1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知棱长为1的正方体 ABCD－A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0，0,1)，A(1,0,1)，所以 ＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(－1,0,0)，设平面 A1C1D 的一个法向量为m＝(x，y,1)， 则 即 解得 故m＝(1,1,1)， 显然平面AB1C∥平面A1C1D， 所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝＝＝. 2.（2025-2026·湖南怀化高二上期末）已知平面的法向量，，则点到平面的距离为（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】因为点到平面的距离公式为, 由,得, 所以； 又, 故. 3.如图，在正方体中，点P满足，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为3， 所以 ，所以 ， 所以 , 故直线与直线所成角的余弦值为，所以选择B. 4.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图所示，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)， ∴＝(－2,0,1)． 连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D， ∴平面BB1D1D的一个法向量为a＝＝(－2,2,0)． ∴所求角的正弦值等于|cos〈a，〉|＝＝＝. 5.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(6,0,6)，D(0,0,0)，C1(0,6,6)， 由题意知，当E(6,3,0)，F(3,6,0)时，A1，E，F，C1共面， 设平面A1DE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，＝(6,0,6)，＝(6,3,0)， 则 取x1＝1，解得n1＝(1，－2，－1)， 设平面C1DF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，＝(0,6,6)，＝(3,6,0)， 则 取x2＝2，解得n2＝(2，－1,1)， 设平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角为θ， 则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝， ∴平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为. 6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD与平面A1C1D所成角的正弦值是(　　) A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】以D1为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为2，则A1(2,0,0)，C1(0,2,0)，D(0,0,2)，B(2,2,2)，且n＝(1,1,1)是平面A1C1D的一个法向量．因为＝(2,2,0)，所以cos〈n，〉＝＝＝.设DB与平面A1C1D所成的角为θ，则sin θ＝cos〈n，〉＝. 7.如图所示，在60°二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB＝AC＝BD＝4，则线段CD的长为(　　) A.4 B.1 C.8 D.4 【答案】D 【解析】方法一　分别过点A，点D作BD，AB的平行线相交于点E，连接CE(如图)，则四边形ABDE为平行四边形，∵线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，∴AC⊥AB，AE⊥AB，则∠CAE为二面角的平面角，即∠CAE＝60°，∵AB＝AC＝BD＝4，∴AC＝BD＝AE＝AB＝DE＝4，∴△ACE为等边三角形，CE＝4，∵AC⊥DE，AE⊥DE，AC∩AE＝A，AC⊂平面ACE，AE⊂平面ACE，∴DE⊥平面ACE，又∵CE⊂平面ACE，∴DE⊥CE，在Rt△CDE中，CD＝＝＝4. 方法二　由向量加法的多边形法则，得＝＋＋，∴＝(＋＋)2＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝42＋42＋42＋0＋2||·||cos 120°＋0＝32.∴||＝4. 8.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB，AC，AA1两两垂直，AB＝AC＝AA1，M，N分别是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成(锐)二面角为，当B1M最小时，∠AMB等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】以A为原点，AC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝AC＝AA1＝1，CN＝b，BM＝a，则N(1,0，b)，M(0,1，a)，A(0,0,0)，B(0,1,0)，＝(0,1，a)，＝(1,0，b)， 设平面AMN的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则x＝－b，y＝－a，得n＝(－b，－a，1)，平面ABC的一个法向量为m＝(0,0,1)，∵平面AMN与平面ABC所成(锐)二面角为，∴cos ＝＝＝，解得3a2＋3b2＝1，∴当B1M最小时，b＝0，BM＝a＝，∴tan∠AMB＝＝＝，∴∠AMB＝.故选B． 二、多项选择题（共3小题） 9.(2025·湖北省部分高中联考协作体期中)如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则( ) A. 直线与底面所成的角为 B. 平面与底面夹角的余弦值为 C. 直线与直线的距离为 D. 直线与平面的距离为 【答案】BCD 【解析】如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 则，，，，，， A选项：，平面的法向量，设直线与底面所成的角为， 则， 直线与底面所成的角不为，故A错误； B选项：，，设平面的法向量，则，令，则 设平面与底面夹角为，则， 平面与底面夹角的余弦值为，故B正确； C选项，，直线与直线的距离为： ，故C正确； D选项，，平面，平面， 又，平面的法向量， 直线与平面的距离为：，故D正确； 故选：BCD. 10.直线l的方向向量为a，两个平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是(　　) A.若a⊥n，则直线l∥平面α B.若a∥n，则直线l⊥平面α C.若cos〈a，n〉＝，则直线l与平面α所成角的大小为 D.若cos〈m，n〉＝，则平面α，β所成角的大小为 【答案】BCD 【解析】对于A，若a⊥n，则直线l∥平面α或在平面α内，故选项A不正确； 对于B，若a∥n，则a也是平面α的一个法向量，所以直线l⊥平面α，故选项B正确； 对于C，直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若cos〈a，n〉＝，则直线l与平面α所成角的大小为，故选项C正确； 对于D，若cos〈m，n〉＝，则平面α，β所成角的大小为，故选项D正确．故选B、C、D． 11.（2025-2026·黑龙江绥化高二上期末）若两条异面直线所成的夹角为，这两条异面直线所在的方向向量的夹角可能为（） A. B. C. D.不一定 【答案】AB 【解析】异面直线所成角的取值范围为, 该角与直线方向向量的夹角存在如下关联：若方向向量的夹角在内, 则二者相等； 若方向向量的夹角大于, 则异面直线所成角为方向向量夹角的补角. 题设异面直线所成角为, 因此方向向量的夹角可为或. 故选：AB. 三、填空题（共3小题） 12.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成角的正切值为                  . 【答案】 【解析】设棱长为2，建立以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则平面A1ECF的一个法向量为n＝(－2，1，1)，A1B1的方向向量为(2，0，0)， 设A1B1与截面A1ECF的夹角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，cos θ＝，∴tan θ＝. 13.（2025-2026·湖南长沙高一下期末）已知向量、分别是直线的方向向量、平面的法向量，若，则与所成的角为                   ． 【答案】 【解析】设直线与平面所成的角为，得，由线面角的性质得. 代入，得，结合的范围可得. 故答案为：. 14.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为                  ． 【答案】 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，B(4,4,0)，N(4,2,4)，∴＝(2,2,0)，＝(－2,0,4)， 易知平面AMN∥平面EFBD， 故平面AMN与平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离． 设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量， 则解得 取z＝1，则x＝2，y＝－2，得n＝(2，－2,1)是平面AMN的一个法向量． ∵＝(0,4,0)，∴平面AMN与平面EFBD的距离d＝＝. 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）如图，在正三棱柱中，为的中点，为棱上一个动点. (1)若，求证：平面； (2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：由正三棱柱得平面平面，为正三角形，为中点， 故，结合平面平面，得平面，又平面， 故. 由，，得，， 计算得，，， 故， 即. 又，平面， 故平面. (2)解：以为坐标原点，及过垂直平面的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，得各点坐标，对应向量. 设平面的一个法向量为， 由，得，可取. 设平面的一个法向量为， 由，得，可取. 计算得， 故平面与平面夹角的余弦值为. 16.（2025-2026·湖南衡阳高二下期末）如图，在三棱柱中，平面，，二面角的大小为． (1)若是的中点，证明：平面． (2)若，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明：连接交于，三棱柱中侧面是平行四边形， 故是的中点，又是的中点， 所以， 由平面，平面，得平面. (2)解：由平面，平面，平面，得，， 故二面角的平面角， 由题意得，，. 在平面内作， 由平面，平面，得， 即两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，得，，，，. 设，则，， 由得， 即，解得，即. 得，，， 设平面的法向量为，则，令，得. 设直线与平面所成角为，，则， 由得， 即直线与平面所成角的大小为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.已知棱长为1的正方体 ABCD－A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为(　　) A. B. C. D. 2.（2025-2026·湖南怀化高二上期末）已知平面的法向量，，则点到平面的距离为（） A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，在正方体中，点P满足，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 5.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD与平面A1C1D所成角的正弦值是(　　) A. B. C. D.1 7.如图所示，在60°二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB＝AC＝BD＝4，则线段CD的长为(　　) A.4 B.1 C.8 D.4 8.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB，AC，AA1两两垂直，AB＝AC＝AA1，M，N分别是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成(锐)二面角为，当B1M最小时，∠AMB等于(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题） 9.(2025·湖北省部分高中联考协作体期中)如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则( ) A. 直线与底面所成的角为 B. 平面与底面夹角的余弦值为 C. 直线与直线的距离为 D. 直线与平面的距离为 10.直线l的方向向量为a，两个平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是(　　) A.若a⊥n，则直线l∥平面α B.若a∥n，则直线l⊥平面α C.若cos〈a，n〉＝，则直线l与平面α所成角的大小为 D.若cos〈m，n〉＝，则平面α，β所成角的大小为 11.（2025-2026·黑龙江绥化高二上期末）若两条异面直线所成的夹角为，这两条异面直线所在的方向向量的夹角可能为（） A. B. C. D.不一定 三、填空题（共3小题） 12.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成角的正切值为                  . 13.（2025-2026·湖南长沙高一下期末）已知向量、分别是直线的方向向量、平面的法向量，若，则与所成的角为                   ． 14.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为                  ． 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）如图，在正三棱柱中，为的中点，为棱上一个动点. (1)若，求证：平面； (2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 16.（2025-2026·湖南衡阳高二下期末）如图，在三棱柱中，平面，，二面角的大小为． (1)若是的中点，证明：平面． (2)若，，求直线与平面所成角的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $