，，，易得， 以O为原点，OA，OB，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，. ，， ，，， 设平面的法向量为， 取，则， 点到平面的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $