精品解析：陕西西安市铁一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

数学试题 时间：120分 满分：120分 一、单选择题：（共8小题，每小题4分，共计32分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 下列集合符号运用不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合知识，逐项分析，即可求得答案. 【详解】对于A，由，故A正确; 对于B，因为不成立,故B错误; 对于C,因为，故C正确; 对于D，因为，故D正确. 2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为， 因为全集，集合，所以， 又因为，所以. 3. 命题“”的否定是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 4. 下列四组函数中，与不相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的三要素：定义域，对应关系，值域进行判断即可. 【详解】对A：因为，且两个函数定义域相同，所以与表示相同的函数； 对B：因为两个函数只是表示自变量的字母不同，函数的定义域，对应关系都一样，所以它们表示相同的函数； 对C：因为，所以它们表示相同的函数； 对D：由或，所以函数的定义域为， 由，所以的定义域为：，所以两个函数定义域不同，所以与表示不同的函数. 故选：D 5. 已知“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两命题的等价条件，再根据充要条件的要求判断即得. 【详解】因， 而， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 对于实数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】由不等式性质可知，故A错误； 不妨取，满足，此时，故B错误； 取，满足，，此时，故C错误； 由知，所以，即，故D正确. 7. 某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛．参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人．则高一年级参加比赛的同学有（ ） A. 110人 B. 108人 C. 106人 D. 104人 【答案】C 【解析】 【详解】 高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛． 参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛； 同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人． 作出韦恩图可得高一年级参加比赛的同学有人. 8. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，化简后利用基本不等式可求出的最小值，然后将问题转化为大于的最小值，从而可求出实数的取值范围 【详解】因为两个正实数满足， 所以， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式有解， 所以大于的最小值，即， 解得或， 即实数的取值范围是， 故选：C 二、多选题：（共3小题，每小题5分，共计15分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分） 9. 若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则可能的取值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】AC 【解析】 【详解】如果两个集合构成“鲸吞”，可得或， 又中元素满足，故，故不成立； 当时，可得，满足； 当时，由，可得， 若，则，可得，不满足， 若，则，可得，不满足； 如果两个集合构成“蚕食”， 则两个集合有公共元素，故或， 当，解得，经检验符合题意； 当，解得，经检验符合题意. 10. 下列叙述中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. “”是“关于的一元二次不等式：的解集是”的充要条件 D. 已知，，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，， 又，所以， 又因为，所以， 所以，故A正确； 由，得，解得， 所以不等式的解集是，故B正确； 若关于的一元二次不等式：的解集是，则且， 所以“”是“关于的一元二次不等式：的解集是”的必要不充分条件，故C错误； 令， 所以，解得，所以， 因为，，所以，， 所以，即， 所以的取值范围为，故D正确. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值是 B. 的最小值为 C. 若实数，满足，则的取值范围是 D. 若，，，则的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据条件，利用基本不等式，即可求解；对B，通过换元，利用函数的单调性，即可求解；对C，令，将问题转化成方程有解，即可求解；对D，根据条件可得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号，所以A正确， 对于B，因为，令， 易知在区间上单调递增，所以当时，， 所以的最小值为，故B错误， 对于C，令，则，又，所以， 整理得到，由，得到， 解得，所以的取值范围是，故C正确， 对于D，由，得到，又，所以， 则， 当且仅当，即时取等号，所以D正确. 三、填空题：（共3小题，每小题4分，共12分，把答案填在答题卡的相应位置上） 12. 已知，，的子集个数为_______ 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以，, 所以的子集个数为个. 13. 已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】将恒成立不等式变形为对恒成立，利用基本不等式求的最小值即可得到的取值范围. 【详解】命题“，”为真命题，则对任意恒成立， 时，，当且仅当即时等号成立，因此在上的最小值为4 ， 所以，即实数的取值范围是. 14. 已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围__________ 【答案】 【解析】 【分析】将题设的全称量词与存在量词条件转化为在上的最小值大于等于在上的最小值，分别求解两函数对应区间的最值后列不等式，即可得到的取值范围． 【详解】易知函数是上的单调递减函数， 当时，，所以． ， 令，由得， 则化为 由对勾函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值， 即，且该最小值在处可取到． 因为对任意，存在，使得， 所以，即，解得， 则实数的取值范围为． 四、解答题（共61分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设集合， （1）若时，求， （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据交集、补集和并集的概念可求出结果； （2）由得，再分类讨论是否为空集，根据子集关系列式可求出结果. 【小问1详解】 ∵，， ∴当时，则，所以， 或，又， 所以或. 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴当时，则有，即，满足题意； 当时，则有，即， 可得，解得：. 综上所述，的范围为或. 16. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求、的值； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用一元二次不等式的解法得，且为方程的根，即可求解； （2）利用（1）中结果和一元二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为或， 则，且为方程的根，所以，解得， 由，得到，所以或，故. 【小问2详解】 由（1）知，，则不等式即为， 由，即，解得， 所以原不等式的解集为. 17. 已知命题：实数满足，命题：实数满足，． （1）若，为假命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，分别求解命题、对应的二次不等式，根据假真的条件取交集得到的取值范围； （2）将必要不充分条件转化为集合的真包含关系，列不等式组求解的取值范围. 【小问1详解】 不等式解得，因此为假命题时，或， 当时，命题的不等式为，解得， 所以为假命题为真命题时，实数的取值范围为. 【小问2详解】 时，不等式解得， 若是的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件， 所以是的真子集，则，解得， 所以实数的取值范围. 18. 某工厂新建员工宿舍，若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离km的关系为，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为40万元.为了交通方便，工厂和宿舍之间还要修一条道路，已知铺设路面成本为6万元/km，设为建造宿舍与修路费用之和， （1）求的值. （2）求关于的表达式. （3）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值. 【答案】（1）200 （2） （3）宿舍应建在离工厂km处，总费用最小为36万元. 【解析】 【分析】（1）根据条件代入，即可求得； （2）费用之和包括函数P、道路费用两部分，加起来即可； （3）用基本不等式求第（2）问函数的最值即可. 【小问1详解】 由题意，得， 【小问2详解】 【小问3详解】 ， 当且仅当，且，即时取等号. 所以，宿舍应建在离工厂处，总费用最小为36万元. 19. 已知正数a，b满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值； （2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【小问1详解】 因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． 【小问2详解】 因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18． 20. 已知函数， （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据二次函数的性质进行求解即可. （2）先将式子进行化简，分、、三种情况进行讨论，求出不等式的解集即可； （3）利用换元法将原式转化成一元二次方程，然后根据二次函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 由题有恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得，得， 综上可得，的取值范围是. 【小问2详解】 由题，即， 当时，，所以不等式的解集为 当时，由，得或. ①当时，，不等式的解集为； ②当时，原不等式即为，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 当时，则，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，令，当且仅当时取等号， 关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程有两个不同正根， 则 ，得， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，故，即， 解得或，综合可得. 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 时间：120分 满分：120分 一、单选择题：（共8小题，每小题4分，共计32分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 下列集合符号运用不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（　　） A. B. C. D. 4. 下列四组函数中，与不相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 已知“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 对于实数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 7. 某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛．参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人．则高一年级参加比赛的同学有（ ） A. 110人 B. 108人 C. 106人 D. 104人 8. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（共3小题，每小题5分，共计15分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分） 9. 若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则可能的取值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 10. 下列叙述中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. “”是“关于的一元二次不等式：的解集是”的充要条件 D. 已知，，则的取值范围为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值是 B. 的最小值为 C. 若实数，满足，则的取值范围是 D. 若，，，则的最小值是 三、填空题：（共3小题，每小题4分，共12分，把答案填在答题卡的相应位置上） 12. 已知，，的子集个数为_______ 13. 已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围是_______ 14. 已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围__________ 四、解答题（共61分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设集合， （1）若时，求， （2）若，求的取值范围. 16. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求、的值； （2）解关于的不等式． 17. 已知命题：实数满足，命题：实数满足，． （1）若，为假命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18. 某工厂新建员工宿舍，若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离km的关系为，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为40万元.为了交通方便，工厂和宿舍之间还要修一条道路，已知铺设路面成本为6万元/km，设为建造宿舍与修路费用之和， （1）求的值. （2）求关于的表达式. （3）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值. 19. 已知正数a，b满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 20. 已知函数， （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $