1.1.1 空间向量及其线性运算 课时练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量线性运算，采用“基础+拔高”分层设计，通过概念辨析到综合证明的梯度路径，强化空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|空间向量概念、线性运算基础|单选/多选辨析命题（如单位向量性质），填空与简单解答题强化向量表示（如阳马重心问题）| |拔高提升|向量共线、模长计算及综合证明|结合长方体情境的多问解答题（如共线向量判断、三点共线证明），培养逻辑推理与空间想象|

1.1.1　空间向量及其线性运算 A组 基础练习 1.(2026贵州毕节高二期中)下列命题中,假命题是 (　　) A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 B.|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 2.给出下列命题: ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点,则它们的终点构成一个圆; ②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b; ③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有; ④若空间向量a,b,c满足a=b,b=c,则a=c; ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中假命题的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3. (2026河南高二期末)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,=(　　) A.2 B.2 C.2 D.2 4.(多选题)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,则下列各式运算结果是的为(　　) A. B. C. D. 5.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.向量的长度相等 B.在空间四边形ABCD中,是相反向量 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.向量方向相同且模相等,则这两个向量是相等向量 6.《九章算术》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥”.如图,在“阳马”A-OBCD中,E为△ACD的重心,若=a,=b,=c,则=(　　) A.-a+b+c B.-a+b+c C.a+b+c D.-a+b-c 7.已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,若向量+λ,且点P与A,B,C共面,则实数λ=　　　　　.  8.如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,点E是棱SD上靠近S的三等分点.记=a,=b,=c,用a,b,c表示. B拔高提升 9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,E,F分别是AB,AA1的中点,则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中: (1)的共线向量(平行向量)为　　　　　　　　　　　;  (2)模为的向量是　　　　　　　　　　　　;  (3)向量　　　　.(填“共面”或“不共面”)  10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CD的中点. (1)设=a,=b,=c,用向量a,b,c表示; (2)设=a,=b,=c,用向量a,b,c表示. 11.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=2=3. (1)求证:A,F,E三点共线. (2)若点G是平行四边形B1BCC1的中心,求证:D,F,G三点共线. 参考答案 1.D　由空间向量的定义知,空间向量具有大小和方向,所以任意两个空间向量不能比较大小,故A为真命题; 两个向量模长相等,方向不一定相同,充分性不成立,两个相等向量模长一定相等,必要性成立,故B为真命题; 长度为0的向量叫做零向量,只有零向量的模长等于0,故C为真命题; 共线的单位向量是相等向量或相反向量,故D为假命题. 故选D. 2.C　①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点将构成一个球面,而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同.③真命题.根据正方体的定义,上下底面的对角线长度必定相等,结合向量的方向,所以.④真命题.向量的相等具有传递性.⑤假命题.空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,所以不一定相等.故选C. 3.A　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,,所以=2()=2()=2.故选A. 4.ABC　选项A中,,故A正确; 选项B中,+()=,故B正确; 选项C中,,故C正确; 选项D中,+()=,故D错误.故选ABC. 5.AD　向量是相反向量,长度相等,故选项A正确;在空间四边形ABCD中,的模不一定相等,方向也不一定相反,故选项B错误;空间向量可以用空间中的一条有向线段表示,但不能说空间向量就是有向线段,故选项C错误;由相等向量的概念易知选项D正确.故选AD. 6.B　∵E为△ACD的重心,∴)=(b+c),则(b+c)-a=-a+b+c. 7.　∵向量+λ,且点P与A,B,C共面,∴λ+=1,则λ=. 8.解由题意得 =)+) =)+) =)+) =-=-a-b-c. 9.(1)　(2)　(3)不共面　(1)的共线向量(平行向量)为. (2)易知矩形ADD1A1、矩形BCC1B1的对角线长均为,故模为的向量有. (3)因为,则向量有一个公共点A1. 而点A1,B1,D1都在平面A1B1C1D1内,点A在平面A1B1C1D1外, 所以向量不共面. 10.解(1)如图,=-=b+a-c. (2)由(1)得=-. 因为所以a+b-c,a+c-b,b+c-a, 所以=-=(-a-b+c)+(b+c-a)+a+c-b)=c-a+a+c-b=-a-b+c. 11.证明(1)由题意,=2=3, 故)=),,故. 由于有公共点A,故A,F,E三点共线. (2)由题意,点G是平行四边形B1BCC1的中心, 故)=),,故. 因为有公共点D,故D,F,G三点共线. 学科网（北京）股份有限公司 $