1.1.1　空间向量及其线性运算（第2课时) 同步练习题 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 同步练习围绕共线向量与共面向量，采用“例题精练+基础夯实”分层设计，通过概念辨析与综合应用结合，强化空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|共线/共面向量判定、向量表示综合应用|结合正方体模型，设置多问递进（如向量表示→四点共面→三点共线），培养几何直观| |基础夯实|共线/共面条件、充要关系、向量运算|选择/多选/填空结合，覆盖概念辨析（如充要条件判断）与基础运算，强化推理意识|

1.1.1　空间向量及其线性运算 （第2课时：共线向量与共面向量） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    (1)试用表示． (2)证明：四点共面． (3)证明：三点共线． 【例2】已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【基础夯实】 一、单选题 1．三个非零向量则“共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 3．已知非零向量，，，若，为共线向量，则以下判断中错误的是（    ） A．与一定共线 B．与一定共面 C．，，一定共面 D．与一定共线 4．已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 5．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 8．(多选)若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则结论正确的有（    ） A．P∈直线AB B．P∉直线AB C．O，A，B，P四点共面 D．P，A，B三点共线 9．下列说法中正确的是（    ） A． 是共线的充分不必要条件 B．若共线，则 C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 三、填空题 10．已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M_________（填“属于”或“不属于”）平面ABC． 11．设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 12．设正三棱锥O-ABC的棱长都是2，若点P满足，且，则的最小值为________． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1　空间向量及其线性运算 （第2课时：共线向量与共面向量） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    (1)试用表示． (2)证明：四点共面． (3)证明：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明:连接．因为 所以， 则共面，故四点共面． (3)证明:连接． 因为， ， 所以，则． 因为，所以三点共线． 【分析】（1）根据向量加法计算表示即可； （2）应用得出四点共面； （3）计算得出且得出三点共线. 【详解】（1）依题意可得，    （2）略； （3）略. 【例2】已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线可得答案； （2）由四点共面设，得出，再由配方求最值可得答案. 【详解】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 【基础夯实】 一、单选题 1．三个非零向量则“共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量共面的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由共面向量的基本定理可知，若三个非零向量满足，则共面， 反之，若三个非零向量共面，当共线，与不共线时，就不存在实数使得， 故共面是的必要不充分条件， 故选：B 2．下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 3．已知非零向量，，，若，为共线向量，则以下判断中错误的是（    ） A．与一定共线 B．与一定共面 C．，，一定共面 D．与一定共线 【答案】D 【分析】先得到与共线，从而，，共面，则A和C都正确；空间中任意两个向量必定共面，B正确，得到答案. 【详解】对于A，因为，为共线向量，所以，则，即与共线，所以A正确， 对于B，因为空间中任意两个向量必定共面，所以B正确， 对于C，由A可知，与共线，所以，，共面，所以C正确， 对于D，与不一定共线，所以D错误. 故选：D. 4．已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四点共面的向量关系，即可求得答案. 【详解】因为，，，四点共面，且， 所以，解得. 故选：A 5．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 6．如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点， 得，于是， 由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以. 故选：C 二、多选题 7．以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 8．(多选)若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则结论正确的有（    ） A．P∈直线AB B．P∉直线AB C．O，A，B，P四点共面 D．P，A，B三点共线 【答案】ACD 【解析】由题意可得，代入向量式化简可得，可得向量共线，进而可得三点共线，可得结论． 【详解】解:因为，所以， 所以=， 即=n()， 即=n，所以共线. 又有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB. 因为=m+n，故O，A，B，P四点共面. 故答案为：ACD 【点睛】本题考查平面向量的共线问题，熟练表示出向量共线的条件是解决问题的关键，属中档题． 9．下列说法中正确的是（    ） A． 是共线的充分不必要条件 B．若共线，则 C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 【答案】ACD 【分析】由向量数量积运算律及共线判定，结合充分必要性定义判断A，利用共线，则直线AB，CD可能重合判断B，利用四点共面的结论判断C，由向量线性运算及共线判定，结合充分必要性定义判断D. 【详解】对于A：由， 此时，共线，充分性成立， 若，同向共线，且，则，显然不成立， 必要性不成立， 所以“”是“共线”的充分不必要条件，故A正确； 对于B：若共线，则直线AB，CD可能重合，故B错误； 对于C：由，且， 根据空间向量共面的推论知四点共面，故C正确； 对于D：（不共线），若， 则，所以， 即，所以三点共线，反之也成立， 所以是三点共线的充要条件，（本选项也可用三点共线的推论）故D正确. 故选：ACD 三、填空题 10．已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M_________（填“属于”或“不属于”）平面ABC． 【答案】属于 【分析】将已知式子变成，由此即可判断. 【详解】 ， 四点共面．即点平面ABC． 故答案为：属于 11．设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 【答案】0 【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 12．设正三棱锥O-ABC的棱长都是2，若点P满足，且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由点满足，且，所以点在平面内，当为正三棱锥O-ABC的高时最小. 【详解】点满足，且， 所以点在平面内，因为正三棱锥O-ABC的棱长都是2， 所以当点与点在平面内的射影重合时， 即长为正三棱锥O-ABC的高时，取到最小值， 此时的最小为：. 故答案为：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $